第三单元 《数与运算的再认识》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年六年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《数与运算的再认识》单元复习讲义以“数的意义-性质互化-运算体系”为主线构建知识网络，通过分类梳理整数、小数、分数、百分数的意义与核心特征，用表格呈现运算定律与性质内在关联，结合易错提醒突出重难点，帮助学生形成完整的数与运算认知框架。 讲义亮点在于“典例+专项”的分层练习设计，如通过“小数性质改写”“分数意义辨析”等题型培养运算能力和推理意识，专项精练涵盖选择、填空、解决问题等多种形式，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化理解，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习提升。

第三单元 《数与运算的再认识》 典例易错讲义 知识点 1：数的意义与分类 1. 小学阶段数的完整体系 整数：包含正整数、0、负整数；其中正整数和 0 统称为自然数，最小的自然数是 0，没有最大的自然数。 小数：十进制分数的特殊表现形式，按小数部分位数分为有限小数和无限小数；无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数。 分数：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数；按分子分母的大小关系分为真分数（小于 1）、假分数（大于或等于 1），带分数是假分数的另一种书写形式。 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比；专门用于描述倍比关系，不能带单位名称。 2. 各类数的核心意义 整数：既可表示具体数量的多少（基数意义），也可表示次序与位置（序数意义）。 小数：依托十进制位值体系，精准表示不足 1 的数量，适配精确计量、统计等场景。 分数：具备双重意义，既可以表示具体的数量（带单位），也可以表示两个量之间的分率关系（不带单位），后者是分数应用的核心。 百分数：仅表示两个量的比例关系，统一以 1% 为单位，便于数据对比、描述占比与增长幅度。 3. 数轴上的数 所有数都可以用数轴上的点来表示，数轴上从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序；0 是正负数的分界点。借助数轴可以直观理解数的大小关系与数的连续性。 易错提醒 混淆分数的两种意义，无法区分带单位和不带单位的分数的不同含义。 误认为百分数是特殊的分数，忽略百分数不能表示具体数量、不能带单位的限定。 误以为无限小数都是循环小数，遗漏无限不循环小数的类别。 认为最小的整数是 0，忽略负整数的存在。 知识点 2：数的性质与互化 1. 核心性质梳理 小数的性质：小数的末尾添上 “0” 或去掉 “0”，小数的大小不变。 作用：化简小数、改写指定数位的小数，是小数竖式加减计算的重要依据。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 作用：通分、约分，是分数四则运算的核心逻辑基础。 性质的内在关联：小数的性质、分数的基本性质、商不变的规律、比的基本性质本质一致，都是 “同倍变化、大小不变” 的规律在不同运算场景的体现。 2. 数的互化方法 （1）分数与小数互化 分数化小数：用分子除以分母，除不尽时通常保留三位小数。 特殊规律：最简分数的分母只含有质因数 2 和 5，就能化成有限小数；含有其他质因数，则化成无限循环小数。 小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几…… 先写成分母是 10、100、1000…… 的分数，再约分成最简分数。 （2）分数与百分数互化 分数化百分数：先化成小数（除不尽保留三位小数），再把小数点向右移动两位，添上百分号。 百分数化分数：先写成分母是 100 的分数，再约分成最简分数。 （3）小数与百分数互化 小数化百分数：小数点向右移动两位，末尾添上百分号。 百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位。 3. 数的大小比较 通用策略：不同形式的数比较大小，通常统一化成小数（或同分母分数）后再比较，最终结果用原数书写。 分类方法： 整数：位数多的数更大；位数相同从高位到低位依次比较。 小数：先比较整数部分，整数部分大的数更大；整数部分相同，再依次比较十分位、百分位…… 分数：同分母分数比分子，分子大的分数大；同分子分数比分母，分母小的分数大；异分母分数先通分再比较。 易错提醒 混淆 “小数末尾” 和 “小数后面”，在小数中间添 0 或去 0，改变了数的大小。 分数化百分数除不尽时，忘记保留三位小数，导致结果偏差。 比较数的大小时，统一形式后忘记还原成原数书写答案。 误认为最简分数都能化成有限小数，忽略分母质因数的判断。 知识点 3：四则运算的意义与内在关系 1. 四则运算的核心意义 加法：把两个数合并成一个数的运算，本质是 “合并计数”。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，是加法的逆运算，本质是 “拆分、求剩余”。 乘法：求几个相同加数和的简便运算；拓展到小数、分数中，也表示求一个数的几倍、几分之几是多少。 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，是乘法的逆运算，包含 “平均分” 和 “包含除” 两类基础场景。 2. 四则运算的互逆关系 加减互逆：； 乘除互逆：； 核心作用：用于运算验算、推导运算公式、解方程。 3. 特殊数 “0” 和 “1” 的运算特性 关于 0： ；； ；（） 0 不能做除数、不能做分母、不能做比的后项。 关于 1： ；；（） 易错提醒 忽略 “0 不能做除数” 的限定，出现除数为 0 的错误逻辑。 对分数乘法的意义理解不透彻，混淆 “求几个几分之几的和” 和 “求一个数的几分之几” 的区别。 误认为减法、除法有交换律，随意交换减数、除数的位置，导致结果错误。 知识点 4：四则运算法则体系 1. 整数四则运算法则 加减法：相同数位对齐，从低位算起；加法满十进一，减法不够减时向前一位借一当十。 乘法：从低位到高位，分别用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数，得数的末位与对应数位对齐，再把几次乘得的积相加。 除法：从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；每次除得的余数必须比除数小。 2. 小数四则运算法则 加减法：小数点对齐（即相同数位对齐），按照整数加减法的法则计算，得数的小数点与横线上的小数点对齐。 乘法：先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；位数不够时，用 0 补足。 除法：除数是整数时，按整数除法计算，商的小数点与被除数对齐；除数是小数时，先根据商不变性质把除数化成整数，被除数同步移动相同位数，再按除数是整数的除法计算。 3. 分数四则运算法则 加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再按同分母分数加减法计算，结果要约成最简分数。 乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；能约分的先约分再计算，过程更简便。 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数；转化为乘法后，按分数乘法法则计算。 4. 分数、小数混合运算策略 乘除场景：分数与小数相乘除，优先将小数化成分数，便于约分简化计算。 加减场景：分数能化成有限小数时，可统一成小数计算；不能化成有限小数时，统一成分数计算。 核心原则：根据数据特点灵活选择转化形式，以计算简便、准确为标准。 易错提醒 小数加减法数位对错位，小数乘法竖式按小数点对齐，正确应为末尾对齐。 分数除法忘记转化为乘倒数，直接用分子分母分别相除。 异分母分数加减法，只把分子分母分别相加减，忽略通分步骤。 分数计算结果忘记约分成最简分数。 小数除法中，被除数位数不足时忘记补 0，或商的小数点位置对齐错误。 知识点 5：运算定律与简便计算 1. 运算定律与性质总览 所有运算定律与性质在整数、小数、分数运算中完全通用，是简便计算的核心依据。 类别 名称 字母表示 核心作用 加法 交换律 交换数字位置，凑整简化 加法 结合律 合并能凑整的数优先计算 减法 减法性质 连减合并、去括号变号简化 乘法 交换律 交换因数位置，凑整简化 乘法 结合律 优先计算能凑整的因数组合 乘法 分配律 展开 / 提取公因数，简化复杂计算 除法 除法性质 连除合并、去括号变号简化 2. 常用凑整组合 整数类：、 小数类：、、、 分数类：分母与整数能直接约分的组合，优先约分消去分母。 3. 常见简便计算题型 （1）凑整连算型 利用交换律、结合律，将能凑成整数、整十整百的数优先计算，适用于连加、连乘场景。 示例： （2）乘法分配律正向展开型 括号内是和或差，括号外有共同因数，分别相乘后再加减，避免括号内复杂通分或计算。 示例： （3）乘法分配律逆向提取型 多个乘法式子含有相同因数，将公因数提取出来，剩余部分合并计算，是最常用的简算题型。 示例： （4）数字拆分凑整型 将接近整十、整百的数拆成 “整数 ± 零头”，再用分配律计算；或把一个数拆成两个因数的积，用结合律凑整。 示例 1： 示例 2： （5）带符号搬家与去括号变号型 同级运算中，交换数字位置要带着前面的运算符号；括号前是减号 / 除号，去括号后括号内的运算符号要反向变化。 示例： 易错提醒 乘法分配律应用时漏乘括号内的项，只乘第一项忽略其余项。 括号前是减号 / 除号，去括号时忘记改变括号内的运算符号。 同级运算交换位置时不带符号搬家，导致计算结果错误。 为了凑整强行简算，违背四则混合运算的优先级。 知识点 6：四则混合运算顺序 1. 通用运算规则 整数、小数、分数的四则混合运算顺序完全统一： 同级运算（只有加减法，或只有乘除法）：从左到右依次计算。 两级运算（既有乘除法，又有加减法）：先算第二级运算（乘除法），后算第一级运算（加减法）。 含括号运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；括号内的运算同样遵循上述顺序。 2. 运算顺序的灵活处理 同级运算可根据简便计算需求，通过 “带符号搬家” 调整计算顺序，计算结果不变。 符合运算定律与性质的场景，可以改变运算顺序进行简便计算，不属于违规。 易错提醒 看到能凑整的数就优先计算，忽略运算优先级，例如 “” 错误先算加法。 有多层括号时，计算顺序混乱，遗漏括号内的运算步骤。 分数混合运算中，中途随意约分，混淆运算顺序。 知识点 7：估算与运算检验 1. 估算的意义与应用 意义：不需要精确结果时，快速估算出结果的大致范围，用于检验计算结果的合理性，或解决实际决策问题。 应用场景：购物预算、行程估算、计算结果验算等。 2. 常用估算方法 凑整法：把数看成接近的整十、整百、整千数，或接近的整数、简单分数，再进行计算，是最基础的估算方法。 进一法：估算最大值、准备材料 / 物品时使用，无论尾数多少都向上进一，保证数量充足。 去尾法：估算最小值、判断够不够时使用，直接舍去尾数，保守估算。 区间估算法：分别估出结果的上限和下限，确定结果的合理范围。 3. 运算的检验方法 逆运算检验：用加法验算减法，用乘法验算除法，反向验证结果是否正确。 估算检验：先估算结果的大致范围，再核对精确计算结果是否在合理区间内。 重算法：按运算顺序重新计算一遍，核对两次结果是否一致。 易错提醒 估算时随意调整数字，偏离原数过大，导致估算结果失去参考价值。 解决实际问题时，机械使用四舍五入估算，不结合场景选择进一法或去尾法。 常考易错 题型1：整数的数级与计数单位 【典例精讲1】78336000的最高位是( )位，千位上的数字6的因数有( )个；5150000改写成用万作单位的数是( )万。 常考易错 题型2：小数的数位与计数单位 【典例精讲2】4.98中的“8”表示( )，这个小数的计数单位是( )，它里面有( )个这样的计数单位。 常考易错 题型3：小数的性质 【典例精讲3】由7个一和2个十分之一组成的数是( )，不改变这个小数的大小，写成两位小数是( )。 常考易错 题型4：分数的基本性质 【典例精讲4】一个分数化成最简分数后是，把原分数的分子加上5后，分数值就等于1，原分数是( )。 专项精练 1．下面四个算式中的“3”和“2”可以直接相加减的是（    ）。 A．563＋246 B． C． D．5.36－1.2 2．下面说法正确的是（    ）。 A．0.535中最左边的5表示5个0.1，最右边的5表示5个0.01 B．只有两个锐角的三角形一定是直角三角形 C．小明所在小组的平均体重是35千克，则小明的体重一定是35千克 D．等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立 3．一个小数千位上是9，十位上是4，千分位上是8，其余各位上都是0，这个小数是（    ）。 A．9040.008 B．9040.80 C．9040.08 D．9040.0008 4．一个西瓜重0.32kg，横线上的数读作( )，这个数十分位上的3表示( )。 5．800.808最左边的“8”在( )位上，表示8个( )；最右边的“8”在( )位上，表示8个( )。中间的“8”是最右边的“8”的( )倍。 6．智能机器人参加半程马拉松比赛，全程21.0975千米。横线上的数读作( )，这个数的计数单位是( )，它是( )位小数，精确到十分位约是( )。 7．云梦山景区山势险峻、风光秀丽，是交口县知名的自然游览胜地，景区内一处观景台高17.26米。17.26这个数是由( )个十、( )个一、2个( )、6个( )组成的。 8．成都近年来致力于打造“推窗见绿，出门入园”的公园城市。截至2025年底，城市绿地面积已达到5.32万公顷，人均公园绿地面积11.98平方米/人。下方画“_______”小数中的“3”在( )位上，表示3个( )；下方画“﹏”小数再添( )个0.01就是12平方米/人。 9．一个最高位是百位的两位小数，百位上的数是最大的一位数，且是最低位上数的3倍。已知这个小数任意相邻的三个数位上的数之和都是16，那么这个小数是多少？ 10．聪聪画图来表示计算的道理，他说：“如果图中的一个〇表示计数单位‘一’，那么这幅图就可以表示3×2＝6。” 欢欢说：“这幅图也可以表示30×2＝60。” 乐乐说：“这幅图还可以表示0.3×2＝0.6。” (1)你同意欢欢和乐乐的说法吗？请说一说其中的道理。 (2)这幅图还可以表示哪个算式？请你写出一个算式。 11．下面各个数中，（    ）去掉“0”后，数的大小不变。 A．1.607 B．2.670 C．1.002 D．600 12．省运会后勤熬制解暑绿豆汤，张师傅说用了0.5千克绿豆，李师傅说用了0.50千克绿豆。关于这两个数，以下说法正确的是（    ）。 A．大小相同，计数单位也相同 B．大小相同，计数单位不同，0.5的计数单位是0.1，0.50的计数单位是0.01 C．大小不同，0.5千克比0.50千克少0.45千克 D．大小不同，计数单位相同 13．在20.52中，小数点左面的2和右面的2相差( )。如果不改变数的大小，把20.52改写成三位小数是( )。 14．在2.003、2.030、2.300中，“3”的计数单位最大的数是( )，与2.03相等的数是( )。 15．淘气去书城买书，看到下面两本书价格分别是15.08元和15.80元。淘气说：这两本书单价中的“0”去掉后，大小都不变。你认为他的想法对吗？请说明你的理由。 16．在古代，人们通过在绳子上打结记录数量，即“结绳记数”。如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数。这个孩子已经出生了（    ）天。 A．44 B．134 C．34 D．49 17．一个三位数a，在这个三位数的末尾添上数字6，变为一个四位数，这个四位数可表示为( )，若在这个三位数a的前面添上6，变成四位数可表示为( )。 18．微信支付极大便利了人们生活，芳芳帮爷爷设定了一个六位数的微信支付密码：十万位上是8，万位上是最小的奇数，千位上是最小的偶数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是1。这个支付密码是( )。 19．优优有一个密码箱，这个密码箱的密码是一个七位数。这个数在400万和500万之间，并且十万位上的数是3，百位上的数字比百万位上的数字小2，其余四个数位上的数字是3个“0”和1个“8”，而且读数时读两个0。你知道优优这个密码箱的密码是多少吗？ 20．小辰很想知道妈妈设置的手机密码，妈妈提供的密码信息为：密码是一个八位数，且在8000万到9000万之间，最高位上的数字是十万位上数字的4倍，百万位和千位上的数字都是十万位上数字的3倍，百位上的数字是最大的一位数，其余数位都是0，妈妈设置的手机密码是多少？（写出解答过程） 21．一杯纯牛奶，小明喝了杯后，加满水，又喝了半杯，这时他喝的纯牛奶是（    ）杯，水是（    ）杯。 A．； B．； C．； D．； 22．某书店在世界读书日当天举行“猜书名，赢购书券”活动，已知当天送出的满减券占八折券的，且，如果给和同时加上2，所得的分数化简后为，则当天送出的满减券占八折券的（    ）。 A． B． C． D． 23．。 24．一个分数，分子与分母的和是72，如果分子增加5，分母减少5，那么所得的新分数约分后是，原来这个分数是多少？ 25．五（1）班组织“预防溺水，珍爱生命”主题班会。这节主题班会40分钟，其中看防溺水警示片用了小时，讲解防溺水知识用了小时，剩下的时间畅谈感受，畅谈感受用了多长时间？ 26．清理一段河道，上午清理了千米，比下午多清理了千米。下午清理了多少千米？这一天一共清理了多少千米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 《数与运算的再认识》 典例易错讲义 知识点 1：数的意义与分类 1. 小学阶段数的完整体系 整数：包含正整数、0、负整数；其中正整数和 0 统称为自然数，最小的自然数是 0，没有最大的自然数。 小数：十进制分数的特殊表现形式，按小数部分位数分为有限小数和无限小数；无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数。 分数：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数；按分子分母的大小关系分为真分数（小于 1）、假分数（大于或等于 1），带分数是假分数的另一种书写形式。 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比；专门用于描述倍比关系，不能带单位名称。 2. 各类数的核心意义 整数：既可表示具体数量的多少（基数意义），也可表示次序与位置（序数意义）。 小数：依托十进制位值体系，精准表示不足 1 的数量，适配精确计量、统计等场景。 分数：具备双重意义，既可以表示具体的数量（带单位），也可以表示两个量之间的分率关系（不带单位），后者是分数应用的核心。 百分数：仅表示两个量的比例关系，统一以 1% 为单位，便于数据对比、描述占比与增长幅度。 3. 数轴上的数 所有数都可以用数轴上的点来表示，数轴上从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序；0 是正负数的分界点。借助数轴可以直观理解数的大小关系与数的连续性。 易错提醒 混淆分数的两种意义，无法区分带单位和不带单位的分数的不同含义。 误认为百分数是特殊的分数，忽略百分数不能表示具体数量、不能带单位的限定。 误以为无限小数都是循环小数，遗漏无限不循环小数的类别。 认为最小的整数是 0，忽略负整数的存在。 知识点 2：数的性质与互化 1. 核心性质梳理 小数的性质：小数的末尾添上 “0” 或去掉 “0”，小数的大小不变。 作用：化简小数、改写指定数位的小数，是小数竖式加减计算的重要依据。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 作用：通分、约分，是分数四则运算的核心逻辑基础。 性质的内在关联：小数的性质、分数的基本性质、商不变的规律、比的基本性质本质一致，都是 “同倍变化、大小不变” 的规律在不同运算场景的体现。 2. 数的互化方法 （1）分数与小数互化 分数化小数：用分子除以分母，除不尽时通常保留三位小数。 特殊规律：最简分数的分母只含有质因数 2 和 5，就能化成有限小数；含有其他质因数，则化成无限循环小数。 小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几…… 先写成分母是 10、100、1000…… 的分数，再约分成最简分数。 （2）分数与百分数互化 分数化百分数：先化成小数（除不尽保留三位小数），再把小数点向右移动两位，添上百分号。 百分数化分数：先写成分母是 100 的分数，再约分成最简分数。 （3）小数与百分数互化 小数化百分数：小数点向右移动两位，末尾添上百分号。 百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位。 3. 数的大小比较 通用策略：不同形式的数比较大小，通常统一化成小数（或同分母分数）后再比较，最终结果用原数书写。 分类方法： 整数：位数多的数更大；位数相同从高位到低位依次比较。 小数：先比较整数部分，整数部分大的数更大；整数部分相同，再依次比较十分位、百分位…… 分数：同分母分数比分子，分子大的分数大；同分子分数比分母，分母小的分数大；异分母分数先通分再比较。 易错提醒 混淆 “小数末尾” 和 “小数后面”，在小数中间添 0 或去 0，改变了数的大小。 分数化百分数除不尽时，忘记保留三位小数，导致结果偏差。 比较数的大小时，统一形式后忘记还原成原数书写答案。 误认为最简分数都能化成有限小数，忽略分母质因数的判断。 知识点 3：四则运算的意义与内在关系 1. 四则运算的核心意义 加法：把两个数合并成一个数的运算，本质是 “合并计数”。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，是加法的逆运算，本质是 “拆分、求剩余”。 乘法：求几个相同加数和的简便运算；拓展到小数、分数中，也表示求一个数的几倍、几分之几是多少。 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，是乘法的逆运算，包含 “平均分” 和 “包含除” 两类基础场景。 2. 四则运算的互逆关系 加减互逆：； 乘除互逆：； 核心作用：用于运算验算、推导运算公式、解方程。 3. 特殊数 “0” 和 “1” 的运算特性 关于 0： ；； ；（） 0 不能做除数、不能做分母、不能做比的后项。 关于 1： ；；（） 易错提醒 忽略 “0 不能做除数” 的限定，出现除数为 0 的错误逻辑。 对分数乘法的意义理解不透彻，混淆 “求几个几分之几的和” 和 “求一个数的几分之几” 的区别。 误认为减法、除法有交换律，随意交换减数、除数的位置，导致结果错误。 知识点 4：四则运算法则体系 1. 整数四则运算法则 加减法：相同数位对齐，从低位算起；加法满十进一，减法不够减时向前一位借一当十。 乘法：从低位到高位，分别用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数，得数的末位与对应数位对齐，再把几次乘得的积相加。 除法：从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；每次除得的余数必须比除数小。 2. 小数四则运算法则 加减法：小数点对齐（即相同数位对齐），按照整数加减法的法则计算，得数的小数点与横线上的小数点对齐。 乘法：先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；位数不够时，用 0 补足。 除法：除数是整数时，按整数除法计算，商的小数点与被除数对齐；除数是小数时，先根据商不变性质把除数化成整数，被除数同步移动相同位数，再按除数是整数的除法计算。 3. 分数四则运算法则 加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再按同分母分数加减法计算，结果要约成最简分数。 乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；能约分的先约分再计算，过程更简便。 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数；转化为乘法后，按分数乘法法则计算。 4. 分数、小数混合运算策略 乘除场景：分数与小数相乘除，优先将小数化成分数，便于约分简化计算。 加减场景：分数能化成有限小数时，可统一成小数计算；不能化成有限小数时，统一成分数计算。 核心原则：根据数据特点灵活选择转化形式，以计算简便、准确为标准。 易错提醒 小数加减法数位对错位，小数乘法竖式按小数点对齐，正确应为末尾对齐。 分数除法忘记转化为乘倒数，直接用分子分母分别相除。 异分母分数加减法，只把分子分母分别相加减，忽略通分步骤。 分数计算结果忘记约分成最简分数。 小数除法中，被除数位数不足时忘记补 0，或商的小数点位置对齐错误。 知识点 5：运算定律与简便计算 1. 运算定律与性质总览 所有运算定律与性质在整数、小数、分数运算中完全通用，是简便计算的核心依据。 类别 名称 字母表示 核心作用 加法 交换律 交换数字位置，凑整简化 加法 结合律 合并能凑整的数优先计算 减法 减法性质 连减合并、去括号变号简化 乘法 交换律 交换因数位置，凑整简化 乘法 结合律 优先计算能凑整的因数组合 乘法 分配律 展开 / 提取公因数，简化复杂计算 除法 除法性质 连除合并、去括号变号简化 2. 常用凑整组合 整数类：、 小数类：、、、 分数类：分母与整数能直接约分的组合，优先约分消去分母。 3. 常见简便计算题型 （1）凑整连算型 利用交换律、结合律，将能凑成整数、整十整百的数优先计算，适用于连加、连乘场景。 示例： （2）乘法分配律正向展开型 括号内是和或差，括号外有共同因数，分别相乘后再加减，避免括号内复杂通分或计算。 示例： （3）乘法分配律逆向提取型 多个乘法式子含有相同因数，将公因数提取出来，剩余部分合并计算，是最常用的简算题型。 示例： （4）数字拆分凑整型 将接近整十、整百的数拆成 “整数 ± 零头”，再用分配律计算；或把一个数拆成两个因数的积，用结合律凑整。 示例 1： 示例 2： （5）带符号搬家与去括号变号型 同级运算中，交换数字位置要带着前面的运算符号；括号前是减号 / 除号，去括号后括号内的运算符号要反向变化。 示例： 易错提醒 乘法分配律应用时漏乘括号内的项，只乘第一项忽略其余项。 括号前是减号 / 除号，去括号时忘记改变括号内的运算符号。 同级运算交换位置时不带符号搬家，导致计算结果错误。 为了凑整强行简算，违背四则混合运算的优先级。 知识点 6：四则混合运算顺序 1. 通用运算规则 整数、小数、分数的四则混合运算顺序完全统一： 同级运算（只有加减法，或只有乘除法）：从左到右依次计算。 两级运算（既有乘除法，又有加减法）：先算第二级运算（乘除法），后算第一级运算（加减法）。 含括号运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；括号内的运算同样遵循上述顺序。 2. 运算顺序的灵活处理 同级运算可根据简便计算需求，通过 “带符号搬家” 调整计算顺序，计算结果不变。 符合运算定律与性质的场景，可以改变运算顺序进行简便计算，不属于违规。 易错提醒 看到能凑整的数就优先计算，忽略运算优先级，例如 “” 错误先算加法。 有多层括号时，计算顺序混乱，遗漏括号内的运算步骤。 分数混合运算中，中途随意约分，混淆运算顺序。 知识点 7：估算与运算检验 1. 估算的意义与应用 意义：不需要精确结果时，快速估算出结果的大致范围，用于检验计算结果的合理性，或解决实际决策问题。 应用场景：购物预算、行程估算、计算结果验算等。 2. 常用估算方法 凑整法：把数看成接近的整十、整百、整千数，或接近的整数、简单分数，再进行计算，是最基础的估算方法。 进一法：估算最大值、准备材料 / 物品时使用，无论尾数多少都向上进一，保证数量充足。 去尾法：估算最小值、判断够不够时使用，直接舍去尾数，保守估算。 区间估算法：分别估出结果的上限和下限，确定结果的合理范围。 3. 运算的检验方法 逆运算检验：用加法验算减法，用乘法验算除法，反向验证结果是否正确。 估算检验：先估算结果的大致范围，再核对精确计算结果是否在合理区间内。 重算法：按运算顺序重新计算一遍，核对两次结果是否一致。 易错提醒 估算时随意调整数字，偏离原数过大，导致估算结果失去参考价值。 解决实际问题时，机械使用四舍五入估算，不结合场景选择进一法或去尾法。 常考易错 题型1：整数的数级与计数单位 【典例精讲1】78336000的最高位是( )位，千位上的数字6的因数有( )个；5150000改写成用万作单位的数是( )万。 【答案】 千万 【分析】最左边一位是最高位，这是一个八位数，最高位是千万位，整万数改写成以“万”为单位的数，也就是把万位后面的4个0去掉，再在数的后面写上单位“万”。 如果两个数相乘等于6，这两个数就都是6的因数，据此求出6的因数。 【详解】1×6＝6，2×3＝6；因此6的因数有：1，2，3，6；共4个。 78336000的最高位是千万位，千位上的数字6的因数有4个；5150000改写成用万作单位的数是515万。 常考易错 题型2：小数的数位与计数单位 【典例精讲2】4.98中的“8”表示( )，这个小数的计数单位是( )，它里面有( )个这样的计数单位。 【答案】 8个 /百分之一/ 【分析】小数部分从左到右的数位依次是十分位、百分位……4.98里的“8”在百分位上，百分位的计数单位是百分之一（也就是0.01），所以这个8就表示8个0.01。 两位小数的计数单位就是百分之一，也就是0.01。要算总共有多少个这样的计数单位，我们可以把4.98拆成498个0.01，所以它一共包含498个对应的计数单位。 【详解】4.98中的“8”表示8个0.01，这个小数的计数单位是0.01，它里面有498个这样的计数单位。 常考易错 题型3：小数的性质 【典例精讲3】由7个一和2个十分之一组成的数是( )，不改变这个小数的大小，写成两位小数是( )。 【答案】 7.2 7.20 【分析】因为7个一是7，2个十分之一（也就2个0.1）是0.2，将两部分合起来得到7.2。 再根据小数的性质，因为小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变，所以在得到的数的末尾补0，将其改写为两位小数。 【详解】由分析得： 由7个一和2个十分之一组成的数是7.2，不改变这个小数的大小，写成两位小数是7.20。 常考易错 题型4：分数的基本性质 【典例精讲4】一个分数化成最简分数后是，把原分数的分子加上5后，分数值就等于1，原分数是( )。 【答案】 【分析】一个分数化成最简分数后是，这说明原分数的分子和分母一定同时除以了同一个数，可以把这个“同时除以的数”用一个字母（比如a）来表示。所以原分数可以写成（a为正整数）。把原分数的分子加上5后，分数值就等于1，所以＝1，求出a的值，代入即可求出原分数。 【详解】＝1即＝，求出＝5，所以＝＝ 因此原分数是。 专项精练 1．下面四个算式中的“3”和“2”可以直接相加减的是（    ）。 A．563＋246 B． C． D．5.36－1.2 【答案】D 【分析】只有计数单位相同的两个数才可以直接相加减，据此判断各选项即可。 【详解】A．563中的3在个位，计数单位是1；246中的2在百位，计数单位是百，计数单位不同，不能直接相加，不符合题意； B．的计数单位是，的计数单位是，计数单位不同，不能直接相减，不符合题意； C．整数2的计数单位是1，中3的计数单位是，计数单位不同，不能直接相加，不符合题意； D．5.36中的3在十分位，计数单位是0.1；1.2中的2在十分位，计数单位是0.1，计数单位相同，可以直接相减，符合题意。 2．下面说法正确的是（    ）。 A．0.535中最左边的5表示5个0.1，最右边的5表示5个0.01 B．只有两个锐角的三角形一定是直角三角形 C．小明所在小组的平均体重是35千克，则小明的体重一定是35千克 D．等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立 【答案】D 【分析】不同数位的计数单位不同，所以分别判断两个5所在数位的计数单位，验证表述是否正确。 根据三角形按角分类的标准，因为三角形内角和为180°，如果只有两个锐角，那么第三个角可能是直角也可能是钝角，据此判断表述是否正确。 平均数是一组数据的平均水平，反映整体情况，所以个体数据不一定等于平均数，据此判断表述是否正确。 直接对照等式的基本性质，因为等式的性质明确规定了加减同一个数的情况，所以验证表述是否符合性质内容。 【详解】A．最右边的5在千分位，表示5个，说法错误。 B．只有两个锐角的三角形也可能是钝角三角形，说法错误。 C．平均体重是小组总体重除以总人数得到的数值，小明的体重不一定是千克，说法错误。 D．等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，符合等式的性质，说法正确。 3．一个小数千位上是9，十位上是4，千分位上是8，其余各位上都是0，这个小数是（    ）。 A．9040.008 B．9040.80 C．9040.08 D．9040.0008 【答案】A 【分析】小数的写法：整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，再顺次写出小数部分每一个数位上的数字。 【详解】一个小数千位上是9，十位上是4，千分位上是8，其余各位上都是0，这个小数是9040.008。 4．一个西瓜重0.32kg，横线上的数读作( )，这个数十分位上的3表示( )。 【答案】 零点三二 3个十分之一 【分析】读小数时，整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字；小数点后第一位是十分位，其计数单位是十分之一，数字是几就表示几个十分之一。 【详解】0.32读作零点三二，十分位上的3表示3个十分之一。 5．800.808最左边的“8”在( )位上，表示8个( )；最右边的“8”在( )位上，表示8个( )。中间的“8”是最右边的“8”的( )倍。 【答案】 百 百/100 千分 千分之一//0.001 【分析】小数由三部分组成分别是：整数部分、小数点和小数部分。小数点左边是整数部分，从右向左数位是个、十、百、千……对应的计数单位是个（一）、十、百、千……；小数点的右边是小数部分，从左向右的数位是十分位、百分位、千分位……计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001…… 每相邻两个计数单位之间的进率是10，小数点向右移动一位就相当于把原小数扩大到原来的10倍，向右移动两位就相当于把原小数扩大到原来的100倍，向右移动三位就相当于把原小数扩大到原来的1000倍……据此答题。 【详解】800.808最左边的“8”在百位上，计数单位是百，表示8个百（或100）； 800.808最右边的“8”在千分位上，计数单位是千分之一，表示8个千分之一（或或0.001）； 中间的“8”在十分位上，计数单位是十分之一，表示8个0.1，即0.8，最右边的“8”在千分位上，计数单位是千分之一，表示8个0.001，即0.008。0.008可以看作小数点向右移动两位得到0.8，即0.008扩大100倍得到0.8，所以0.8是0.008的100倍。 6．智能机器人参加半程马拉松比赛，全程21.0975千米。横线上的数读作( )，这个数的计数单位是( )，它是( )位小数，精确到十分位约是( )。 【答案】 二十一点零九七五 /万分之一/ 四 【分析】整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字。 小数部分的最低位是哪一位，它的计数单位就是那一位的计数单位。是四位小数，最低位是万分位，计数单位是。 小数点后面有几个数字，就是几位小数。 精确到十分位，即保留一位小数，要看百分位上的数字，利用“四舍五入”法取近似值。 【详解】的整数部分是，读作二十一；小数点读作点；小数部分是，依次读作零九七五。合起来读作：二十一点零九七五。 小数部分有四位，最低位是万分位，所以它的计数单位是（或万分之一）。 小数点后有0、9、7、5共个数字，所以它是四位小数。 精确到十分位，即保留一位小数。观察百分位上的数字是，，向前一位进一。十分位上的变成，所以约是。 7．云梦山景区山势险峻、风光秀丽，是交口县知名的自然游览胜地，景区内一处观景台高17.26米。17.26这个数是由( )个十、( )个一、2个( )、6个( )组成的。 【答案】 1 7 0.1//十分之一 0.01//百分之一 【分析】小数点后一位是十分位，计数单位是0.1；小数点后两位是百分位，计数单位是0.01；小数点后三位是千分位，计数单位是0.001。每相邻两个计数单位之间的进率是10。数位上是几，就表示几个该数位所对应的计数单位。 【详解】17.26这个数是由1个十、7个一、2个0.1、6个0.01组成。 8．成都近年来致力于打造“推窗见绿，出门入园”的公园城市。截至2025年底，城市绿地面积已达到5.32万公顷，人均公园绿地面积11.98平方米/人。下方画“_______”小数中的“3”在( )位上，表示3个( )；下方画“﹏”小数再添( )个0.01就是12平方米/人。 【答案】 十分 /十分之一/ 【分析】小数5.32的数位：小数点后第一位是十分位，这里的“3”就在十分位上，十分位的计数单位是0.1，所以它表示3个0.1。画波浪线的小数是11.98，12减去11.98等于0.02，0.02里包含2个0.01，所以再添2个0.01就得到12。 【详解】城市绿地面积已达到5.32万公顷，小数中的“3”在十分位上，表示3个0.1； 人均公园绿地面积11.98平方米/人，小数再添2个0.01就是12平方米/人。 9．一个最高位是百位的两位小数，百位上的数是最大的一位数，且是最低位上数的3倍。已知这个小数任意相邻的三个数位上的数之和都是16，那么这个小数是多少？ 【答案】934.93 【分析】首先根据“最高位是百位的两位小数”确定该数包含的数位；其次根据“最大的一位数”确定百位数字，再利用倍数关系求出最低位（百分位）数字；最后利用“任意相邻的三个数位上的数之和都是16”这一规律，通过对比相邻数位组的和，推导出十位、个位和十分位上的数字，从而组成这个小数。 【详解】确定数位顺序：因为这个数最高位是百位，且是两位小数，所以数位从高到低依次是：百位、十位、个位、十分位、百分位。其中最低位是百分位。 最大的一位数是，所以百位上的数是。已知百位上的数是最低位上数的倍，即百位上的数是百分位上数的倍。百分位上的数：； 根据“任意相邻的三个数位上的数之和都是16”可知：百位上的数＋十位上的数＋个位上的数＝；十位上的数＋个位上的数＋十分位上的数＝。对比以上两个关系式，十位和个位是公共部分，所以百位上的数等于十分位上的数。所以十分位上的数：； 同理可知：十位上的数＋个位上的数＋十分位上的数＝，个位上的数＋十分位上的数＋百分位上的数＝，对比可知，十位上的数等于百分位上的数。十位上的数：； 个位上的数：； 组成小数：百位是，十位是，个位是，十分位是，百分位是。这个小数是。 10．聪聪画图来表示计算的道理，他说：“如果图中的一个〇表示计数单位‘一’，那么这幅图就可以表示3×2＝6。” 欢欢说：“这幅图也可以表示30×2＝60。” 乐乐说：“这幅图还可以表示0.3×2＝0.6。” (1)你同意欢欢和乐乐的说法吗？请说一说其中的道理。 (2)这幅图还可以表示哪个算式？请你写出一个算式。 【答案】(1)同意欢欢和乐乐的说法。 一个〇表示计数单位“十”；3个〇表示30，2组这样的图形即表示30×2＝60； 一个〇表示计数单位“0.1”；3个〇表示0.3，2组这样的图形即表示0.3×2＝0.6。 (2)如果图中的一个〇表示计数单位“0.01”，那么3个〇表示0.03，还可以表示0.03×2＝0.06。 （答案不唯一） 【分析】（1）如果图中的一个〇表示计数单位“十”；算出每组表示多少，再乘2即可。 如果图中的一个〇表示计数单位“0.1”； 算出每组表示多少，再乘2即可。 （2）如果图中的一个〇表示计数单位“0.01”； 算出每组表示多少，再乘2即可。 【详解】（1）同意欢欢和乐乐的说法。 一个〇表示计数单位“十”；3个〇表示30，求2个30是多少，列式为30×2＝60。 一个〇表示计数单位“0.1”；3个〇表示0.3，求2个0.3是多少，列式为0.3×2＝0.6。 （2）0.03×2＝0.06（答案不唯一） 11．下面各个数中，（    ）去掉“0”后，数的大小不变。 A．1.607 B．2.670 C．1.002 D．600 【答案】B 【分析】依据小数的性质判断：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。 【详解】A．1.607的“0”在小数中间，去掉后为1.67，，大小改变； B．2.670的“0”在小数末尾，去掉后为2.67，，大小不变； C．1.002的“0”在小数中间，去掉后为1.2，，大小改变； D．600是整数，去掉“0”后为6，，大小改变。 12．省运会后勤熬制解暑绿豆汤，张师傅说用了0.5千克绿豆，李师傅说用了0.50千克绿豆。关于这两个数，以下说法正确的是（    ）。 A．大小相同，计数单位也相同 B．大小相同，计数单位不同，0.5的计数单位是0.1，0.50的计数单位是0.01 C．大小不同，0.5千克比0.50千克少0.45千克 D．大小不同，计数单位相同 【答案】B 【分析】利用小数的性质判断两数大小，再根据小数的位数确定计数单位即可。 【详解】0.5千克和0.50千克大小相同，因为在小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 但它们的计数单位不同： 0.5是一位小数，表示5个十分之一，其计数单位是0.1（十分之一）； 0.50是两位小数，表示50个百分之一，其计数单位是0.01（百分之一）； 所以大小相同，计数单位不同，逐一判断各项只有B正确。 13．在20.52中，小数点左面的2和右面的2相差( )。如果不改变数的大小，把20.52改写成三位小数是( )。 【答案】 19.98 20.520 【分析】小数包括整数部分，小数点，小数部分，整数部分从右边起往左数，第一位是个位，第二位是十位等等，计数单位是一，十等等；小数点从右边起，第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位等等，计数单位是0.1，0.01，0.001等等；根据小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 【详解】在20.52中：小数点左面的“2”在十位上，表示2个十，表示20；小数点右面的“2”在百分位上，百分位的计数单位是0.01，表示2个0.01，即0.02。 求两者的差：20－0.02＝19.98。 不改变数的大小，把20.52改写成三位小数，20.52是两位小数，要改写成三位小数，只需在末尾添1个0，得到20.520。 14．在2.003、2.030、2.300中，“3”的计数单位最大的数是( )，与2.03相等的数是( )。 【答案】 2.300 2.030 【分析】①小数点后面第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，其中十分位是最大的计数单位。据此找出各个数中“3”所在数个上的计数单位，再比较大小。 ②根据小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 【详解】①2.003中“3”在小数点后第三位，是在千分位，计数单位是0.001。 2.030中的“3”在小数点后第二位，是在百分位，计数单位是0.01。 2.300中“3”在小数点后第一位，是在十分位，计数单位是0.1。 比较计数单位的大小：0.1＞0.01＞0.001，所以2.300中“3”的计数单位（0.1）是最大的。 ②根据小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。三个数中，2.030和2.300可以去掉后面的“0”，2.03是一个两位小数。所以与2.03相等的数是2.030。 15．淘气去书城买书，看到下面两本书价格分别是15.08元和15.80元。淘气说：这两本书单价中的“0”去掉后，大小都不变。你认为他的想法对吗？请说明你的理由。 【答案】淘气的想法不对。理由：只有小数末尾的“0”去掉后，小数的大小才不变。15.08中的“0”不在小数末尾，去掉后数的大小会改变；15.80中的“0”在小数末尾，去掉后数的大小不变，因此不是两本书的单价去掉“0”后大小都不变。 【分析】依据小数的性质，小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。分别判断两个价格中的“0”是否在小数末尾，进而判断去掉“0”后大小是否改变，验证淘气的说法。 【详解】略 16．在古代，人们通过在绳子上打结记录数量，即“结绳记数”。如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数。这个孩子已经出生了（    ）天。 A．44 B．134 C．34 D．49 【答案】A 【分析】和十进制一样，“五进制”要弄清每个数位上表示的数是几。个位还是“一”，“十位”变为“五位”，“百位”变为“五五位”，每根绳子上的结数表示该数位上的数字。 从图中可以看出，第1根绳子（最右边）有4个结，表示4。第2根绳子有3个结，表示3个5。第3根绳子有1个结，表示1个25。孩子出生的总天数等于各数位上的数之和。 【详解】根据分析，这个孩子已经出生了4＋15＋25＝44（天）。 17．一个三位数a，在这个三位数的末尾添上数字6，变为一个四位数，这个四位数可表示为( )，若在这个三位数a的前面添上6，变成四位数可表示为( )。 【答案】 10a＋6 6000＋a 【分析】在一个整数末尾添上一个数字，相当于原数扩大到原来的10倍再加上这个数字；在一个整数前面添上一个数字，要根据这个数字所在的数位确定其数值，6在千位，也就是6000，再加上原数。 【详解】一个三位数a，在这个三位数的末尾添上数字6，变为一个四位数，这个四位数可表示为10a＋6，若在这个三位数a的前面添上6，变成四位数可表示为6000＋a。 18．微信支付极大便利了人们生活，芳芳帮爷爷设定了一个六位数的微信支付密码：十万位上是8，万位上是最小的奇数，千位上是最小的偶数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是1。这个支付密码是( )。 【答案】810421 【分析】这个密码万位上是最小的奇数，也就是1。最小的偶数是0，千位上是最小的偶数，也就是0。最小的合数是4，也就是百位上是4。最小的质数是2，即十位上是2。 【详解】十万位上是8。 最小的奇数是1，万位上是1。 最小的偶数是0，千位上是0。 最小的合数是4，百位上是4。 最小的质数是2，十位上是2。 个位上是1。 这个支付密码是810421。 19．优优有一个密码箱，这个密码箱的密码是一个七位数。这个数在400万和500万之间，并且十万位上的数是3，百位上的数字比百万位上的数字小2，其余四个数位上的数字是3个“0”和1个“8”，而且读数时读两个0。你知道优优这个密码箱的密码是多少吗？ 【答案】4300208 【分析】结合数位顺序表，从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是万位，第六位是十万位，第七位是百万位，根据已知条件逐步确定各数位数字，再依据整数读法筛选出符合读两个0的数，整数读法：先分级，从最高位读起，每级的读法按照个级的读法来读，每一级末尾的0都不读，其它数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。 【详解】密码在400万和500万之间，因此百万位上的数字是4；百位上的数字比百万位小2：4－2＝2，即百位数字是2；已知十万位数字是3，剩余的万位、千位、十位、个位由3个0和1个8组成，且读数时读两个0；由于十万位是3，万级的0只能在万位末尾，读数时不读，因此两个0都要在个级读出；个级中百位是2，要读两个0，需千位和十位为0，且个位不为0，因此个位是8，千位、十位是0，剩余的万位也为0，综上，这个七位数是4300208。 答：优优这个密码箱的新密码是4300208。 20．小辰很想知道妈妈设置的手机密码，妈妈提供的密码信息为：密码是一个八位数，且在8000万到9000万之间，最高位上的数字是十万位上数字的4倍，百万位和千位上的数字都是十万位上数字的3倍，百位上的数字是最大的一位数，其余数位都是0，妈妈设置的手机密码是多少？（写出解答过程） 【答案】86206900 【详解】密码是一个八位数，且最高位可能为8或9，因为最高位上的数字是十万位上数字的4倍，所以最高位千万位只能是8，且十万位上的数字是8÷4＝2；因为百万位和千位上的数字都是十万位上数字的3倍，所以百万位和千位上的数字是2×3＝6；因为百位上的数字是最大的一位数，所以百位上的数字是9；其余数位都是0，据此解答。 【点睛】根据分析：这个八位数是86206900。 答：妈妈设置的手机密码是86206900。 21．一杯纯牛奶，小明喝了杯后，加满水，又喝了半杯，这时他喝的纯牛奶是（    ）杯，水是（    ）杯。 A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】以整个杯子的容量为单位“1”，喝了杯后，然后加满水，又喝了半杯，第一次喝的杯是纯牛奶，还剩1－＝杯纯牛奶，加满水就是加了杯水，第二次喝的半杯里一半是水，一半是纯牛奶，第二次喝的牛奶是杯的一半，即杯，喝的水是杯的一半，即，再把两次喝的牛奶加起来即可。 【详解】第一次喝纯牛奶：杯 剩余纯牛奶：杯 加入的水量：杯 第二次喝的纯牛奶：杯 总共喝纯牛奶：杯 第二次喝的水：杯 即这时他喝的纯牛奶是（）杯，水是（）杯。 22．某书店在世界读书日当天举行“猜书名，赢购书券”活动，已知当天送出的满减券占八折券的，且，如果给和同时加上2，所得的分数化简后为，则当天送出的满减券占八折券的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出m和n同时加2后的总和，再除以化简后的分子和分母之和（5＋6）即可得到化简时分子和分母同时除以了几，再分别乘化简后的分子和分母即可得到加上2之后的分子和分母，最后给分子和分母同时减去2即可得到m和n的值，据此解答。 【详解】29＋2＋2＝33 33÷（5＋6） ＝33÷11 ＝3 5×3＝15 6×3＝18 15－2＝13 18－2＝16 当天送出的满减券占八折券的。 23．。 【答案】；；； 【分析】先把化成假分数，根据分数与除法之间的关系：被除数÷除数＝，将分数化成除法；根据分数的基本性质：分子分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变，分子由8乘3变成了24，分母也要乘3，得到15，用15减去10，算出分母加了几；分母由5变成25，乘了5，所以分子也要乘5，算出变化之后的分子。 【详解】＝＝8÷5； 8×3＝24，5×3＝15，15－10＝5，＝； 5×5＝25，8×5＝40，＝； 所以，＝8÷5＝＝。 24．一个分数，分子与分母的和是72，如果分子增加5，分母减少5，那么所得的新分数约分后是，原来这个分数是多少？ 【答案】 【分析】分子增加5、分母减少5时，分子与分母的和不变，先根据新分数的分子分母的比，用按比分配的方法求出新的分子和分母，再倒推得到原来的分数。 【详解】分子增加5，分母减少5，分子与分母的和仍为72。 1＋5＝6 新分子：72×＝12 新分母：72×＝60 原分子：12－5＝7 原分母：60＋5＝65 答：原来的分数是。 25．五（1）班组织“预防溺水，珍爱生命”主题班会。这节主题班会40分钟，其中看防溺水警示片用了小时，讲解防溺水知识用了小时，剩下的时间畅谈感受，畅谈感受用了多长时间？ 【答案】 小时 【分析】解题时先统一时间单位，将总时长40分钟换算为以小时为单位的分数，再用总时间依次减去两项活动的用时，即可得到畅谈感受的时间。 【详解】（小时） （小时） 答：畅谈感受用了小时。 26．清理一段河道，上午清理了千米，比下午多清理了千米。下午清理了多少千米？这一天一共清理了多少千米？ 【答案】千米；千米 【分析】上午清理了千米，比下午多清理了千米，用－求出下午清理了多少千米，然后再加上上午清理的即为一天共清理的千米数。 【详解】－＝（千米） ＋＝＝（千米） 答：下午清理了千米，这一天一共清理了千米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $