《神奇的黄金比》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年六年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《神奇的黄金比》典例易错讲义通过“概念-计算-文化-应用-拓展”的逻辑框架系统梳理知识，以核心概念为基础，结合典型示例和易错提醒呈现知识脉络，突出黄金比定义、计算方法与实际应用的内在联系。 讲义亮点在于生活化情境题型设计，如埃菲尔铁塔平台比例判断、人体黄金比例计算等，培养数学眼光和模型意识。通过分步计算示例和易错点提醒，帮助学生掌握运算方法，支持不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效参考。

《神奇的黄金比》 典例易错讲义 知识点 1：黄金比的核心概念 1. 黄金分割的定义 把一条线段分成两部分，使较短部分的长度与较长部分的长度之比，等于较长部分的长度与整条线段的总长度之比，这样的分割就叫做黄金分割，这个分割点叫做这条线段的黄金分割点。 用字母表示：设线段总长为，较长段长度为，较短段长度为，则满足关系： 2. 黄金比的比值 满足黄金分割关系的比值，就叫做黄金比，也叫黄金率、黄金比例。 近似值：小学阶段常用近似值 ，即较长段与总长的比约为 0.618。 准确值：，是一个无限不循环小数，小学阶段仅作了解。 补充：较长段与较短段的比值约为 1.618，也常被称作黄金比例的另一种表达。 3. 黄金分割点的特点 一条线段有两个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点，两个点到线段中点的距离相等。 4. 黄金矩形 宽与长的比值等于黄金比（约 0.618）的矩形，叫做黄金矩形。 黄金矩形的视觉效果最协调、最美观，是设计领域最常用的比例形态之一。 验证：在黄金矩形中截去一个最大的正方形，剩下的矩形仍然是黄金矩形。 易错提醒 混淆比例的对应关系：黄金比是 “较短段：较长段 = 较长段：总长 ≈ 0.618”，不能误记为较短段与总长的比是 0.618。 误以为黄金比只能是 0.618，它是一个近似值，实际应用中允许小范围的偏差。 混淆黄金矩形的宽长顺序：是宽：长≈0.618，而非长：宽≈0.618。 知识点 2：黄金比的基础计算 1. 已知线段总长，求两段长度 较长段长度 = 线段总长 × 0.618 较短段长度 = 线段总长 × (1 - 0.618) = 线段总长 × 0.382 验证：较长段 + 较短段 = 总长，且较短段：较长段 ≈ 0.618 典型示例：一条线段长 100 厘米，按黄金分割比例分割，较长段和较短段分别约长多少厘米？ 解： 较长段：（厘米） 较短段：（厘米） 答：较长段约 61.8 厘米，较短段约 38.2 厘米。 2. 已知较长段长度，求总长与较短段 线段总长 = 较长段长度 ÷ 0.618 较短段长度 = 较长段长度 × 0.618 3. 黄金矩形的边长计算 已知长，求宽：宽 = 长 × 0.618 已知宽，求长：长 = 宽 ÷ 0.618 典型示例：制作一张黄金矩形的海报，长为 50 厘米，宽大约设计为多少厘米视觉效果最好？ 解：（厘米） 答：宽大约设计为 30.9 厘米最合适。 易错提醒 计算时搞反乘除关系，已知总长求较长段用乘法，已知较长段求总长用除法。 小数计算出错，0.618 的乘法、除法计算出现数位偏差。 解决实际问题时，找不到对应 “总长”“较长段” 的实际量，量率不对应。 知识点 3：黄金比的数学文化与历史 1. 名称与地位 黄金比在西方被称为 “神圣比例”，因为它在数学、美学、自然中广泛存在，比例和谐优美，被认为是最具审美价值的比例，因此冠以 “黄金” 的称呼。 2. 数学史上的发现 早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就发现了黄金分割的比例规律，将其视为完美的数学比例。 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，首次系统记载了黄金分割的几何作图方法与性质，是黄金分割最早的正式数学文献。 中世纪后，黄金比广泛应用于建筑、绘画、雕塑领域，成为西方古典美学的核心标准之一。 3. 黄金比与斐波那契数列 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……（从第三项开始，每一项等于前两项之和） 规律：数列中相邻两个数的比值，随着项数增加会越来越接近黄金比 0.618。 联系：斐波那契螺旋也叫黄金螺旋，是黄金比在图形中的典型体现。 易错提醒 误以为黄金比是人为规定的比例，实际上它是客观存在的数学规律，广泛存在于自然与几何中。 混淆斐波那契数列与黄金比的关系，斐波那契数列是趋近黄金比，不是完全等于。 知识点 4：自然中的黄金比现象 1. 人体中的黄金比例 人体中存在多处黄金分割点，符合黄金比例的身材会给人视觉上的美感： 肚脐：是人体身高的黄金分割点，肚脐到脚底的长度与身高的比，约为 0.618。 咽喉：是头顶到肚脐的黄金分割点。 膝盖：是肚脐到脚底的黄金分割点。 补充：成年人的面部五官比例、手臂与躯干的比例，也普遍接近黄金比。 2. 植物中的黄金比 叶片排列：很多植物的叶片按黄金角度（约 137.5°）螺旋排列，能最大程度接收阳光，这个角度正是圆周的黄金分割比例。 花朵花瓣：很多花朵的花瓣数量符合斐波那契数列（3、5、8、13 瓣等），排列方式遵循黄金比例。 果实排列：向日葵花盘、松果的鳞片排列，都呈现黄金螺旋的形态，空间利用率最高。 3. 动物中的黄金比 海螺的外壳生长曲线是典型的黄金螺旋，身体比例符合黄金分割规律；很多动物的身体结构比例也趋近于黄金比。 易错提醒 认为所有自然事物都完全符合黄金比，实际上大多是 “接近” 黄金比，是自然演化的最优结果，不是绝对精确的 0.618。 误以为黄金比只存在于人类设计中，忽略了它是自然中普遍存在的数学规律。 知识点 5：建筑与艺术中的黄金比应用 1. 经典建筑中的应用 黄金比是古典建筑的核心美学标准，很多著名建筑都遵循黄金分割比例： 古希腊帕特农神庙：神庙的宽与高、立柱的间距与高度，都严格符合黄金比，整体视觉庄重和谐。 埃及金字塔：金字塔的底面边长与高度的比例接近黄金比，造型稳定优美。 巴黎圣母院：建筑的整体立面、门窗布局都运用了黄金分割比例。 上海东方明珠塔：塔身的球体位置设计在塔身的黄金分割点处，兼顾结构与美观。 2. 绘画与雕塑中的应用 达芬奇的《维特鲁威人》：完美呈现了人体的黄金分割比例，是艺术与数学结合的经典作品。 《蒙娜丽莎》：画面构图、人物的面部与身体比例，都融入了黄金矩形与黄金分割的设计。 古典雕塑作品：如《大卫》雕像，身体各部分的比例严格遵循黄金比，塑造出完美的人体美感。 3. 日常设计中的应用 物品设计：书本、报纸、名片、信用卡、手机屏幕的尺寸，大多接近黄金矩形，握持与视觉体验最佳。 摄影构图：摄影中的 “三分法构图” 本质是简化的黄金分割构图，将主体放在画面的黄金分割点处，视觉效果最舒适。 排版设计：海报、网页的版面布局，常使用黄金比例划分内容区域，提升视觉舒适度。 易错提醒 认为所有著名建筑都完全符合黄金比，部分建筑是近似符合，或局部运用黄金比例。 混淆三分法与黄金分割，三分法是黄金分割的简化易用版本，并非完全重合。 知识点 6：黄金比的拓展图形认识 1. 黄金三角形 定义：顶角为 36° 的等腰三角形，它的底边长与腰长的比值等于黄金比，这样的三角形叫做黄金三角形。 特点：黄金三角形的两个底角都是 72°；沿底角的角平分线分割，能得到一个新的小黄金三角形，可以无限分割下去。 2. 黄金螺旋（斐波那契螺旋） 画法：在黄金矩形中依次分割出最大的正方形，再在每个正方形中画出四分之一圆弧，将圆弧连接起来就形成黄金螺旋。 特点：螺旋线的扩张比例符合黄金比，形态自然优美，广泛存在于自然（海螺、星系）与设计中。 易错提醒 误以为所有等腰三角形都是黄金三角形，只有顶角 36° 的等腰三角形才符合黄金比特征。 将黄金螺旋等同于普通螺旋，忽略了其比例符合黄金分割的核心特征。 常考易错 题型1：黄金比及其应用 【典例精讲1】把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。法国的埃菲尔铁塔高300米，在距离地面57米、115米和276米处各有一个平台。请判断一下，哪个平台与塔身的比例大致符合“黄金比”，写出必要的计算过程。 专项精练 1．当一个长方形宽与长的比值是0.618时，被称为“黄金长方形”。下面三个长方形中，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．A B．B C．C 2．当作品的设计符合黄金比例时，会显得格外优美。已知符合黄金比例的“黄金矩形”的长×0.618＝宽，若某个“黄金矩形”的长是1.35米，则它的宽更接近（    ）米。 A．0.8 B．0.9 C．1 3．舞台造型中，当演员的“上身装饰长度”与“下身装饰长度”的比值约为0.62时，视觉效果更优美（即“舞台黄金比例”）。舞蹈队的笑笑，上身装饰长62厘米，下身服装长92厘米。为了达到“舞台黄金比例”，她应该选择（    ）款增高装饰鞋。 A．2cm B．8cm C．5cm 4．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中藏着黄金比。以肚脐为分割点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美，达不到的话可以用穿高跟鞋的方法来改善。妈妈的身高是165cm，下半身长100cm，她穿的高跟鞋高度为（    ）cm时，身材显得最美。 A．3 B．4 C．6 5．东方明珠广播电视塔是上海市十大新景观之一，截止到2019年，为亚洲第六高塔、世界第九高塔。它是一个极富有比例性、艺术性、和谐型的艺术品，设计师在约289.2米处设计了一个上体球，这个位置恰好在塔身的黄金比处，如图：东方明珠塔高约（    ）米。 A．468米 B．438米 C．486米 6．黄金比在生活中的应用广泛，宽与长的比接近黄金比的长方形称为最美长方形，小明做新年贺卡，下面长方形中最美的是（    ）。 A．宽18厘米，长30厘米 B．宽12厘米，长30厘米 C．宽16厘米，长24厘米 7．把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是（    ）时，给人的感觉是最美的，这个神奇的比被称为“黄金比”。例如，当芭蕾舞演员踮起脚来，下半身和身高的比非常接近黄金比，所以看起来特别的美。    A．0.618∶1 B．1∶0.618 C．6.18∶1 8．我们中国的国旗是长方形的，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比，则它们的比值是（    ）。 A． B．0.618 C．6.18 9．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美，若达不到可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是163cm，下半身长98cm，她穿的高跟鞋的最佳高度为( )cm。 10．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首60节的乐曲，转折点就设在第60×0.618≈37（节）处。一首80节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（结果保留整数） 11．当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 12．武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 13．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为( )厘米。（结果保留整数） 14．在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长( )米。 15．黄金分割是指将整体分成两部分，当较长部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉最美，这个比被称为“黄金比”。“黄金矩形”的宽与长的比为“黄金比”，已知一个“黄金矩形”的长是3厘米，它的宽是________厘米。 16．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 17．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为108cm，则其身高大约是_____cm。（得数保留整数） 18．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 19．人体美学中有一个广受认可的“黄金分割”比例，即以肚脐为界，上半身与下半身的长度比接近0.618∶1时，身材显得最为协调。现有一位身高165.1厘米的女士，测得上半身长度为65.1厘米。她打算购买一双高跟鞋来优化身材比例（计算时黄金比简化为0.62∶1）。她买哪一双比较合理？请写出你推荐的理由。 20．人的腰线是人的黄金分割线，当腰线到脚底的高度与整个身高的比越接近时，越给人以美的感觉。一位同志身高175厘米，腰线到脚底的高度是103厘米。为了更美，他需要穿多高的高跟鞋？从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选一个答案，并说说为什么这样选的理由。（在解答时，0.618取成0.6参与列式和计算） 21．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 22．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。以肚脐为分割点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最协调，达不到的话可以穿高跟鞋来弥补。妈妈的身高是163厘米，下半身长98厘米，妈妈穿的高跟鞋的最佳高度为多少厘米？ 23．人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，依据“黄金比”，妈妈买了一双6厘米的高跟鞋。这双高跟鞋的高度是偏高了还是偏低了？请通过列式计算说明。 24．当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 25．研究表明：当人的下半身长度与身高的比的比值越接近黄金比（约为0.62）时，越给人一种美感。一位身高170厘米的时装模特，她的下半身是103.5厘米，为了达到黄金比的美感效果，她需要穿上大约多高的高跟鞋？ 26．一般认为，如果一个人肚脐以上与肚脐以下的长度比符合黄金比0.618∶1，那么这个人的身材比较好。杨老师身高165cm，她的肚脐以上的部分长65cm，为了显得身材好，她应该穿鞋跟多高的鞋子？（得数保留整数） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《神奇的黄金比》 典例易错讲义 知识点 1：黄金比的核心概念 1. 黄金分割的定义 把一条线段分成两部分，使较短部分的长度与较长部分的长度之比，等于较长部分的长度与整条线段的总长度之比，这样的分割就叫做黄金分割，这个分割点叫做这条线段的黄金分割点。 用字母表示：设线段总长为，较长段长度为，较短段长度为，则满足关系： 2. 黄金比的比值 满足黄金分割关系的比值，就叫做黄金比，也叫黄金率、黄金比例。 近似值：小学阶段常用近似值 ，即较长段与总长的比约为 0.618。 准确值：，是一个无限不循环小数，小学阶段仅作了解。 补充：较长段与较短段的比值约为 1.618，也常被称作黄金比例的另一种表达。 3. 黄金分割点的特点 一条线段有两个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点，两个点到线段中点的距离相等。 4. 黄金矩形 宽与长的比值等于黄金比（约 0.618）的矩形，叫做黄金矩形。 黄金矩形的视觉效果最协调、最美观，是设计领域最常用的比例形态之一。 验证：在黄金矩形中截去一个最大的正方形，剩下的矩形仍然是黄金矩形。 易错提醒 混淆比例的对应关系：黄金比是 “较短段：较长段 = 较长段：总长 ≈ 0.618”，不能误记为较短段与总长的比是 0.618。 误以为黄金比只能是 0.618，它是一个近似值，实际应用中允许小范围的偏差。 混淆黄金矩形的宽长顺序：是宽：长≈0.618，而非长：宽≈0.618。 知识点 2：黄金比的基础计算 1. 已知线段总长，求两段长度 较长段长度 = 线段总长 × 0.618 较短段长度 = 线段总长 × (1 - 0.618) = 线段总长 × 0.382 验证：较长段 + 较短段 = 总长，且较短段：较长段 ≈ 0.618 典型示例：一条线段长 100 厘米，按黄金分割比例分割，较长段和较短段分别约长多少厘米？ 解： 较长段：（厘米） 较短段：（厘米） 答：较长段约 61.8 厘米，较短段约 38.2 厘米。 2. 已知较长段长度，求总长与较短段 线段总长 = 较长段长度 ÷ 0.618 较短段长度 = 较长段长度 × 0.618 3. 黄金矩形的边长计算 已知长，求宽：宽 = 长 × 0.618 已知宽，求长：长 = 宽 ÷ 0.618 典型示例：制作一张黄金矩形的海报，长为 50 厘米，宽大约设计为多少厘米视觉效果最好？ 解：（厘米） 答：宽大约设计为 30.9 厘米最合适。 易错提醒 计算时搞反乘除关系，已知总长求较长段用乘法，已知较长段求总长用除法。 小数计算出错，0.618 的乘法、除法计算出现数位偏差。 解决实际问题时，找不到对应 “总长”“较长段” 的实际量，量率不对应。 知识点 3：黄金比的数学文化与历史 1. 名称与地位 黄金比在西方被称为 “神圣比例”，因为它在数学、美学、自然中广泛存在，比例和谐优美，被认为是最具审美价值的比例，因此冠以 “黄金” 的称呼。 2. 数学史上的发现 早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就发现了黄金分割的比例规律，将其视为完美的数学比例。 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，首次系统记载了黄金分割的几何作图方法与性质，是黄金分割最早的正式数学文献。 中世纪后，黄金比广泛应用于建筑、绘画、雕塑领域，成为西方古典美学的核心标准之一。 3. 黄金比与斐波那契数列 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……（从第三项开始，每一项等于前两项之和） 规律：数列中相邻两个数的比值，随着项数增加会越来越接近黄金比 0.618。 联系：斐波那契螺旋也叫黄金螺旋，是黄金比在图形中的典型体现。 易错提醒 误以为黄金比是人为规定的比例，实际上它是客观存在的数学规律，广泛存在于自然与几何中。 混淆斐波那契数列与黄金比的关系，斐波那契数列是趋近黄金比，不是完全等于。 知识点 4：自然中的黄金比现象 1. 人体中的黄金比例 人体中存在多处黄金分割点，符合黄金比例的身材会给人视觉上的美感： 肚脐：是人体身高的黄金分割点，肚脐到脚底的长度与身高的比，约为 0.618。 咽喉：是头顶到肚脐的黄金分割点。 膝盖：是肚脐到脚底的黄金分割点。 补充：成年人的面部五官比例、手臂与躯干的比例，也普遍接近黄金比。 2. 植物中的黄金比 叶片排列：很多植物的叶片按黄金角度（约 137.5°）螺旋排列，能最大程度接收阳光，这个角度正是圆周的黄金分割比例。 花朵花瓣：很多花朵的花瓣数量符合斐波那契数列（3、5、8、13 瓣等），排列方式遵循黄金比例。 果实排列：向日葵花盘、松果的鳞片排列，都呈现黄金螺旋的形态，空间利用率最高。 3. 动物中的黄金比 海螺的外壳生长曲线是典型的黄金螺旋，身体比例符合黄金分割规律；很多动物的身体结构比例也趋近于黄金比。 易错提醒 认为所有自然事物都完全符合黄金比，实际上大多是 “接近” 黄金比，是自然演化的最优结果，不是绝对精确的 0.618。 误以为黄金比只存在于人类设计中，忽略了它是自然中普遍存在的数学规律。 知识点 5：建筑与艺术中的黄金比应用 1. 经典建筑中的应用 黄金比是古典建筑的核心美学标准，很多著名建筑都遵循黄金分割比例： 古希腊帕特农神庙：神庙的宽与高、立柱的间距与高度，都严格符合黄金比，整体视觉庄重和谐。 埃及金字塔：金字塔的底面边长与高度的比例接近黄金比，造型稳定优美。 巴黎圣母院：建筑的整体立面、门窗布局都运用了黄金分割比例。 上海东方明珠塔：塔身的球体位置设计在塔身的黄金分割点处，兼顾结构与美观。 2. 绘画与雕塑中的应用 达芬奇的《维特鲁威人》：完美呈现了人体的黄金分割比例，是艺术与数学结合的经典作品。 《蒙娜丽莎》：画面构图、人物的面部与身体比例，都融入了黄金矩形与黄金分割的设计。 古典雕塑作品：如《大卫》雕像，身体各部分的比例严格遵循黄金比，塑造出完美的人体美感。 3. 日常设计中的应用 物品设计：书本、报纸、名片、信用卡、手机屏幕的尺寸，大多接近黄金矩形，握持与视觉体验最佳。 摄影构图：摄影中的 “三分法构图” 本质是简化的黄金分割构图，将主体放在画面的黄金分割点处，视觉效果最舒适。 排版设计：海报、网页的版面布局，常使用黄金比例划分内容区域，提升视觉舒适度。 易错提醒 认为所有著名建筑都完全符合黄金比，部分建筑是近似符合，或局部运用黄金比例。 混淆三分法与黄金分割，三分法是黄金分割的简化易用版本，并非完全重合。 知识点 6：黄金比的拓展图形认识 1. 黄金三角形 定义：顶角为 36° 的等腰三角形，它的底边长与腰长的比值等于黄金比，这样的三角形叫做黄金三角形。 特点：黄金三角形的两个底角都是 72°；沿底角的角平分线分割，能得到一个新的小黄金三角形，可以无限分割下去。 2. 黄金螺旋（斐波那契螺旋） 画法：在黄金矩形中依次分割出最大的正方形，再在每个正方形中画出四分之一圆弧，将圆弧连接起来就形成黄金螺旋。 特点：螺旋线的扩张比例符合黄金比，形态自然优美，广泛存在于自然（海螺、星系）与设计中。 易错提醒 误以为所有等腰三角形都是黄金三角形，只有顶角 36° 的等腰三角形才符合黄金比特征。 将黄金螺旋等同于普通螺旋，忽略了其比例符合黄金分割的核心特征。 常考易错 题型1：黄金比及其应用 【典例精讲1】把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。法国的埃菲尔铁塔高300米，在距离地面57米、115米和276米处各有一个平台。请判断一下，哪个平台与塔身的比例大致符合“黄金比”，写出必要的计算过程。 【答案】115米；计算过程见详解 【分析】先计算不同平台处的比例。分别计算距离地面57米、115米和276米处平台与塔身的比例。比例等于平台距离地面高度与塔总高度的比值。再将这些比例与“黄金比”0.618∶1进行比较。看哪个比例最接近“黄金比”，据此解答。 【详解】（1）计算不同平台处的比例： 当平台距离地面57米时，比例为57÷300＝0.19 当平台距离地面115米时，比例为115÷300≈0.383 当平台距离地面276米时，比例为276÷300＝0.92 （2）与“黄金比”比较： “黄金比”为0.618：1，即0.618. 三个比例中，0.383与0.618相差较大；0.92与0.618相差也较小；而0.19与0.618相差最大，综上所述，115米处的平台与塔身的比例大致符合“黄金比”。 专项精练 1．当一个长方形宽与长的比值是0.618时，被称为“黄金长方形”。下面三个长方形中，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．A B．B C．C 【答案】B 【分析】用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。求出各长方形宽与长的比值，然后用减法求出它们与“黄金长方形”比值的差值，差值越小的，越接近“黄金长方形”。 【详解】A．长方形A的宽是2，长是4，所以宽与长的比值为2÷4＝0.5，0.618－0.5＝0.118； B．长方形B的宽是3，长是5，所以宽与长的比值为3÷5＝0.6，0.618－0.6＝0.018； C．长方形C的宽是4，长是6，所以宽与长的比值为4÷6≈0.667，0.667－0.618＝0.049； 因为0.018＜0.049＜0.118所以长方形B的比值最接近“黄金长方形”。 2．当作品的设计符合黄金比例时，会显得格外优美。已知符合黄金比例的“黄金矩形”的长×0.618＝宽，若某个“黄金矩形”的长是1.35米，则它的宽更接近（    ）米。 A．0.8 B．0.9 C．1 【答案】A 【分析】“黄金矩形”的宽＝长×0.618，把长代入公式求出宽，结果用“四舍五入”法保留一位小数。 【详解】1.35×0.618≈0.8（米） 它的宽更接近0.8米。 3．舞台造型中，当演员的“上身装饰长度”与“下身装饰长度”的比值约为0.62时，视觉效果更优美（即“舞台黄金比例”）。舞蹈队的笑笑，上身装饰长62厘米，下身服装长92厘米。为了达到“舞台黄金比例”，她应该选择（    ）款增高装饰鞋。 A．2cm B．8cm C．5cm 【答案】B 【分析】根据可知，上身装饰长度∶下身装饰长度＝0.62；则笑笑上身装饰长度∶下身装饰长度＝0.62，那么笑笑下身装饰长度＝笑笑上身装饰长度÷比值，求出达到“舞台黄金比例”时，笑笑下身装饰的长度，再减去笑笑下身装饰长度，即可求出她应该选择多少cm款增高装饰鞋。 【详解】62÷0.62－92 ＝100－92 ＝8（cm） 舞台造型中，当演员的“上身装饰长度”与“下身装饰长度”的比值约为0.62时，视觉效果更优美（即“舞台黄金比例”）。舞蹈队的笑笑，上身装饰长62厘米，下身装饰长92厘米。为了达到“舞台黄金比例”，她应该选择8cm款增高装饰鞋。 故答案为：B 4．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中藏着黄金比。以肚脐为分割点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美，达不到的话可以用穿高跟鞋的方法来改善。妈妈的身高是165cm，下半身长100cm，她穿的高跟鞋高度为（    ）cm时，身材显得最美。 A．3 B．4 C．6 【答案】B 【分析】分析题目，设妈妈穿厘米的高跟鞋身材最美，根据等量关系式：（妈妈的身高妈妈下半身的高度）（妈妈下半身的高度高跟鞋高度），列出比例方程，再进一步解出比例即可。 【详解】解：设妈妈穿厘米的高跟鞋身材最美。                                                                                                                                                                  即她穿的高跟鞋高度为4cm时，身材显得最美。 故答案为：B 5．东方明珠广播电视塔是上海市十大新景观之一，截止到2019年，为亚洲第六高塔、世界第九高塔。它是一个极富有比例性、艺术性、和谐型的艺术品，设计师在约289.2米处设计了一个上体球，这个位置恰好在塔身的黄金比处，如图：东方明珠塔高约（    ）米。 A．468米 B．438米 C．486米 【答案】A 【分析】黄金比为0.618∶1，设计师在约289.2米处设计了一个上体球，这个位置恰好在塔身的黄金比处，则用289.2∶塔身高度＝0.618∶1，根据比例的基本性质，塔身的高度×0.618＝289.2，即用上体球的高度289.2米除以0.618即可求出塔身的高度。 【详解】289.2÷0.618≈468（米），即东方明珠塔高约468米。 故答案为：A 6．黄金比在生活中的应用广泛，宽与长的比接近黄金比的长方形称为最美长方形，小明做新年贺卡，下面长方形中最美的是（    ）。 A．宽18厘米，长30厘米 B．宽12厘米，长30厘米 C．宽16厘米，长24厘米 【答案】A 【分析】黄金比的比值约等于0.618，因此宽与长的比值接近0.618的长方形被认为是最美长方形，两数相除又叫两个数的比，据此分别写出各选项宽与长的比，并分别求出各选项宽与长的比值即可，求比值直接用比的前项÷后项即可。 【详解】A．18∶30＝18÷30＝0.6； B．12∶30＝12÷30＝0.4； C．16∶24＝16÷24≈0.667。 最近接0.618的是0.6，最美的是宽18厘米，长30厘米。 故答案为：A 7．把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是（    ）时，给人的感觉是最美的，这个神奇的比被称为“黄金比”。例如，当芭蕾舞演员踮起脚来，下半身和身高的比非常接近黄金比，所以看起来特别的美。    A．0.618∶1 B．1∶0.618 C．6.18∶1 【答案】A 【分析】根据黄金分割：把一条线段分割为两个部分，较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，是0.618∶1，据此解题即可。 【详解】根据分析可知， 把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，这个神奇的比被称为“黄金比”。例如，当芭蕾舞演员踮起脚来，下半身和身高的比非常接近黄金比，所以看起来特别的美。 故答案为：A 【点睛】本题考查了“黄金比”的定义及应用。 8．我们中国的国旗是长方形的，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比，则它们的比值是（    ）。 A． B．0.618 C．6.18 【答案】B 【分析】把一个物体分成两部分，当较长部分与整体的比是0.618∶1时被称为“黄金比”。 【详解】黄金比是0.618∶1，黄金比的比值是0.618∶1＝ 0.618 故答案为：B 【点睛】了解“黄金比"的意义是解答本题的关键。 9．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美，若达不到可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是163cm，下半身长98cm，她穿的高跟鞋的最佳高度为( )cm。 【答案】6 【分析】穿高跟鞋时上半身长度不变，下半身长度增加。首先根据妈妈的身高和下半身长度求出上半身长度。然后根据最美的身材比例（上半身∶下半身＝5∶8），利用比例的基本性质求出穿高跟鞋后的下半身长度，最后减去原来的下半身长度即为高跟鞋的最佳高度。 【详解】解：设她穿的高跟鞋的最佳高度为。 上半身长度为：163－98＝65（cm） 65∶（98＋）＝5∶8 5（98＋）＝65×8 5×98＋5＝520 490＋5＝520 5＝520－490 5＝30 ＝30÷5 ＝6 她穿的高跟鞋的最佳高度为6cm。 10．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首60节的乐曲，转折点就设在第60×0.618≈37（节）处。一首80节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（结果保留整数） 【答案】49 【分析】已知黄金比约为0.618∶1，转折点＝节数×0.618，结果保留整数即可。 【详解】80×0.618≈49（节） 11．当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 【答案】6 【分析】设她应该选择xcm高的高跟鞋，根据“黄金分割比”，用妈妈上半身的身长∶（妈妈下半身的身长＋高跟鞋的高度）＝黄金分割比，列出方程解答即可。 【详解】解：设她应该选择xcm高的高跟鞋。 61.8∶（94＋x）＝0.618 61.8÷（94＋x）×（94＋x）＝0.618×（94＋x） 0.618×（94＋x）＝61.8 0.618×（94＋x）÷0.618＝61.8÷0.618 94＋x＝100 94＋x－94＝100－94 x＝6 12．武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 【答案】 8.09 【分析】根据题意，基座宽度与坐像高度的比是0.618∶1，即基座宽度除以坐像高度的商约为0.618。已知基座宽度为5米，求坐像高度，根据除法各部分间的关系，用基座宽度除以0.618即可。 【详解】0.618∶1 ＝0.618÷1 ＝0.618 5÷0.618≈8.09（米） 因此坐像高约为8.09米。 13．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为( )厘米。（结果保留整数） 【答案】111 【分析】根据题意，用身高180厘米乘0.618即可求出肚脐到脚跟的长度，再用“四舍五入”法把结果保留整数即可。 【详解】180×0.618≈111（厘米） 14．在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长( )米。 【答案】 5 【分析】宽与长的比是0.618∶1，将宽看作0.618份，长看作1份，用3.09除以0.618计算出每一份的长度，再用每一份的长度乘长的份数即可。 【详解】根据分析： 3.09÷0.618×1 ＝5×1 ＝5（米） 在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长5米。 15．黄金分割是指将整体分成两部分，当较长部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉最美，这个比被称为“黄金比”。“黄金矩形”的宽与长的比为“黄金比”，已知一个“黄金矩形”的长是3厘米，它的宽是________厘米。 【答案】1.854 【分析】根据题意：黄金矩形的宽与长的比为黄金比0.618∶1，已知长是3厘米，把黄金比理解为宽是长的0.618倍，因此直接用长3厘米乘0.618，即可求出宽的长度。 【详解】0.618×3＝1.854（厘米） 所以黄金矩形”的宽与长的比为“黄金比”，已知一个“黄金矩形”的长是3厘米，它的宽是1.854厘米。 16．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【答案】6 【分析】根据上身长与下身长的比约是8∶13，用王阿姨上身长约64厘米除以对应的8，可求得1份对应的实际量，再用1份对应的实际量乘13，可求得下身总长，再用其减去98厘米，即可求得她需要穿多少厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【详解】64÷8×13－98 ＝8×13－98 ＝104－98 ＝6（厘米） 所以她需要穿6厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 17．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为108cm，则其身高大约是_____cm。（得数保留整数） 【答案】175 【分析】肚脐至足底的长度为108cm，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1＝0.618÷1＝0.618，则用108cm乘黄金比的比值0.618，即可求出头顶至肚脐的长度，将头顶至肚脐的长度加上108cm即可求出其身高。 【详解】0.618∶1 ＝0.618÷1 ＝0.618 108×0.618＋108 ＝66.744＋108 ≈175（cm） 若某人满足黄金比，且肚脐至足底的长度为108cm，则其身高大约是175cm。 18．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 【答案】 AB AD 【分析】依据是“五角星中存在‘较短线段∶较长线段≈0.618’的黄金比例关系”。先看第一个空，题目给出“AC∶（ ）＝0.618”，观察图形可知，AC是较短线段，而AB是比AC更长的线段，符合“较短线段∶较长线段”的黄金比结构，因此第一个空应填AB；再看第二个空“（ ）∶AC＝0.618”，此时AC成为较长线段，AD是比AC更短的线段，满足“更短线段∶较长线段”的黄金比规律，所以第二个空应填AD。 【详解】观察图形，AB是较长的线段，AC是较短线段，根据黄金比“较短线段∶较长线段≈0.618”，所以 AC∶AB≈0.618，因此填AB。AD是比AC更短的线段，此时“更短线段∶较短线段≈0.618”，所以 AD∶AC≈0.618，因此填AD。 19．人体美学中有一个广受认可的“黄金分割”比例，即以肚脐为界，上半身与下半身的长度比接近0.618∶1时，身材显得最为协调。现有一位身高165.1厘米的女士，测得上半身长度为65.1厘米。她打算购买一双高跟鞋来优化身材比例（计算时黄金比简化为0.62∶1）。她买哪一双比较合理？请写出你推荐的理由。 【答案】5厘米 【分析】先用总身高减去上半身长度，求出原本的下半身长度；再用上半身长度除以简化后的黄金比0.62，求出符合比例的理想下半身长度；最后用理想下半身长度减去原本下半身长度，求出需要增加的长度，也就是合适的鞋跟高度。 【详解】165.1－65.1＝100（厘米） 65.1÷0.62＝105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：推荐购买5厘米高跟鞋，因为穿上后下半身长度达到105厘米，上半身与下半身比例接近黄金比0.62∶1。 20．人的腰线是人的黄金分割线，当腰线到脚底的高度与整个身高的比越接近时，越给人以美的感觉。一位同志身高175厘米，腰线到脚底的高度是103厘米。为了更美，他需要穿多高的高跟鞋？从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选一个答案，并说说为什么这样选的理由。（在解答时，0.618取成0.6参与列式和计算） 【答案】5厘米；穿上5厘米高跟鞋后，腰线到底高度与身高的比值正好是0.6，满足黄金分割的占比要求，所以选5厘米。（理由不唯一） 【分析】先求出腰线上方的高度为175－103＝72 厘米，这部分高度在黄金分割比中占整体身高的占比是1－0.6＝0.4。用这部分高度除以它对应的占比，求出满足黄金分割的理想身高，再用理想身高减去原身高，即可求出需要穿的高跟鞋高度。 【详解】（175－103）÷（1－0.6）－175 ＝72÷0.4－175 ＝180－175 ＝5（厘米） 答：他需要穿5厘米的高跟鞋，从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选择5厘米，理由略。 21．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】上半身与下半身的比大约是5∶8，也就是上半身长度占总身高的；用165减去100计算出上半身的长度65厘米；再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用65除以计算出上半身长度65厘米时的总身高应为169厘米；用169减去165即可计算高跟鞋的最佳高度。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4（厘米） 答：高跟鞋的最佳高度大约为4厘米。 22．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。以肚脐为分割点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最协调，达不到的话可以穿高跟鞋来弥补。妈妈的身高是163厘米，下半身长98厘米，妈妈穿的高跟鞋的最佳高度为多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，用妈妈的身高减去下半身的长度，就是妈妈上半身的长度。根据上半身与下半身的比是5∶8，可知下半身的长度是上半身长度的，根据求一个数的几分之几是多少，用上半身的长度乘求出黄金比的下半身长度。再减去妈妈原来的下半身长度，就是穿的高跟鞋的最佳高度。 【详解】（163－98）×－98 ＝65×－98 ＝104－98 ＝6（厘米） 答：妈妈穿的高跟鞋的最佳高度为6厘米。 23．人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，依据“黄金比”，妈妈买了一双6厘米的高跟鞋。这双高跟鞋的高度是偏高了还是偏低了？请通过列式计算说明。 【答案】偏高；上身与下身的比值0.596；0.596＜0.618。这双高跟鞋的高度偏高了。 【分析】已知妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，买了一双6厘米的高跟鞋，则穿高跟鞋后下半身长（98＋6）厘米。根据比值的意义，求出妈妈上半身与穿上高跟鞋的下半身长的比值，并与黄金比的比值进行比较，如果小于黄金比的比值，则这双高跟鞋的高度偏高；如果大于黄金比的比值，则这双高跟鞋的高度偏低。 【详解】0.618∶1＝0.618÷1＝0.618 穿高跟鞋后下半身长：98＋6＝104（厘米） 上身与下身的比值：62∶104＝62÷104≈0.596 0.596＜0.618 答：这双高跟鞋的高度偏高了。 24．当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 【答案】104厘米 【分析】臂展长是身高的，王阿姨臂展长160厘米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，用160除以即可得出王阿姨的身高；背带总长度与身高的比为0.618∶1，即背带长度是身高的0.618倍。则背带长度＝身高×0.618，用王阿姨的身高乘0.618计算后根据“四舍五入”法保留整数。 【详解】160÷×0.618 ＝160××0.618 ＝168×0.618 ≈104（厘米） 答：她把背带总长度调整到104厘米最舒服。 25．研究表明：当人的下半身长度与身高的比的比值越接近黄金比（约为0.62）时，越给人一种美感。一位身高170厘米的时装模特，她的下半身是103.5厘米，为了达到黄金比的美感效果，她需要穿上大约多高的高跟鞋？ 【答案】5厘米 【分析】由于为了达到黄金比的美感效果，人的下半身长度∶身高＝0.62，根据比的前项除以比的后项等于比值； 即可设她需要穿上大约厘米的高跟鞋，即用下半身的长度厘米除以她的身高等于0.62，由此即可列方程并解出她需要穿上大约多高的高跟鞋。 【详解】解：设她需要穿上大约厘米的高跟鞋 答：她需要穿上大约5厘米高的高跟鞋。 26．一般认为，如果一个人肚脐以上与肚脐以下的长度比符合黄金比0.618∶1，那么这个人的身材比较好。杨老师身高165cm，她的肚脐以上的部分长65cm，为了显得身材好，她应该穿鞋跟多高的鞋子？（得数保留整数） 【答案】5厘米 【分析】用杨老师的身高165厘米减去肚脐以上的部分长65厘米即可求出肚脐以下的长度； 用肚脐以上的部分长除以肚脐以上与肚脐以下的长度比0.618即可求出黄金比下的肚脐以下的长，与肚脐以下的长度作差即可求出鞋子的高度。 【详解】165－65＝100（厘米） 65÷0.618≈105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：她应该穿鞋跟5厘米高的鞋子。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $