第六单元 《因数与倍数》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年五年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《因数与倍数》单元复习讲义通过知识框架系统梳理了六个核心知识点，涵盖因数与倍数的意义、2/5/3的倍数特征、质数与合数等内容，并用对比表格呈现不同数的倍数特征，思维导图展示概念间的内在联系，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点在于“典例精讲+易错提醒”的设计，如“求18和24的最大公因数”示例结合“混淆公因数与最大公因数”的易错点，培养运算能力与推理意识。题型覆盖实际应用（如分彩带、相遇问题），基础题与综合题兼顾，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第六单元 《因数与倍数》 典例易错讲义 知识点 1：因数与倍数的意义 1. 研究范围 因数与倍数的研究对象是非 0 自然数（一般不包含 0），小数、分数范围内不讨论因数与倍数。 2. 核心定义 如果 （ 均为非 0 自然数），那么 和 都是 的因数， 是 和 的倍数 。 除法角度表述：若整数 除以 ，商是整数且没有余数，则 是 的因数， 是 的倍数。 3. 核心性质 因数与倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数，必须表述为 “谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”。 例如：不能说 “4 是因数”，应说 “4 是 12 的因数”；不能说 “12 是倍数”，应说 “12 是 4 的倍数”。 4. 找一个数的因数的方法 列乘法算式：从 1 开始一对一对地找，两个整数相乘的积等于这个数，这两个乘数就是它的因数。 列除法算式：用这个数依次除以非 0 自然数，商是整数且无余数时，除数和商都是它的因数。 特点：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 5. 找一个数的倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3、4…… 所得的积都是这个数的倍数。 特点：一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 典型示例 题目：写出 18 的所有因数，写出 50 以内 6 的所有倍数。 解： 18 的因数：1、2、3、6、9、18 50 以内 6 的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48 易错提醒 忽略研究范围，误将小数纳入因数与倍数的讨论范畴。 表述时忽略相互依存性，单独说某个数是因数或倍数。 找因数时出现重复或遗漏，例如漏掉 1 或它本身；找倍数时超出题目限定范围。 混淆因数与倍数的概念，误以为一个数越大，它的因数就越多。 知识点 2：2、5、3 的倍数的特征 1. 2 的倍数的特征与奇偶性 特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 偶数与奇数： 是 2 的倍数的数叫做偶数，0 也是偶数； 不是 2 的倍数的数叫做奇数。 自然数按是否是 2 的倍数，可分为奇数和偶数两类。 2. 5 的倍数的特征 特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 同时是 2 和 5 的倍数的特征：个位上是 0 的数，同时是 2 和 5 的倍数，也就是 10 的倍数。 3. 3 的倍数的特征 一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 拓展：9 的倍数的特征：各位上数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数；9 的倍数一定是 3 的倍数，但 3 的倍数不一定是 9 的倍数。 4. 奇偶性运算性质 和差规律：奇数 ± 奇数 = 偶数；偶数 ± 偶数 = 偶数；奇数 ± 偶数 = 奇数 乘积规律：奇数 × 奇数 = 奇数；偶数 × 偶数 = 偶数；奇数 × 偶数 = 偶数 典型示例 题目：在 12、25、36、48、105、200 中，分别找出 2 的倍数、5 的倍数、3 的倍数，以及同时是 2、3、5 的倍数的数。 解： 2 的倍数：12、36、48、200 5 的倍数：25、105、200 3 的倍数：12、36、48、105 同时是 2、3、5 的倍数：无 易错提醒 混淆 3 的倍数特征，误以为个位是 3、6、9 的数就是 3 的倍数。 忽略 0 是偶数，错误认为最小的偶数是 2。 判断同时是多个数的倍数时，遗漏部分判定条件。 记错奇偶性运算规律，混淆和与积的奇偶性结果。 知识点 3：质数与合数 1. 分类标准 按一个数因数的个数，将非 0 自然数分为三类：质数、合数、1。 2. 核心概念 质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数的数。 合数：除了 1 和它本身，还有其他因数的数（至少有 3 个因数）。 1 既不是质数，也不是合数。 3. 关键结论 最小的质数是 2，2 是所有质数中唯一的偶数；最小的合数是 4。 质数中只有 2 是偶数，其余质数都是奇数；但奇数不都是质数（如 9、15 是奇数，也是合数）。 偶数不都是合数，例如 2 是偶数但不是合数。 4. 100 以内的质数 共 25 个，分别是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 5. 分解质因数 定义：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。其中每个质数都是这个合数的质因数。 常用方法： 树枝分解法：将合数逐步拆分为两个因数相乘，直到所有因数都是质数。 短除法：用合数的质因数去除，直到商是质数为止，最后把所有除数和商写成连乘形式。 典型示例 题目：把 36 分解质因数。 解： 易错提醒 混淆分类标准，误以为 1 是质数，或认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数。 分解质因数时格式错误，或分解结果中出现合数，未全部分解为质数相乘。 误将 “质因数” 等同于 “质数”，忽略质因数是相对于某个合数而言的。 知识点 4：公因数与最大公因数 1. 核心概念 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 符号表示：一般用 表示 和 的最大公因数，例如 。 1 是所有非 0 自然数的公因数。 2. 求最大公因数的常用方法 列举法：分别列出两个数的所有因数，找出公有的因数，其中最大的就是最大公因数。 筛选法：先列出较小数的所有因数，从中筛选出也是较大数因数的数，最大的即为最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到两个商只有公因数 1（互质）为止，所有除数相乘的积就是最大公因数。 3. 特殊情况的快速判断 倍数关系：如果两个数是倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 例如：8 和 24 是倍数关系，。 互质关系：公因数只有 1 的两个数叫做互质数，它们的最大公因数是 1。 例如：5 和 7 互质，。 常见互质场景：相邻的两个非 0 自然数、1 和任何非 0 自然数、两个不同的质数，均为互质关系。 典型示例 题目：求 18 和 24 的最大公因数。 解： 18 的因数：1、2、3、6、9、18 24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 公因数：1、2、3、6 最大公因数：6 易错提醒 混淆公因数与最大公因数，误将普通公因数当作最大公因数。 误以为互质的两个数必须都是质数，例如 8 和 9 互质，但二者都是合数。 用短除法计算时，除到商还有公因数就停止，导致结果偏小。 知识点 5：公倍数与最小公倍数 1. 核心概念 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 符号表示：一般用 表示 和 的最小公倍数，例如 。 一个数的倍数个数是无限的，因此几个数的公倍数个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。 2. 求最小公倍数的常用方法 列举法：分别列出两个数的部分倍数，找出公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。 筛选法：先列出较大数的倍数，从中筛选出也是较小数倍数的数，最小的即为最小公倍数。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到两个商互质为止，所有除数和最后的商相乘的积就是最小公倍数。 3. 特殊情况的快速判断 倍数关系：如果两个数是倍数关系，那么较大数就是它们的最小公倍数。 例如：9 和 36 是倍数关系，。 互质关系：互质的两个数，最小公倍数是它们的乘积。 例如：6 和 7 互质，。 典型示例 题目：求 12 和 18 的最小公倍数。 解： 12 的倍数：12、24、36、48、60…… 18 的倍数：18、36、54、72…… 公倍数：36、72…… 最小公倍数：36 易错提醒 误以为存在最大公倍数，忽略倍数个数无限的特点。 用短除法求最小公倍数时，忘记乘最后的商，只乘除数导致结果错误。 混淆倍数关系下的最大公因数和最小公倍数，记反较大数和较小数的对应关系。 知识点 6：因数与倍数的实际应用 1. 最大公因数类问题 题目特征：求 “最长边长”“最多份数”“每段最长”“最大数量” 等，需要将整体分成若干等份且没有剩余。 常见场景：长方形裁剪正方形、物品平均分装、分组问题、铺地砖求最大地砖边长等。 解题关键：所求量是几个数量的公共因数，且要求最大值，即求几个数的最大公因数。 2. 最小公倍数类问题 题目特征：求 “至少多少”“下次同时”“最短时间”“最小总数” 等，需要找到几个周期的公共重合点。 常见场景：再次相遇问题、轮流值班重合、同时发车、物品打包刚好分完等。 解题关键：所求量是几个数量的公共倍数，且要求最小值，即求几个数的最小公倍数。 典型示例 题目 1：有两根彩带，分别长 24 分米和 36 分米，要截成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？ 解：求 24 和 36 的最大公因数， 答：每段最长是 12 分米。 题目 2：小明每 6 天去一次图书馆，小红每 8 天去一次图书馆，今天他们同时去了，至少再过多少天两人再次同时去图书馆？ 解：求 6 和 8 的最小公倍数， 答：至少再过 24 天。 易错提醒 无法准确区分题目类型，混淆最大公因数与最小公倍数的应用场景。 计算出结果后，未结合实际场景验证，导致答案不符合题意。 遇到多个数量的复杂问题时，遗漏部分条件，计算错误。 常考易错 题型1：因数和倍数的认识 【典例精讲1】一个数的最小倍数是42，这个数的因数有( )。 常考易错 题型2：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲2】李老师今年30岁，小军是五年级的学生，他的岁数是李老师岁数的因数，小军今年( )岁。 常考易错 题型3：根据因数的特征解决问题 【典例精讲3】妈妈买了36根小布丁，往冰箱放时，不能一次全部放进去，也不能一根一根放，而是每次放的个数相同，最后正好放完。共有( )种放法。 常考易错 题型4：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲4】一个整数a（a＞0），它最小的两个倍数之和是( )，一个偶数b（b＞0），它最大的两个因数之和是( )。 常考易错 题型5：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲5】两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 常考易错 题型6：因数和倍数的综合运用 【典例精讲6】某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 常考易错 题型7：2，3，5的倍数特征 【典例精讲7】从7、2、0、5这4张卡片中选出3张组成符合要求的三位数。组成3的倍数中最小的三位数是( )，同时是2和3的倍数的最大三位数是( )；组成5的倍数中最大的三位数是( )；组成同时含有因数2，3，5的三位数有( )，( )，( )，( )。 常考易错 题型8：奇数与偶数的认识 【典例精讲8】一个四位数是450，这个数是偶数，又是3的倍数，这个数可能是( )。 常考易错 题型9：质数与合数的认识 【典例精讲9】王老师电脑的开机密码是一个五位数“58ABC”，已知A是最小的质数，B是最小的偶数，C的最大因数是6，这个开机密码是( )。 常考易错 题型10：质数与合数的综合运用 【典例精讲10】桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 常考易错 题型11：质因数的含义 【典例精讲11】20的因数有( )，其中( )是20的质因数。 常考易错 题型12：分解质因数 【典例精讲12】分解质因数。 54        110        98 常考易错 题型13：公因数与最大公因数 【典例精讲13】求下面每组数的最大公因数。 30和18                            42和91 常考易错 题型14：公用最大公因数解决实际问题 【典例精讲14】有两根彩带，一根长60分米，另一根长48分米，聪聪准备将它们都剪成长度相等的小段，而且没有剩余，每小段最长是多少分米？一共可以剪成几段？ 常考易错 题型15：公倍数与最小公倍数 【典例精讲15】求每组数的最大公因数和最小公倍数。 45和30                           56和72 常考易错 题型16：用最小公倍数解决实际问题 6某公园的圆形喷泉由内圈和外圈构成，外圈每12分钟喷一次，内圈每8分钟喷一次。该喷泉内、外圈在中午11：30同时喷过一次水后，下次同时喷水是什么时候？ 专项精练 1．下面各组数中，第一个数是第二个数的因数的是（    ）。 A．2和21 B．8和16 C．1.5和15 D．45和15 2．“亭台六七座，八九十枝花。”关于诗句中横线上的数，说法错误的是（    ）。 A．因数最多的是10 B．都有1个倍数是这个数本身 C．有3个偶数 D．只有7是质数 3．五（2）班来了两位有经验的听课教师，他们的年龄都在40岁到60岁之间，两人相差4岁，而且每人年龄的十位与个位上的数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师是（    ）岁。 A．41 B．46 C．50 D．55 4．有个人的年龄是100以内的质数，各数位上数字之和等于10，且每一位上的数均为质数，这个人的年龄有（    ）种可能。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．小区要用若干块完全相同的小长方形地垫为宠物活动区拼一块正方形的地垫（不切割、不重叠）。每块小长方形的地垫的长是30分米，宽是24分米。拼成的这个大正方形的地垫的边长可能是多少？（    ） A．6dm B．90dm C．120dm D．180dm 6．笑笑和爸爸在操场跑步，笑笑跑一圈需要9分钟，爸爸跑一圈需要6分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．6 B．9 C．18 D．54 7．用36朵玫瑰和24朵百合搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能搭配成（    ）束。 A．6 B．8 C．10 D．12 8．在“我为祖国献支舞”的活动中，实验小学从四年级选出32名男生和24名女生进行舞蹈排练，排练时男生和女生分别站成若干排，为了美观，要求每排人数相同，每排最多有（    ）人。 A．24 B．12 C．8 D．6 9．四位数2□6□能同时被2、3和5整除，个位只能填( )，百位最大填( )。 10．红红妈妈上班3天休息1天，爸爸上班4天休息1天，6月10日这天红红的爸爸、妈妈同时休息，以后最早在( )月( )日红红爸爸妈妈又同时休息。 11．德国数学家哥德巴赫在200多年前提出了一个猜想：每个大于4的偶数是两个质奇数的和。你能将24写成两个质奇数的和吗：24＝( )＋( )。 12．一张长为80厘米、宽为60厘米的纸张，在没有剩余的情况下，做出尽可能大的相同尺寸的正方形贺卡，贺卡的边长最大是( )厘米，一共做出( )张贺卡。 13．有313块月饼，每5块装一盒，还剩( )块；每3块装一盒，最少还需添加( )块才能正好装满；每2块装一盒，( )（填“能”或“不能”）正好装下。 14．李华5年前的年龄是3的倍数，现在的年龄既是2的倍数，又是5的倍数。李华现在还不到30岁，他现在( )岁。 15．用埃拉托色尼筛选法找质数时，第一步要先划掉( )，再依次划掉2，3，5，7的倍数（但要保留这些质数本身）。 16．如果（m、n都是非零自然数），那么m和n的最大公因数是( )，n和7的最小公倍数是( )，m和n的最小公倍数是( )。 17．在手工课上，老师准备了两根绳子，一根长24分米，另一根长32分米。老师要求同学们把它们截成同样长的绳子且没有剩余，以便用来制作手工作品。那么每小段最长是________分米，一共可以截成________段。 18．一块长方形布料，长24分米，宽16分米。如果把它裁剪成若干块同样大小的正方形手绢，且没有剩余，手绢的边长最长是( )分米，可以裁剪成( )块。 19．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和16    18和30    15和18 20．求下面各组数的最小公倍数。 12和16    14和21    24和36    75和25 21．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗。今年端午节，王欣家包了许多粽子，妈妈先把30个肉粽平均分给几家邻居，接着又把24个蜜枣粽也平均分给了这几家，都正好分完。这些粽子最多分给了几家邻居？ 22．学校举行运动会，张老师现在要把一块长40分米、宽36分米的长方形绸布，剪成若干个大小一样的小正方形绸布给同学们做成小旗子，正好用完这块绸布不能有剩余。所剪小正方形的边长最大是多少？可以剪成多少块？ 23．同学们去观看无人机表演，李老师给大家准备了130瓶矿泉水和84根香蕉，李老师把两种物品分别平均分给每名学生，结果矿泉水多出4瓶，香蕉正好，这个班最多有多少名学生？ 24．为响应爱心图书角阅读助学行动，乐之书社捐了一批书。这批书无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1本；如果平均分给3个人，那么正好分完。这批书至少有多少本？ 25．在传承非遗文化的活动中，王老师要用一张长24厘米、宽18厘米的长方形宣纸，裁剪出若干个同样大的正方形用于制作传统剪纸，要求宜纸没有剩余。裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？ 26．小明利用周末时间对家门口的公交站进行了观察，通过观察发现53路车每5分钟发一次车，85路车每6分钟发一次车，72路每7分钟发一次车，这三路公交车同时发车后，至少经过几分钟再次同时发车？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 《因数与倍数》 典例易错讲义 知识点 1：因数与倍数的意义 1. 研究范围 因数与倍数的研究对象是非 0 自然数（一般不包含 0），小数、分数范围内不讨论因数与倍数。 2. 核心定义 如果 （ 均为非 0 自然数），那么 和 都是 的因数， 是 和 的倍数 。 除法角度表述：若整数 除以 ，商是整数且没有余数，则 是 的因数， 是 的倍数。 3. 核心性质 因数与倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数，必须表述为 “谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”。 例如：不能说 “4 是因数”，应说 “4 是 12 的因数”；不能说 “12 是倍数”，应说 “12 是 4 的倍数”。 4. 找一个数的因数的方法 列乘法算式：从 1 开始一对一对地找，两个整数相乘的积等于这个数，这两个乘数就是它的因数。 列除法算式：用这个数依次除以非 0 自然数，商是整数且无余数时，除数和商都是它的因数。 特点：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 5. 找一个数的倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3、4…… 所得的积都是这个数的倍数。 特点：一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 典型示例 题目：写出 18 的所有因数，写出 50 以内 6 的所有倍数。 解： 18 的因数：1、2、3、6、9、18 50 以内 6 的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48 易错提醒 忽略研究范围，误将小数纳入因数与倍数的讨论范畴。 表述时忽略相互依存性，单独说某个数是因数或倍数。 找因数时出现重复或遗漏，例如漏掉 1 或它本身；找倍数时超出题目限定范围。 混淆因数与倍数的概念，误以为一个数越大，它的因数就越多。 知识点 2：2、5、3 的倍数的特征 1. 2 的倍数的特征与奇偶性 特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 偶数与奇数： 是 2 的倍数的数叫做偶数，0 也是偶数； 不是 2 的倍数的数叫做奇数。 自然数按是否是 2 的倍数，可分为奇数和偶数两类。 2. 5 的倍数的特征 特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 同时是 2 和 5 的倍数的特征：个位上是 0 的数，同时是 2 和 5 的倍数，也就是 10 的倍数。 3. 3 的倍数的特征 一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 拓展：9 的倍数的特征：各位上数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数；9 的倍数一定是 3 的倍数，但 3 的倍数不一定是 9 的倍数。 4. 奇偶性运算性质 和差规律：奇数 ± 奇数 = 偶数；偶数 ± 偶数 = 偶数；奇数 ± 偶数 = 奇数 乘积规律：奇数 × 奇数 = 奇数；偶数 × 偶数 = 偶数；奇数 × 偶数 = 偶数 典型示例 题目：在 12、25、36、48、105、200 中，分别找出 2 的倍数、5 的倍数、3 的倍数，以及同时是 2、3、5 的倍数的数。 解： 2 的倍数：12、36、48、200 5 的倍数：25、105、200 3 的倍数：12、36、48、105 同时是 2、3、5 的倍数：无 易错提醒 混淆 3 的倍数特征，误以为个位是 3、6、9 的数就是 3 的倍数。 忽略 0 是偶数，错误认为最小的偶数是 2。 判断同时是多个数的倍数时，遗漏部分判定条件。 记错奇偶性运算规律，混淆和与积的奇偶性结果。 知识点 3：质数与合数 1. 分类标准 按一个数因数的个数，将非 0 自然数分为三类：质数、合数、1。 2. 核心概念 质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数的数。 合数：除了 1 和它本身，还有其他因数的数（至少有 3 个因数）。 1 既不是质数，也不是合数。 3. 关键结论 最小的质数是 2，2 是所有质数中唯一的偶数；最小的合数是 4。 质数中只有 2 是偶数，其余质数都是奇数；但奇数不都是质数（如 9、15 是奇数，也是合数）。 偶数不都是合数，例如 2 是偶数但不是合数。 4. 100 以内的质数 共 25 个，分别是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 5. 分解质因数 定义：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。其中每个质数都是这个合数的质因数。 常用方法： 树枝分解法：将合数逐步拆分为两个因数相乘，直到所有因数都是质数。 短除法：用合数的质因数去除，直到商是质数为止，最后把所有除数和商写成连乘形式。 典型示例 题目：把 36 分解质因数。 解： 易错提醒 混淆分类标准，误以为 1 是质数，或认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数。 分解质因数时格式错误，或分解结果中出现合数，未全部分解为质数相乘。 误将 “质因数” 等同于 “质数”，忽略质因数是相对于某个合数而言的。 知识点 4：公因数与最大公因数 1. 核心概念 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 符号表示：一般用 表示 和 的最大公因数，例如 。 1 是所有非 0 自然数的公因数。 2. 求最大公因数的常用方法 列举法：分别列出两个数的所有因数，找出公有的因数，其中最大的就是最大公因数。 筛选法：先列出较小数的所有因数，从中筛选出也是较大数因数的数，最大的即为最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到两个商只有公因数 1（互质）为止，所有除数相乘的积就是最大公因数。 3. 特殊情况的快速判断 倍数关系：如果两个数是倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 例如：8 和 24 是倍数关系，。 互质关系：公因数只有 1 的两个数叫做互质数，它们的最大公因数是 1。 例如：5 和 7 互质，。 常见互质场景：相邻的两个非 0 自然数、1 和任何非 0 自然数、两个不同的质数，均为互质关系。 典型示例 题目：求 18 和 24 的最大公因数。 解： 18 的因数：1、2、3、6、9、18 24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 公因数：1、2、3、6 最大公因数：6 易错提醒 混淆公因数与最大公因数，误将普通公因数当作最大公因数。 误以为互质的两个数必须都是质数，例如 8 和 9 互质，但二者都是合数。 用短除法计算时，除到商还有公因数就停止，导致结果偏小。 知识点 5：公倍数与最小公倍数 1. 核心概念 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 符号表示：一般用 表示 和 的最小公倍数，例如 。 一个数的倍数个数是无限的，因此几个数的公倍数个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。 2. 求最小公倍数的常用方法 列举法：分别列出两个数的部分倍数，找出公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。 筛选法：先列出较大数的倍数，从中筛选出也是较小数倍数的数，最小的即为最小公倍数。 短除法：用两个数公有的质因数依次去除，直到两个商互质为止，所有除数和最后的商相乘的积就是最小公倍数。 3. 特殊情况的快速判断 倍数关系：如果两个数是倍数关系，那么较大数就是它们的最小公倍数。 例如：9 和 36 是倍数关系，。 互质关系：互质的两个数，最小公倍数是它们的乘积。 例如：6 和 7 互质，。 典型示例 题目：求 12 和 18 的最小公倍数。 解： 12 的倍数：12、24、36、48、60…… 18 的倍数：18、36、54、72…… 公倍数：36、72…… 最小公倍数：36 易错提醒 误以为存在最大公倍数，忽略倍数个数无限的特点。 用短除法求最小公倍数时，忘记乘最后的商，只乘除数导致结果错误。 混淆倍数关系下的最大公因数和最小公倍数，记反较大数和较小数的对应关系。 知识点 6：因数与倍数的实际应用 1. 最大公因数类问题 题目特征：求 “最长边长”“最多份数”“每段最长”“最大数量” 等，需要将整体分成若干等份且没有剩余。 常见场景：长方形裁剪正方形、物品平均分装、分组问题、铺地砖求最大地砖边长等。 解题关键：所求量是几个数量的公共因数，且要求最大值，即求几个数的最大公因数。 2. 最小公倍数类问题 题目特征：求 “至少多少”“下次同时”“最短时间”“最小总数” 等，需要找到几个周期的公共重合点。 常见场景：再次相遇问题、轮流值班重合、同时发车、物品打包刚好分完等。 解题关键：所求量是几个数量的公共倍数，且要求最小值，即求几个数的最小公倍数。 典型示例 题目 1：有两根彩带，分别长 24 分米和 36 分米，要截成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？ 解：求 24 和 36 的最大公因数， 答：每段最长是 12 分米。 题目 2：小明每 6 天去一次图书馆，小红每 8 天去一次图书馆，今天他们同时去了，至少再过多少天两人再次同时去图书馆？ 解：求 6 和 8 的最小公倍数， 答：至少再过 24 天。 易错提醒 无法准确区分题目类型，混淆最大公因数与最小公倍数的应用场景。 计算出结果后，未结合实际场景验证，导致答案不符合题意。 遇到多个数量的复杂问题时，遗漏部分条件，计算错误。 常考易错 题型1：因数和倍数的认识 【典例精讲1】一个数的最小倍数是42，这个数的因数有( )。 【答案】1、2、3、6、7、14、21、42 【分析】一个数的最小倍数就是它本身，所以这个数就是42。用除法找出42的因数即可。 【详解】42÷1＝42 42÷2＝21 42÷3＝14 42÷6＝7 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。 常考易错 题型2：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲2】李老师今年30岁，小军是五年级的学生，他的岁数是李老师岁数的因数，小军今年( )岁。 【答案】10 【分析】可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是30的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是30的因数。再从中找出符合的数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，则30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。小军是五年级的学生，则小军今年10岁。 常考易错 题型3：根据因数的特征解决问题 【典例精讲3】妈妈买了36根小布丁，往冰箱放时，不能一次全部放进去，也不能一根一根放，而是每次放的个数相同，最后正好放完。共有( )种放法。 【答案】 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进去的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36排除1和36，还有2、3、4、6、9、12、18。 因此共有7种放法，每次分别放2个、3个、4个、6个、9个、12个、18个。 常考易错 题型4：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲4】一个整数a（a＞0），它最小的两个倍数之和是( )，一个偶数b（b＞0），它最大的两个因数之和是( )。 【答案】 【分析】①一个非零自然数的最小倍数是它本身，第二小的倍数是它的2倍。 ②一个数的最大因数是它本身。对于偶数，因为它能被2整除，所以除了它本身以外，最大的因数是它除以2的商。（数字与字母相乘时，乘号可以省略，数字写在字母前面） 【详解】①整数（）的最小倍数是。整数的第二小倍数是，它们的和是：。 ②偶数（）的最大因数是。因为是偶数，所以含有因数2。所以除了它本身以外，最大的因数是，即，它们的和是：。 常考易错 题型5：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲5】两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 【答案】 56 44 【分析】先明确核心条件：两个数相加等于，其中一个是的倍数，另一个是的倍数。 分别列出以内所有的倍数、所有的倍数。从这两组数中，逐一验证两个数相加是否等于，筛选出同时满足“和为”“分别是、的倍数”的组合，最终得到符合要求的两个数。 【详解】以内的倍数：，，，，，，，，，，，，，； 以内的倍数：，，，，，，，，； 只有满足题意， 所以两个数的和是，一个是的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是和。 常考易错 题型6：因数和倍数的综合运用 【典例精讲6】某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 【答案】90人 【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 【详解】3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 常考易错 题型7：2，3，5的倍数特征 【典例精讲7】从7、2、0、5这4张卡片中选出3张组成符合要求的三位数。组成3的倍数中最小的三位数是( )，同时是2和3的倍数的最大三位数是( )；组成5的倍数中最大的三位数是( )；组成同时含有因数2，3，5的三位数有( )，( )，( )，( )。 【答案】 207 750 750 270 720 750 570 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位上是0或5；同时是2、3、5的倍数：个位是0，且数位数字之和是3的倍数；据此解答。 【详解】先找出可以组成3的倍数的数字组合： 0＋2＋7＝9，0＋5＋7＝12，只有0，2，7和0，5，7两组。 3的倍数里最小三位数：百位最小选2，得到207； 同时是2、3的倍数的最大三位数：要偶数且最大，得到750； 5的倍数里最大三位数：个位为0时数最大，得到750； 同时有因数2、3、5：个位必须是0，能组成：270、720、570、750。 常考易错 题型8：奇数与偶数的认识 【典例精讲8】一个四位数是450，这个数是偶数，又是3的倍数，这个数可能是( )。 【答案】4500/4506 【分析】能被2整除的数叫做偶数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】这个四位数的个位是方框里的数，偶数的个位只能是0、2、4、6、8； 这个数前三位是4、5、0，加起来4＋5＋0＝9，9本身已经是3的倍数，所以方框里的数也得是3的倍数。从符合偶数要求的0、2、4、6、8里，挑出是3的倍数的数，只有0和6，所以对应的四位数就是4500和4506。 常考易错 题型9：质数与合数的认识 【典例精讲9】王老师电脑的开机密码是一个五位数“58ABC”，已知A是最小的质数，B是最小的偶数，C的最大因数是6，这个开机密码是( )。 【答案】58206 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；是2的倍数的数就是偶数，不是2的倍数的数就是奇数。一个数最大的因数是它本身。据此解答。 【详解】最小的质数是2，因此A是2；最小的偶数是0，因此B是0；C的最大因数是它本身，因此C是6。 所以这个开机密码是58206。 常考易错 题型10：质数与合数的综合运用 【典例精讲10】桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 【答案】轩轩 【分析】每盘饺子的数量相同，求饺子总数应能平均分成几盘，这个数应该是合数。29和41都是质数，不能平均分成几盘；32可以平均分成若干盘。 【详解】29只有1和29两个因数，不能平均分成几盘。 32可以平均分成4盘，每盘8个：4×8＝32。 41只有1和41两个因数，不能平均分成几盘。 所以数对饺子数量的是轩轩。 常考易错 题型11：质因数的含义 【典例精讲11】20的因数有( )，其中( )是20的质因数。 【答案】 1，2，4，5，10，20 2，5 【分析】找因数：能整除20的数；质因数：既是因数，又是质数。 【详解】20÷1＝20，20÷2＝10，20÷4＝5 所以20的因数：1，2，4，5，10，20。 其中2，5是质数， 所以2，5是20的质因数。 常考易错 题型12：分解质因数 【典例精讲12】分解质因数。 54        110        98 【答案】54＝2×3×3×3；110＝2×5×11；98＝2×7×7 【分析】用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数去除，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连成形式。 【详解】            54＝2×3×3×3 110＝2×5×11 98＝2×7×7 常考易错 题型13：公因数与最大公因数 【典例精讲13】求下面每组数的最大公因数。 30和18                            42和91 【答案】 6；7 【分析】短除法求最大公因数：先把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，再把除得的商写在该数的下方，一直除到各个商只有公因数1为止，最后所有除数连乘起来所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】 2×3＝6 30和18的最大公因数是6。 42和91的最大公因数是7。 常考易错 题型14：公用最大公因数解决实际问题 【典例精讲14】有两根彩带，一根长60分米，另一根长48分米，聪聪准备将它们都剪成长度相等的小段，而且没有剩余，每小段最长是多少分米？一共可以剪成几段？ 【答案】每小段最长12分米，一共可剪9段。 【分析】要将两根彩带剪成长度相等的小段且没有剩余，每小段的长度是60和48的公因数，求最长的小段长度就是求这两个数的最大公因数；先用分解质因数法求出最大公因数，再用两根彩带的长度分别除以最大公因数，将得到的段数相加就是总段数。 【详解】60＝2×2×3×5 48＝2×2×2×2×3 60和48的最大公因数：2×2×3＝12 所以每小段最长是12分米。 60÷12＋48÷12 ＝5＋4 ＝9（段） 答：每小段最长是12分米，一共可以剪成9段。 常考易错 题型15：公倍数与最小公倍数 【典例精讲15】求每组数的最大公因数和最小公倍数。 45和30                           56和72 【答案】45和30的最大公因数是15，最小公倍数是90； 56和72的最大公因数是8，最小公倍数是504 【分析】几个数共有的质因数的积就是这几个数的最大公因数； 全部公有的质因数和各自独立的质因数的积就是这几个数的最小公倍数，据此解答。 【详解】45＝3×3×5，30＝2×3×5， 所以45和30的最大公因数是3×5＝15， 45和30的最小公倍数是3×3×2×5＝90； 56＝2×2×2×7，72＝2×2×2×3×3， 所以56和72的最大公因数是2×2×2＝8， 56和72的最小公倍数是2×2×2×7×3×3＝504。 常考易错 题型16：用最小公倍数解决实际问题 6某公园的圆形喷泉由内圈和外圈构成，外圈每12分钟喷一次，内圈每8分钟喷一次。该喷泉内、外圈在中午11：30同时喷过一次水后，下次同时喷水是什么时候？ 【答案】 11时54分 【分析】下次同时喷水的经过时间是12和8的最小公倍数，求出该时间后加上开始时刻，即可得到下次同时喷水的时间。 【详解】 8＝2×2×2 12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 11时30分＋24分＝11时54分 答：下次同时喷水是11时54分。 专项精练 1．下面各组数中，第一个数是第二个数的因数的是（    ）。 A．2和21 B．8和16 C．1.5和15 D．45和15 【答案】B 【分析】因数仅在非0自然数范围内研究，若第一个数是第二个数的因数，需满足第二个数除以第一个数的商是整数且没有余数。 【详解】A．21÷2＝10.5，不能整除，不符合要求； B．16÷8＝2，能整除，符合要求； C．1.5是小数，不存在因数关系，直接排除。 D．15÷45＝，不能整除，不符合要求。 2．“亭台六七座，八九十枝花。”关于诗句中横线上的数，说法错误的是（    ）。 A．因数最多的是10 B．都有1个倍数是这个数本身 C．有3个偶数 D．只有7是质数 【答案】A 【分析】A．因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数；如：4×9＝36，4和9是36的因数，据此找出每个数的因数并判断；    B．一个数最小的倍数是它本身，据此判断； C．偶数：能被2整除的数，据此判断； D．质数：只有1和它本身两个因数的数，据此判断。 【详解】A．6的因数：1，2，3，6，有4个； 7的因数：1，7，有2个； 8的因数：1，2，4，8，有4个； 9的因数：1，3，9，有3个； 10的因数：1，2，5，10，有4个； 6，8，10的因数最多，都有4个因数，所以原说法错误； B．因为一个数最小的倍数是它本身，所以横线上的数都有1个倍数是这个数本身；原说法正确； C．偶数有：6，8，10，有3个；原说法正确； D．质数有：7，有1个；原说法正确。 所以错误的说法是：因数最多的是10。 3．五（2）班来了两位有经验的听课教师，他们的年龄都在40岁到60岁之间，两人相差4岁，而且每人年龄的十位与个位上的数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师是（    ）岁。 A．41 B．46 C．50 D．55 【答案】C 【分析】由题意可得：年龄范围是40到60岁，十位数字只能是4或者5。先找出这个区间内，十位数字与个位数字之和是5的倍数的所有年龄，再从这些年龄里选出相差4岁的两个年龄，最后得出年纪较长的老师的年龄。 【详解】四十几岁，十位为4： 4＋1＝5（5是5的倍数），年龄41； 4＋6＝10（10是5的倍数），年龄46。 五十几岁，十位为5： 5＋0＝5（5是5的倍数），年龄50； 5＋5＝10（10是5的倍数），年龄55。 候选年龄：41、46、50、55。 50－46＝4，两位老师年龄为46岁、50岁。 年纪较长的是50岁。 4．有个人的年龄是100以内的质数，各数位上数字之和等于10，且每一位上的数均为质数，这个人的年龄有（    ）种可能。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先确定单个数位上的质数只能是2、3、5、7，100以内的一位数质数最大是7，数字和达不到10，所以年龄是两位数。先找两个数字都是质数且和为10的两位数，再筛选其中是质数的结果即可。 【详解】单个数字的质数为：2、3、5、7 两位数的两个数位数字和为10，符合的组合：，对应数字37、73 ，对应数字55 筛选质数：37、73是质数，55是合数排除，共2种可能。 5．小区要用若干块完全相同的小长方形地垫为宠物活动区拼一块正方形的地垫（不切割、不重叠）。每块小长方形的地垫的长是30分米，宽是24分米。拼成的这个大正方形的地垫的边长可能是多少？（    ） A．6dm B．90dm C．120dm D．180dm 【答案】C 【分析】用长30分米、宽24分米的小长方形拼不切割、不重叠的正方形，正方形的边长必须同时是30和24的公倍数，据此判断选项即可。 【详解】先求30和24的最小公倍数： 最小公倍数为： 拼成的这个大正方形的地垫的边长可能是120dm。 6．笑笑和爸爸在操场跑步，笑笑跑一圈需要9分钟，爸爸跑一圈需要6分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．6 B．9 C．18 D．54 【答案】C 【分析】两人同时从起点同向出发，第一次相遇的时间，既是9的倍数，也是6的倍数，即求9和6的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 所以6和9的最小公倍数是2×3×3＝18，故他们18分钟后可以在起点第一次相遇。 7．用36朵玫瑰和24朵百合搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能搭配成（    ）束。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】要搭配成同样的花束且两种花正好用完没有剩余，求最多能搭配的束数，就是求36和24的最大公因数。 【详解】 36和24的最大公因数是。 用36朵玫瑰和24朵百合搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能搭配成12束。 8．在“我为祖国献支舞”的活动中，实验小学从四年级选出32名男生和24名女生进行舞蹈排练，排练时男生和女生分别站成若干排，为了美观，要求每排人数相同，每排最多有（    ）人。 A．24 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】每排人数需要同时是32和24的因数，求每排最多的人数，就是求32和24的最大公因数。 【详解】32＝2×2×2×2×2 24＝2×2×2×3 两个数最大公因数：2×2×2＝8 所以每排最多有8人。 9．四位数2□6□能同时被2、3和5整除，个位只能填( )，百位最大填( )。 【答案】 0 7 【分析】2的倍数：个位上是0、2、4、6、8；5的倍数：个位上是0或者5；3的倍数：各个数位上数字相加的和是3的倍数。一个数要同时被2和5整除，要同时满足2和5的倍数特征，个位只能是0。确定个位之后，再利用3的倍数的特征，推算百位上可以填的数字，找出其中最大的数。 【详解】这个四位数是2□6□，要同时被2、5整除，个位只能是0。此时这个数变成2□60。 各位数字和：2＋□＋6＋0＝8＋□，也就是8＋□必须是3的倍数。 8＋1＝9，9是3的倍数，可以填1； 8＋4＝12，12是3的倍数，可以填4； 8＋7＝15，15是3的倍数，可以填7。 百位可填的数字有1、4、7，其中最大的是7。 10．红红妈妈上班3天休息1天，爸爸上班4天休息1天，6月10日这天红红的爸爸、妈妈同时休息，以后最早在( )月( )日红红爸爸妈妈又同时休息。 【答案】 6 30 【分析】妈妈每工作3天休息一天，即4天一循环；爸爸每工作4天休息1天，即5天一循环。求出4和5的最小公倍数（互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积），再加上10，就是爸爸妈妈又同时休假的日期。 【详解】3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 4和5的最小公倍数为：4×5＝20 10＋20＝30 所以最早在6月30日红红爸爸妈妈又同时休息。 11．德国数学家哥德巴赫在200多年前提出了一个猜想：每个大于4的偶数是两个质奇数的和。你能将24写成两个质奇数的和吗：24＝( )＋( )。 【答案】 5 19 【分析】奇数：不能被2整除的数是奇数；如：1、3、5、7、11、15、17、19、21、… 质数：除了1和它本身没有其它因数的数。如：2、3、5、7、11、13、17、19、23、… 质奇数：3、5、7、11、17、19、… 【详解】24＝5＋19 12．一张长为80厘米、宽为60厘米的纸张，在没有剩余的情况下，做出尽可能大的相同尺寸的正方形贺卡，贺卡的边长最大是( )厘米，一共做出( )张贺卡。 【答案】 【分析】（）要得到最大的相同正方形且纸张无剩余，首先确定正方形边长的最大值是长和宽的最大公因数，因为边长需要同时整除长和宽，所以求和的最大公因数即可得到边长最大值。 （）计算贺卡数量时，因为长方向可裁剪的数量为长除以边长，宽方向可裁剪的数量为宽除以边长，所以总数量为两个方向数量的乘积。 【详解】 和的最大公因数是： （个） （个） （张） 13．有313块月饼，每5块装一盒，还剩( )块；每3块装一盒，最少还需添加( )块才能正好装满；每2块装一盒，( )（填“能”或“不能”）正好装下。 【答案】 3 2 不能 【分析】求剩余块数，用月饼总数除以每盒块数，有余数，余数就是还剩几块；求最少添加的块数，先判断313是否是3的倍数：一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，用月饼总数除以每盒块数，有余数，要正好装满，总数就是3的倍数，用3减去余数即可；判断能否正好装下，依据2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数即偶数，每2块装一盒，判断总数是否是2的倍数，如果是2的倍数，就能装下，否则装不下。 【详解】313÷5＝62（盒）……3（块） 3＋1＋3 ＝4＋3 ＝7 7不是3的倍数，因此313不是3的倍数。 313÷3＝104（盒）……1（块） 3－1＝2（块） 所以最少还需添加2块。 每2块装一盒， 313的个位是3，是奇数，不是2的倍数，因此不能正好装下。 14．李华5年前的年龄是3的倍数，现在的年龄既是2的倍数，又是5的倍数。李华现在还不到30岁，他现在( )岁。 【答案】20 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位一定是0，判断现在还不到30岁的年龄；3的倍数是一个数各位数字之和是3的倍数， 【详解】结合不到30岁，可能的年龄为10岁、20岁；5年前的年龄是3的倍数，若现在10岁：5年前的年龄为10－5＝5（岁），5不是3的倍数，不符合条件。 若现在20岁：5年前的年龄为20－5＝15（岁），1＋5＝6，15是3的倍数，符合条件。 因此，李华现在20岁。 15．用埃拉托色尼筛选法找质数时，第一步要先划掉( )，再依次划掉2，3，5，7的倍数（但要保留这些质数本身）。 【答案】1 【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，就是质数。合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，就是合数。1既不是质数，也不是合数。 【详解】1不符合质数的条件，所以用埃拉托色尼筛选法找质数时，第一步要先划掉1，再依次划掉2，3，5，7的倍数（但要保留这些质数本身）。 16．如果（m、n都是非零自然数），那么m和n的最大公因数是( )，n和7的最小公倍数是( )，m和n的最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】因为（、都是非零自然数），n是较大数，m是较小数，所以和的最大公因数是，和的最小公倍数是；又因为，所以是的倍数。所以和7的最小公倍数是较大的数。 17．在手工课上，老师准备了两根绳子，一根长24分米，另一根长32分米。老师要求同学们把它们截成同样长的绳子且没有剩余，以便用来制作手工作品。那么每小段最长是________分米，一共可以截成________段。 【答案】 8 7 【分析】要把两根绳子截成同样长的且没有剩余，说明每段的长度最长是两根绳子长度的最大公因数。求一共可以截成多少段，用两根绳子的长度分别除以每段的长度，再相加即可。 用短除法找最大公因数，短除法中所有除数相乘的积就是两个数的最大公因数。 【详解】 24和32的最大公因数是，每小段最长是8分米； （段）（段）（段） 18．一块长方形布料，长24分米，宽16分米。如果把它裁剪成若干块同样大小的正方形手绢，且没有剩余，手绢的边长最长是( )分米，可以裁剪成( )块。 【答案】 8 6 【分析】先求出长方形长和宽的最大公因数，此最大公因数即为正方形手绢的最长边长；再分别计算长方形的长和宽分别包含几个正方形边长，两者相乘就是能裁出的块数。 【详解】24＝2×2×2×3，16＝2×2×2×2，所以24和16的最大公因数是2×2×2＝8， 所以正方形手绢的边长最长是8分米， 24÷8＝3（个）    16÷8＝2（个） 3×2＝6（块） 所以可以裁剪成6块。 19．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和16    18和30    15和18 【答案】4，48；6，90；3，90 【分析】用分解质因数法求最大公因数与最小公倍数：两个数的最大公因数是公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数乘各自独有的质因数的乘积。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最大公因数：2×2＝4，最小公倍数：2×2×3×2×2＝48 18＝2×3×3 30＝2×3×5 18和30的最大公因数：2×3＝6，最小公倍数：2×3×3×5＝90 15＝3×5 18＝2×3×3 15和18的最大公因数：3，最小公倍数：3×5×2×3＝90 20．求下面各组数的最小公倍数。 12和16    14和21    24和36    75和25 【答案】12和16的最小公倍数是48。 14和21的最小公倍数是42。 24和36的最小公倍数是72。 75和25的最小公倍数是75。 【分析】12和16的最小公倍数： 先对12和16分解质因数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2。最小公倍数是把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘，公有的质因数是2×2，12独有的是3，16独有的是2×2，所以最小公倍数为2×2×3×2×2＝48。 求14和21的最小公倍数： 分解质因数可得14＝2×7，21＝3×7。公有的质因数是7，14独有的是2，21独有的是3，因此最小公倍数为2×3×7＝42。 求24和36的最小公倍数： 24分解质因数为2×2×2×3，36分解质因数为2×2×3×3。公有的质因数是2×2×3，24独有的是2，36独有的是3，所以最小公倍数是2×2×3×2×3＝72。 求75和25的最小公倍数： 因为75÷25＝3，即75是25的倍数，当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数，所以75和25的最小公倍数是75。 【详解】12和16的最小公倍数是48。 14和21的最小公倍数是42。 24和36的最小公倍数是72。 75和25的最小公倍数是75。 21．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗。今年端午节，王欣家包了许多粽子，妈妈先把30个肉粽平均分给几家邻居，接着又把24个蜜枣粽也平均分给了这几家，都正好分完。这些粽子最多分给了几家邻居？ 【答案】6家 【分析】肉粽和蜜枣粽都要正好平均分给相同的几家邻居，说明邻居家数必须同时整除30和24。求最多分给几家，就是求30和24的最大公因数。 【详解】； 30和24的最大公因数：2×3＝6 答：这些粽子最多分给了6家邻居。 22．学校举行运动会，张老师现在要把一块长40分米、宽36分米的长方形绸布，剪成若干个大小一样的小正方形绸布给同学们做成小旗子，正好用完这块绸布不能有剩余。所剪小正方形的边长最大是多少？可以剪成多少块？ 【答案】4分米；90块 【分析】要使剪成的小正方形大小相同且绸布无剩余，小正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数，求最大边长就是求长和宽的最大公因数；再用长、宽分别除以最大边长，得到长、宽方向的小正方形数量，相乘即可得到总块数。 【详解】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40 36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36 40和36的最大公因数是：4 （40÷4）×（36÷4） ＝10×9 ＝90（块） 答：所剪小正方形的边长最大是4分米，可以剪成90块。 23．同学们去观看无人机表演，李老师给大家准备了130瓶矿泉水和84根香蕉，李老师把两种物品分别平均分给每名学生，结果矿泉水多出4瓶，香蕉正好，这个班最多有多少名学生？ 【答案】 最多42名学生 【分析】先算出实际分掉的矿泉水数量，学生人数是分掉的矿泉水瓶数和香蕉根数的公因数，求最多的学生人数即求这两个数的最大公因数。 【详解】（瓶） 84＝2×2×3×7 （名） 84和126的最大公因数是42； 答：这个班最多有42名学生。 24．为响应爱心图书角阅读助学行动，乐之书社捐了一批书。这批书无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1本；如果平均分给3个人，那么正好分完。这批书至少有多少本？ 【答案】21本 【分析】分给2个人剩1本、分给5个人也剩1本，说明书本总数减去1之后，既是2的倍数，也是5的倍数，也就是2和5的公倍数。同时书本总数又能被3整除，是3的倍数，找最小的符合条件的数。 【详解】2和5的最小公倍数：2×5＝10 书的本数可以写成：10＋1＝11、20＋1＝21、30＋1＝31…… 11÷3＝3……2，不能正好分完； 21÷3＝7，可以正好分完。 答：这批书至少有21本。 25．在传承非遗文化的活动中，王老师要用一张长24厘米、宽18厘米的长方形宣纸，裁剪出若干个同样大的正方形用于制作传统剪纸，要求宜纸没有剩余。裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】 裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。 【分析】要使宣纸裁剪后没有剩余，正方形的边长必须是24和18的公因数，求最大边长就是求24和18的最大公因数；再分别用长、宽除以最大边长，得到长、宽方向可裁的正方形个数，相乘即为总个数。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 18的因数有：1、2、3、6、9、18 24和18的最大公因数是6。则裁出的正方形边长最大是6厘米。 （个） 答：裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。 26．小明利用周末时间对家门口的公交站进行了观察，通过观察发现53路车每5分钟发一次车，85路车每6分钟发一次车，72路每7分钟发一次车，这三路公交车同时发车后，至少经过几分钟再次同时发车？ 【答案】分钟 【分析】53路车的发车间隔是5的倍数，85路车的发车间隔是6的倍数，72路车的发车间隔是7的倍数，因此三路车同时发车的间隔时间是5、6、7的公倍数。求至少经过的时间，就是求5、6、7的最小公倍数。5、6、7两两互质，它们的最小公倍数为它们的乘积。 【详解】 （分钟） 答：至少经过210分钟再次同时发车。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $