专题 1.4 问题解决策略：反思（最短路径）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学最短路径问题，系统梳理最短路径公理、平面将军饮马模型、立体图形（圆柱、长方体表面）最短路径模型、问题解决策略及高频易错要点，构建从基础公理到平面转化、立体展开再到综合应用的递进学习支架。 资料以知识结构化梳理为基础，分层设计基础夯实与巩固提升题型，结合例题与变式题强化化折为直、化立体为平面的转化思想，如将军饮马模型的轴对称应用、圆柱侧面展开计算等，培养学生几何直观与空间观念，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升问题解决能力。

专题 1.4 问题解决策略：反思（最短路径）（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】最短路径公理 1 【知识点二】平面最短路径模型（将军饮马模型·教材核心） 2 【知识点三】立体图形最短路径模型（拔高必考） 2 【知识点四】问题解决反思总结（教材策略核心） 2 【知识点五】高频易错要点 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】平面将军饮马基础模型（直线同侧最短路径） 3 【题型 2】圆柱侧面最短路径（基础立体模型） 6 【题型 3】长方体表面最短路径（分类讨论拔高） 10 【题型 4】垂线段最短题型 14 三.题型精析（巩固提升） 17 【题型 5】最短路径综合（平面最值问题） 17 【题型 6】最短路径综合（立体最值问题） 23 四.同步检测 30 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 30 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 37 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 43 一.知识梳理与解读 【知识点一】最短路径公理 基本定理：两点之间，线段最短。 要点提示：所有最短路径问题，最终都回归该公理，折线、曲线长度一定大于线段长度，解题核心是化折为直、化曲为直。 【知识点二】平面最短路径模型（将军饮马模型·教材核心） 模型场景：直线l同侧有两个定点A、B，在直线l上找一点P，使 最小。 解题策略（轴对称转化）： 1. 作其中一个定点关于直线l的对称点； 2. 连接对称点与另一个定点，所得线段与直线l的交点即为所求点P； 3. 对称点连线的长度，即为 的最小值。 原理：轴对称性质→对应线段相等，，，两点之间线段最短。 要点提示：最小值计算必须依托直角三角形+勾股定理求解线段长度。 【知识点三】立体图形最短路径模型（拔高必考） 模型场景：圆柱、长方体、正方体表面爬行最短路径。 解题策略： 1. 化立体为平面：将几何体侧面、表面展开为平面长方形/正方形； 2. 连接两点得到线段，即为最短路径； 3. 利用勾股定理计算线段长度。 要点提示：长方体表面最短路径需要分类讨论，三种展开方式计算后取最小值，切勿直接默认一种展开方式。 【知识点四】问题解决反思总结（教材策略核心） 解决最短路径问题的完整思维流程： 1.审题判断：区分平面折线、立体曲面路径； 2.模型转化：平面用轴对称、立体用表面展开； 3. 构造图形：转化为直角三角形； 4. 计算验证：勾股定理求值，对比多解取最小。 【知识点五】高频易错要点 1. 同侧两点用轴对称，异侧两点直接连线即可； 2. 立体图形必须展开平面，立体图中斜线不是最短路径； 3. 长方体三种展开方式必须全部计算，对比得出最短距离； 4. 最短路径结果为正数，舍去不合理数值。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】平面将军饮马基础模型（直线同侧最短路径） 【例题1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）的面积是______； （3）在直线上作出点，使的值最小，则的最小值为______． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）3.5；（3）5 【分析】本题考查了图形的对称性，勾股定理的应用，两点之间线段最短的性质和作图方法，掌握轴对称的特点是解题关键． （1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置，连线即得答案； （2）用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可得到答案； （3）直接利用对称点，两点之间线段最短的求最短路线方法得出答案． 解：（1）略 （2）解：的面积是； （3）解：如图，连接，交直线m于点P，则点P即为所求． 此时， ∴的最小值为的长， ， 即的最小值为5． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短．连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形，再由勾股定理求解即可． 解：如图，连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）在直线上画出点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方． 【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析， 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，勾股定理： （1）根据轴对称图形的特点，找到A、B、C对应点的位置，然后连线即可； （2）连接交于点Q，此时的值最小，最小值即为线段的长，再利用勾股定理求解即可． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点Q，此时的值最小，最小值即为线段的长， 由网格的特点和勾股定理可得． 方法总结：对称转化→构造Rt△→勾股求值。 【题型 2】圆柱侧面最短路径（基础立体模型） 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）李老师设计了这样一道探究题：如图，有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的取值为3）． 【答案】15厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题关键．将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短和勾股定理求解即可得． 解：如图，将圆柱侧面展开，其中，，均等于底面圆的周长的一半，厘米，则为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程， ∴（厘米）， ∴在中，（厘米）， 答：沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米． 【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（    ）    A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接，可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度，利用勾股定理即可求得的长度． 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接．    根据轴对称图形的性质可知，， ∴． 根据题意可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度． 根据轴对称图形的性质可知，， ∴． ∴． 根据轴对称图形的性质可知，， ∴． ∴的最小值等于． 故选：． 【点拨】本题主要考查轴对称图形的性质和勾股定理，根据题目要求构建轴对称图形是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱体的侧面展开，利用勾股定理求出即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 解：如图，将圆柱体的侧面展开并连接，则为蚂蚁爬行的最短路径， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴最短的路线长是， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）（1）如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【答案】（1）  （2） 【分析】此题主要考查了平面展开图中最短路径问题，这是中考中热点问题，找出展开图的与原图形对应情况是解决问题的关键.首先画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理可求出最短路程的长. （1）解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是； （2）如图， ∵盒高，盒底周长为， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是 ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 【题型 3】长方体表面最短路径（分类讨论拔高） 【例题3】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）长方体共顶点的三条棱长如图所示，三只蚂蚁同时从点A出发，同速沿长方体表面爬行去点M处觅食，蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为、、，若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径，通过计算说明哪只蚂蚁最先到达，哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】蚂蚁甲最先到达，蚂蚁丙最后到达 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 解：蚂蚁甲需要爬行的最短距离为： ， 蚂蚁乙需要爬行的最短距离为： ， 蚂蚁丙需要爬行的最短距离为： ， ∵，且三只蚂蚁同时从点A出发，速度相同， ∴蚂蚁甲最先到达，蚂蚁丙最后到达． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 解：根据题意得，， ∵点N是的中点， ∴， 如图1中，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图2中，，， ∴， ∴一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为， 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的是一个供滑板爱好者使用的U型池．该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点A滑行到点E，则他滑行的最短距离约是多少米（边缘部分的厚度可以忽略不计，取整数3）？ 【答案】他滑行的最短距离约是 【分析】本题考查了立体图形的展开与勾股定理的应用，解题的关键是将U型池的曲面展开为平面图形，把求曲面最短距离转化为求平面上两点间的直线距离．​ 将可供滑行的半圆截面展开为矩形，确定展开后相关线段的长度，其中的长度为半圆的弧长的长度为与的差值；在展开后形成的直角三角形中，利用勾股定理计算的长度，即滑行的最短距离． 解：可供滑行部分展开图如图所示． 由题意，得． 在中，， 即． 故他滑行的最短距离约是． 核心技巧：三边拼接后，最大两边拼接、搭配最小边，路径最短。 【题型 4】垂线段最短题型 【例题4】（2024七年级·广东深圳·竞赛）如图，在中，，，是边上一点，，，是上一动点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 作点B关于的对称点D，连接．证明，推出，由是等腰直角三角形，得到，由轴对称可得，从而得到是直角三角形，利用勾股定理求出即可． 解：如图，作点B关于的对称点D，连接，． ， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴由轴对称可得， ∴， ∵在中，，， ， ， 的最小值为． 【变式1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果． 解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H， 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ， ， ∴ 解得， ， 的最小值为． 故选：D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意可知，当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，先求出，根据等面积法求，即可解答． 解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，P是线段上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，利用三角形的面积公式计算即可得． 解：∵在中，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴，即， 解得， 答：的最小值为． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】最短路径综合（平面最值问题） 【例题5】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】（1）①点P即为所求作； ②5；（2）；（3） 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 解：（1）解：①略 ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，作交于点D，连接，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 解：作点A关于的对称点，作，交于点D，连接，如图： 则， ， 即最小值即为的长， ， ， ， 即最小值为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为__________； （2）的最小值为__________.    【答案】 【分析】（）根据垂线段最短即可求出的最小值； （）作点A关于的对称点E，连接，交于点M，此时，最小，求出即可． 解：（）当时，最小，此时， ∵， ∴， 则， ∴； 故答案为：    （）作点A关于的对称点E，连接，交于点M，此时，最小，由（1）得，即， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：．    【点拨】本题考查了轴对称和最短路径，解题关键是明确垂线段最短和利用轴对称确定最短路径，能够熟练运用勾股定理求出线段长． 【变式3】（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若E是边上的动点，求线段的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）9.6 【分析】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可． （2）根据垂线段最短解决问题即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）解：当时，线段最短， 在中，， ∵， ∴， ∴线段的最小值为9.6． 【题型 6】最短路径综合（立体最值问题） 【例题6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长． （1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处； （2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处； （3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处． 【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm． 【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案； （2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案； （3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案． 解：（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长， ∵正方体的棱长为5cm， ∴AC=10，CC1=5， ∴AC1==cm． ∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm． （2）分两种情况： ①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6， ∴AC1==cm， ②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5， ∴AC1==cm， ∵＜， ∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm． （3）圆柱侧面展开图如图所示： ∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm， ∴BC=5，AB=5， ∴AC==cm， ∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm． 【点拨】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键． 【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处受食，则蚂蚁所行路程的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析． 解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线． ①如图1， ∵AB=3，BC=2，=1， ∴在中，AC=AB+BC=5，， ∴； ②如图2， ∵AB=3，BC=2，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴蚂蚁所行路程的最小值为． 故选：B． 【点拨】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）“春节”是我国传统节日中最重要的一个节日，在春节期间有很多习俗，如贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等．为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长的彩灯，按如图方式缠绕在圆柱体柱子上，且柱子的底面周长为，则柱子高是________． 【答案】/3米 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握圆柱的平面展开图，根据勾股定理求解．结合已知条件，根据圆柱的平面展开图，利用勾股定理即可求得答案． 解：如图为该圆柱的平面展开图，则，，， ∴， ∴， 即柱子高为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理得，根据垂线段最短，可知当时，最小，根据面积法即可求出答案． 解：∵，， ∴， 当时，最小， 此时 解得， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中，，，， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为． 故选：C． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先根据三角形的面积求出中边上的高，过作 的平行线，找点关于直线的对称点，推出的最小值即为的长即可． 解：设中边上的高是． ，， ， ， 动点在与平行且与的距离是3的直线上， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 则， 的最小值就是的长， 与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 故选：C． 【点拨】本题考查轴对称最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，几何体的展开图认识，将长方体展开得出，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，正确将长方体展开是解此题的关键． 解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，， ∴，， ∴， ∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵， ∴最短距离为， 故选：D． 6．（23-24八年级下·吉林白山·阶段检测）如图是一个长、宽、高分别为4，2，1的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ） A．5 B．5．4 C．6．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用．解题关键是展开长方体将A，B放在同一平面，展开的方式不同，蚂蚁爬行的路线就不同，有三种情况，可分别求出值，找到最短路线；分三种情况展开，将A和B放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可． 解：由于长方体的平面展开方式不唯一，故分以下三种情况进行讨论： （1）把前面右面组成一个长方形，连接，如图， ； （2）把前面上面组成一个长方形，连接，如图， ； （3）把左面上面组成一个长方形，连接，如图， ， ， 最短路径的长为， 故选：A． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理，运用化曲为直的转化思想．解题关键是将圆柱侧面展开为矩形，明确彩带路径在展开图中是直角三角形的斜边，需准确计算水平和竖直方向的直角边长度；易错点是忽略“缠绕2圈”对水平长度的影响，导致水平边长计算错误． 首先把圆柱侧面沿高展开成矩形，确定彩带缠绕2圈后，水平方向长度为底面周长的2倍（米），竖直方向长度为圆柱的高（4米）．其次此时彩带的最短路径为展开图中直角三角形的斜边，根据勾股定理计算斜边长度：米．最后对比选项，得出答案为C． 解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中： 水平直角边：3米， 竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： 米． 故选：C． 8．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法． 利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 解：∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短得，当时，的值最小，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值． 故选：A． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，勾股定理，根据两点之间线段最短，得到的长度即为所求的最小值，利用辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理即可求解，确定出为所求的最小值及构造出直角三角形是解题的关键． 解：如图，连接，与相交于点，当点位于点位置时，根据两点之间线段最短，此时的值最小， 过点作，过点作，垂足为点，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为_____dm． 【答案】128 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长为，圆柱高为， ，， ， ， 这圈金属丝的周长最小为， 则这圈金属丝的周长的最小值的平方为． 故答案为：128． 【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知在等腰三角形中，为的中点，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：∵AD＝12，BD＝5，AB＝13， ∴ ， ∴∠ADB＝90°， ∵D为BC的中点，BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴点B，点C关于直线AD对称， 过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小， ∵S△ABCAB•CEBC•AD， ∴13•CE＝10×12， ∴CE， ∴PE+PB的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题． 12．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，E是上一点，，P是上一动点，则的最小值是__________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，作点B关于直线的对称点D，连接，根据线段的和差关系求出的长，由轴对称的性质得到，则可证明当P、D、E三点共线时， 有最小值，最小值为的长，求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：如图所示，作点B关于直线的对称点D，连接， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当P、D、E三点共线时， 有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：10． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 _____ ． 【答案】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，．若线段在边上左右滑动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，先根据轴对称找出最短路径，再根据勾股定理求解． 解：如图：作交于，作关于的对称点F，连接， 在矩形中，有， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则， ∵， 即：的最小值为：． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【答案】13 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可． 解：∵为的中点，高， ∴， 将圆柱侧面展开，如图所示： ∵这个圆柱的底面圆的直径为， ∴在侧面展开图中，，， ∴在中，， 即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13． 16．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    【答案】10 【分析】如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，由题意知，，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上； （1）在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； （2）的面积是 ． 【答案】（1）见分析，的周长最小值为；（2） 【分析】本题考查了割补法求图形面积，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键． （1）首先作出点A关于l的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求作的点，然后利用勾股定理求出和，进而求解即可； （2）用割补法即可求得． （1）解：如图，点P即为所求；    ∴， ∴ ∴的周长最小值为． （2）解：的面积． 18．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）画出，使与关于直线对称； （2）在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 【答案】（1）如图，即为所求， （2）； 如图，点P即为所求作的点， （3）8 【分析】本题考查了作轴对称图形、等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点，用勾股定理求出的长度即可； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 解：（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： ； 19．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． （1）小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； （2）在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 解：（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 20．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． （1）【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） （2）【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． （3）【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】（1）A；（2）所需金属丝的最短长度为；（3） 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． （1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 问题解决策略：反思（最短路径）（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】最短路径公理 1 【知识点二】平面最短路径模型（将军饮马模型·教材核心） 2 【知识点三】立体图形最短路径模型（拔高必考） 2 【知识点四】问题解决反思总结（教材策略核心） 2 【知识点五】高频易错要点 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】平面将军饮马基础模型（直线同侧最短路径） 3 【题型 2】圆柱侧面最短路径（基础立体模型） 4 【题型 3】长方体表面最短路径（分类讨论拔高） 5 【题型 4】垂线段最短题型 6 三.题型精析（巩固提升） 7 【题型 5】最短路径综合（平面最值问题） 7 【题型 6】最短路径综合（立体最值问题） 9 四.同步检测 11 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与解读 【知识点一】最短路径公理 基本定理：两点之间，线段最短。 要点提示：所有最短路径问题，最终都回归该公理，折线、曲线长度一定大于线段长度，解题核心是化折为直、化曲为直。 【知识点二】平面最短路径模型（将军饮马模型·教材核心） 模型场景：直线l同侧有两个定点A、B，在直线l上找一点P，使 最小。 解题策略（轴对称转化）： 1. 作其中一个定点关于直线l的对称点； 2. 连接对称点与另一个定点，所得线段与直线l的交点即为所求点P； 3. 对称点连线的长度，即为 的最小值。 原理：轴对称性质→对应线段相等，，，两点之间线段最短。 要点提示：最小值计算必须依托直角三角形+勾股定理求解线段长度。 【知识点三】立体图形最短路径模型（拔高必考） 模型场景：圆柱、长方体、正方体表面爬行最短路径。 解题策略： 1. 化立体为平面：将几何体侧面、表面展开为平面长方形/正方形； 2. 连接两点得到线段，即为最短路径； 3. 利用勾股定理计算线段长度。 要点提示：长方体表面最短路径需要分类讨论，三种展开方式计算后取最小值，切勿直接默认一种展开方式。 【知识点四】问题解决反思总结（教材策略核心） 解决最短路径问题的完整思维流程： 1.审题判断：区分平面折线、立体曲面路径； 2.模型转化：平面用轴对称、立体用表面展开； 3. 构造图形：转化为直角三角形； 4. 计算验证：勾股定理求值，对比多解取最小。 【知识点五】高频易错要点 1. 同侧两点用轴对称，异侧两点直接连线即可； 2. 立体图形必须展开平面，立体图中斜线不是最短路径； 3. 长方体三种展开方式必须全部计算，对比得出最短距离； 4. 最短路径结果为正数，舍去不合理数值。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】平面将军饮马基础模型（直线同侧最短路径） 【例题1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）的面积是______； （3）在直线上作出点，使的值最小，则的最小值为______． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知的最小值为_______． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）在直线上画出点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方． 方法总结：对称转化→构造Rt△→勾股求值。 【题型 2】圆柱侧面最短路径（基础立体模型） 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）李老师设计了这样一道探究题：如图，有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的取值为3）． 【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（    ）    A．5 B．7 C．8 D．10 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______． 【变式3】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）（1）如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【题型 3】长方体表面最短路径（分类讨论拔高） 【例题3】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）长方体共顶点的三条棱长如图所示，三只蚂蚁同时从点A出发，同速沿长方体表面爬行去点M处觅食，蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为、、，若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径，通过计算说明哪只蚂蚁最先到达，哪只蚂蚁最后到达？ 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的是一个供滑板爱好者使用的U型池．该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点A滑行到点E，则他滑行的最短距离约是多少米（边缘部分的厚度可以忽略不计，取整数3）？ 核心技巧：三边拼接后，最大两边拼接、搭配最小边，路径最短。 【题型 4】垂线段最短题型 【例题4】（2024七年级·广东深圳·竞赛）如图，在中，，，是边上一点，，，是上一动点，求的最小值． 【变式1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．7 C． D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 【变式3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，P是线段上的一个动点，求的最小值． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】最短路径综合（平面最值问题） 【例题5】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．12 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为__________； （2）的最小值为__________.    【变式3】（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若E是边上的动点，求线段的最小值． 【题型 6】最短路径综合（立体最值问题） 【例题6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长． （1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处； （2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处； （3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处． 【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处受食，则蚂蚁所行路程的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）“春节”是我国传统节日中最重要的一个节日，在春节期间有很多习俗，如贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等．为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长的彩灯，按如图方式缠绕在圆柱体柱子上，且柱子的底面周长为，则柱子高是________． 【变式3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．4 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 6．（23-24八年级下·吉林白山·阶段检测）如图是一个长、宽、高分别为4，2，1的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ） A．5 B．5．4 C．6．1 D．7 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 8．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是______． 10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为_____dm． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知在等腰三角形中，为的中点，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值为______． 12．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，E是上一点，，P是上一动点，则的最小值是__________． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 _____ ． 14．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，．若线段在边上左右滑动，则的最小值为______． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 16．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上； （1）在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； （2）的面积是 ． 18．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）画出，使与关于直线对称； （2）在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 19．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． （1）小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； （2）在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 20．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． （1）【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） （2）【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． （3）【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $