第六单元 《放大与缩小》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年六年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《放大与缩小》典例易错讲义通过知识框架图系统梳理单元内容，涵盖图形缩放意义、性质、作图及比例尺四大模块，用对比表格区分放大缩小比，思维导图呈现周长面积变化规律，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于“三步法作图指导”与分层练习设计，如“看-算-画”方格纸作图培养空间观念，典例精讲2中放大镜观察正方形面积题引导学生推理面积比为边长比平方，专项精练覆盖选择、计算、作图题型，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

第六单元 《放大与缩小》 典例易错讲义 知识点 1：图形放大与缩小的意义 1. 生活中的放大与缩小现象 放大现象：用放大镜观察文字、投影仪投放画面、显微镜观察细胞、照片放大冲印、建筑图纸放大施工等。 缩小现象：相机拍摄照片、绘制世界地图、制作建筑模型、卫星航拍画面、手机缩小查看图片等。 共同本质：物体的形状没有改变，只是整体的大小发生了变化。 2. 数学上的定义 把一个图形的各条边按一定的比进行对应放大或缩小，得到与原图形形状相同、大小不同的新图形，这种图形变换叫做图形的放大与缩小。 3. 放大比与缩小比的区分 图形缩放的比例中，前项表示变化后图形的对应边长，后项表示原图形的对应边长。 放大比：前项大于后项，比值大于 1。例如，表示变化后图形的边长是原图形的 2 倍，图形被放大。 缩小比：前项小于后项，比值小于 1。例如，表示变化后图形的边长是原图形的，图形被缩小。 快速判断：比值大于 1 是放大，比值小于 1 是缩小。 4. 核心变换特征 不变量：图形的形状不变，对应角的大小不变，对应线段的比例关系不变。 变化量：图形的大小改变，对应边的长度、周长、面积按固定规律变化。 易错提醒 混淆比的前后项，误将原图形边长作为前项，导致放大和缩小的判断完全颠倒。 误认为图形放大缩小时角度也会随之变大或变小，实际上角的大小始终不变，这是 “形状不变” 的核心原因。 认为只要图形整体变大就是数学意义上的放大，只有所有对应边按相同比例放大、形状完全不变，才是规范的图形放大。 知识点 2：图形放大与缩小的基本性质 1. 对应边成比例 放大或缩小后的图形，与原图形所有对应边的长度比完全相等，都等于指定的缩放比。 示例：原长方形长 4cm、宽 2cm，按放大后，长变为 8cm，宽变为 4cm，长和宽都扩大到原来的 2 倍，对应边的比均为。 2. 对应角大小相等 图形放大或缩小只改变边的长度，不改变角的度数，因此放大前后图形的形状完全一致。 示例：原直角三角形的一个锐角是 30°，按放大后，这个锐角仍然是 30°。 3. 周长与面积的变化规律 设图形按的比放大（），或按的比缩小（），存在以下规律： 周长变化：放大 / 缩小后图形的周长与原图形周长的比，等于对应边长的比（缩放比）。 即： 面积变化：放大 / 缩小后图形的面积与原图形面积的比，等于对应边长比的平方。 即： 典型示例：一个正方形按放大，周长扩大到原来的 3 倍，面积扩大到原来的 9 倍。 易错提醒 混淆周长比和面积比，误以为面积扩大的倍数与边长扩大的倍数相同，忽略 “平方” 的规律，是本单元最高频易错点。 计算不规则图形缩放后的面积时，错误地直接用原面积乘缩放比，正确应乘缩放比的平方。 反向推导时出错，例如已知面积扩大 4 倍，错误认为边长也扩大 4 倍，实际边长仅扩大 2 倍。 知识点 3：在方格纸上按比例画放大与缩小的图形 1. 通用作图三步法 ① 看：观察原图形，确定各条关键边的长度（占几格），重点关注直角边、底、高等决定图形形状的线段。 ② 算：根据指定的缩放比，计算出放大或缩小后对应边的长度。 ③ 画：按照计算出的边长，在方格纸上依次确定各顶点位置，连接成完整的新图形。 2. 常见平面图形的作图要点 长方形 / 正方形：先计算长和宽（边长）的格数，确定四个顶点后依次连线。 直角三角形：先计算两条直角边的长度，画出直角边确定两个锐角顶点，再连接斜边。 梯形：先确定上底、下底和高的长度，画出平行的上下底，再连接两条腰。 注意：斜边、腰等非水平、非竖直的边，不能直接数格计算长度，需通过确定端点位置来保证比例准确。 3. 作图检验标准 画完后对照两点检查：① 所有对应边的比是否都等于指定缩放比；② 对应角的大小是否与原图一致，图形形状是否改变。 典型示例 题目：方格纸中长方形长 6 格、宽 4 格，按缩小，画出缩小后的图形。 解： ① 计算缩小后的边长：长格，宽格； ② 在方格纸上画一个长 3 格、宽 2 格的长方形，即为所求。 易错提醒 只对图形的部分边按比例缩放，遗漏其他边，导致图形变形，例如只放大长方形的长，不放大宽。 画三角形、梯形时，只缩放底的长度，忘记同步缩放高，造成图形形状改变。 放大与缩小的方向搞反，题目要求放大却按缩小计算，或反之。 知识点 4：比例尺的意义与分类 1. 比例尺的定义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 核心公式：，也可写作 。 2. 核心说明 比例尺是一个比，不是测量工具，它不带单位名称。 计算比例尺时，图上距离和实际距离必须先统一单位，再化简成最简整数比。 为了直观使用，比例尺的前项或后项通常化简为 1。 3. 比例尺的分类 （1）按表现形式划分 数值比例尺：用数字形式表示的比例尺，例如，表示图上 1 厘米对应实际距离 5000 厘米。 线段比例尺：在图上用附有数字的线段标注，直观呈现图上距离与实际距离的对应关系。例如标注 “0 20 40 千米”，表示图上 1 厘米对应实际距离 20 千米。 （2）按缩放作用划分 缩小比例尺：前项为 1，图上距离小于实际距离，常用于地图、建筑平面图等宏观场景。例如。 放大比例尺：后项为 1，图上距离大于实际距离，常用于精密零件图纸、微观结构图等场景。例如。 4. 数值比例尺与线段比例尺的互化 线段比例尺转数值比例尺：先统一单位，再写成比的形式并化简。 示例：线段比例尺 “0 50km”，即图上 1cm 对应实际 50km，50km=5000000cm，因此数值比例尺为。 数值比例尺转线段比例尺：将实际距离的单位转化为常用单位（米或千米），画出对应长度的线段并标注数值。 易错提醒 计算比例尺时忘记统一单位，直接用不同单位的数值作比，导致结果错误。 误认为比例尺带单位，实际上比例尺是两个量的比，没有单位。 混淆放大比例尺和缩小比例尺，误以为所有比例尺都是前项为 1。 厘米与千米的单位换算出错，二者进率为 100000（1 千米 = 100000 厘米）。 知识点 5：比例尺的三类基本计算 1. 已知图上距离和实际距离，求比例尺 方法：统一单位后，写出 “图上距离：实际距离”，再化简为前项（或后项）是 1 的最简整数比。 典型示例：一张地图上，A、B 两地的图上距离是 3 厘米，实际距离是 150 千米，求这幅地图的比例尺。 解：150 千米 = 15000000 厘米 答：这幅地图的比例尺是。 2. 已知实际距离和比例尺，求图上距离 核心公式： 方法：先统一单位，再用乘法计算。 典型示例：学校到少年宫的实际距离是 600 米，画在比例尺的平面图上，应画多少厘米？ 解：600 米 = 60000 厘米 （厘米） 答：应画 3 厘米。 3. 已知图上距离和比例尺，求实际距离 核心公式： 方法：用除法计算后，再将单位换算为合适的长度单位。 典型示例：在比例尺的地图上，量得甲乙两地的图上距离是 5 厘米，两地实际距离是多少千米？ 解：（厘米） 20000000 厘米 = 200 千米 答：两地实际距离是 200 千米。 易错提醒 单位换算错误，尤其是厘米与千米的转换，多写或少写 0。 公式记混，求图上距离用除法、求实际距离用乘法，导致结果完全相反。 计算放大比例尺的实际距离时，搞错乘除关系；放大比例尺后项为 1，实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺。 知识点 6：比例尺的综合实际应用 1. 面积比例尺问题 核心规律：面积的比例尺等于长度比例尺的平方。 示例：比例尺的平面图上，1 平方厘米的图形对应的实际面积是 10000 平方厘米，即 1 平方米。 易错提示：不能直接用图上面积除以长度比例尺求实际面积，正确应除以比例尺的平方。 2. 行程问题结合比例尺 解题思路：先根据比例尺和图上距离求出实际路程，再结合 “路程 ÷ 速度 = 时间” 的关系计算。 典型示例：在比例尺的地图上，量得两地距离是 4 厘米，一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶，走完全程需要几小时？ 解：实际距离：厘米 = 120 千米 时间：（小时） 答：走完全程需要 2 小时。 3. 绘图设计类问题 解题思路：先测量或获取实际尺寸，根据图纸大小选择合适的比例尺，再计算图上尺寸，最后画出规范的平面图。 易错提醒 解决面积问题时，直接套用长度比例尺，忽略面积比是长度比的平方。 综合题中步骤混乱，忘记先求实际距离再进行后续计算。 选择比例尺时不合理，导致画出的图形过大或过小，不符合实际绘图需求。 常考易错 题型1：图形的放大与缩小 【典例精讲1】按要求画图并计算。 (1)以虚线为对称轴，画出轴对称图形①的另一半。 (2)画出将轴对称图形按1∶2的比缩小后的图形②。 (3)若每个小正方形的边长为1cm，计算轴对称图形的面积。 【答案】(1) (2) (3)20cm2 【分析】（1）找出图形①的顶点关于虚线的对称点，然后依次连接几个对称点。 （2）将图形的每个边都按1∶2缩小，然后用缩小后的边长根据原图的形状画出缩小后的图形。 （3）将轴对称图形分成左边的三角形和右边的正方形，数出三角形的底和高以及正方形的边长，分别求出面积再相加就是组合图形的面积。 【详解】（1）图略 （2）图略 （3）从图上数出三角形的底是4cm，高是2cm；正方形的边长是4cm。 4×2÷2＋4×4 ＝8÷2＋16 ＝4＋16 ＝20（cm2） 常考易错 题型2：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲2】用放大镜观察1厘米线段，看到的长度为2厘米。用这个放大镜在同一高度看一个面积是9平方厘米的正方形，看到的图形面积是( )平方厘米；同样条件下观察60°的角，看到的角为( )°。 【答案】 36 60 【分析】用放大镜看线段，长度放大到原来的2倍。看正方形，边长放大到2倍，面积放大到原来的2×2＝4（倍）。原面积9平方厘米，放大后面积＝9×4。角的大小与边的长短无关，放大镜不改变角的度数。 【详解】面积：9×4＝36（平方厘米）；角度：60°。 常考易错 题型3：比例尺的意义 【典例精讲3】在一幅地图上标有，把它写成数值比例尺是( )。如果在一幅地图上量得海口到三亚的距离是4.9厘米，那么海口到三亚的实际距离是( )千米。 【答案】 1∶5000000/ 245 【分析】地图上线段比例尺的含义是1厘米表示50千米，50千米＝5000000厘米，据此写成数值比例尺；实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可。 【详解】50千米＝5000000厘米 所以这个地图的数值比例尺是1∶5000000 （厘米） 24500000厘米＝245千米 所以把它写成数值比例尺是1∶5000000。如果在一幅地图上量得海口到三亚的距离是4.9厘米，那么海口到三亚的实际距离是245千米。 常考易错 题型4：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲4】根据北斗卫星地图（比例尺为1∶6000000）显示，“一带一路”沿线A、B两个经济合作区的图上距离是5厘米，A、B两区的实际距离是_____千米。一辆新能源物流车以每小时60千米的速度从A区开往B区，需__小时。 【答案】 【分析】（）因为比例尺图上距离实际距离，所以可根据已知的比例尺和图上距离，代入公式计算实际距离。 （）因为计算得到的实际距离单位是厘米，所以要按照长度单位换算关系，将其转换为千米单位。 （）因为路程、速度、时间满足公式：时间路程速度，所以将换算后的实际距离作为路程，代入车辆速度，即可计算行驶时间。 【详解】 （厘米） 千米厘米 厘米千米 （小时） 常考易错 题型5：比例尺应用 【典例精讲5】在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A，B两地距离是4.5厘米，一辆轿车和一辆货车同时从A地出发驶向B地，轿车的速度是90千米/时，货车的速度是75千米/时。当轿车到达B地时，货车距离B地还有多少千米？ 【答案】 30千米 【分析】先根据比例尺求出A、B两地的实际距离（实际距离＝图上距离÷比例尺）并换算单位（1千米＝100000厘米），再计算轿车从A地到B地的行驶时间（时间＝路程÷速度），接着算出这段时间货车行驶的路程（路程＝速度×时间），最后用总路程减去货车已行驶的路程得到剩余距离。 【详解】（厘米） 厘米千米 （时） （千米） （千米） 答：当轿车到达B地时，货车距离B地还有30千米。 常考易错 题型6：应用比例尺画图 【典例精讲6】小东家在超市正东方，距超市400米；小美家在小东家正南方，距小东家200米；小青家在超市正西方，距超市150米。用合适的比例尺，画出他们三家和超市的位置平面图。 【答案】见详解。 【分析】根据实际距离的数据，比例尺可取图上1厘米表示实际距离100米，根据实际距离、比例尺、图上距离的关系分别计算出他们的家和超市的图上距离，再根据地图上的方向辨别法，即“上北下南，左西右东”，以及它们之间的方向关系，即可在图上标出它们的位置。 【详解】 如图： 【点睛】本题考查应用比例尺画图以及方向的辨别，需要牢记比例尺公式先将距离算出来，再定位方向就可准确画出位置。 专项精练 1．郑州地铁1号线从河南工业大学——河南大学新区，线路全长40.5km，把它画在比例尺是1∶500000的图上，长（    ）cm。 A．810 B．81 C．8.1 D．0.81 【答案】C 【分析】由比例尺1∶500000可知，图上1cm表示实际500000cm，即5km，用线路实际长度除以图上1cm表示的实际距离即可得到对应的图上距离。 【详解】500000cm＝5km 40.5÷5＝8.1（cm） 把它画在比例尺是1∶500000的图上，长8.1cm。 2．游泳馆新建一个长方形游泳池，长75米，宽60米，选用比例尺（    ）画出的平面图最小。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】实际长度固定时，比例尺的数值越小，画出的平面图的图上长度越小，整体平面图就越小。 【详解】四个比例尺写成分数形式分别为、、、，分子相同的分数，分母越大分数越小，因此： 1∶1500是四个比例尺中数值最小的，画出的平面图最小。 3．一个精密仪器上的零件长度是5mm，画在图纸上的长度是3cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图上距离是3cm，实际距离是5mm，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”解答，注意单位统一。 【详解】3cm＝30mm 4．在呼伦贝尔大草原的生态保护规划中，工作人员用比例尺为1∶25000的地图，去标注莫尔格勒河沿岸两处生态监测点的位置，从地图上测得这两处监测点的距离是4cm，它们的实际距离大约是（    ）km。 A．1 B．10 C．100 D．100000 【答案】A 【分析】比例尺1∶25000的意思是，地图上1cm的长度，对应实际的25000cm。先据此计算两地的实际距离，再进行单位换算。 【详解】（cm） 5．明明将一个平行四边形按照1∶4的比画在一幅图上，测得其中的一个角的度数是40°，这个角在原来的平行四边形中的度数是（    ）。 A．10° B．40° C．140° D．160° 【答案】B 【分析】平行四边形的角的大小在图形放大或缩小时是不变的，据此解答即可。 【详解】图形按照一定的比进行放大或缩小，只是边的长度发生变化，角的度数是不会改变的。所以测得其中的一个角的度数是40°，这个角在原来的平行四边形中的度数也是40°。 6．把一个长5厘米，宽3厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．15 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】长方形按放大，即长和宽都扩大到原来的2倍，先求出放大后的长、宽，再用长方形面积公式计算即可。 【详解】（厘米） （厘米） （平方厘米） 7．一间乡村学校的操场是一个边长为50米的正方形，现在要把它按一定的比例画在作业本上，下面比例尺中最适宜的是（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 【答案】C 【分析】先将操场的实际边长换算为厘米单位，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算各选项对应的图上边长，结合作业本的常规尺寸判断最适宜的比例尺。 【详解】 A．（厘米），尺寸过大，不适宜画在作业本上； B．（厘米），尺寸过大，不适宜画在作业本上； C．（厘米），尺寸合适，适宜画在作业本上； D．（厘米），尺寸过小，不适宜画在作业本上。 8．春节快到了，丽丽回老家过年。已知地图的比例尺是1∶3600000，到老家的实际距离是90千米，在这幅地图上的距离是（    ）厘米。 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】已知地图的比例尺和到老家的实际距离，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出到老家的图上距离。 【详解】90千米＝9000000厘米 9000000×＝2.5（厘米） 9．“中国天眼”是目前全球最大的球面射电望远镜，它的球面口为圆，直径500米，是当今天文学研究的利器。我国科学家在1∶1000的设计图纸上画出球面口的直径是( )厘米。 【答案】50 【分析】已知设计图纸的比例尺和球面口的实际直径，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，以及进率“1米＝100厘米”，求出设计图纸上球面口的直径。 【详解】500×＝0.5（米） 0.5米＝50厘米 设计图纸上画出球面口的直径为50厘米。 10．在一幅地图上用2厘米表示实际距离120千米，这幅地图的比例尺是( )，量得甲、乙两地相距6厘米，甲、乙两地实际距离长( )千米。 【答案】 1∶6000000 360 【分析】（1）比例尺＝图上距离∶实际距离，需要统一单位才能计算比值，1千米＝100000厘米，依此先将实际距离120千米换算为厘米作单位的数值；用题干已知的图上2厘米比对应换算后的实际距离厘米数，计算并化简写出的比，将比化为前项是1的形式，得到地图比例尺； （2）已知甲、乙两地图上距离是6厘米，因为实际距离等于图上距离除以比例尺，所以代入数据计算后，将所得的结果单位换算为千米，得到甲乙两地实际距离。 【详解】120千米＝12000000厘米 2∶12000000 ＝（2÷2）∶（12000000÷2） ＝1∶6000000 1∶6000000＝ 6÷ ＝6×6000000 ＝36000000（厘米） 36000000厘米＝360千米 11．国产大飞机C－919，国之重器。在C－919的控制系统中有一个长5mm的精密机器零件，画在图纸上是25cm，这幅图的比例尺是( )。 【答案】50∶1 【分析】注意单位的换算，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可解答。 【详解】1cm＝10mm，25cm＝250mm。 250mm∶5mm ＝250∶5 ＝（250÷5）∶（5÷5） ＝50∶1 这幅图的比例尺是50∶1。 12．一个三角形的底是4厘米，高是3厘米。如果按4∶1的比例放大后，放大后三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】96 【分析】图形按4∶1放大，底和高都要扩大到原来的4倍，先求出放大后的底与高，再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数值即可解答。 【详解】放大后的底：4×4＝16（厘米） 放大后的高：3×4＝12（厘米） 放大后的面积：16×12÷2 ＝192÷2 ＝96（平方厘米） 13．在一幅精密零件图纸上，量得零件长48mm，而这个零件实际长度是0.08mm。这幅图纸的比例尺是( )。 【答案】600∶1 【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离，代入数据，再根据比的基本性质化简即可。 【详解】48∶0.08 ＝（48×100）∶（0.08×100） ＝4800∶8 ＝（4800÷8）∶（8÷8） ＝600∶1 因此，这幅图纸的比例尺是600∶1。 14．有一幅地图，用14厘米长的线段表示4900千米的实际距离，这幅地图的比例尺是( )。现在量得甲、乙两地的图上距离是3厘米，则甲、乙两地的实际距离是( )千米。 【答案】 【分析】第一空：比例尺＝图上距离∶实际距离。计算前需统一单位，将实际距离的单位千米换算成厘米。 第二空：根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，计算甲、乙两地的实际距离，最后将结果换算成千米。 【详解】4900千米＝490000000厘米 甲、乙两地的实际距离： （厘米） 105000000厘米＝1050千米 所以这幅地图的比例尺是，甲、乙两地的实际距离是1050千米。 15．一幅地图的比例尺是（每格长1cm），改写成数值比例尺是( )。在这幅地图上，实际距离是264km的两地的图上距离是( )cm。 【答案】 / 4.4// 【分析】通过图示可知图上厘米代表实际千米，用数值比例尺表示即为，根据图上距离实际距离比例尺计算图上距离。 【详解】图示可知图上厘米代表实际千米， 厘米∶千米 厘米厘米 千米厘米 （厘米） 所以一幅地图的比例尺是（每格长1cm），改写成数值比例尺是，实际距离是千米的两地的图上距离是厘米。 16．“细工出巧匠”，工匠精神是我国制造前行的源泉。某精细零件长2.5毫米，宽0.8毫米，为保证精确，画在图纸上长10厘米，这幅图纸的比例尺是( )。 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，比例尺等于图上距离与实际距离的比。题目中给出的图上距离和实际距离单位不统一，不能直接相比。解题思路是先图上距离的单位换算成与实际距离相同的单位（毫米），再写出图上距离与实际距离的比，最后化简为最简整数比。 【详解】厘米毫米 这幅图纸的比例尺是。 17．山西的平遥古城是中国历史文化名城之一，其城墙周长约为6000米，如果用1∶10000的比例尺画出平遥古城的平面图，那么在图上城墙的周长是( )厘米。 【答案】60 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，把数据代入计算即可。 【详解】6000×＝0.6（米） 0.6米＝60厘米 18．我国空间站“问天”实验舱主要攻关生命科学实验，它的实际长度为17.9米，工程师在设计图纸时将其长度绘制为17.9厘米，则这张图的比例尺为( )。 【答案】 【分析】确定比例尺＝图上距离∶实际距离，先需要统一图上距离和实际距离的单位，1米＝100厘米，需要将米换算为厘米（或者将厘米换算为米），保证两者单位一致；用统一单位后的图上距离比实际距离，根据比的基本性质化简比，得到最简整数比，即为所求比例尺。 【详解】（厘米） 则这张图的比例尺为。 19．把下面的三角形A按3∶1放大，得到三角形B，再将三角形B按1∶2缩小，得到三角形C。 【答案】 【分析】三角形A按3∶1放大，只要数出直角三角形A的两条直角边的格数，然后分别乘3就是三角形B的两条直角边的长度，即可画出三角形B；数出三角形B的两条直角边的格数，然后分别除以2就是三角形C的两条直角边的长度，即可画出三角形C。 【详解】三角形A的两条直角边分别是3格和2格，扩大后的三角形的两条直角边分别是3×3＝9个格、2×3＝6个格，据此画出这个三角形B； 三角形B的两条直角边分别是9个格、6个格，再分别除以2得到缩小后的三角形C的两条直角边分别是9÷2＝4.5个格，6÷2＝3个格，由此画出三角形C。 作图略。 20．动手画画。 (1)小旗子向左平移8格后的图形。 (2)小旗子按2∶1放大后的图形。 (3)小旗子绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】左移8格的图形画法： 先找出小旗子的所有关键点（O点、旗杆上下端点、三角形旗面的三个顶点），把每个点都向左数8格描出对应新点，再按原来小旗子的形状顺次连接这些新点，就得到平移后的小旗子。 2∶1放大的图形画法： 原来的旗杆长是2格，放大后变成4格；原来三角形旗面的两条直角边分别是3格、3格，放大后两条直角边都变成6格。先确定放大后图形各顶点的新位置，再连线画出旗面和旗杆，得到的新旗子大小是原旗子的2倍，形状和原旗子完全一样。 绕O点顺时针转90°的图形画法： 固定O点不动，先把原来的旗杆绕O点向右（顺时针）转90°，变成水平朝右的2格长线段，再把旗面的两个顶点按顺时针转90°的位置描出来，连出直角三角形旗面，得到旋转后的图形。 【详解】（1）作图略 （2）作图略 （3）作图略 21．风能作为一种清洁的可再生能源越来越受到世界各国的重视。张林在露营地看到一个风力发电架，她把一片叶子画了下来。（如图所示） (1)画出叶子先绕点O逆时针旋转90°后的图形，标记为图形①。 (2)画出图形①按照2∶1放大后的图形，标记为图形②。 (3)图形①与图形②的周长比是( ) ，面积比是( ) 。 【答案】(1) (2) (3) 1∶2 1∶4 【分析】（1）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转。旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。以点O是旋转中心，保持点O位置不变，将图形的四个顶点按逆时针方向旋转90°，得到旋转后的对应点。连接旋转后的四个对应点，还原长方形的形状，得到旋转后的图形。 （2）数出图形的长和宽所占的格数，按2∶1的比放大，即长和宽分别乘2，计算出放大后的长和宽的格数。根据放大后的长和宽，画出放大后的图形。 （3）因为图形②是图形①按2∶1放大得到的，先计算出图形①和图形②的周长和面积，再化简成最简整数比。 【详解】（1）略 （2）3×2＝6，1×2＝2，画出长6格，宽2格的长方形。 （3）图形①周长：（1＋3）×2＝4×2＝8 图形②周长：（2＋6）×2＝8×2＝16 图形①与图形②的周长比：8∶16＝1∶2； 图形①的面积：1×3＝3 图形②的面积：2×6＝12 图形①与图形②面积比：3∶12＝1∶4。 22．小敏从家出发步行到书店，然后扫一辆共享单车，骑车去公园游玩。书店周围建筑物如下图所示。 (1)小敏家到书店的实际距离是600米，这幅图的比例尺是( )。 (2)实验小学在书店( )偏( )( )方向约( )米处。 (3)公园在书店北偏东50°方向1200米处，在上图中标出公园的位置。 【答案】(1)1∶30000/ (2) 北 西 30° 1200 (3) 【分析】（1）用尺子量出图上小敏家到书店的线段长度是2厘米，已知实际距离是600米，先统一单位，再根据比例尺公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，计算即可。 （2）方向规则是“上北下南，左西右东”，图里实验小学和书店的连线，与正北方向的夹角是30°，据此判断。量出书店到实验小学的图上距离，根据比例尺计算实际距离即可。 （3）根据比例尺算出1200米对应的图上距离，再以书店为观测点，对准正北方向向东偏转50°，沿这个方向画出1200米对应的图上距离，端点就是公园的位置。 【详解】（1）600米＝60000厘米 2∶60000＝1∶30000 （2）实验小学在书店的北偏西方向30°（或西偏北60°） 量出书店到实验小学的图上距离是4厘米 4×30000＝120000（厘米）＝1200（米） （3）1200米＝120000厘米 120000÷30000＝4（厘米） 图略 23．量一量，填一填，画一画。 (1)笑笑家到学校的图上距离是( )cm，已知实际距离是500m，此图的比例尺为( )。 (2)学校到体育馆的图上距离是( )cm，实际距离是( )m。如果淘气每分走50m，那么他从学校到体育馆要走( )分。 (3)文化馆在学校的北偏东30°方向300m处。在图中标出它的位置。（用“△”表示，保留作图痕迹） 【答案】(1) 5 1∶10000 (2) 3 300 6 (3) 【分析】经实际测量，笑笑家到学校的图上距离是（测量允许存在误差），根据比例尺＝图上距离÷实际距离，即可求出此图的比例尺； 经实际测量，学校到体育馆的图上距离是（测量允许存在误差），根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求出实际距离；根据“时间＝路程÷速度”即可求解淘气从学校到体育馆要走的时间； 根据图示可知，以学校为观测点，文化馆在学校的北偏东方向，又因为图上代表实际，而文化馆与学校的实际距离是，据此即可求出文化馆与学校的图上距离，据此作图并用“△”表示即可。 【详解】（1）经实际测量，笑笑家到学校的图上距离是（测量允许存在误差）， 即此图的比例尺为。 （2）经实际测量，学校到体育馆的图上距离是（测量允许存在误差）； （） 即实际距离是。 （分钟） 即如果淘气每分走，那么他从学校到体育馆要走分。 （3） 24．汽车站开设了一条市内旅游专线。请根据相关信息填一填，画一画。 (1)旅游大巴车从汽车站出发，向( )行驶( )km到达科技馆。海洋馆在科技馆( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (2)旅游大巴车从海洋馆出发，向东偏北30°方向行驶20km，就到达了终点站植物园。请在图中画出植物园的位置。 (3)如果将这条旅游专线画在比例尺为1∶200000的地图上，植物园到海洋馆的图上距离是( )cm。 【答案】(1) 东 15 东 南 40 10 (2) (3)10 【分析】在地图上按照“上北下南，左西右东”确定方向，注意观测点的位置。根据图上距离和比例尺的关系确定实际距离；据实际距离与比例尺的关系确定图上距离，再根据方位关系即可确定植物园的位置；图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据计算。 【详解】（1）根据图中方向标（北）及线段比例尺（1段代表5km），汽车站到科技馆有3段，故行驶距离为3×5＝15（km），方向为东；海洋馆在科技馆东偏南40°方向或者南偏东50°方向，有2段，距离为2×5＝10（km）。 所以旅游大巴车从汽车站出发，向东行驶15km到达科技馆。海洋馆在科技馆东偏南40°方向上，距离是10km。 （2）先根据比例尺算出20km对应的图上距离：20÷5＝4（段）；再以海洋馆为观测点，向东偏北30°方向画4段长度的线段，端点即为植物园位置。 （3）因为20km＝2000000cm； 比例尺为1：200000， 图上距离为（cm）； 所以如果将这条旅游专线画在比例尺为1∶200000的地图上，植物园到海洋馆的图上距离是10cm。 25．在一幅比例尺是1∶4000000的地图上，量得南京、上海两城市之间的距离是6.5厘米。在另一幅标有比例尺1∶2500000的地图上，两城市之间的距离是多少厘米？ 【答案】10.4厘米 【分析】先用图上距离÷第一幅图的比例尺求出实际距离，再用实际距离×第二幅图的比例尺求出新的图上距离。 【详解】实际距离：6.5÷ ＝6.5×4000000 ＝26000000（厘米） 图上距离：26000000×＝10.4（厘米） 答：两城市之间的距离是10.4厘米。 26．“2025王者荣耀电竞派对音乐节暨第十一届全国大赛总决赛”于5月3日至4日在孝感奥体中心举办，王叔叔是参赛选手之一。他在比例尺为1∶2000000的地图上，量得居住地到孝感市之间的高速公路全长16cm。王叔叔行驶这段路程的平均车速是100千米/时，王叔叔要用几小时才能从家到达孝感？ 【答案】3.2小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，算出路程，再除以速度即可。 【详解】1632000000（厘米） 32000000厘米＝320千米 320÷100＝3.2（小时） 答：王叔叔要用3.2小时才能从家到达孝感。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 《放大与缩小》 典例易错讲义 知识点 1：图形放大与缩小的意义 1. 生活中的放大与缩小现象 放大现象：用放大镜观察文字、投影仪投放画面、显微镜观察细胞、照片放大冲印、建筑图纸放大施工等。 缩小现象：相机拍摄照片、绘制世界地图、制作建筑模型、卫星航拍画面、手机缩小查看图片等。 共同本质：物体的形状没有改变，只是整体的大小发生了变化。 2. 数学上的定义 把一个图形的各条边按一定的比进行对应放大或缩小，得到与原图形形状相同、大小不同的新图形，这种图形变换叫做图形的放大与缩小。 3. 放大比与缩小比的区分 图形缩放的比例中，前项表示变化后图形的对应边长，后项表示原图形的对应边长。 放大比：前项大于后项，比值大于 1。例如，表示变化后图形的边长是原图形的 2 倍，图形被放大。 缩小比：前项小于后项，比值小于 1。例如，表示变化后图形的边长是原图形的，图形被缩小。 快速判断：比值大于 1 是放大，比值小于 1 是缩小。 4. 核心变换特征 不变量：图形的形状不变，对应角的大小不变，对应线段的比例关系不变。 变化量：图形的大小改变，对应边的长度、周长、面积按固定规律变化。 易错提醒 混淆比的前后项，误将原图形边长作为前项，导致放大和缩小的判断完全颠倒。 误认为图形放大缩小时角度也会随之变大或变小，实际上角的大小始终不变，这是 “形状不变” 的核心原因。 认为只要图形整体变大就是数学意义上的放大，只有所有对应边按相同比例放大、形状完全不变，才是规范的图形放大。 知识点 2：图形放大与缩小的基本性质 1. 对应边成比例 放大或缩小后的图形，与原图形所有对应边的长度比完全相等，都等于指定的缩放比。 示例：原长方形长 4cm、宽 2cm，按放大后，长变为 8cm，宽变为 4cm，长和宽都扩大到原来的 2 倍，对应边的比均为。 2. 对应角大小相等 图形放大或缩小只改变边的长度，不改变角的度数，因此放大前后图形的形状完全一致。 示例：原直角三角形的一个锐角是 30°，按放大后，这个锐角仍然是 30°。 3. 周长与面积的变化规律 设图形按的比放大（），或按的比缩小（），存在以下规律： 周长变化：放大 / 缩小后图形的周长与原图形周长的比，等于对应边长的比（缩放比）。 即： 面积变化：放大 / 缩小后图形的面积与原图形面积的比，等于对应边长比的平方。 即： 典型示例：一个正方形按放大，周长扩大到原来的 3 倍，面积扩大到原来的 9 倍。 易错提醒 混淆周长比和面积比，误以为面积扩大的倍数与边长扩大的倍数相同，忽略 “平方” 的规律，是本单元最高频易错点。 计算不规则图形缩放后的面积时，错误地直接用原面积乘缩放比，正确应乘缩放比的平方。 反向推导时出错，例如已知面积扩大 4 倍，错误认为边长也扩大 4 倍，实际边长仅扩大 2 倍。 知识点 3：在方格纸上按比例画放大与缩小的图形 1. 通用作图三步法 ① 看：观察原图形，确定各条关键边的长度（占几格），重点关注直角边、底、高等决定图形形状的线段。 ② 算：根据指定的缩放比，计算出放大或缩小后对应边的长度。 ③ 画：按照计算出的边长，在方格纸上依次确定各顶点位置，连接成完整的新图形。 2. 常见平面图形的作图要点 长方形 / 正方形：先计算长和宽（边长）的格数，确定四个顶点后依次连线。 直角三角形：先计算两条直角边的长度，画出直角边确定两个锐角顶点，再连接斜边。 梯形：先确定上底、下底和高的长度，画出平行的上下底，再连接两条腰。 注意：斜边、腰等非水平、非竖直的边，不能直接数格计算长度，需通过确定端点位置来保证比例准确。 3. 作图检验标准 画完后对照两点检查：① 所有对应边的比是否都等于指定缩放比；② 对应角的大小是否与原图一致，图形形状是否改变。 典型示例 题目：方格纸中长方形长 6 格、宽 4 格，按缩小，画出缩小后的图形。 解： ① 计算缩小后的边长：长格，宽格； ② 在方格纸上画一个长 3 格、宽 2 格的长方形，即为所求。 易错提醒 只对图形的部分边按比例缩放，遗漏其他边，导致图形变形，例如只放大长方形的长，不放大宽。 画三角形、梯形时，只缩放底的长度，忘记同步缩放高，造成图形形状改变。 放大与缩小的方向搞反，题目要求放大却按缩小计算，或反之。 知识点 4：比例尺的意义与分类 1. 比例尺的定义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 核心公式：，也可写作 。 2. 核心说明 比例尺是一个比，不是测量工具，它不带单位名称。 计算比例尺时，图上距离和实际距离必须先统一单位，再化简成最简整数比。 为了直观使用，比例尺的前项或后项通常化简为 1。 3. 比例尺的分类 （1）按表现形式划分 数值比例尺：用数字形式表示的比例尺，例如，表示图上 1 厘米对应实际距离 5000 厘米。 线段比例尺：在图上用附有数字的线段标注，直观呈现图上距离与实际距离的对应关系。例如标注 “0 20 40 千米”，表示图上 1 厘米对应实际距离 20 千米。 （2）按缩放作用划分 缩小比例尺：前项为 1，图上距离小于实际距离，常用于地图、建筑平面图等宏观场景。例如。 放大比例尺：后项为 1，图上距离大于实际距离，常用于精密零件图纸、微观结构图等场景。例如。 4. 数值比例尺与线段比例尺的互化 线段比例尺转数值比例尺：先统一单位，再写成比的形式并化简。 示例：线段比例尺 “0 50km”，即图上 1cm 对应实际 50km，50km=5000000cm，因此数值比例尺为。 数值比例尺转线段比例尺：将实际距离的单位转化为常用单位（米或千米），画出对应长度的线段并标注数值。 易错提醒 计算比例尺时忘记统一单位，直接用不同单位的数值作比，导致结果错误。 误认为比例尺带单位，实际上比例尺是两个量的比，没有单位。 混淆放大比例尺和缩小比例尺，误以为所有比例尺都是前项为 1。 厘米与千米的单位换算出错，二者进率为 100000（1 千米 = 100000 厘米）。 知识点 5：比例尺的三类基本计算 1. 已知图上距离和实际距离，求比例尺 方法：统一单位后，写出 “图上距离：实际距离”，再化简为前项（或后项）是 1 的最简整数比。 典型示例：一张地图上，A、B 两地的图上距离是 3 厘米，实际距离是 150 千米，求这幅地图的比例尺。 解：150 千米 = 15000000 厘米 答：这幅地图的比例尺是。 2. 已知实际距离和比例尺，求图上距离 核心公式： 方法：先统一单位，再用乘法计算。 典型示例：学校到少年宫的实际距离是 600 米，画在比例尺的平面图上，应画多少厘米？ 解：600 米 = 60000 厘米 （厘米） 答：应画 3 厘米。 3. 已知图上距离和比例尺，求实际距离 核心公式： 方法：用除法计算后，再将单位换算为合适的长度单位。 典型示例：在比例尺的地图上，量得甲乙两地的图上距离是 5 厘米，两地实际距离是多少千米？ 解：（厘米） 20000000 厘米 = 200 千米 答：两地实际距离是 200 千米。 易错提醒 单位换算错误，尤其是厘米与千米的转换，多写或少写 0。 公式记混，求图上距离用除法、求实际距离用乘法，导致结果完全相反。 计算放大比例尺的实际距离时，搞错乘除关系；放大比例尺后项为 1，实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺。 知识点 6：比例尺的综合实际应用 1. 面积比例尺问题 核心规律：面积的比例尺等于长度比例尺的平方。 示例：比例尺的平面图上，1 平方厘米的图形对应的实际面积是 10000 平方厘米，即 1 平方米。 易错提示：不能直接用图上面积除以长度比例尺求实际面积，正确应除以比例尺的平方。 2. 行程问题结合比例尺 解题思路：先根据比例尺和图上距离求出实际路程，再结合 “路程 ÷ 速度 = 时间” 的关系计算。 典型示例：在比例尺的地图上，量得两地距离是 4 厘米，一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶，走完全程需要几小时？ 解：实际距离：厘米 = 120 千米 时间：（小时） 答：走完全程需要 2 小时。 3. 绘图设计类问题 解题思路：先测量或获取实际尺寸，根据图纸大小选择合适的比例尺，再计算图上尺寸，最后画出规范的平面图。 易错提醒 解决面积问题时，直接套用长度比例尺，忽略面积比是长度比的平方。 综合题中步骤混乱，忘记先求实际距离再进行后续计算。 选择比例尺时不合理，导致画出的图形过大或过小，不符合实际绘图需求。 常考易错 题型1：图形的放大与缩小 【典例精讲1】按要求画图并计算。 (1)以虚线为对称轴，画出轴对称图形①的另一半。 (2)画出将轴对称图形按1∶2的比缩小后的图形②。 (3)若每个小正方形的边长为1cm，计算轴对称图形的面积。 常考易错 题型2：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲2】用放大镜观察1厘米线段，看到的长度为2厘米。用这个放大镜在同一高度看一个面积是9平方厘米的正方形，看到的图形面积是( )平方厘米；同样条件下观察60°的角，看到的角为( )°。 常考易错 题型3：比例尺的意义 【典例精讲3】在一幅地图上标有，把它写成数值比例尺是( )。如果在一幅地图上量得海口到三亚的距离是4.9厘米，那么海口到三亚的实际距离是( )千米。 常考易错 题型4：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲4】根据北斗卫星地图（比例尺为1∶6000000）显示，“一带一路”沿线A、B两个经济合作区的图上距离是5厘米，A、B两区的实际距离是_____千米。一辆新能源物流车以每小时60千米的速度从A区开往B区，需__小时。 常考易错 题型5：比例尺应用 【典例精讲5】在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A，B两地距离是4.5厘米，一辆轿车和一辆货车同时从A地出发驶向B地，轿车的速度是90千米/时，货车的速度是75千米/时。当轿车到达B地时，货车距离B地还有多少千米？ 常考易错 题型6：应用比例尺画图 【典例精讲6】小东家在超市正东方，距超市400米；小美家在小东家正南方，距小东家200米；小青家在超市正西方，距超市150米。用合适的比例尺，画出他们三家和超市的位置平面图。 专项精练 1．郑州地铁1号线从河南工业大学——河南大学新区，线路全长40.5km，把它画在比例尺是1∶500000的图上，长（    ）cm。 A．810 B．81 C．8.1 D．0.81 2．游泳馆新建一个长方形游泳池，长75米，宽60米，选用比例尺（    ）画出的平面图最小。 A． B． C． D． 3．一个精密仪器上的零件长度是5mm，画在图纸上的长度是3cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 4．在呼伦贝尔大草原的生态保护规划中，工作人员用比例尺为1∶25000的地图，去标注莫尔格勒河沿岸两处生态监测点的位置，从地图上测得这两处监测点的距离是4cm，它们的实际距离大约是（    ）km。 A．1 B．10 C．100 D．100000 5．明明将一个平行四边形按照1∶4的比画在一幅图上，测得其中的一个角的度数是40°，这个角在原来的平行四边形中的度数是（    ）。 A．10° B．40° C．140° D．160° 6．把一个长5厘米，宽3厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．15 B．30 C．60 D．120 7．一间乡村学校的操场是一个边长为50米的正方形，现在要把它按一定的比例画在作业本上，下面比例尺中最适宜的是（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 8．春节快到了，丽丽回老家过年。已知地图的比例尺是1∶3600000，到老家的实际距离是90千米，在这幅地图上的距离是（    ）厘米。 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 9．“中国天眼”是目前全球最大的球面射电望远镜，它的球面口为圆，直径500米，是当今天文学研究的利器。我国科学家在1∶1000的设计图纸上画出球面口的直径是( )厘米。 10．在一幅地图上用2厘米表示实际距离120千米，这幅地图的比例尺是( )，量得甲、乙两地相距6厘米，甲、乙两地实际距离长( )千米。 11．国产大飞机C－919，国之重器。在C－919的控制系统中有一个长5mm的精密机器零件，画在图纸上是25cm，这幅图的比例尺是( )。 12．一个三角形的底是4厘米，高是3厘米。如果按4∶1的比例放大后，放大后三角形的面积是( )平方厘米。 13．在一幅精密零件图纸上，量得零件长48mm，而这个零件实际长度是0.08mm。这幅图纸的比例尺是( )。 14．有一幅地图，用14厘米长的线段表示4900千米的实际距离，这幅地图的比例尺是( )。现在量得甲、乙两地的图上距离是3厘米，则甲、乙两地的实际距离是( )千米。 15．一幅地图的比例尺是（每格长1cm），改写成数值比例尺是( )。在这幅地图上，实际距离是264km的两地的图上距离是( )cm。 16．“细工出巧匠”，工匠精神是我国制造前行的源泉。某精细零件长2.5毫米，宽0.8毫米，为保证精确，画在图纸上长10厘米，这幅图纸的比例尺是( )。 17．山西的平遥古城是中国历史文化名城之一，其城墙周长约为6000米，如果用1∶10000的比例尺画出平遥古城的平面图，那么在图上城墙的周长是( )厘米。 18．我国空间站“问天”实验舱主要攻关生命科学实验，它的实际长度为17.9米，工程师在设计图纸时将其长度绘制为17.9厘米，则这张图的比例尺为( )。 19．把下面的三角形A按3∶1放大，得到三角形B，再将三角形B按1∶2缩小，得到三角形C。 20．动手画画。 (1)小旗子向左平移8格后的图形。 (2)小旗子按2∶1放大后的图形。 (3)小旗子绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形。 21．风能作为一种清洁的可再生能源越来越受到世界各国的重视。张林在露营地看到一个风力发电架，她把一片叶子画了下来。（如图所示） (1)画出叶子先绕点O逆时针旋转90°后的图形，标记为图形①。 (2)画出图形①按照2∶1放大后的图形，标记为图形②。 (3)图形①与图形②的周长比是( ) ，面积比是( ) 。 22．小敏从家出发步行到书店，然后扫一辆共享单车，骑车去公园游玩。书店周围建筑物如下图所示。 (1)小敏家到书店的实际距离是600米，这幅图的比例尺是( )。 (2)实验小学在书店( )偏( )( )方向约( )米处。 (3)公园在书店北偏东50°方向1200米处，在上图中标出公园的位置。 23．量一量，填一填，画一画。 (1)笑笑家到学校的图上距离是( )cm，已知实际距离是500m，此图的比例尺为( )。 (2)学校到体育馆的图上距离是( )cm，实际距离是( )m。如果淘气每分走50m，那么他从学校到体育馆要走( )分。 (3)文化馆在学校的北偏东30°方向300m处。在图中标出它的位置。（用“△”表示，保留作图痕迹） 24．汽车站开设了一条市内旅游专线。请根据相关信息填一填，画一画。 (1)旅游大巴车从汽车站出发，向( )行驶( )km到达科技馆。海洋馆在科技馆( )偏( )( )°方向上，距离是( )km。 (2)旅游大巴车从海洋馆出发，向东偏北30°方向行驶20km，就到达了终点站植物园。请在图中画出植物园的位置。 (3)如果将这条旅游专线画在比例尺为1∶200000的地图上，植物园到海洋馆的图上距离是( )cm。 25．在一幅比例尺是1∶4000000的地图上，量得南京、上海两城市之间的距离是6.5厘米。在另一幅标有比例尺1∶2500000的地图上，两城市之间的距离是多少厘米？ 26．“2025王者荣耀电竞派对音乐节暨第十一届全国大赛总决赛”于5月3日至4日在孝感奥体中心举办，王叔叔是参赛选手之一。他在比例尺为1∶2000000的地图上，量得居住地到孝感市之间的高速公路全长16cm。王叔叔行驶这段路程的平均车速是100千米/时，王叔叔要用几小时才能从家到达孝感？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $