第四单元 《比和比例》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年六年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《比和比例》单元复习讲义通过分知识点系统梳理构建知识体系，涵盖比的意义与性质、比例的意义与应用等核心内容，运用对比表格呈现比与除法、分数的联系区别，结合易错提醒突出重难点，形成清晰的知识脉络。 讲义亮点在于“常考易错+专项精练”的分层练习设计，如按比例分配问题通过分数法与归一法两种方法讲解，结合变式题型培养学生运算能力与模型意识。典例精讲覆盖14类题型，易错提醒帮助学生规避常见错误，教师可据此实施精准教学，助力不同层次学生提升。

第四单元 《比和比例》 典例易错讲义 知识点 1：比的意义与基本构成 1. 比的定义 两个数相除又叫做两个数的比，表示两个量之间的倍比关系。 2. 各部分名称 比用符号 “:”（比号）表示，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项；比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 示例：在 中，3 是前项，2 是后项， 是比值。 3. 比的两种常见类型 同类量的比：两个单位相同的量的比，表示一个量是另一个量的几倍或几分之几。例如：男生人数与女生人数的比。 不同类量的比：两个单位不同的量的比，会产生新的量。例如：路程与时间的比表示速度，总价与数量的比表示单价。 4. 比与除法、分数的联系与区别 联系（对应关系） 比 前项 比号（:） 后项 比值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 三者关系用字母表示： 区别 意义不同：比是表示两个量的倍比关系；除法是一种运算；分数是一种数。 表达形式不同：比可以写成 的形式，除法是运算式，分数是数的形式。 5. 易错提醒 比的后项不能为 0，与除数、分母不能为 0 的规则一致。 体育比赛中的 “2:0”“3:1” 是计分形式，仅表示双方得分多少，不是数学意义上的比。 混淆比和比值：比表示两个数的关系，结果保留比的形式；比值是一个具体的数，可以是整数、小数或分数。 知识点 2：比的基本性质与化简比 1. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 这一性质与商不变的规律、分数的基本性质本质一致，是化简比的核心依据。 2. 最简整数比 比的前项和后项都是整数，且只有公因数 1（互质），这样的比叫做最简整数比。 3. 化简比的常用方法 （1）整数比化简 比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，直到前项后项互质。 示例： （2）分数比化简 比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化为整数比，再继续化简。 示例： （3）小数比化简 先把前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，转化为整数比，再继续化简。 示例： （4）带单位的比化简 先统一单位，再按照上述方法化简，化简后不带单位。 示例：米厘米 厘米厘米 4. 求比值与化简比的区别 类别 计算依据 结果形式 结果属性 求比值 前项 ÷ 后项 整数、小数、分数 一个数 化简比 比的基本性质 最简整数比（） 一种关系 5. 易错提醒 化简比时结果误写成比值，例如把 写成 后不再补充比的形式。 小数比化简时，前项后项小数点移动位数不一致，导致比值改变。 带单位的比不先统一单位就直接化简，出现单位不匹配的错误。 认为比的前项和后项同时加或减同一个数，比值不变，混淆基本性质的运算类型。 知识点 3：按比例分配问题 1. 题型特征 已知两个或多个量的总数量，以及这几个量的比，分别求每个量的具体数值；本质是把一个数量按照一定的比进行分配。 2. 基础解题方法 方法一：分数法（分率对应） 先求总份数：把各部分的比相加，得到总份数； 求各部分占总量的几分之几：用各部分的份数除以总份数； 求各部分的量：用总数量分别乘各部分对应的分率。 方法二：归一法（每份法） 先求总份数； 求每份对应的数量：总数量 ÷ 总份数 = 每份数； 求各部分的量：每份数 × 各部分对应的份数。 3. 典型示例 题目：学校把 140 本课外书按 的比分给五、六年级，两个年级各分得多少本？ 解： 总份数： 五年级：（本） 六年级：（本） 答：五年级分得 60 本，六年级分得 80 本。 4. 常见变式题型 （1）已知其中一个量，求总量或另一个量 解题关键：先通过已知量和对应份数求出每份数，再计算所求量。 示例：男女生人数比是 ，女生有 24 人，求总人数。 每份数：（人），总人数：（人） （2）已知两个量的差，求总量或各部分量 解题关键：先求出份数差，用差量 ÷ 份数差 = 每份数，再计算总量。 示例：苹果和梨的质量比是 ，苹果比梨多 12 千克，求总质量。 份数差：，每份数：（千克），总质量：（千克） （3）隐藏总量的题型 例如长方体棱长和、长方形周长、三角形内角和等，需要先根据公式求出分配的总对应量。 示例：长方形周长 40 厘米，长与宽的比是 ，求面积。 注意：周长对应 2 组长宽，需先除以 2 得到一组长宽的和，再按比分配。 5. 易错提醒 总量与总份数不对应，例如长方形周长直接按比分配，忘记先除以 2。 已知差量时，误用总量除以总份数求每份数，量率不匹配。 三个及以上量的连比问题，搞错各部分的对应份数。 知识点 4：比例的意义与基本性质 1. 比例的定义 表示两个比相等的式子叫做比例。 判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等。 示例：因为 的比值是 ， 的比值是 ，所以 是比例。 2. 比例的各部分名称 组成比例的四个数，叫做比例的项；两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 示例：在 中， 和 是外项， 和 是内项。 3. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 字母表示：如果 （ 不为 0），那么 。 4. 解比例 根据比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出第四项，求比例中的未知项叫做解比例。 标准步骤： 设未知项为 ； 根据比例的基本性质，将比例转化为乘积相等的等式（外项积 = 内项积）； 解方程求出未知项； 检验结果是否正确。 示例：解比例 解： 5. 比和比例的区别 意义不同：比表示两个数相除的关系，只有两项；比例表示两个比相等的式子，有四项。 性质不同：比的基本性质描述的是前项后项的变化规律；比例的基本性质描述的是内项外项的乘积关系。 6. 易错提醒 误以为只要数字相同就能组成比例，忽略比的顺序，例如 和 不能组成比例。 解比例时混淆内项和外项，导致乘积式列错。 解比例时漏写 “解” 字，或计算出现算术错误。 知识点 5：比例的实际应用 1. 用比例解决实际问题 解题步骤 分析题意，找出题目中不变的量； 判断两种相关联的量成正比例还是反比例关系； 设未知数为 ； 根据正反比例的关系列出比例式（正比例列等比式，反比例列等积式）； 解比例，检验并作答。 典型示例 题目：一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶 5 小时，甲乙两地相距多少千米？ 解：速度一定，路程和时间成正比例。 设甲乙两地相距 千米。 答：甲乙两地相距 300 千米。 2. 易错提醒 判断比例关系错误，将正比例题列成反比例式子，或反之。 列比例式时，两个比的前后项对应不一致，单位不统一。 图形放大缩小时，搞错比的前后项，放大和缩小方向弄反。 解决复杂问题时，找不到不变的定量，无法判断比例关系。 常考易错 题型1：比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲1】5∶2＝5÷2＝2.5，5是这个比的( )，2是这个比的( )，2.5是这个比的( )。 【答案】 前项 后项 比值 【分析】在一个比中，比号前面的数是前项，比号后面的数是后项，用前项除以后项得到的商就是比值。 【详解】5∶2＝5÷2＝2.5，5是这个比的前项，2是这个比的后项，2.5是这个比的比值。 常考易错 题型2：求比值 【典例精讲2】求比值。              【答案】 ； ； ； 【分析】用比的前项除以后项即可求出比值。单位不同要统一单位，1km＝1000m。 【详解】 6km＝6000m 常考易错 题型3：比与分数、除法的关系 【典例精讲3】3∶5＝＝18÷（    ）＝（    ）（填小数）。 【答案】9 30 0.6 【分析】此题考查的是比、分数、除法之间的相互转化。计算3∶5＝，比的前项相当于分数的分子，后项相当于分数的分母，所以3∶5＝，分母从5变成15，扩大了3倍，根据分数的基本性质，分子也要扩大3倍，3×3＝9，即3∶5＝。计算3∶5＝18÷（ ），比的前项相当于除法中的被除数，后项相当于除数，3变成18扩大到了原来的6倍，5也要扩大到原来的6倍，5×6＝30，即3∶5＝18÷30。3∶5＝3÷5＝0.6，所以最后一空是0.6。 【详解】3∶5＝ 15÷5＝3 3×3＝9 即3∶5＝ 18÷3＝6 5×6＝30 即3∶5＝18÷（30） 3∶5＝3÷5＝0.6 即3∶5＝（0.6） 即3∶5＝＝18÷（30）＝（0.6） 常考易错 题型4：比的意义 【典例精讲4】从甲地到乙地，小王要50分钟，小李要60分钟，小王和小李所用时间的比是( )，小王和小李的速度比是( )。 【答案】 5∶6 6∶5 【分析】小王和小李所用时间的比＝小王所用时间∶小李所用时间，将甲地到乙地的路程看作“1”，根据路程÷时间＝速度算出二人的速度，小王和小李的速度比＝小王的速度∶小李的速度，再根据比的性质进行化简。 【详解】小王和小李所用时间的比：50∶60＝（50÷10）∶（60÷10）＝5∶6 小王和小李的速度比：∶＝∶＝6∶5。 常考易错 题型5 ：比的基本性质 【典例精讲5】2∶7的前项如果乘3，要想使比值不变，后项应该乘( )；如果前项乘4，要想使比值不变，后项应该增加( )。 【答案】 3 21 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以同一个不为0的数，比值不变。 【详解】2∶7的前项乘3，要使比值不变，后项也应该乘3。 前项乘4：2×4＝8，那么后项也要乘4：7×4＝28 后项增加：28－7＝21 常考易错 题型6 ：比的化简 【典例精讲6】将下面各比化简为最简整数比。 1∶0.625        0.81∶0.27    4.8∶16 【答案】8∶5；50∶27；3∶1；3∶10 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变；含有小数和分数的比可以先转化为整数，再化简。 【详解】1∶0.625 ＝（1×1000）∶（0.625×1000） ＝1000∶625 ＝（1000÷125）∶（625÷125） ＝8∶5 0.81∶0.27 ＝（0.81×100）∶（0.27×100） ＝81∶27 ＝（81÷27）∶（27÷27） ＝3∶1 4.8∶16 ＝（4.8×10）∶（16×10） ＝48∶160 ＝（48÷16）∶（160÷16） ＝3∶10 常考易错 题型7 ：按比分配问题 【典例精讲7】王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3∶20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？ 【答案】9克 【分析】用水的质量除以它占的份数，求出一份的质量，再乘蜂蜜质量占的份数即可。 【详解】60÷20×3 ＝3×3 ＝9（克） 答：用了9克蜂蜜。 常考易错 题型8 ：比的应用 【典例精讲8】育苗小学要举办第三届文化节，六（1）班需要做一面彩旗。彩旗的长与宽之比是3∶2，长是1.2米，这个彩旗的宽是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】0.8米；0.96平方米 【分析】用彩旗长除以它占的份数，求出一份的长度，再乘宽占的份数，即可求出宽的长度，长方形的面积＝长×宽，据此列式计算即可。 【详解】1.2÷3×2 ＝0.4×2 ＝0.8（米） 1.2×0.8＝0.96（平方米） 答：这个彩旗的宽是0.8米，面积是0.96平方米。 常考易错 题型9 ：百分数、分数、小数和比的互化 【典例精讲9】（填小数）。 【答案】16；75；20；0.75 【分析】（1）分数与除法的关系：分子相当于被除数，分数线相当于除号，分母相当于除数，据此可知：3÷4＝，再根据分数的基本性质把分数化成分子是12的分数； （2）根据被除数÷除数＝商用3除以4即可得到对应的小数； （3）小数化百分数：把小数的小数点向右移动两位，再在后面加上“%”； （4）除法与比的关系：被除数相当于比的前项，除号相当于比号，除数相当于比的后项，据此把除法写成比，再根据比的基本性质判断比的前项乘几，则比的后项也要乘相同的数。 【详解】3÷4＝＝＝ 3÷4＝0.75 0.75＝75% 3÷4＝3∶4＝（3×5）∶（4×5）＝15∶20 3÷4＝＝75%＝15∶20＝0.75（填小数）。 常考易错 题型10 ：用画图法和转化法解决分数问题(比的应用） 【典例精讲10】水果店运进的桃比梨多150千克，且梨的质量是桃的，梨与桃的质量比是( )，梨比桃少了( )份是150千克，运进桃( )千克，梨和桃一共( )千克。 【答案】 3∶4 1 600 1050 【分析】将桃子看作单位“1”，根据“梨的质量是桃的”可知，梨有3份，桃有4份，那么质量比是3∶4，梨比桃少了1份，1份是150千克。将150千克分别乘4份和3份，求出桃和梨的具体质量。再利用加法，求出梨和桃一共多少千克。 【详解】4－3＝1（份） 150×4＝600（千克） 150×3＝450（千克） 600＋450＝1050（千克） 所以，梨与桃的质量比是3∶4，梨比桃少了1份是150千克，运进桃600千克，梨和桃一共1050千克。 常考易错 题型11：比例的意义 【典例精讲11】3∶12的比值是( )，12∶48的比值是( )。因为这两个比的比值( )，所以这两个比( )（填“可以”或“不可以”）组成比例。 【答案】 /0.25 /0.25 相等 可以 【分析】分别用比的前项除以后项求得两个比的比值，比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例；再根据比例的意义，看比值是否相等，即可得出是否可以组成比例。 【详解】 因为这两个比的比值相等，所以这两个比可以（填“可以”或“不可以”）组成比例。 常考易错 题型12：比例的基本性质 【典例精讲12】9的所有因数有( )，其中( )既不是质数也不是合数，请你再配上一个数，把它们组成一个比例是( )。 【答案】 1、3、9 1 1∶3＝9∶27 【分析】根据乘积关系写出所有的因数，包括1和它本身。写比例时可以运用比例的基本性质写。这里关键是1即不是质数也不是合数，有学生可能和奇数偶数混淆。 【详解】9的因数有1，3，9；其中1既不是质数也不是合数，按照比例基本性质，比值相同，13＝，再添加一个数，被9除，也等于，比例成立，所以比例是1∶3＝9∶27。 常考易错 题型13：解比例 【典例精讲13】解方程或解比例。 ①＝x∶1.5     ②9∶0.2＝x∶ ③     ④ 【答案】①x＝4；②x＝30 ③x＝6；④x＝ 【分析】①根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，再根据等式的性质，在方程两边同时乘6，据此解答； ②根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，再根据等式的性质，在方程两边同时除以0.2，据此解答； ③先去括号，再计算方程左边的乘法，再根据等式的性质，在方程两边同时除以0.72，据此解答； ④先计算方程左边的减法，再根据等式的性质，在方程两边同时乘，据此解答。 【详解】①＝x∶1.5 解：x＝×1.5 x×6＝×6 x＝4 ②9∶0.2＝x∶ 解：0.2x＝9× 0.2x÷0.2＝6÷0.2 x＝30 ③ 解：0.9×0.8x＝4.32 0.72x＝4.32 0.72x÷0.72＝4.32÷0.72 x＝6 ④ 解：x＝ x×＝× x＝ 常考易错 题型14：比例的应用 【典例精讲14】水池里立着两根木桩，它们露出水面部分的长度之比是，当水面下降30厘米后露出水面部分的长度之比变成了，求较短的一根木桩原来露出水面的部分是多少厘米？ 【答案】 6厘米 【分析】两根木桩露出水面的长度差始终不变，原来露出长度的比是，水面下降30厘米后，两根木桩露出水面的长度各增加30厘米，此时长度比变为，可设较短的木桩原来露出水面的长度为x厘米，根据比例的基本性质列方程求解。 【详解】解：设较短的一根木桩原来露出水面的部分是厘米，则较长的一根原来露出水面的部分是厘米。 答：较短的一根木桩原来露出水面的部分是6厘米。 专项精练 1．已知3a＝5b（a，b都不为0），下面的比例中，（    ）不成立。 A．3∶5＝b∶a B．a∶b＝3∶5 C．5∶a＝3∶b D．b∶3＝a∶5 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：比例中两个外项的积等于两个内项的积，将各选项转化为乘积式，与已知3a＝5b对比即可判断。 【详解】A．3∶5＝b∶a，得3a＝5b，成立； B．a∶b＝3∶5，得5a＝3b，与已知不符，不成立； C．5∶a＝3∶b，得3a＝5b，成立； D．b∶3＝a∶5，得3a＝5b，成立。 2．一杯糖水的含糖率是10%，喝掉后，糖与水的比是（    ）。 A．1∶5 B．1∶9 C．1∶10 D．1∶11 【答案】B 【分析】一杯糖水喝掉后，糖与水的比例不变；把这杯糖水看作单位“1”，含糖率是10%，那么含水率就是1－10%，据此即可解决问题。 【详解】1－10%＝90% 10%∶90%＝0.1∶0.9＝1∶9 3．在8∶9中，后项增加18，要使比值不变，前项要（    ）。 A．加18 B．加16 C．乘3 D．乘2 【答案】BC 【分析】根据比的性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此计算。 【详解】后项增加18后变为： 后项扩大到原来的倍数： 要使比值不变，前项也应扩大到原来的3倍，即前项乘3，此时前项为： 前项需要增加的数： 所以前项加16或者乘3都可以使比值不变。 4．从学校到电影院，鹏鹏用了8分钟，田田用了10分钟，鹏鹏和田田的速度比是（    ）。 A．4∶5 B．5∶4 C．4∶9 D．5∶9 【答案】B 【分析】可先将总路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别计算两人速度后，再写出他们的速度比化简即可。 【详解】把从学校到电影院的总路程看作单位“1”。 鹏鹏的速度： 田田的速度： 两人的速度比： 5．张老师把一批书按2∶3∶4或按2∶4∶5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（    ）本。 A．90 B．99 C．110 D．120 【答案】B 【分析】两种分配方案都能正好分完，说明这批书的总数是两种方案总份数的公倍数，先求出两种分法的总份数，再找对应公倍数即可。 【详解】第一种分法总份数：（份） 第二种分法总份数： （份） 9和11互质，最小公倍数是 A．90不是9和11的公倍数，不符合题意。 B．99是9和11的公倍数，符合题意。 C．110不是9的倍数，不符合题意。 D．120不是9和11的公倍数，不符合题意。 6．地球与太阳的实际平均距离大约是1.5亿千米，海王星与太阳的实际平均距离大约是45亿千米。科学课上，小明要将它们的位置制作成模型，他将“地球”与“太阳”的距离设定为3厘米。那么按照这个比例，模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”（    ）厘米。 A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】C 【分析】设模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”x厘米。根据海王星与太阳的实际平均距离与地球与太阳的实际平均距离的比值不变列出比例式，再解比例即可。 【详解】解：设模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”x厘米 45∶1.5＝x∶3 1.5x＝45×3 1.5x＝135 x＝135÷1.5 x＝90 7．一个成年人的身高和脚长的比大约是。警察在探案过程中发现一名嫌疑人的鞋印（如图），那么嫌疑人的身高最有可能是（    ）cm。 A．185 B．175 C．165 D．155 【答案】B 【分析】身高和脚长的比大约是，说明身高是脚长的7倍，从图中可知：鞋印长25.5cm，用鞋印长度乘以7可算得身高的大约值。与选项中的数据对比，选出相差最小的选项。 【详解】，（cm） （cm）、（cm）、 （cm）、（cm）， 175cm最接近算出的数据，所以嫌疑人的身高最有可能是175cm。 8．“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶。“徵”的发音管比基本音阶“商”的发音管长，则“徵”和“商”的发音管长度比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．4∶3 D．3∶4 【答案】A 【分析】根据题意，把“商”的发音管长度看作单位“1”，根据“徵”的发音管比“商”的发音管长，可知“徵”的发音管长度是“商”的。要求“徵”和“商”的发音管长度比，即用“徵”的长度比上“商”的长度，再根据比的基本性质化成最简整数比即可。 【详解】“徵”和“商”的发音管长度比是： 9．一般情况下，9~12岁儿童头部和身高的比例是1∶4。一名儿童的身高是136cm，他的头部长约( )厘米。 【答案】34 【分析】已知头部和身高的比例是1∶4，意思就是把身高看成4份，头部长度是1份。已知这名儿童身高是136厘米，求头长就是把136平均分成4份算每份的长度，用除法计算。 【详解】136÷4＝34（厘米） 10．小明爷爷的年龄是72岁，小明是8岁，小明的年龄与爷爷年龄的最简单整数比是( )。 【答案】1∶9 【分析】先写出小明的年龄与爷爷年龄的比，再把比的前项和后项同时除以8即可得出最简整数比。 【详解】 11．水果店25天卖出去苹果135千克，卖出去的总量与时间的最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 27∶5 【分析】先写出卖出去的总量与时间的比，再把比的前项和后项同时除以5，得到最简整数比；求比值用前项除以后项即可。 【详解】 ＝＝ 12．学校需要配制一种浓度为30%的消毒液，在假期对各班进行全面消毒。现在准备了700g的水，还需要准备( )g的药粉才能配制成功。 【答案】 300 【分析】先把百分数30%化成最简分数再化成比得3∶10，即药粉质量对应3份，消毒液质量对应10份，用消毒液对应份数减去药粉对应份数就得到水的质量对应份数；然后用水的质量除以它所对应份数计算得到每份数，然后用每份数乘药粉质量对应份数就能计算出需要的药粉质量。 【详解】 还需要准备300g的药粉才能配制成功。 13．两根同样长的铁条，一根按3∶4∶5的比锯成三段，另一根按7∶9∶11的比锯成三段，锯成的铁条有______________种不同的长度。 【答案】 5 【分析】可以通过设铁条长度为两个比例总份数的最小公倍数，分别计算两种分法下每段的长度，再统计不同长度的数量。 【详解】第一根铁条按3∶4∶5分，总份数为3＋4＋5＝12 第二根铁条按7∶9∶11分，总份数为7＋9＋11＝27 3×4×9＝12×9＝108 12和27的最小公倍数是108，因此设铁条长度为108 按3∶4∶5分，每份长度为108÷12＝9， 因此三段长度为： 3×9＝27，4×9＝36，5×9＝45 按7∶9∶11分，每份长度为108÷27＝4， 因此三段长度为：7×4＝28，9×4＝36，11×4＝44 将所有长度整理为：27、36、45、28、36、44，去重后为：27、28、36、44、45，共5种不同的长度。 14．“和谐号”动车组、“复兴号”动车组和高速磁悬浮列车的速度比是5∶7∶12，如果高速磁悬浮列车每小时行驶600千米，那么“复兴号”动车组每小时行驶( )千米。 【答案】 350 【分析】根据题意可知，“和谐号”、“复兴号”和高速磁悬浮列车的速度比是，即把速度总共看作若干份，其中高速磁悬浮列车的速度占份，实际速度为千米/时，“复兴号”动车组的速度占份。解题思路是先利用高速磁悬浮列车的速度求出每一份代表的速度数值，再乘“复兴号”动车组对应的份数，即可求出其速度。 【详解】 （千米） 所以“复兴号”动车组每小时行驶350千米。 15．国家卫健委发布《体重管理指导原则（2024年版）》，妈妈按照食谱为妙妙准备了食物，其中蔬菜和水果的质量之比为，水果与牛奶的质量之比为，已知蔬菜比牛奶的质量多400克。妈妈准备了水果( )克。 【答案】 240 【分析】根据蔬菜和水果的质量比及水果与牛奶的质量比，表示出蔬菜、水果、牛奶的质量比。根据质量比求出蔬菜与牛奶份数差进而得出一份的质量，再乘水果占的份数即可。 【详解】蔬菜和水果的质量之比为＝15∶6，水果与牛奶的质量之比为，所以蔬菜的质量∶水果的质量∶牛奶的质量＝15∶6∶5。 400÷（15－5）×6 ＝400÷10×6 ＝240（克） 16．一个平行四边形与一个三角形的底边长之比是1∶2，高的长度比也是1∶2。已知这个平行四边形的面积为36平方厘米，这个三角形的面积为( )平方厘米。 【答案】 【分析】（）据平行四边形和三角形的面积公式可知：平行四边形面积底高，三角形面积底高。 （）根据题干中底边长之比和高之比，可知三角形的底和高分别扩大到原来的 倍。 （）利用积的变化规律推导三角形面积与平行四边形面积的倍数关系，进而求出三角形的面积。 【详解】设平行四边形的底为，高为。则平行四边形的面积为：。 因为平行四边形与三角形的底边长之比是，高的长度比也是，所以三角形的底为，高为。 三角形的面积计算如下： 因为 所以三角形的面积为：（平方厘米） 17．道德与法治课上，我们了解了未成年人相关的法律。《预防未成年人犯罪法》和《未成年人保护法》具体的条款比是17∶33，《未成年人保护法》共132条具体的条款，则《预防未成年人犯罪法》有( )条具体的条款。 【答案】68 【分析】两个法律的条款比是17∶33，其中《未成年人保护法》对应的是33份，一共132条，条数÷对应份数＝一份的条数，一份条数×《预防未成年人犯罪法》对应的17份＝《预防未成年人犯罪法》的条数。 【详解】132÷33×17 ＝4×17 ＝68（条） 18．正阳花生博览馆是一座花生造型的漂亮建筑，工程师是按建筑长度与花生长度的比设计建造的，当时工程师测量的花生长度为4.1cm，花生博览馆的长度是( )m。 【答案】41 【分析】设计比例是建筑长度：花生长度＝1000∶1，说明建筑长度是实际花生长度的1000倍。用花生长度乘1000，得到花生博览馆的长度，再转化单位即可。 【详解】4.1×1000＝4100（cm） 4100cm＝41m 19．化简比并求比值。                                             【答案】，30；，；，7.2； ，20；，；， 【分析】化简时根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变；求比值时用比的前项除以后项。单位不相同的应先统一单位。 【详解】 0.6公顷＝6000平方米 2.5吨＝2500千克 小时＝10分 20．解方程或解比例。          【答案】；； 【分析】根据等式的性质，方程两边同时加上5，再同时乘求解； 把10%化为0.1，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以3.1求解； 分数形式的比例，分子、分母交叉相乘，积相等，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.5求解。 【详解】 解： 解： 解： 21．弟弟弄丢了一些围棋棋子，现在黑、白两种颜色的棋子共46枚，其中黑棋子个数的等于白棋子个数的。现在有黑、白棋子各多少枚？ 【答案】 黑棋子30枚，白棋子16枚 【分析】由题意可知，黑棋子数白棋子数，可得黑棋子数白棋子数，根据黑、白棋子的数量关系求出两者的数量比，再结合总枚数按比分配计算。 【详解】黑棋子数白棋子数 （枚） （枚） 答：现在有黑棋子枚，白棋子枚。 22．一种饺子馅是由牛肉和葱花均匀混合后调制而成的。若按照牛肉和葱花的质量比调制饺子馅，奶奶用了2.4千克牛肉，用了多少千克葱花？（用比例解） 【答案】0.9千克 【分析】牛肉和葱花的质量比固定，可据此列比例式，利用比例的基本性质，内项积等于外项积求解。 【详解】解：设用了千克葱花。 答：用了0.9千克葱花。 23．俗话说“旧物易主贵如宝”，在一次物物交换活动中，每4个玩具汽车可以换6本故事书，淘气拿来14个玩具汽车，可以换得多少本故事书？（用比例解） 【答案】 21本 【分析】玩具汽车数量和换得的故事书数量是相关联的量，每个玩具汽车换的故事书数量固定，二者成正比例关系，可列正比例式求解。 【详解】解：设可以换得本故事书。 答：可以换得21本故事书。 24．在社区废品回收活动中，8号楼和9号楼共回收饮料瓶560个，8号楼回收瓶数的与9号楼瓶数的正好相等。8，9号楼各回收饮料瓶多少个？ 【答案】8号楼回收饮料瓶240个，9号楼回收饮料瓶320个。 【分析】根据分数乘法的意义可知，8号楼回收的瓶数9号楼回收的瓶数，根据比例的基本性质得出：8号楼回收的瓶数∶9号楼回收的瓶数3∶4。把8号楼和9号楼共回收饮料瓶的个数平均分成（3＋4）份，先用除法求出1份的个数，再用乘法分别求出3份（8号楼回收）、4份（9号楼回收）的个数。 【详解】8号楼回收的瓶数9号楼回收的瓶数， 所以，8号楼回收的瓶数∶9号楼回收的瓶数3∶4； 560÷（3＋4） ＝560÷7 ＝80（个） 80×3＝240（个） 80×4＝320（个） 答：8号楼回收饮料瓶240个，9号楼回收饮料瓶320个。 25．一般来说，动物的小腿骨（胫骨）与大腿骨（股骨）的长度比的比值越大，跑得越快。羚羊就是动物界的快跑能手，小腿骨与大腿骨长度的比一般是5∶4。一只羚羊小腿骨长25厘米，它的大腿骨长多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】根据小腿骨与大腿骨的长度比，结合已知的小腿骨实际长度，设大腿骨长度为未知数，列比例式后利用比例的基本性质求解。 【详解】解：设它的大腿骨长厘米。 答：它的大腿骨长20厘米。 26．复兴号动车组是中国自主研发、具有完全知识产权的标准动车组，集成了多种现代高新技术，是中国科技创新的重大成果。从北京到郑州高铁线路全长约700千米，动车仅需2.1小时。照这样计算，北京到深圳的铁路全长约是2400千米，乘动车需几小时到达？（用比例解答） 【答案】 7.2小时 【分析】动车速度不变，路程和时间成正比例关系。依据速度相等列出比例方程，再利用比例基本性质求解。 【详解】解：设乘动车需x小时到达。 答：乘动车需7.2小时到达。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 《比和比例》 典例易错讲义 知识点 1：比的意义与基本构成 1. 比的定义 两个数相除又叫做两个数的比，表示两个量之间的倍比关系。 2. 各部分名称 比用符号 “:”（比号）表示，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项；比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 示例：在 中，3 是前项，2 是后项， 是比值。 3. 比的两种常见类型 同类量的比：两个单位相同的量的比，表示一个量是另一个量的几倍或几分之几。例如：男生人数与女生人数的比。 不同类量的比：两个单位不同的量的比，会产生新的量。例如：路程与时间的比表示速度，总价与数量的比表示单价。 4. 比与除法、分数的联系与区别 联系（对应关系） 比 前项 比号（:） 后项 比值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 三者关系用字母表示： 区别 意义不同：比是表示两个量的倍比关系；除法是一种运算；分数是一种数。 表达形式不同：比可以写成 的形式，除法是运算式，分数是数的形式。 5. 易错提醒 比的后项不能为 0，与除数、分母不能为 0 的规则一致。 体育比赛中的 “2:0”“3:1” 是计分形式，仅表示双方得分多少，不是数学意义上的比。 混淆比和比值：比表示两个数的关系，结果保留比的形式；比值是一个具体的数，可以是整数、小数或分数。 知识点 2：比的基本性质与化简比 1. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 这一性质与商不变的规律、分数的基本性质本质一致，是化简比的核心依据。 2. 最简整数比 比的前项和后项都是整数，且只有公因数 1（互质），这样的比叫做最简整数比。 3. 化简比的常用方法 （1）整数比化简 比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，直到前项后项互质。 示例： （2）分数比化简 比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化为整数比，再继续化简。 示例： （3）小数比化简 先把前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，转化为整数比，再继续化简。 示例： （4）带单位的比化简 先统一单位，再按照上述方法化简，化简后不带单位。 示例：米厘米 厘米厘米 4. 求比值与化简比的区别 类别 计算依据 结果形式 结果属性 求比值 前项 ÷ 后项 整数、小数、分数 一个数 化简比 比的基本性质 最简整数比（） 一种关系 5. 易错提醒 化简比时结果误写成比值，例如把 写成 后不再补充比的形式。 小数比化简时，前项后项小数点移动位数不一致，导致比值改变。 带单位的比不先统一单位就直接化简，出现单位不匹配的错误。 认为比的前项和后项同时加或减同一个数，比值不变，混淆基本性质的运算类型。 知识点 3：按比例分配问题 1. 题型特征 已知两个或多个量的总数量，以及这几个量的比，分别求每个量的具体数值；本质是把一个数量按照一定的比进行分配。 2. 基础解题方法 方法一：分数法（分率对应） 先求总份数：把各部分的比相加，得到总份数； 求各部分占总量的几分之几：用各部分的份数除以总份数； 求各部分的量：用总数量分别乘各部分对应的分率。 方法二：归一法（每份法） 先求总份数； 求每份对应的数量：总数量 ÷ 总份数 = 每份数； 求各部分的量：每份数 × 各部分对应的份数。 3. 典型示例 题目：学校把 140 本课外书按 的比分给五、六年级，两个年级各分得多少本？ 解： 总份数： 五年级：（本） 六年级：（本） 答：五年级分得 60 本，六年级分得 80 本。 4. 常见变式题型 （1）已知其中一个量，求总量或另一个量 解题关键：先通过已知量和对应份数求出每份数，再计算所求量。 示例：男女生人数比是 ，女生有 24 人，求总人数。 每份数：（人），总人数：（人） （2）已知两个量的差，求总量或各部分量 解题关键：先求出份数差，用差量 ÷ 份数差 = 每份数，再计算总量。 示例：苹果和梨的质量比是 ，苹果比梨多 12 千克，求总质量。 份数差：，每份数：（千克），总质量：（千克） （3）隐藏总量的题型 例如长方体棱长和、长方形周长、三角形内角和等，需要先根据公式求出分配的总对应量。 示例：长方形周长 40 厘米，长与宽的比是 ，求面积。 注意：周长对应 2 组长宽，需先除以 2 得到一组长宽的和，再按比分配。 5. 易错提醒 总量与总份数不对应，例如长方形周长直接按比分配，忘记先除以 2。 已知差量时，误用总量除以总份数求每份数，量率不匹配。 三个及以上量的连比问题，搞错各部分的对应份数。 知识点 4：比例的意义与基本性质 1. 比例的定义 表示两个比相等的式子叫做比例。 判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等。 示例：因为 的比值是 ， 的比值是 ，所以 是比例。 2. 比例的各部分名称 组成比例的四个数，叫做比例的项；两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 示例：在 中， 和 是外项， 和 是内项。 3. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 字母表示：如果 （ 不为 0），那么 。 4. 解比例 根据比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出第四项，求比例中的未知项叫做解比例。 标准步骤： 设未知项为 ； 根据比例的基本性质，将比例转化为乘积相等的等式（外项积 = 内项积）； 解方程求出未知项； 检验结果是否正确。 示例：解比例 解： 5. 比和比例的区别 意义不同：比表示两个数相除的关系，只有两项；比例表示两个比相等的式子，有四项。 性质不同：比的基本性质描述的是前项后项的变化规律；比例的基本性质描述的是内项外项的乘积关系。 6. 易错提醒 误以为只要数字相同就能组成比例，忽略比的顺序，例如 和 不能组成比例。 解比例时混淆内项和外项，导致乘积式列错。 解比例时漏写 “解” 字，或计算出现算术错误。 知识点 5：比例的实际应用 1. 用比例解决实际问题 解题步骤 分析题意，找出题目中不变的量； 判断两种相关联的量成正比例还是反比例关系； 设未知数为 ； 根据正反比例的关系列出比例式（正比例列等比式，反比例列等积式）； 解比例，检验并作答。 典型示例 题目：一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶 5 小时，甲乙两地相距多少千米？ 解：速度一定，路程和时间成正比例。 设甲乙两地相距 千米。 答：甲乙两地相距 300 千米。 2. 易错提醒 判断比例关系错误，将正比例题列成反比例式子，或反之。 列比例式时，两个比的前后项对应不一致，单位不统一。 图形放大缩小时，搞错比的前后项，放大和缩小方向弄反。 解决复杂问题时，找不到不变的定量，无法判断比例关系。 常考易错 题型1：比的读法、写法及各部分的名称 【典例精讲1】5∶2＝5÷2＝2.5，5是这个比的( )，2是这个比的( )，2.5是这个比的( )。 常考易错 题型2：求比值 【典例精讲2】求比值。              常考易错 题型3：比与分数、除法的关系 【典例精讲3】3∶5＝＝18÷（    ）＝（    ）（填小数）。 常考易错 题型4：比的意义 【典例精讲4】从甲地到乙地，小王要50分钟，小李要60分钟，小王和小李所用时间的比是( )，小王和小李的速度比是( )。 常考易错 题型5 ：比的基本性质 【典例精讲5】2∶7的前项如果乘3，要想使比值不变，后项应该乘( )；如果前项乘4，要想使比值不变，后项应该增加( )。 常考易错 题型6 ：比的化简 【典例精讲6】将下面各比化简为最简整数比。 1∶0.625        0.81∶0.27    4.8∶16 常考易错 题型7 ：按比分配问题 【典例精讲7】王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3∶20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？ 常考易错 题型8 ：比的应用 【典例精讲8】育苗小学要举办第三届文化节，六（1）班需要做一面彩旗。彩旗的长与宽之比是3∶2，长是1.2米，这个彩旗的宽是多少米？面积是多少平方米？ 常考易错 题型9 ：百分数、分数、小数和比的互化 【典例精讲9】（填小数）。 常考易错 题型10 ：用画图法和转化法解决分数问题(比的应用） 【典例精讲10】水果店运进的桃比梨多150千克，且梨的质量是桃的，梨与桃的质量比是( )，梨比桃少了( )份是150千克，运进桃( )千克，梨和桃一共( )千克。 常考易错 题型11：比例的意义 【典例精讲11】3∶12的比值是( )，12∶48的比值是( )。因为这两个比的比值( )，所以这两个比( )（填“可以”或“不可以”）组成比例。 常考易错 题型12：比例的基本性质 【典例精讲12】9的所有因数有( )，其中( )既不是质数也不是合数，请你再配上一个数，把它们组成一个比例是( )。 常考易错 题型13：解比例 【典例精讲13】解方程或解比例。 ①＝x∶1.5     ②9∶0.2＝x∶ ③     ④ 常考易错 题型14：比例的应用 【典例精讲14】水池里立着两根木桩，它们露出水面部分的长度之比是，当水面下降30厘米后露出水面部分的长度之比变成了，求较短的一根木桩原来露出水面的部分是多少厘米？ 专项精练 1．已知3a＝5b（a，b都不为0），下面的比例中，（    ）不成立。 A．3∶5＝b∶a B．a∶b＝3∶5 C．5∶a＝3∶b D．b∶3＝a∶5 2．一杯糖水的含糖率是10%，喝掉后，糖与水的比是（    ）。 A．1∶5 B．1∶9 C．1∶10 D．1∶11 3．在8∶9中，后项增加18，要使比值不变，前项要（    ）。 A．加18 B．加16 C．乘3 D．乘2 4．从学校到电影院，鹏鹏用了8分钟，田田用了10分钟，鹏鹏和田田的速度比是（    ）。 A．4∶5 B．5∶4 C．4∶9 D．5∶9 5．张老师把一批书按2∶3∶4或按2∶4∶5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（    ）本。 A．90 B．99 C．110 D．120 6．地球与太阳的实际平均距离大约是1.5亿千米，海王星与太阳的实际平均距离大约是45亿千米。科学课上，小明要将它们的位置制作成模型，他将“地球”与“太阳”的距离设定为3厘米。那么按照这个比例，模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”（    ）厘米。 A．30 B．60 C．90 D．120 7．一个成年人的身高和脚长的比大约是。警察在探案过程中发现一名嫌疑人的鞋印（如图），那么嫌疑人的身高最有可能是（    ）cm。 A．185 B．175 C．165 D．155 8．“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶。“徵”的发音管比基本音阶“商”的发音管长，则“徵”和“商”的发音管长度比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．4∶3 D．3∶4 9．一般情况下，9~12岁儿童头部和身高的比例是1∶4。一名儿童的身高是136cm，他的头部长约( )厘米。 10．小明爷爷的年龄是72岁，小明是8岁，小明的年龄与爷爷年龄的最简单整数比是( )。 11．水果店25天卖出去苹果135千克，卖出去的总量与时间的最简整数比是( )，比值是( )。 12．学校需要配制一种浓度为30%的消毒液，在假期对各班进行全面消毒。现在准备了700g的水，还需要准备( )g的药粉才能配制成功。 13．两根同样长的铁条，一根按3∶4∶5的比锯成三段，另一根按7∶9∶11的比锯成三段，锯成的铁条有______________种不同的长度。 14．“和谐号”动车组、“复兴号”动车组和高速磁悬浮列车的速度比是5∶7∶12，如果高速磁悬浮列车每小时行驶600千米，那么“复兴号”动车组每小时行驶( )千米。 15．国家卫健委发布《体重管理指导原则（2024年版）》，妈妈按照食谱为妙妙准备了食物，其中蔬菜和水果的质量之比为，水果与牛奶的质量之比为，已知蔬菜比牛奶的质量多400克。妈妈准备了水果( )克。 16．一个平行四边形与一个三角形的底边长之比是1∶2，高的长度比也是1∶2。已知这个平行四边形的面积为36平方厘米，这个三角形的面积为( )平方厘米。 17．道德与法治课上，我们了解了未成年人相关的法律。《预防未成年人犯罪法》和《未成年人保护法》具体的条款比是17∶33，《未成年人保护法》共132条具体的条款，则《预防未成年人犯罪法》有( )条具体的条款。 18．正阳花生博览馆是一座花生造型的漂亮建筑，工程师是按建筑长度与花生长度的比设计建造的，当时工程师测量的花生长度为4.1cm，花生博览馆的长度是( )m。 19．化简比并求比值。                                             20．解方程或解比例。          21．弟弟弄丢了一些围棋棋子，现在黑、白两种颜色的棋子共46枚，其中黑棋子个数的等于白棋子个数的。现在有黑、白棋子各多少枚？ 22．一种饺子馅是由牛肉和葱花均匀混合后调制而成的。若按照牛肉和葱花的质量比调制饺子馅，奶奶用了2.4千克牛肉，用了多少千克葱花？（用比例解） 23．俗话说“旧物易主贵如宝”，在一次物物交换活动中，每4个玩具汽车可以换6本故事书，淘气拿来14个玩具汽车，可以换得多少本故事书？（用比例解） 24．在社区废品回收活动中，8号楼和9号楼共回收饮料瓶560个，8号楼回收瓶数的与9号楼瓶数的正好相等。8，9号楼各回收饮料瓶多少个？ 25．一般来说，动物的小腿骨（胫骨）与大腿骨（股骨）的长度比的比值越大，跑得越快。羚羊就是动物界的快跑能手，小腿骨与大腿骨长度的比一般是5∶4。一只羚羊小腿骨长25厘米，它的大腿骨长多少厘米？ 26．复兴号动车组是中国自主研发、具有完全知识产权的标准动车组，集成了多种现代高新技术，是中国科技创新的重大成果。从北京到郑州高铁线路全长约700千米，动车仅需2.1小时。照这样计算，北京到深圳的铁路全长约是2400千米，乘动车需几小时到达？（用比例解答） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $