专题01 幂的混合运算8类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以三大运算法则为核心，通过8类热考题型系统构建“法则应用-逆用迁移-综合运算”的解题体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心方法总结|法则选择与逆用+运算顺序|概念（法则）生成基础| |题型精讲|8典例+30+变式|特征识别-法则匹配-易错规避|从单一法则到逆用的应用拓展| |压轴挑战|16综合题|综合法则迁移+复杂问题转化|从基础运算到高难压轴的递进|

专题01 幂的混合运算8类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、同底数幂的乘法及其逆用 1 类型二、幂的乘方及其逆用 2 类型三、积的乘方及其逆用 2 类型四、利用幂的运算比较大小 4 类型五、利用幂的运算求字母或代数式的值 6 类型六、利用幂的运算求幂的值 6 类型七、利用幂的运算确定字母之间的关系 7 类型八、幂的混合运算 8 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 幂的运算是整式乘除的基础，也是期中期末必考的计算板块。本专题归纳 8 类热考题型，核心是熟练掌握三大运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于各因式分别乘方再相乘。解题贯穿两条原则：一是先观察底数和指数的特征，选择合适的法则或逆用法则；二是混合运算时遵循 "先乘方、再乘除、最后加减" 的顺序。所有计算结果最终均需检验底数和指数是否正确。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、同底数幂的乘法及其逆用 典例精讲1（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如果，则_______． 题型归纳 1.特征：题目中几个幂的底数相同（或可化为相同），要求相乘；或已知一个幂的值，逆用法则将指数和拆分为几个幂相乘 2.方法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 3.易错提醒：同底数幂相乘是指数相加，不是相乘；底数互为相反数时，先统一符号再计算；逆用时指数拆分错误。 变式训练1（2026七年级下·河北·专题练习）___________. 变式训练2（25-26八年级上·广东广州·期末）若，则_____； 变式训练3（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 变式训练4（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 类型二、幂的乘方及其逆用 典例精讲2（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若，，则________________． 题型归纳 1.特征：题目是一个幂再乘方，即括号外还有指数；或已知幂的值，逆用将指数乘积拆分为幂的乘方 2.方法：幂的乘方，底数不变，指数相乘 3.易错提醒：幂的乘方是指数相乘，不是相加；底数带负号时，注意负号是否在括号内；逆用时指数分解错误 变式训练1（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则______． 变式训练2（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，则的值为____． 类型三、积的乘方及其逆用 典例精讲3（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：_______． 题型归纳 1.特征：题目是几个因数乘积的乘方；或几个幂指数相同，逆用将它们合并为乘积的乘方进行简便计算 2.方法：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 3.易错提醒：积的乘方要将每个因式都乘方，不要漏乘某个因式；逆用时必须指数相同才能合并，指数不同时不能直接合并；系数也要乘方，不要遗漏 变式训练1（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 变式训练2（25-26七年级下·安徽宿州·期中）已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 变式训练3（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 变式训练5（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ___________． 变式训练6（25-26八年级上·河南洛阳·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 类型四、利用幂的运算比较大小 典例精讲4（24-25七年级下·广西贵港·期中）已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出几个幂（底数或指数不同），要求比较大小，常以选择题形式出现 2.方法：①化同底数：底数化为相同后，比较指数大小（底数大于 1 时，指数大的幂大）；②化同指数：指数化为相同后，比较底数大小（指数为正偶数时，底数绝对值大的幂大）；③计算中间量：与 1、0 等特殊值比较；④作商法：两幂相除，看商大于 1 还是小于 1 3.易错提醒：化同底数或同指数时法则用错；底数在 0 到 1 之间时，指数大的幂反而小，容易搞反；负数比较大小时未考虑指数奇偶性 变式训练1（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：___________． 变式训练2（24-25六年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 变式训练3（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 变式训练4（25-26七年级下·贵州毕节·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 类型五、利用幂的运算求字母或代数式的值 典例精讲5（24-25六年级下·山东泰安·期末）若，均为正整数，且，则的值为________． 题型归纳 1.特征：已知一个含字母的幂的值，或两个幂相等，要求字母的值或含字母的代数式的值 2.方法：①若幂等于 1：底数不为 0 且指数为 0，或底数等于 1，或底数等于负 1 且指数为偶数；②若幂等于 0：底数为 0 且指数不为 0；③若两个同底数幂相等：底数不为 0 和正负 1 时，指数相等；④将所求代数式用已知幂表示，整体代入求值 3.易错提醒：0 的 0 次方无意义，容易忽略底数不为 0 的条件；幂等于 1 时有三种情况，容易漏掉底数为负 1 且指数为偶数的情况；整体代入时指数运算出错 变式训练1（24-25八年级上·山东滨州·阶段检测）已知为正整数，且，求的值为___________． 变式训练2（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）若，则的值是________ 变式训练3（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若 “”，则a的值为_______· 变式训练4（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）已知，，且，则的值为___________． 类型六、利用幂的运算求幂的值 典例精讲6（21-22七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值是_______． 题型归纳 1.特征：已知几个简单幂的值，要求一个较复杂幂的值，常需综合运用三大法则及其逆用 2.方法：观察所求幂的底数和指数，将其拆分为已知幂的乘积或乘方形式；逆用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，把所求幂用已知幂表示出来，再代入数值计算 3.易错提醒：指数拆分错误；逆用法则时底数必须保持一致；代入计算时乘方和乘法顺序搞反 变式训练1（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 变式训练2（22-23八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值为______． 变式训练3（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 类型七、利用幂的运算确定字母之间的关系 典例精讲7（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知两个含不同字母的幂相等，或一个幂等于另一个幂的乘方，要求字母之间的数量关系 2.方法：①若底数相同且幂相等（底数不为 0、正负 1），则指数相等，据此列方程；②若底数不同，先将底数化为相同（如都化为 2 的幂），再令指数相等；③若一个幂等于另一个幂的乘方，利用幂的乘方法则转化后比较指数。 3.易错提醒：化为同底数时底数转化错误；底数为 0、1、负 1 时指数不一定相等，需单独讨论；列方程时系数处理错误 变式训练1（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（24-25六年级下·山东威海·期末）若，是正整数，且满足，则，满足的关系是__________． 变式训练3（24-25七年级下·安徽六安·阶段检测）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 变式训练4（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 类型八、幂的混合运算 典例精讲8（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目中同时含有乘方、乘法、除法、加减等多种运算，底数可能相同也可能不同，常含系数和负号，要求按运算顺序化简计算，是热考的基础解答题型 2.方法：严格遵循运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算乘除（同底数幂相乘除），最后算加减（合并同类项）。有括号先算括号内。计算时注意：①乘方运算先处理系数和符号；②同底数幂乘除时底数不变、指数加减；③不是同类项的不能合并，保留原式即可 3.易错提醒：运算顺序混乱，先算乘除后算乘方；积的乘方时系数忘记乘方；负号的乘方符号出错（负数偶次幂为正、奇次幂为负）；不是同类项强行合并；同底数幂相乘时指数相加误写成相乘 变式训练1（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练3（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）计算： (1)； (2) 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知，则的结果为（     ） A． B． C．0 D．8 4．（25-26七年级下·河北保定·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（     ）． A． B． C． D． 5．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·浙江温州·期中）设，，，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 8．（25-26八年级上·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）规定．若，则x的值为______． 10．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知，，求_____． 11．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为________． 12．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若，，则_____________． 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 14．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 15．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26八年级上·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的混合运算8类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、同底数幂的乘法及其逆用 1 类型二、幂的乘方及其逆用 3 类型三、积的乘方及其逆用 4 类型四、利用幂的运算比较大小 8 类型五、利用幂的运算求字母或代数式的值 13 类型六、利用幂的运算求幂的值 15 类型七、利用幂的运算确定字母之间的关系 18 类型八、幂的混合运算 22 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 幂的运算是整式乘除的基础，也是期中期末必考的计算板块。本专题归纳 8 类热考题型，核心是熟练掌握三大运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于各因式分别乘方再相乘。解题贯穿两条原则：一是先观察底数和指数的特征，选择合适的法则或逆用法则；二是混合运算时遵循 "先乘方、再乘除、最后加减" 的顺序。所有计算结果最终均需检验底数和指数是否正确。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、同底数幂的乘法及其逆用 典例精讲1（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如果，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂乘法运算法则与指数方程求解． 借助幂的运算法则提取公因式化简式子，依据底数相等的幂指数相等求． 【详解】解： 题型归纳 1.特征：题目中几个幂的底数相同（或可化为相同），要求相乘；或已知一个幂的值，逆用法则将指数和拆分为几个幂相乘 2.方法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 3.易错提醒：同底数幂相乘是指数相加，不是相乘；底数互为相反数时，先统一符号再计算；逆用时指数拆分错误。 变式训练1（2026七年级下·河北·专题练习）___________. 【答案】 【分析】分别计算各部分的符号和指数，再应用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 变式训练2（25-26八年级上·广东广州·期末）若，则_____； 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：15． 变式训练3（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【答案】C 【分析】逆用同底数幂乘法法则求出的值，再计算的结果． 【详解】解：∵， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 变式训练4（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 类型二、幂的乘方及其逆用 典例精讲2（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若，，则________________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 题型归纳 1.特征：题目是一个幂再乘方，即括号外还有指数；或已知幂的值，逆用将指数乘积拆分为幂的乘方 2.方法：幂的乘方，底数不变，指数相乘 3.易错提醒：幂的乘方是指数相乘，不是相加；底数带负号时，注意负号是否在括号内；逆用时指数分解错误 变式训练1（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【答案】100 【分析】 根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 变式训练2（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，则的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，应用指数运算法则简化方程，通过指数相等建立方程求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、积的乘方及其逆用 典例精讲3（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，先计算积的乘方，再将两个单项式相乘． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题目是几个因数乘积的乘方；或几个幂指数相同，逆用将它们合并为乘积的乘方进行简便计算 2.方法：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 3.易错提醒：积的乘方要将每个因式都乘方，不要漏乘某个因式；逆用时必须指数相同才能合并，指数不同时不能直接合并；系数也要乘方，不要遗漏 变式训练1（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： = = = =． 变式训练2（25-26七年级下·安徽宿州·期中）已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再结合积的乘方的逆运算化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ∴， 代入，，可得， ∴原式． 变式训练3（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数的乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）根据积的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 变式训练5（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ___________． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 变式训练6（25-26八年级上·河南洛阳·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)-1 (2)6 【分析】本题考查积的乘方，平方差公式； （1）根据作业的方法逆用积的乘方计算即可； （2）由求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ． 类型四、利用幂的运算比较大小 典例精讲4（24-25七年级下·广西贵港·期中）已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ， 故选：D． 题型归纳 1.特征：给出几个幂（底数或指数不同），要求比较大小，常以选择题形式出现 2.方法：①化同底数：底数化为相同后，比较指数大小（底数大于 1 时，指数大的幂大）；②化同指数：指数化为相同后，比较底数大小（指数为正偶数时，底数绝对值大的幂大）；③计算中间量：与 1、0 等特殊值比较；④作商法：两幂相除，看商大于 1 还是小于 1 3.易错提醒：化同底数或同指数时法则用错；底数在 0 到 1 之间时，指数大的幂反而小，容易搞反；负数比较大小时未考虑指数奇偶性 变式训练1（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 变式训练2（24-25六年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 变式训练3（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)； ，，之间存在等量关系， 证明：，，，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． 略 变式训练4（25-26七年级下·贵州毕节·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． 类型五、利用幂的运算求字母或代数式的值 典例精讲5（24-25六年级下·山东泰安·期末）若，均为正整数，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ∴， ∴． 故答案为： ． 题型归纳 1.特征：已知一个含字母的幂的值，或两个幂相等，要求字母的值或含字母的代数式的值 2.方法：①若幂等于 1：底数不为 0 且指数为 0，或底数等于 1，或底数等于负 1 且指数为偶数；②若幂等于 0：底数为 0 且指数不为 0；③若两个同底数幂相等：底数不为 0 和正负 1 时，指数相等；④将所求代数式用已知幂表示，整体代入求值 3.易错提醒：0 的 0 次方无意义，容易忽略底数不为 0 的条件；幂等于 1 时有三种情况，容易漏掉底数为负 1 且指数为偶数的情况；整体代入时指数运算出错 变式训练1（24-25八年级上·山东滨州·阶段检测）已知为正整数，且，求的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）若，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 变式训练3（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若 “”，则a的值为_______· 【答案】1或3或5 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，关键是运用幂的运算法则列出的方程． 根据幂的运算法则进行解答，即可求解． 【详解】解：原方程为，即， 根据幂的乘方，左边化简为，故方程化为，由于，则 ， ∴或或， ∴或或， 故答案为：1或3或5． 变式训练4（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）已知，，且，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法． 利用同底数幂的乘法和除法法则，可得，，可得，，即可得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 类型六、利用幂的运算求幂的值 典例精讲6（21-22七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值是_______． 【答案】4 【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键． 题型归纳 1.特征：已知几个简单幂的值，要求一个较复杂幂的值，常需综合运用三大法则及其逆用 2.方法：观察所求幂的底数和指数，将其拆分为已知幂的乘积或乘方形式；逆用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，把所求幂用已知幂表示出来，再代入数值计算 3.易错提醒：指数拆分错误；逆用法则时底数必须保持一致；代入计算时乘方和乘法顺序搞反 变式训练1（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、幂的乘方逆用、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式除以单项式，然后计算幂的乘方的逆用，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 变式训练2（22-23八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值为______． 【答案】1025 【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1025． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键． 变式训练3（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 类型七、利用幂的运算确定字母之间的关系 典例精讲7（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 题型归纳 1.特征：已知两个含不同字母的幂相等，或一个幂等于另一个幂的乘方，要求字母之间的数量关系 2.方法：①若底数相同且幂相等（底数不为 0、正负 1），则指数相等，据此列方程；②若底数不同，先将底数化为相同（如都化为 2 的幂），再令指数相等；③若一个幂等于另一个幂的乘方，利用幂的乘方法则转化后比较指数。 3.易错提醒：化为同底数时底数转化错误；底数为 0、1、负 1 时指数不一定相等，需单独讨论；列方程时系数处理错误 变式训练1（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 变式训练2（24-25六年级下·山东威海·期末）若，是正整数，且满足，则，满足的关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子变形为，从而即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，满足的关系是， 故答案为：． 变式训练3（24-25七年级下·安徽六安·阶段检测）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 【答案】(1)， (2) 证明：设， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（）根据新定义计算即可求解； （）设，可得，即得，得到，即得到，即可求证； （）利用（）的结论可得，，，即得，，，进而得到，即得，即可求解； 本题考查了新定义运算，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：由（）知，，， ，，， ，，， ， ， 即， ． 变式训练4（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) ； 理由：∵，，，且， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据根据同底数幂的乘法法则得，即可解答 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）略 （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． 类型八、幂的混合运算 典例精讲8（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 题型归纳 1.特征：题目中同时含有乘方、乘法、除法、加减等多种运算，底数可能相同也可能不同，常含系数和负号，要求按运算顺序化简计算，是热考的基础解答题型 2.方法：严格遵循运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算乘除（同底数幂相乘除），最后算加减（合并同类项）。有括号先算括号内。计算时注意：①乘方运算先处理系数和符号；②同底数幂乘除时底数不变、指数加减；③不是同类项的不能合并，保留原式即可 3.易错提醒：运算顺序混乱，先算乘除后算乘方；积的乘方时系数忘记乘方；负号的乘方符号出错（负数偶次幂为正、奇次幂为负）；不是同类项强行合并；同底数幂相乘时指数相加误写成相乘 变式训练1（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 变式训练3（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据各自的运算法计算即可． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先利用积的乘法的逆运算计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方的逆运算简化计算，将不同指数的幂拆出同指数部分后合并计算即可得到结果． 【详解】解：原式＝． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方的法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 3．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知，则的结果为（     ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26七年级下·河北保定·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导和的关系即可． 【详解】根据幂的乘方法则：， 先化简等式左边：， 根据同底数幂的乘法法则：， 化简等式右边： ， 等式两边底数都是，且，因此等式成立则指数相等，可得：， 两边同除以，得． 5．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 6．（25-26七年级下·浙江温州·期中）设，，，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】首先，根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算将，进行代入化简，最后，逐一排除即可． 【详解】解：∵，，， 选项A、B：∴， ∴，选项A、B均不符合题意； 选项C、D：∴， ∴， ∴选项C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 7．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 8．（25-26八年级上·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）规定．若，则x的值为______． 【答案】1 【详解】解：由定义，可知， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知，，求_____． 【答案】12 【分析】先根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则求出和的值，再利用完全平方公式变形求出的值． 【详解】解：，， . ，， ， ． 11．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为________． 【答案】4 【分析】先利用幂的乘方运算法则，把式子变形为含的形式，再代入已知条件计算． 【详解】解： 当时， 原式 ． 12．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若，，则_____________． 【答案】 【分析】根据得到，代数求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ， ． 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3) ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； （2）设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （3）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， 可得， 故，即． （3）略 15．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 16．（25-26八年级上·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $