第五单元 《可能性》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年五年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《可能性》单元复习讲义以“概念-规律-应用”逻辑链构建知识体系，通过框架图呈现事件确定性与不确定性、可能性大小等五大知识点，用表格对比描述词语（一定、可能等），思维导图梳理试验验证与游戏公平性的内在联系，突出重难点递进关系。 讲义亮点在于“典例-易错-应用”三维练习设计，如典例精讲1分析摸球颜色结果培养数学眼光，典例精讲3结合商场摸奖数据推理可能性发展数学思维，专项精练中游戏公平性设计强化数学语言表达。易错提醒帮助学生规避认知误区，分层题型满足不同学生需求，为教师精准教学提供系统支持。

第五单元 《可能性》 典例易错讲义 知识点 1：事件的确定性与不确定性 1. 核心概念 确定事件：在一定条件下，结果可以预知、必然发生或必然不发生的事件，分为两类： 一定发生：给定条件下，结果肯定会出现。例如：太阳从东方升起。 不可能发生：给定条件下，结果肯定不会出现。例如：一天有 25 个小时。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，结果无法提前预知，可能发生也可能不发生的事件。例如：明天会下雨、抛一枚硬币正面朝上。 2. 描述事件的常用词语 描述确定事件：一定、肯定、必定、不可能、绝不会 描述不确定事件：可能、也许、说不定、有可能 3. 判断方法 判断一个事件的类别，核心看结果是否具有唯一性、可预知性： 结果唯一且必然出现 → 一定发生 结果唯一且必然不出现 → 不可能发生 结果不唯一，存在多种可能 → 可能发生 典型示例 题目：在括号里填 “一定”“不可能” 或 “可能”。 （1）地球绕着太阳转。（ ） （2）下周一会下雪。（ ） （3）两位数加两位数的和是三位数。（ ） （4）爸爸的年龄比儿子小。（ ） 解：（1）一定；（2）可能；（3）可能；（4）不可能 易错提醒 误将生活中大概率发生的事件当成 “一定” 发生的事件，忽略极端特殊情况。 混淆 “不可能” 和 “可能性很小”，可能性再小的事件也属于 “可能” 事件，不属于 “不可能”。 描述事件时忽略前提条件，同一事件在不同条件下，确定性可能发生变化。 知识点 2：可能性的大小 1. 核心规律 不确定事件发生的可能性有大有小。可能性的大小与事件对应的数量多少或区域面积大小直接相关： 对应数量越多、占比越大，事件发生的可能性越大； 对应数量越少、占比越小，事件发生的可能性越小； 对应数量相等时，事件发生的可能性大致相等。 2. 常见场景的判断方法 摸球 / 摸牌类：总数中某类物品的数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。 例如：盒子里有 5 个红球、2 个白球，红球数量多，摸到红球的可能性大。 转盘类：转盘上某一区域的面积越大，指针停在该区域的可能性越大；面积越小，可能性越小。 抽签类：签的总数中，某类签的数量越多，抽到的可能性越大。 3. 重要性质 可能性的大小只反映事件发生的概率高低，不代表事件必然发生或必然不发生。 例如：中奖率高不代表一定会中奖，中奖率低也不代表一定不会中奖。 单次试验的结果具有随机性，即使可能性很大的事件，单次试验中也可能不发生。 典型示例 题目：布袋里有 8 支红铅笔、4 支蓝铅笔和 1 支黑铅笔，从中任意摸出 1 支，摸到哪种颜色铅笔的可能性最大？摸到哪种的可能性最小？ 解：红铅笔数量最多，黑铅笔数量最少，因此摸到红铅笔的可能性最大，摸到黑铅笔的可能性最小。 易错提醒 仅凭个人经验主观判断可能性大小，忽略数量占比的客观依据。 误认为可能性大的事件就一定会发生，混淆 “可能性” 与 “必然性”。 计算总数时出错，导致对可能性大小的判断出现偏差。 知识点 3：可能性的试验验证 1. 试验的意义 通过大量重复的随机试验，可以用事件发生的频率来推测其可能性的大小；试验次数越多，试验结果就越接近理论上的可能性大小。 2. 典型试验规律 抛硬币试验：抛的次数越少，正反面朝上的次数差异可能越大；抛的次数越多，正反面朝上的次数越接近相等。 摸球试验：重复摸球（每次摸完放回摇匀）的次数越多，摸到各类球的次数比就越接近各类球的数量比。 3. 试验注意事项 保证每次试验的条件完全相同（例如摸球后放回、摇匀，转盘每次自由转动）。 试验次数要足够多，单次或少数几次的结果不能代表真实的可能性大小。 记录数据要准确，通过整理、对比数据得出结论。 典型示例 题目：小明抛一枚硬币，前 3 次都是正面朝上，第 4 次抛硬币，正面朝上的可能性大还是反面朝上的可能性大？ 解：抛硬币正面和反面朝上的可能性始终相等，与之前的结果无关，因此第 4 次正面和反面朝上的可能性一样大。 易错提醒 误以为连续出现某一结果后，下一回合出现另一结果的可能性会变大，实际上每次独立试验的可能性互不影响。 仅凭少数几次试验的结果就下结论，忽略试验次数的重要性。 试验过程中没有保证条件一致，导致试验结果不具备参考性。 知识点 4：游戏规则的公平性 1. 公平性判断标准 一个游戏规则对双方公平，核心条件是：双方获胜的可能性大小相等。 双方获胜可能性相等 → 游戏公平 双方获胜可能性不相等 → 游戏不公平 2. 常见公平 / 不公平游戏分析 公平游戏示例：抛硬币决定谁先发球，正反面朝上的可能性相等，规则公平。 不公平游戏示例：掷骰子，点数大于 3 甲赢，点数小于 3 乙赢。大于 3 的有 3 种可能（4、5、6），小于 3 的有 2 种可能（1、2），双方可能性不等，规则不公平。 3. 设计公平游戏规则的方法 确定游戏的参与方与获胜规则； 调整双方获胜对应的条件数量，保证双方获胜的可能性相等； 验证规则：分别计算双方获胜的可能情况，确认数量一致。 典型示例 题目：有 2、3、4、5 四张数字卡片，任意抽两张，和是奇数小明赢，和是偶数小红赢，这个游戏公平吗？ 解：两两相加的和有：2+3=5、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8、4+5=9。 其中奇数有 4 个，偶数有 2 个，小明赢的可能性更大，因此这个游戏不公平。 易错提醒 只看表面规则形式，不计算双方获胜的实际可能数量，误判公平性。 设计规则时只考虑一方的条件，忽略另一方，导致双方可能性不对等。 混淆 “公平” 与 “输赢”，公平的游戏也会有输有赢，只是双方赢的机会均等。 知识点 5：可能性的实际应用 1. 生活中的常见应用场景 抽奖活动：设置奖项等级时，一等奖数量最少，中奖可能性最小；参与奖数量最多，中奖可能性最大。 转盘设计：商家促销转盘通常大奖区域面积小，中奖可能性低；小奖区域面积大，中奖可能性高。 比赛规则：体育比赛中通过抛硬币、猜拳等方式决定先后，利用可能性相等保证公平。 风险预判：根据天气、数据等信息，预判事件发生的可能性，辅助决策。 2. 基于可能性的合理决策 当需要提高事件发生的概率时，可以增加对应条件的数量或面积。 当需要保证公平性时，必须让各方对应的可能性大小相等。 对可能性小的事件做好预案，不能因为可能性小就默认不会发生。 易错提醒 忽略实际场景的约束，生搬硬套可能性规律。 将可能性的大小绝对化，用 “肯定”“绝对” 描述随机事件的结果。 常考易错 题型1：事件的确定性与不确定性 【典例精讲1】袋子里有12个红球、8个黄球、4个绿球，任意从袋子里摸一个球，球的颜色可能有_________________种结果，摸到_________________球的可能性最大；如果从袋子里任意摸两个球，球的颜色可能有_______________种结果。 【答案】 3 红 6 【分析】袋子里有几种颜色的球，摸出的颜色就有几种可能的结果；比较各种颜色球的数量，哪种颜色球的数量最多，摸到哪种颜色球的可能性就最大；任意摸两个球，结果有同色和不同色，分别将同色和不同色的情况列举出来即可。 【详解】袋子里有12个红球、8个黄球、4个绿球，共3种颜色的球，任意从袋子里摸一个球，球的颜色可能有3种结果，12＞8＞4，红球的数量最多，因此摸到红球的可能性最大；如果从袋子里任意摸两个球，有红红、黄黄、绿绿、红黄、红绿、黄绿，共6种情况，因此球的颜色可能有6种结果。 常考易错 题型2：判定事件发生的可能性大小 【典例精讲2】龙龙和聪聪一起玩摸球游戏。每人各摸20次（摸后放回），龙龙摸了12次红球、5次白球、3次黄球。( )球的数量可能最多。 【答案】红 【分析】在玩摸球游戏中，某种颜色球出现的次数越多，说明该颜色球的数量可能越多。所以我们需要比较各种颜色球出现的次数，找出出现次数最多的颜色球，其对应的数量就是最多的。 【详解】已知12次红球、5次白球、3次黄球。 12次＞5次＞3次，红球出现的次数最多，因此红球的数量可能最多。 常考易错 题型3：可能性大小的应用 【典例精讲3】国庆节当天，某商场举行摸球赢大奖的活动，购物满99元可摸奖1次（摸1次集1个字），只要集齐“国庆节快乐”5个字，就可赢得一部手机。乐乐在摸奖箱旁边随机观察了90人，这90人为了得到大奖，每人都摸了5次，共450次。情况如下。 摸到的字 国 庆 节 快 乐 摸到的次数 165 85 92 2 106 根据调查结果推测，容易赢得大奖吗？请写出你的理由。 【答案】不容易赢得大奖。根据调查结果可知，摸到“快”字的次数最少，可以推测：在摸奖箱中，“快”字奖券有可能最少，被摸到的可能性也很小。所以不容易凑齐“国庆节快乐”这5个字，即不容易赢得大奖。（理由合理即可） 【分析】要判断是否容易赢大奖，需看集齐5个字的难度。赢大奖必须集齐5个字，摸到次数最少的字最难获得，是集齐的关键。据此分析。“快”字摸到次数极少，因此很难集齐。 【详解】根据题意可知，5个字的总摸到次数是450次，对比每个字的摸到次数：“国”“庆”“节”“乐”被摸到的次数都很多，只有“快”字总共只被摸到2次，出现的次数特别少，大家很难摸到“快”字，自然很难集齐“国庆节快乐”5个字，所以不容易赢大奖。 常考易错 题型4：简单事件发生的可能性求解 【典例精讲4】爸爸在三个盒子上贴上标签，盒子里分别装着两个红球、两个白球和一红一白两个球，但是标签全贴错了，爸爸要求曲米只能从其中一个盒子里摸出一个球，然后就说出三个盒子里分别装的是什么颜色的球。曲米该怎样摸球？如何判断？ 【答案】见详解 【分析】三个盒子上的标签全贴错了，从标有一红一白两个球的盒子里摸出一个球，摸出的球可能是红球，也可能是白球，如果摸出的球是红球，那么这个盒子里装的是两个红球；如果摸出的球是白球，那么这个盒子里装的是两个白球，最后根据“标签全贴错了”确定剩下两个盒子里的球即可。 【详解】分析可知，曲米从贴有“一红一白”标签的盒子里摸出一个球，如果摸出的球是红球，那么这个盒子里装的是两个红球，贴有“两个白球”标签的盒子里装的是一红一白，贴有“两个红球”标签的盒子里装的是两个白球；如果摸出的球是白球，那么这个盒子里装的是两个白球，贴有“两个红球”标签的盒子里装的是一红一白，贴有“两个白球”标签的盒子里装的是两个红球。（答案不唯一） 【点睛】根据从“一红一白”标签的盒子里摸出的球确定该盒子里装的球的颜色，并结合“标签全贴错了”推断出其它两个盒子里的球是解答题目的关键。 专项精练 1．一个盒子里装了10个形状大小一样的球，小明连续摸了10次都是白球（每次摸完球都放回盒子里），盒子里不可能是（    ）。 A．10个白球 B．8个红球和2个白球 C．5个白球和5个红球 D．10个红球 【答案】D 【分析】盒子里有白球，才有连续摸了10次都是白球的可能性。 【详解】A．如果盒子里是10个白球，那么每次摸出白球是必然事件，小明连续摸10次都是白球是可能的。 B．盒子里有2个白球，虽然白球数量较少，但仍有摸到白球的可能性，小明连续摸10次都是白球是有可能发生的。 C．盒子里有5个白球，有摸到白球的可能性，小明连续摸10次都是白球是有可能发生的。 D．盒子里是10个红球，那么每次只能摸出红球，不可能摸出白球，所以小明不可能连续摸10次都是白球。 2．箱子中有大小相同的红、白、黑三种颜色的球各10个，小东取出3个白球和1个黑球后，他再任意取出1个球。小东取出什么颜色的球的可能性最小？（    ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据取出的球的数量，计算出箱子里剩余各种颜色球的具体数量，然后比较剩余数量的多少。依据“在总数中占的数量越少，被取出的可能性越小”这一规律，确定可能性最小的颜色。 【详解】红球：10－0＝10（个） 白球：10－3＝7（个） 黑球：10－1＝9（个） 10＞9＞7 所以，小东取出白球的可能性最小。 3．一个正方体的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，如果抛出这个正方体，朝上的面是（    ）的可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。根据可能性的求法，求一个数是另一个数的几分之几用除法分别解答即可。 【详解】奇数有1、3、5，共3个，朝上的面是奇数的可能性：3÷6＝； 偶数有2、4、6，共3个，朝上的面是偶数的可能性：3÷6＝； 质数有2、3、5，共3个，朝上的面是质数的可能性：3÷6＝； 合数有4、6，共2个，朝上的面是合数的可能性：2÷6＝。 且，所以 所以朝上的面是合数的可能性最小。 4．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。王芳家制作了三种口味的粽子，其中豆沙的15个，红枣的14个，花生的13个。从中任意拿一个，吃到（    ）口味的可能性最大。 A．豆沙 B．红枣 C．花生 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据哪种口味粽子的数量最多，任意拿一个时吃到该口味的可能性就最大，通过比较三种口味粽子的数量来确定答案。 【详解】15＞14＞13， 豆沙口味的粽子数量最多，所以从中任意拿一个，吃到豆沙口味的可能性最大。 5．丽丽从一个装有红、黄两种颜色球（除颜色外均相同）的盒子里任意摸出一个球，记录下颜色后放回。一共摸了20次，其中摸到红球12次，摸到黄球8次，下列说法正确的是（    ）。 A．盒子里一定装了20个球 B．盒子里的红球可能比黄球多 C．盒子里的黄球一定比红球少 D．盒子里的红球和黄球个数一定相同 【答案】B 【分析】根据题意，丽丽从装有红、黄两种颜色球的盒子里摸球20次，记录后放回，其中摸到红球12次，黄球8次。这是一个有放回的随机摸球试验，摸到红球的次数多于黄球，只能说明摸到红球的可能性更大，据此解答。 【详解】在有放回的摸球试验中，摸到某种颜色球的次数多，只能说明该颜色球数量可能更多，而非“一定”更多。 A．盒子里球的总数与摸球次数无关，不一定是20个，错误。 B．摸到红球次数多，说明盒子里的红球可能比黄球多，正确。 C．不能确定黄球一定比红球少，只是可能性小，错误。 D．红球和黄球个数不一定相同，错误。 故答案为：B 6．某超市举行“10周年店庆”活动，凡购物满200元即可获得一次转动转盘的机会，指针落在红色区域为一等奖，落在蓝色区域为二等奖，落在黄色区域不中奖。从超市老板角度来看，为了节约成本应选择转盘（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从节约成本角度考虑，应使中奖区域（红色和蓝色区域）总面积尽可能小，据此解答。 【详解】A．红色和蓝色区域总面积大于黄色区域面积，中奖可能性相对较大，不利于节约成本。 B．红色和蓝色区域总面积大于黄色区域面积，中奖可能性相对较大，不利于节约成本。 C．红色和蓝色区域总面积大于黄色区域面积，中奖可能性相对较大，不利于节约成本。 D．红色和蓝色区域总面积小于黄色区域面积，中奖可能性相对最低，最有利于老板节约成本。 故答案为：D 7．如下图，任意转动转盘两次，指针两次指向的数的积是奇数的可能性与是偶数的可能性相比，（    ）。 A．奇数大 B．偶数大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】可以通过列表列举出所有情况，数出积是奇数的情况数与积是偶数的情况数，然后进行比较。 【详解】指针两次指向的数的积可能出现的结果如下。 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 由上表可以看出，一共有16个结果，其中两数之积是奇数的有4个，是偶数的有12个，所以指针两次指向的数的积是偶数的可能性大。 故答案为：B 【点睛】此题考查可能性的大小，通过列表列举出所有情况再进行比较。 8．生活中，我们常常用一些成语来形容事件发生的可能性的大小。下面成语中，事件发生的可能性最大的是（    ）。 A．海底捞针 B．百发百中 C．平分秋色 D．守株待兔 【答案】B 【分析】根据各成语形容事件发生的可能性的大小，逐项分析，即可解答。 【详解】A．海底捞针，形容事件很难办成，发生的可能性几乎没有； B．百发百中，形容事件发生的可能性为百分之百； C．平分秋色，形容事件发生的可能性占一半； D．守株待兔，形容事件在一定条件下可能发生也可能不发生，发生的可能性很小。 生活中，我们常常用一些成语来形容事件发生的可能性的大小。下面成语中，事件发生的可能性最大的是百发百中。 故答案为：B 9．箱子里有2个红球、5个白球、7个绿球和9个黄球（形状、大小相同）从中任意摸出一个球，会出现( )种不同的结果，摸到( )球的可能性最大。 【答案】 4 黄 【详解】根据题意，可能会摸到红球、白球、绿球、黄球，4种不同的结果，黄球最多，摸到黄球的可能性最大。 【解答】9＞7＞5＞2 会出现4种不同的结果，摸到黄球的可能性最大。 10．有6、7、8三张数字卡片，如果从中任意摸出一张( )是双数，如果任意摸出两张，相乘的积( )是单数。（填“可能”“一定”或“不可能”） 【答案】 可能 不可能 【分析】数字卡片只要有双数，从中任意摸出一张，摸出的就有可能是双数；如果任意摸出两张，先确定一张，另外两张与之搭配，据此确定所有可能的情况，求积，相乘的积有单数就有可能是单数，相乘的积没有单数就不可能是单数。 【详解】有6、7、8三张数字卡片，其中6和8是双数，如果从中任意摸出一张可能是双数，如果任意摸出两张，6×7＝42、6×8＝48、7×8＝56，相乘的积都是双数，因此相乘的积不可能是单数。 11．从1－9这9个数字中任意选一个，是2或3的倍数的概率是( )。 【答案】 【分析】先确定1－9共9个数字，总共有9种可能的选择；再找出其中是2或3的倍数的数字，最后用符合条件的数量除以总数量，求出概率。 【详解】1－9共9个数字，是2或3的倍数的数字：2、3、4、6、8、9，共6个。 6÷9＝＝ 12．盒子里有大小、质量相同的2个白球，3个黄球，4个蓝球，摇匀后，从盒子里任意摸出一个球，有( )种不同的结果。摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 【答案】 3 蓝 白 【分析】有几种颜色的小球，任意摸出一个就有几种可能；哪个颜色的球越多，摸到的可能性就大，反之，哪个颜色的球越少，摸到的可能性就小。 【详解】盒子有白球2个、黄球3个、蓝球4个，共3种颜色，所以摇匀后，从盒子里任意摸出一个球，有3种不同的结果。 蓝色球的数量最多，白球的数量最少，所以，摸到蓝球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 13．盒子里放着大小、轻重相同的3个白球，10个红球和1个蓝球，从盒中摸一个球，摸出( )球的可能性最大。 【答案】红 【分析】数量越多，摸到的可能性越大，反之，数量越少，摸到的可能性越小。 【详解】10＞3＞1，摸到红球的可能性最大。 14．盒子里有红、蓝、绿三种颜色的棋子，下表是小明摸棋子的记录（摸了60次，每次摸出后放回）。盒子里( )色棋子可能最多，( )色棋子可能最少。 颜色 红色 蓝色 绿色 次数 42 15 3 【答案】 红 绿 【分析】根据摸球试验的记录，摸到某种颜色的次数越多，说明这种颜色的棋子数量可能越多；摸到某种颜色的次数越少，说明这种颜色的棋子数量可能越少。 【详解】摸球总次数是60次，红色被摸到的次数是42次，占比最大；绿色被摸到的次数是3次，占比最小。因此，盒子里红色棋子可能最多，绿色棋子可能最少。 15．成语“瓜熟蒂落”“守株待兔”“旭日东升”“水落石出”所反映的事件中、可能性最小的是( )。 【答案】守株待兔 【分析】分析片段“瓜熟蒂落”是自然规律，一定会发生；“旭日东升”是自然现象，一定会发生；“水落石出”指事情真相最终会显现，发生的可能性很大；而“守株待兔”是偶然发生的事件，发生的可能性极小。据此解答即可。 【详解】根据分析可知：所反映的事件中、可能性最小的是守株待兔。 16．某十字路口红绿灯的时间设置为：红灯90秒，黄灯3秒，绿灯30秒。当车经过这个路口时，遇到的交通信号灯有( )种可能，遇到( )灯的可能性最大。 【答案】 3 红 【分析】十字路口的交通信号灯有红灯、黄灯、绿灯三种，因此经过该路口时，遇到的交通信号灯有3种可能。已知红灯90秒，黄灯3秒，绿灯30秒。由于90＞30＞3，即红灯持续时间最长，根据“某种信号灯持续时间越长，遇到该信号灯的可能性越大”，可知遇到红灯的可能性最大。 【详解】某十字路口红绿灯的时间设置为：红灯90秒，黄灯3秒，绿灯30秒。当车经过这个路口时，遇到的交通信号灯有3种可能，遇到红灯的可能性最大。 17．盒子里有两种不同颜色的球（除颜色外，其他均相同），苗苗摸了40次，摸球的情况如下表。 颜色 绿 红 次数 12 28 根据表中的数据推测，盒子里( )色的球可能多，( )色的球可能少。 【答案】 红 绿 【分析】解答这道题需明确：在随机摸取的试验中，当试验次数足够多时，某种物体被摸到的次数越多，说明其在总数中的数量可能越多；反之，数量可能越少。已知苗苗摸了40次球，其中摸到绿色球12次，摸到红色球28次。通过对比次数可知：28＞12。结合“摸到次数多，则数量可能多”的规律解答即可。 【详解】根据分析： 因28＞12，即摸到红色球的次数比摸到绿色球的次数多。 所以，盒子里红色的球可能多，绿色的球可能少。 18．盲盒自动售卖机里有8个黄色盲盒、12个蓝色盲盒，投币后会随机出来一个，若使出来黄色盲盒和蓝色盲盒的可能性一样大，需要再放入( )个黄色盲盒。 【答案】4 【分析】数量多的，可能性就大；数量少的，可能性就小；数量相同，可能性就相同，所以若使出来黄色盲盒和蓝色盲盒的可能性一样大，则黄色盲盒和蓝色盲盒的数量要一样多，据此分析。 【详解】12－8＝4（个） 盲盒自动售卖机里有8个黄色盲盒、12个蓝色盲盒，投币后会随机出来一个，若使黄色盲盒和蓝色盲盒的可能性一样大，需要再放入4个黄色盲盒。 19．三张同样的纸片上分别写有数字1、2、3，把它们背面朝上放在桌上，从中任意选出2张，求这两张纸片上的数字分别为1和2的概率． 【答案】分别为1和2的概率是． 【详解】画树状图得： 根据树状图可得：一共有6种情况，抽到数字分别为1和2的有2种； 那么抽到数字分别为1和2的概率是：2÷6＝． 答：这两张纸片上的数字分别为1和2的概率是． 20．一次同时掷两枚骰子，骰子落地后掷得的点数(两枚骰子点数相加)有多少种可能?分别把这些可能的结果写出来． 【答案】11种  可能的结果是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12． 【详解】1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5,1+5=6，1+6=7； 2+6=8；3+6=9；4+6=10；5+6=11；6+6=12 答：有11种可能，这些可能的结果是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12． 21．有两个正方体，每个面上写上1、2、3、4、5、6，任意抛这2个正方体，他们的和最可能是几？可能性有多大？ 【答案】7； 【详解】出现的情况有6×6=36（种） 通过列举法 若第一个的数字是1，则两个的和可能是2、3、4、5、6、7 若第一个的数字是2，则两个的和可能是3、4、5、6、7、8 若第一个的数字是3，则两个的和可能是4、5、6、7、8、9 若第一个的数字是4，则两个的和可能是5、6、7、8、9、10 若第一个的数字是5，则两个的和可能是6、7、8、9、10、11 若第一个的数字是6，则两个的和可能是7、8、9、10、11、12 由此可见，向上一面数字的和最可能出现的是7，共有6种可能，所以概率为= 22．一个正方体骰子。 （1）六个面上分别写着数字1~6，可能掷出几种结果？分别是什么？　 （2）六个面上分别写着数字1、2、3、6、6、6，可能掷出几种结果？分别是什么？可能性最大的是哪个数字？ 【答案】（1）六；1、2、3、4、5、6； （2）4种结果；1、2、3、6　可能性最大的6。 【详解】略 23．王老师准备买一辆价值270元的自行车，商场规定：购物满200元以上者，可以抽奖1次，每次只能摸1个球，摸到白球返10元现金，摸到红球返50元现金。王老师最终买下这辆自行车最有可能花了多少元？说说你的理由。 【答案】260元；因为白球比红球多得多，所以王老师最有可能摸到白球，返10元现金，花260元。 【分析】抽奖箱中有1个红球和9个白球，总共10个球，因为，所以摸到白球的概率大于摸到红球的概率，王老师最有可能摸到白球。摸到白球返10元现金，摸到红球返50元现金。自行车价值270 元，摸到白球返10元现金，所以王老师最有可能花（）元。 【详解】，所以摸到白球的概率大于摸到红球的概率，王老师最有可能摸到白球，摸到白球返10元现金。（元） 答：王老师最终买下这辆自行车最有可能花了 260 元，因为抽奖箱中摸到白球的概率大于摸到红球的概率，摸到白球返10元现金，所以最有可能只返10元现金，花费260元。 24．甲、乙、丙三个袋子里，分别装有20、40、60个球，这些球除了颜色外完全相同，且每个袋子里都有15个红球。小明想从其中一个袋子中摸出一个红球，你建议他从哪个袋子中摸球，说说你的想法。 【答案】甲袋；因为在甲袋中摸到红球的可能性最大。（答案不唯一） 【分析】因为每个袋子里红球的数量相等，袋子里球的总数量越少，摸到红球的可能性越大，据此解答即可。 【详解】20＜40＜60 所以甲袋摸到红球的可能性最大。 答：建议他从甲袋中摸球，理由：因为在甲袋中摸到红球的可能性最大。（答案不唯一） 25．请看以下相关信息，解决数学问题。 “双11”快到了，海尔电器商场准备进行抽奖活动，奖品如下： 如果你是商场的经理，你会怎样设计抽奖方案？并说一说理由。 【答案】如果我是经理我会这样设计：一等奖商品最贵，数量最少；二等奖数量次之，三等奖数量第三少，四等奖数量最多；因为贵的商品越少，商场的利益越大。（答案不唯一） 【分析】商场的经理为保证商场利益，应该把最贵的一等奖数量设置最少，摸到的可能性最小；二等奖第二少，三等奖第三少，四等奖最多，据此解答即可（答案不唯一）。 【详解】答：如果我是经理我会这样设计：一等奖商品最贵，数量最少；二等奖数量次之，三等奖数量第三少，四等奖数量最多；因为贵的商品越少，商场的利益越大。（答案不唯一） 【点睛】本题考查可能性的大小，解答本题的关键是掌握可能性的概念。 26．盒子里有黑、白两种棋子，摸出1颗，记录颜色，再放回摇匀，重复20次，结果如表所示。 黑色棋子 白色棋子 4次 16次 (1)这个盒子里( )色的棋子可能多。 (2)这个盒子里黑、白两种棋子的数量可能性最大的是（    ）。 A．白色10颗，黑色10颗 B．白色10颗，黑色2颗 C．黑色5颗，白色1颗 (3)乐乐和园园从盒子里摸棋子，摸到黑色棋子乐乐得1分，摸到白色棋子园园得1分，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)白 (2)B (3)不公平。因为根据记录结果可知，摸到白色棋子的可能性更大，所以这个游戏不公平。 【分析】（1）我们通过重复摸棋子20次来推测盒子里哪种颜色棋子可能更多。摸出黑色棋子4次，白色棋子16次，由于每次摸出后都放回摇匀，摸的次数越多，结果越能反映盒子里棋子数量的情况。摸到白色棋子的次数远多于黑色棋子，所以盒子里白色的棋子可能多。 （2）要判断黑白两种棋子数量可能性最大的选项，需要看哪个选项中白色棋子数量明显多于黑色棋子，且能较好地解释摸到白色棋子次数远多于黑色棋子的结果。 （3）游戏公平的条件是双方获胜的可能性相等。在这个游戏中，摸到黑色棋子乐乐得1分，摸到白色棋子园园得1分。从前面的摸棋子结果来看，摸到白色棋子的可能性更大，这意味着园园得分的机会比乐乐多，所以这个游戏不公平。 【详解】（1）这个盒子里白色的棋子可能多。 （2）A .黑白棋子数量相同，那么摸到两种颜色棋子的次数应该比较接近，不符合题意； B.白色棋子10颗，黑色棋子2颗，白色棋子数量远多于黑色棋子，这与摸到白色棋子16次、黑色棋子4次的结果（白色次数约是黑色次数的4倍）比较相符； C黑色棋子5颗，白色棋子1颗，有可能一次都摸不到白色棋子，不符合题意； 故答案为：B （3）不公平。因为根据记录结果可知，摸到白色棋子的可能性更大，所以这个游戏不公平。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 《可能性》 典例易错讲义 知识点 1：事件的确定性与不确定性 1. 核心概念 确定事件：在一定条件下，结果可以预知、必然发生或必然不发生的事件，分为两类： 一定发生：给定条件下，结果肯定会出现。例如：太阳从东方升起。 不可能发生：给定条件下，结果肯定不会出现。例如：一天有 25 个小时。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，结果无法提前预知，可能发生也可能不发生的事件。例如：明天会下雨、抛一枚硬币正面朝上。 2. 描述事件的常用词语 描述确定事件：一定、肯定、必定、不可能、绝不会 描述不确定事件：可能、也许、说不定、有可能 3. 判断方法 判断一个事件的类别，核心看结果是否具有唯一性、可预知性： 结果唯一且必然出现 → 一定发生 结果唯一且必然不出现 → 不可能发生 结果不唯一，存在多种可能 → 可能发生 典型示例 题目：在括号里填 “一定”“不可能” 或 “可能”。 （1）地球绕着太阳转。（ ） （2）下周一会下雪。（ ） （3）两位数加两位数的和是三位数。（ ） （4）爸爸的年龄比儿子小。（ ） 解：（1）一定；（2）可能；（3）可能；（4）不可能 易错提醒 误将生活中大概率发生的事件当成 “一定” 发生的事件，忽略极端特殊情况。 混淆 “不可能” 和 “可能性很小”，可能性再小的事件也属于 “可能” 事件，不属于 “不可能”。 描述事件时忽略前提条件，同一事件在不同条件下，确定性可能发生变化。 知识点 2：可能性的大小 1. 核心规律 不确定事件发生的可能性有大有小。可能性的大小与事件对应的数量多少或区域面积大小直接相关： 对应数量越多、占比越大，事件发生的可能性越大； 对应数量越少、占比越小，事件发生的可能性越小； 对应数量相等时，事件发生的可能性大致相等。 2. 常见场景的判断方法 摸球 / 摸牌类：总数中某类物品的数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。 例如：盒子里有 5 个红球、2 个白球，红球数量多，摸到红球的可能性大。 转盘类：转盘上某一区域的面积越大，指针停在该区域的可能性越大；面积越小，可能性越小。 抽签类：签的总数中，某类签的数量越多，抽到的可能性越大。 3. 重要性质 可能性的大小只反映事件发生的概率高低，不代表事件必然发生或必然不发生。 例如：中奖率高不代表一定会中奖，中奖率低也不代表一定不会中奖。 单次试验的结果具有随机性，即使可能性很大的事件，单次试验中也可能不发生。 典型示例 题目：布袋里有 8 支红铅笔、4 支蓝铅笔和 1 支黑铅笔，从中任意摸出 1 支，摸到哪种颜色铅笔的可能性最大？摸到哪种的可能性最小？ 解：红铅笔数量最多，黑铅笔数量最少，因此摸到红铅笔的可能性最大，摸到黑铅笔的可能性最小。 易错提醒 仅凭个人经验主观判断可能性大小，忽略数量占比的客观依据。 误认为可能性大的事件就一定会发生，混淆 “可能性” 与 “必然性”。 计算总数时出错，导致对可能性大小的判断出现偏差。 知识点 3：可能性的试验验证 1. 试验的意义 通过大量重复的随机试验，可以用事件发生的频率来推测其可能性的大小；试验次数越多，试验结果就越接近理论上的可能性大小。 2. 典型试验规律 抛硬币试验：抛的次数越少，正反面朝上的次数差异可能越大；抛的次数越多，正反面朝上的次数越接近相等。 摸球试验：重复摸球（每次摸完放回摇匀）的次数越多，摸到各类球的次数比就越接近各类球的数量比。 3. 试验注意事项 保证每次试验的条件完全相同（例如摸球后放回、摇匀，转盘每次自由转动）。 试验次数要足够多，单次或少数几次的结果不能代表真实的可能性大小。 记录数据要准确，通过整理、对比数据得出结论。 典型示例 题目：小明抛一枚硬币，前 3 次都是正面朝上，第 4 次抛硬币，正面朝上的可能性大还是反面朝上的可能性大？ 解：抛硬币正面和反面朝上的可能性始终相等，与之前的结果无关，因此第 4 次正面和反面朝上的可能性一样大。 易错提醒 误以为连续出现某一结果后，下一回合出现另一结果的可能性会变大，实际上每次独立试验的可能性互不影响。 仅凭少数几次试验的结果就下结论，忽略试验次数的重要性。 试验过程中没有保证条件一致，导致试验结果不具备参考性。 知识点 4：游戏规则的公平性 1. 公平性判断标准 一个游戏规则对双方公平，核心条件是：双方获胜的可能性大小相等。 双方获胜可能性相等 → 游戏公平 双方获胜可能性不相等 → 游戏不公平 2. 常见公平 / 不公平游戏分析 公平游戏示例：抛硬币决定谁先发球，正反面朝上的可能性相等，规则公平。 不公平游戏示例：掷骰子，点数大于 3 甲赢，点数小于 3 乙赢。大于 3 的有 3 种可能（4、5、6），小于 3 的有 2 种可能（1、2），双方可能性不等，规则不公平。 3. 设计公平游戏规则的方法 确定游戏的参与方与获胜规则； 调整双方获胜对应的条件数量，保证双方获胜的可能性相等； 验证规则：分别计算双方获胜的可能情况，确认数量一致。 典型示例 题目：有 2、3、4、5 四张数字卡片，任意抽两张，和是奇数小明赢，和是偶数小红赢，这个游戏公平吗？ 解：两两相加的和有：2+3=5、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8、4+5=9。 其中奇数有 4 个，偶数有 2 个，小明赢的可能性更大，因此这个游戏不公平。 易错提醒 只看表面规则形式，不计算双方获胜的实际可能数量，误判公平性。 设计规则时只考虑一方的条件，忽略另一方，导致双方可能性不对等。 混淆 “公平” 与 “输赢”，公平的游戏也会有输有赢，只是双方赢的机会均等。 知识点 5：可能性的实际应用 1. 生活中的常见应用场景 抽奖活动：设置奖项等级时，一等奖数量最少，中奖可能性最小；参与奖数量最多，中奖可能性最大。 转盘设计：商家促销转盘通常大奖区域面积小，中奖可能性低；小奖区域面积大，中奖可能性高。 比赛规则：体育比赛中通过抛硬币、猜拳等方式决定先后，利用可能性相等保证公平。 风险预判：根据天气、数据等信息，预判事件发生的可能性，辅助决策。 2. 基于可能性的合理决策 当需要提高事件发生的概率时，可以增加对应条件的数量或面积。 当需要保证公平性时，必须让各方对应的可能性大小相等。 对可能性小的事件做好预案，不能因为可能性小就默认不会发生。 易错提醒 忽略实际场景的约束，生搬硬套可能性规律。 将可能性的大小绝对化，用 “肯定”“绝对” 描述随机事件的结果。 常考易错 题型1：事件的确定性与不确定性 【典例精讲1】袋子里有12个红球、8个黄球、4个绿球，任意从袋子里摸一个球，球的颜色可能有_________________种结果，摸到_________________球的可能性最大；如果从袋子里任意摸两个球，球的颜色可能有_______________种结果。 常考易错 题型2：判定事件发生的可能性大小 【典例精讲2】龙龙和聪聪一起玩摸球游戏。每人各摸20次（摸后放回），龙龙摸了12次红球、5次白球、3次黄球。( )球的数量可能最多。 常考易错 题型3：可能性大小的应用 【典例精讲3】国庆节当天，某商场举行摸球赢大奖的活动，购物满99元可摸奖1次（摸1次集1个字），只要集齐“国庆节快乐”5个字，就可赢得一部手机。乐乐在摸奖箱旁边随机观察了90人，这90人为了得到大奖，每人都摸了5次，共450次。情况如下。 摸到的字 国 庆 节 快 乐 摸到的次数 165 85 92 2 106 根据调查结果推测，容易赢得大奖吗？请写出你的理由。 常考易错 题型4：简单事件发生的可能性求解 【典例精讲4】爸爸在三个盒子上贴上标签，盒子里分别装着两个红球、两个白球和一红一白两个球，但是标签全贴错了，爸爸要求曲米只能从其中一个盒子里摸出一个球，然后就说出三个盒子里分别装的是什么颜色的球。曲米该怎样摸球？如何判断？ 专项精练 1．一个盒子里装了10个形状大小一样的球，小明连续摸了10次都是白球（每次摸完球都放回盒子里），盒子里不可能是（    ）。 A．10个白球 B．8个红球和2个白球 C．5个白球和5个红球 D．10个红球 2．箱子中有大小相同的红、白、黑三种颜色的球各10个，小东取出3个白球和1个黑球后，他再任意取出1个球。小东取出什么颜色的球的可能性最小？（    ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．无法确定 3．一个正方体的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，如果抛出这个正方体，朝上的面是（    ）的可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 4．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。王芳家制作了三种口味的粽子，其中豆沙的15个，红枣的14个，花生的13个。从中任意拿一个，吃到（    ）口味的可能性最大。 A．豆沙 B．红枣 C．花生 D．无法确定 5．丽丽从一个装有红、黄两种颜色球（除颜色外均相同）的盒子里任意摸出一个球，记录下颜色后放回。一共摸了20次，其中摸到红球12次，摸到黄球8次，下列说法正确的是（    ）。 A．盒子里一定装了20个球 B．盒子里的红球可能比黄球多 C．盒子里的黄球一定比红球少 D．盒子里的红球和黄球个数一定相同 6．某超市举行“10周年店庆”活动，凡购物满200元即可获得一次转动转盘的机会，指针落在红色区域为一等奖，落在蓝色区域为二等奖，落在黄色区域不中奖。从超市老板角度来看，为了节约成本应选择转盘（    ）。 A． B． C． D． 7．如下图，任意转动转盘两次，指针两次指向的数的积是奇数的可能性与是偶数的可能性相比，（    ）。 A．奇数大 B．偶数大 C．一样大 D．无法确定 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 8．生活中，我们常常用一些成语来形容事件发生的可能性的大小。下面成语中，事件发生的可能性最大的是（    ）。 A．海底捞针 B．百发百中 C．平分秋色 D．守株待兔 9．箱子里有2个红球、5个白球、7个绿球和9个黄球（形状、大小相同）从中任意摸出一个球，会出现( )种不同的结果，摸到( )球的可能性最大。 10．有6、7、8三张数字卡片，如果从中任意摸出一张( )是双数，如果任意摸出两张，相乘的积( )是单数。（填“可能”“一定”或“不可能”） 11．从1－9这9个数字中任意选一个，是2或3的倍数的概率是( )。 12．盒子里有大小、质量相同的2个白球，3个黄球，4个蓝球，摇匀后，从盒子里任意摸出一个球，有( )种不同的结果。摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 13．盒子里放着大小、轻重相同的3个白球，10个红球和1个蓝球，从盒中摸一个球，摸出( )球的可能性最大。 14．盒子里有红、蓝、绿三种颜色的棋子，下表是小明摸棋子的记录（摸了60次，每次摸出后放回）。盒子里( )色棋子可能最多，( )色棋子可能最少。 颜色 红色 蓝色 绿色 次数 42 15 3 15．成语“瓜熟蒂落”“守株待兔”“旭日东升”“水落石出”所反映的事件中、可能性最小的是( )。 16．某十字路口红绿灯的时间设置为：红灯90秒，黄灯3秒，绿灯30秒。当车经过这个路口时，遇到的交通信号灯有( )种可能，遇到( )灯的可能性最大。 17．盒子里有两种不同颜色的球（除颜色外，其他均相同），苗苗摸了40次，摸球的情况如下表。 颜色 绿 红 次数 12 28 根据表中的数据推测，盒子里( )色的球可能多，( )色的球可能少。 18．盲盒自动售卖机里有8个黄色盲盒、12个蓝色盲盒，投币后会随机出来一个，若使出来黄色盲盒和蓝色盲盒的可能性一样大，需要再放入( )个黄色盲盒。 19．三张同样的纸片上分别写有数字1、2、3，把它们背面朝上放在桌上，从中任意选出2张，求这两张纸片上的数字分别为1和2的概率． 20．一次同时掷两枚骰子，骰子落地后掷得的点数(两枚骰子点数相加)有多少种可能?分别把这些可能的结果写出来． 21．有两个正方体，每个面上写上1、2、3、4、5、6，任意抛这2个正方体，他们的和最可能是几？可能性有多大？ 22．一个正方体骰子。 （1）六个面上分别写着数字1~6，可能掷出几种结果？分别是什么？　 （2）六个面上分别写着数字1、2、3、6、6、6，可能掷出几种结果？分别是什么？可能性最大的是哪个数字？ 23．王老师准备买一辆价值270元的自行车，商场规定：购物满200元以上者，可以抽奖1次，每次只能摸1个球，摸到白球返10元现金，摸到红球返50元现金。王老师最终买下这辆自行车最有可能花了多少元？说说你的理由。 24．甲、乙、丙三个袋子里，分别装有20、40、60个球，这些球除了颜色外完全相同，且每个袋子里都有15个红球。小明想从其中一个袋子中摸出一个红球，你建议他从哪个袋子中摸球，说说你的想法。 25．请看以下相关信息，解决数学问题。 “双11”快到了，海尔电器商场准备进行抽奖活动，奖品如下： 如果你是商场的经理，你会怎样设计抽奖方案？并说一说理由。 26．盒子里有黑、白两种棋子，摸出1颗，记录颜色，再放回摇匀，重复20次，结果如表所示。 黑色棋子 白色棋子 4次 16次 (1)这个盒子里( )色的棋子可能多。 (2)这个盒子里黑、白两种棋子的数量可能性最大的是（    ）。 A．白色10颗，黑色10颗 B．白色10颗，黑色2颗 C．黑色5颗，白色1颗 (3)乐乐和园园从盒子里摸棋子，摸到黑色棋子乐乐得1分，摸到白色棋子园园得1分，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $