第1章 因式分解 单元测试培优卷 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 湘教版八年级上册《因式分解》单元培优卷，以基础巩固为底，能力提升为脉，创新应用为峰，适配单元复习，融合数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|公因式确定、分解结果判断、几何与代数综合|结合三角形形状判断（数学眼光）、密码生成情境（应用意识）| |填空题|8/24|分解因式、代数式求值、“正巧数”“欢喜数”新定义|新定义问题（创新意识）、电阻串联计算（模型观念）| |解答题|8/66|提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、阅读材料应用|分组分解类比探究（推理能力）、十字相乘图示教学（几何直观）|

第1章《因式分解》培优卷-2026-2027学年湘教版（新教材）数学八年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 2．多项式36a2bc-48abc+12abc的公因式是（ ） A．24abc B．12abc C．12a2b2c2 D．6a2b2c2 3．分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(　　) A．15 B．30 C．60 D．78 6．将多项式：加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内进行因式分解，则此单项式不能是（　　） A．-2 B． C．8m D．-8m 7． 若x取正整数，则代数式的值可以是（　　）. A．2181 B．2182 C．2183 D．2184 8．关于x的代数式 可分解因式为(x+1)(bx-3)， 则 ab的值为 (　　) A．2 B．1 C． D．-1 9．设a，b，c为整数，且.则可能值是（　　） A．133 B．1599 C．2916 D．3603 10．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（　　） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 二、填空题（每题3分，共24分） 11．分解因式： 　 　． 12．已知，则　 　，　 　． 13．已知，为整数，且，则　 　(填“”，“”或“”)． 14．若y-x=-1， xy=2， 则代数式- 的值是　 　. 15．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若是“正巧数”，则的值为　 　． 16．满足 )的整数对(m，n)共有　 　对. 17．若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：（其中a，b都是正整数，且），那么我们称为正整数k的“欢喜数对”．如：，那么正整数9的“欢喜数对”为．今年是2024年，那么正整数2024的“欢喜数对”为　 　（请写出所有满足条件的“欢喜数对”）． 18．如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为　 　． 三、解答题（共8题，共66分） 19．分解因式： （1）； （2）； （3）． 20．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 21． （1）已知二次三项式2x2 +9x-k中有一个因式是2x-1，求另一个因式以及k的值． （2）已知当x=-2时，多项式x3- 3x2-4x+m的值为0．试将这个多项式分解因式． 22． 由整式的乘法 可知， ， 因此， 对于二次三项式 ， 只要能将常数项 分解成两个因数 ， 使 的和恰好等于一次项系数 ，即 ， 就能将 分解因式． 为使分解过程直观， 常常采用图示的方法， 将二次项系数与常数项的因数分列两边 (如下例)， 再交叉相乘并求和， 检验是否等于一次项系数， 进而进行分解． 由此， 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 下面列举两例： ① ② 用上述方法， 尝试将下列各式分解因式． （1） ． （2） ． 23．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； （2）因式分解：______； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则的最小值为______． 24．【阅读材料】若x满足（10-x）（x-4）=6，求的值。 解：设10-x=a，x-4=b，则（ab=6，a+b=10-x+x-4=6。 （1）【类比探究】若x满足（6-x）（x-2）=3，则=　 　； （2）若，则=　 　； （3）【拓展应用】如图，已知正方形ABCD的边长为x，点E，F分别在AD，DC上，且AE=3，CF=5，长方形EMFD的面积是63。分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH。求阴影部分的面积。 25．综合实践课上老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， ∵当时，， ∴当时，， 则，解得■． 这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法． （1）数学思考：例题中“■”处的值为________； （2）方法运用：已知三次四项式有一个因式是，求的值； （3）深入探究：已知关于的多项式分解因式得． ①求、的值； ②________． 26．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形 （1）根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式　 　. （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片　 　张，B类卡片　 　张，C类卡片　 　张。 （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和（m-n）2的值. ②已知（x-2023）2+（x-2025）2=34，求x-2024. （4）如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】D 11．【答案】 12．【答案】1；4 13．【答案】 14．【答案】​​​​​​​ 15．【答案】9 16．【答案】3 17．【答案】或 18．【答案】220 19．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．【答案】解：（1） ； （2） ； ​​​​​​ 21．【答案】（1）解：设另一个因式为 ， 则 ， 解得 ∴ 另一个因式为 的值为 5 . （2）解：把 代入 x3- 3x2-4x+m =0，得(－2)3－3×(－2)2－4×(－2)+m=0， 解得：， 当 时， 原式 . 22．【答案】（1）解： ∴. （2）解： ∴. 23．【答案】(1) 25 (2) (3) 解： ， ， ， 的最小值为4． (4) 3 24．【答案】（1）10 （2）-3 （3）解：∵长方形EMFD的面积为63，DE=AD−AE=x−3，DF=DC−CF=x−5， ∴DE·DF=（x−3）（x−5）=63。 设a=x−3，b=x−5，则ab=63，a−b=（x−3）−（x−5）=2。 阴影部分的面积=S正方形MFRN−S正方形GFDH=MF2−DF2=a2−b2。 ∵a2−b2=（a−b）（a+b）， 由（a+b）2=（a−b）2+4ab=22+4×63=4+252=256， ∴a+b=16。 ∴a2−b2=（a−b）（a+b）=2×16=32。 故阴影部分的面积为32。 25．【答案】（1）24 （2）解：设， 令得：， 解得：， 即n的值为-3. ​​​​​ （3）解：①由题意可得：， 令得：， ∴； 令得：， ∴， ∴， 解得：； ② 26．【答案】（1） （2）3；10；8 （3）解：①， ∴ ∴ ∴ ②设，则，， ∴，即 （4）解：，即新长方形的长为，宽为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $