1.1集合的概念与表示学案-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的概念与表示，核心知识点包括集合定义、元素与集合的属于关系、表示方法及空集含义。课堂导入可联系初中数集、方程知识作为学习支架，引导学生从具体对象抽象出集合定义，理解确定性、互异性、无序性三要素及常用数集记法。 该资料亮点在于强化集合三要素应用，通过分类讨论解决集合与方程结合问题，参数问题突出互异性检验，培养学生的抽象能力和推理意识。习题层次分明，从基础判断到综合应用，助力学生用数学语言表达集合关系，提升数学思维。

高一数学必修一专题1.1集合的概念与表示学案 学习目标：1.了解集合的定义. 2.理解元素与集合的属于关系. 3.掌握集合的表示方法. 4.了解空集的含义. 教学重难点：1.理解集合的三要素，并会用三要素解题. 2.掌握集合与方程的关系的解法. 3.已知元素与集合的关系求参数的值或取值范围问题. 4. 元素与集合关系的判断 知识梳理：1.把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A,B,C…表示。集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a,b,c…表示. 2.∈和∉都具有方向性，左边是元素，右边是集合。 元素∈集合 元素∉集合。 3.一个集合也可以作为其他集合的元素，如由集合{a},{b}组成的集合是{{a},{b}},此时{a}∈{{a},{b}}. 4.常用的数集及其记法：自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R. 题型一、考查集合中元素的特性 集合的三要素：确定性、互异性（题中常考）、无序性。 元素特性的主要作用 1.确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合，只有这组对 象具有确定性时才能组成集合. 2.无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其元素相同，但不一定依次对应相等. 3.互异性的主要作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数的值是否使集合中的元素满足互异性. 例1.下列所给的对象能组成集合的是（ ） A. 所有的等边三角形 B. 高中数学必修一所有的难题 C. 某学校高一年级个子高的男生 D. 某学校高一年级16岁以下的学生 【答案】A、D. 解析：本题考查了集合概念的确定性，A能组成集合，元素是等边三角形；B中的“难题”的标准不明确，组成集合的元素不具有确定性，所以不能构成集合；C中“个子高的男生”个子高的标准不明确，组成集合的元素不具有确定性，所以不能构成元素具有确定性，集合；D能组成集合，高一年级16岁以下的学生，明确的指出了元素具有的共同特征，元素具有确定性。选A、D. 例2.若集合A={},则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 解析：本题为集合的描述法，化为列举法，用十字相乘法解一元二次方程（口诀：十字左边相乘等于二次项系数，十字右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数）解得A={}，因此，，故选B。 例3.已知集合A={}，若，则实数的值为 【答案】a=-1. 解析:若,则即.当时，，不满足集合中元素的互异性；当=1， 集合 例4.由实数 所组成的集合最多含有的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C. 解析：先化简各式： ，分类讨论：1.当时，这几个实数均为0；当时，它们分别是;当时，它们分别是; 综上，由元素的互异性可知，集合最多有2个元素。选C。 例5.已知集合A={},且 ，则实数m的值为 A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 0或2或3 【答案】m=3. 解析：∵A={},且 ，∴m=2或解得，当时，集合中的元素有两个0，不满足集合的互异性；当时，集合中的元素有两个0，也不满足集合的互异性；当时，集合A={},满足集合的互异性，符合题意，故。 题型二、集合与方程结合问题 对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，我们有如下常用结论. (1)=,时方程有两个不相等的实根,时方程有两个相等的实根，时方程没有实根. (2)求根公式: (3)根与系数的关系: 例6.若集合A={}中只有一个元素，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 【答案】D. 解析：本题中二次项系数前有参数，所以要对二次项系数的参数𝔞是否等于0进行分类讨论，当a=0时方程为一元一次方程4x+1=0， ，方程只有一个实数解，符合题意；当a0时，方程为一元二次方程，∵集合只有一个元素，方程有两个相等的实数根，∴根据根的判别式a=0 ，a=4 ，故当a的值是0或4，选D。 例7.满足a,b∈｛-1,0,1,2｝，且关于x的方程有实数解的有序数对（a,b）的个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】B. 解析：二次项系数前有参数，还是要对二次项系数的参数a是否等于0进行分类讨论，当a=0时方程为一元一次方程2x+b=0，此时一定有解，∵b∈｛-1,0,1,2｝，所以令b分别取集合里的值，当b分别等于-1,0,1,2时，满足条件的有序实数对为（0，-1），（0，-0），（0，1），（0，2）；当时，方程为一元二次方程，则 = 4 - 4 a b，当a分别为-1,1,2时，b对应分别取-1,0,1,2，满足条件的有序数对为( - 1 , - 1 )( - 1 , 0 )( - 1 , 1 )( - 1 , 2 )( 1 , - 1 )( 1 , 0 )(1,1)( 2 , - 1 ), ( 2 , 0 )。故关于x的方程+ 2 x + b = 0有实数解的有序数对（a，b）的个数为13．答案 B 例8.若集合A={}中至多有一个元素，则的取值范围是 解析：(本题中二次项系数前有参数，还是要对二次项系数的参数a是否等于0进行分类讨论)当a=0时方程为一元一次方程x+1=0，x=−1 ，方程只有一个实数解，符合题意；当a≠0时，方程为一元二次方程，∵集合至多有一个元素，方程有两个相等的实数根或方程没有实数解，∴根据根的判别式∆=−4ac=1−4a0 ， ，综上所述，a=0或，故{}。 例9.已知集合A = { x｜- 3 x - 4 = 0 } （1）若1∈A，求集合A（用列举法表示）； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围. 解析：（1）因为1∈A，把x=1带入方程得a - 3 - 4 = 0，解得a = 7，解方程- 3 x - 4 = 0，可得x = 1或x =，所以集合A = { 1 , } （2）当a = 0时，方程为-3x-4＝0，此时集合A = { } ;当时，集合A中至多有一个元素，只需0，即9 + 1 6，即 .综上所述，实数a的取值范围是{ a ｜或a=0}. 题型三、已知元素与集合的关系求参数的值或取值范围 已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程(组)、不等式(组)等;若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素，当a∉A时，结论恰恰相反。注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验。 例10.若3∈{ m - 1 , 3 m , }，则实数m = 【答案】4或2 解析：三个数中有且只有一个是3，要分三类讨论．当m - 1 = 3时，m = 4，此时3 m = 1 2 , - 1 = 1 5，故m = 4符合题意；当3 m = 3时，m = 1，此时m - 1 = - 1 = 0，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当- 1 = 3时，m = 2，当时，m-1=1,3m=6, - 1 = 3;当m=-2时，m-1=-3,3m=-6, - 1 = 3,都符合题意;综上可知，m = 4或m = 2 .答案：4或2 。 例11.若2∉{ x｜x - a > 0 }，则实数a的取值范围是 【答案】{} 解析：利用逆向思维，∵2∉{ x｜x - a > 0 }，∴2∈{ x｜x - a 0 }，则，即，则实数a的取值范围是{} 题型四、元素与集合关系的判断 判断元素与集合关系的两种方法 1.直接法:如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. 2.推理法:对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即明确该集合中元素要满足哪些条件. 例12.已知集合 A={x|x=m+n,m,n∈Z}. （1）试分别判断， ，与集合A的关系； （2）若,∈A，证明若∈A,∈A. 解析：由x=m+n,m,n∈Z可知，x是由一个整数与乘一个整数的和组成，判断元素与集合的关系，关键看所给的元素是否能写成一个整数与乘一个整数的和的形式 (1)，因为0,-1∈Z，所以∈A ；，因为 1∈Z,∉Z，所以∉A ; ,因为9，-4∈Z，所以∈A. （2）因为∈A，所以可设,，且∈Z, 所以+=,∈Z,∈Z，所以∈A. ==因为∈Z ,∈Z，所以∈A. 学科网（北京）股份有限公司 $