1.1.2 集合的基本关系-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

(3){xx=2k-1,-1≤k≤3，k∈Z} 探究点三已知集合中元素个数求参数范围 【例5】解当k=0时，原方程为-8x+16=0,解得x=2. 此时集合A={2},满足题意.当≠0时，要使关于x的一元二 次方程kx2一8x十16=0有两个相等实根，只需△=64一64k= 0,即=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A=(4},满足题 意.棕上所述，实数k的值为0成1.当k=0时，A={2}:当k 1时，A={4}. k≠0， 【变式探究1】解由题意得 4=(-8)2-4×k×16>0, 解得，且k≠0.故k的取值范国为{k<1,且k≠0以. 【变式探究2】解①当集合A中含有1个元素时，由例5 知，k=0戏k=1: ②当集合A中没有元素时，方程kx2一8x十16=0无解， k≠0， 解得k>1。 △=(-8)2-4×k×16<0, 综上，实数k的取值范围为（德|=0，或k≥1}. ©学以致用·随堂检测促达标 1C由5+证=0，解得无=0成工=-青 故A=0,-号}.故选C 2.C选项A,B,D都含有元素，而选项C中无元素，故选C 3.D由x一9>0，解得x<一3或x>3,所以不等式 x2-9>0的解集是{xx<一3或x>3,故选D 4.A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)} 5.[2,11] 6.解(1)因为0和1是方程x(x一1D=0的解，所以A=(0,1. (2)因为集合B中元素的特征是横坐标与纵坐标都大于 零，所以B={(x,y)x>0,y>0} 1.2集合的基本关系 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 2.A二B(或B2A)空集 【思考辨析】 1.提示不能.若集合A中存在某个元素，其不为集合B中 的元素，则集合A不是集合B的子集， 2.提示特号“二”表示集合与集合之间的包含关系，而符号 “∈”表示元素与集合之间的从属关系」 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2.28{6}二A,.6m-6=6, ,∴m=2,集合A的子集有2=8个. 3 3.解☑，{a},{b},{c},{a,b},{a,c),{b,c},{a,b,c). 知识点2 A=B 【思考辨析】 提示只要组成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个 集合是相等的。 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)/ 2.一10由两个集合相等可知b=0,a=一1. 知识点3 A二BA≠B 【思考辨析】 1.提示空集只有子集没有真子集， 2提示{0}是含有一个元素0的集合，②是不含任何元素 的集合，而{⑦)是含有一个元素⑦的集合。 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)× 2.A依题意B一{2,3,4}，所以集合B的真子集的个数为 22-1=7.故选A ○重难探究·能力素养速提升 探究点一写出给定集合的子集 【例1】解(1)集合{a,b,c,d}所有的子集为： 不含任何元素的子集为心：含有一个元素的子集为(a}, {b},{c},{d},含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d}, {b,c},{b,d),{c,d}:含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b, d),{b,c,d},(a,c,d}:含有四个元素的子集为{a,b,c,d}. 其中除去集合a,b,c,d),剩下的都是{a,b,c,d}的真子集. (2) 集合 集合的子集 子集的个数 0 功 1 {a} ②，{a] 2 (a,b) ②，{a},(b},{a,b) g,{a},b),c},{a,b},{a a.b.c) 8 c),(b.c),la.b.c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1a1,…,a.}的所有子集 的个数是2". 【变式训练1】解(1)集合A的所有子集是，{6)，(7}， {8),{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上迷子集中，除去集合A 本身，即{6,7,8，剩下的都是A的真子集 (2)根据子集的定义，可得集合M必定含有1,2两个元素， 而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件1,2}三 M{1,2,5,6,71的集合M有{1,2}，{1,2,5}，(1,2,6)，(1,2,7}， {1,2,5,6},{1,2,5,7,{1,2,6,7. 6 探究点二集合之间关系的判断 【例2】(1DA(2)AB(1)由 题意知，B={xx≥1}，将A,B 0十23456 表示在数轴上，如图所示，由数轴 可以看出，集合A中元素全部在集合B中，且B中至少存在一 个元素不属于集合A,所以AB （2)(方法-)对于集合A,取k=0,12,3…,得A=分 是号名…小对于集合B,取k=01235,67,得 (方法二)将集合A中元素的表达式通分，得A={工工 24,∈，B={=夸k∈2.2必+1∈刀可以表示 任何奇数，k可以表示任何整数.，，A云B. 【变式训练2】(1)C(2)A云B=C(1)由题意得集合 A={0,1.2任A,故A不正璃，0∈A,故B不正确：{0,1二A, 故C正确，（一1,1}≠A,故D不正确，故选C 2合A-=a+日ae2--a转aed, 合c-{-+日ee-{-结e :当a∈Z时，6a+1表示祓6除余1的数：当6∈Z时， 3b一2表示被3除余1的数：当c∈Z时，3c十1表示被3除徐1 的数，A毛B=C. 探究点三集合相等关系的应用 【例3】解“，A=B,.集合A与集合B中的元素相同， 1 =2xy解得日 {x=0,x=0, x=4 或 或 或。 ly=y* ly=2I. y=0y=1 1 y=2 验证得，当x=0,y=0时，与集合中元素的互异性相矛盾， 1 x=0, 舍去.故xy的取值为 y=1 1 =2 【变式探究】解'0∈B,A=B,,0EA.又由集合中元素 的互异性，可知x≠0，y≠0，.x≠0，xy≠0，故x一y=0,即 x=y.又|x≠y,x<0,1x|=-x,.A={x,x2,0},B= {0,-xx},∴x2=-x,解得x=-1或x=0(舍去)，∴x= y=-1. 探究点四由集合间的关系求参数的范围 【例4】解(1)若a=一1，则B={x一5<x<一3}. 3 如图在数轴上标出集合A,B。 具4。 由图可知，B壬A. (2)当B=☑时，2a-3≥a-2,解得a≥1. 当B≠☑时，2a一3<a一2，解得a<1. 2a-3≥-5， 由已知B二A,则 解得一1≤a≤4. a-2≤2， 又图为a<1,所以实数a的取值范因为[-1,1). 综上，实数a的取值范围为[一1，十co). 【变式探究1】解(1)不存在.因为A={x|一5<x<2}, 所以若A二B,则B一定不是空集， 2a-3<a-2,a<1, 此时有2a一3≤一5，即以a≤一1，显然实数a不存在. a-2≥2， a≥4， 【变式探究2】解①当B=⑦时，2a一3≥a-2,解得a≥1. 显然成立 ②当B+0时，2a-3<a-2,解得a<1. 由已知B二A,则2a一3≥2，或a一2≤-5， 解得e>号，或a<-3又因为a1,所以a<-3 综上，实数a的取值范围为{aa≥1，或a≤-3以. ⊙学以致用·随堂检测促达标 LD(方法一集合{z,y}的子集有0，{x},(y},{x,y, 共有4个 (方法二)集合内有2个元素，子集个数为2=4. 2.B易知N={一1,0)，故NM,故选B 3.B满足{2)二A(2,3,4}的集合可以为{2}，{2,3， (2,4},故集合A的个数为3.故选B 4.AC由题意知A二{1,8}，故选AC 5.32A=B,A,B中元素相同.x=3,y=2. 6.解Q={x{x-a≥0}=(xlx≥a}, 由P二Q,将集合P,Q在数轴上表示出来，如图 P. 寸012 由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是(-o,-2]. 1.3集合的基本运算 第1课时交集与并集 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 且 【思考辨析】 1.提示A∩B是把集合A,B中的公共元素组合在一起.S1集合 1.2集合的基本关系 1,理解集合之间包含与相等的含义. 学习目标 2.能识别给定集合的子集 3.会判断两个集合间的基本关系 基础落实·必备知识一遍过 知识点1子集 2.符号“二”与符号“∈”有什么区别？ L.Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上 封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图. 2.子集 自主诊断 般地，对于两个集合A与B,如果集合A中 的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A, 1.判断正误.（正确的画、/，错误的画×） 概念 泰示所有的意思 (1)1C{1,2,3}. 则a∈B.那么称集合A是集合B的子集 (2)若ACB,B二C,则ACC ( (3)任何一个集合都有子集. ( 符号 ,读作“A包含于B”(或“B (4){0,1,2}二{2,0,1. ( 表示 包含A”) 2.已知集合A-(-2,3,6m-6},{6)二A,则m= 图形 B ,集合A的子集有个. 表示 3.(人教A版教材习题)写出集合{a,b,c}的所有 ①任何一个集合都是它本身的子集，即A二A. 子集 ② 是任何集合的子集.也就是说， 性质对于任意一个集合A,都有⑦二A. ③对于巢合A,B,C,如果A二B,且B二C, 那么A二C 名师点睛 L.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可 以是國、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线。 2.用Venn图表示集合的优点是能够直观地表 示集合之间的关系；缺点是集合元素的公共特征不 明显 思考辨析 1.子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或 某些元素”？ 11 ·数学「第一章预备知识 知识点2集合相等 思考辨析 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B 除了教材中集合相等的定义，你还能找出定义两 概念的子集，且集合B也是集合A的子集，那么 个集合相等的描述吗？ 称集合A与集合B相等 符号 若A二B,且B二A,则 表示 图形 A(B 表示 自主诊断 名师点睛 1.判断正误（正确的画、/，错误的画×） 1.因为A二B,所以集合A中的元素都是集合B中 (1)相等集合中的元素一定是有限的. ( 的元素：又因为B二A,所以集合B中的元素也都是集合 (2){0}=0. A中的元素，也就是说，集合A与B相等，则集合A与B (3)若集合A=B,则A二B且B二A. ( 中的元素是完全相同的. 2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a= 2.证明或判断两个集合相等，只需证A二B与 b= B二A同时成立即可. 知识点3真子集 2.{0},②，{☑)之间有什么区别？ 对于两个集合A与B,如果 ,且 概念 ,那么称集合A是集合B的真子集 符号AB(或B昆A),读作“A真包含于B”(或 表示“B真包含A”) 图形 表示 B 名师点睛】 1.集合A是集合B的真子集，需要满足两个条 件：①A二B: ②存在元素x,满足x∈B,且x庄A. 2.如果集合A是集合B的真子集，那么集合A 一定是集合B的子集，集合B一定不是集合A的 自主诊断 子集 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 思考辨析 (1)空集是任何集合的真子集 () (2)任何集合的真子集个数至少有1个.() 1.任何集合都有子集和真子集吗？ (3)若一个集合只有一个真子集，则这个集合是 空集 () 2.(2025陕西渭南高一模拟)已知集合A=(1,2,3, 45,6,B={✉马∈Nx∈A,则集合B的所 有真子集的个数为() A.7 B.4 C.8 D.15 12 S1集合 式重难探究·能力素养速提升 探究点一 写出给定集合的子集 【例1】(1)写出集合{a,b,c,d)的所有子集， 规律方法1.分类讨论是写出所有子集的有效 并指出其中哪些是它的真子集； 方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由 (2)填写下表，并回答问题： 少到多的原则，微到不重不漏。 集合 集合的子集 子集的个数 2.若集合A中有n个元素，则集合A有2个子 0 集，有(2"一1)个真子集，有(2”一1)个非空子集，有 {a} (2”一2)个非空真子集，该结论可在选择题或填空题 {a,b} (a,b,cY 中直接使用。 由此猜想：含n个元素的集合{a1,a2,…, ★变式训练1I(1)(人教B版教材例题)写 am}的所有子集的个数是多少？ 出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集， [课堂笔记] (2)已知集合M满足{1,2}二M{1,2,5,6, 7},试求符合条件的集合M. 探究点二集合之间关系的判断 【例2】(1)已知集合A={x|1≤x<6},B= 规律方法集合间基本关系判定的两种方法和 {x|x+3≥4}，则A与B的关系是() ,个关键 A.A至B B.A=B 方法一：化简集合，从表达式中寻找两集 C.B年A D.BCA 种 合的关系 法 方法二：用列举法（或图示法等）表示各 ★(2已知集合A-{xr=+2k∈， 个集合，从元素（或图形）中寻找关系 关健是看它们是否具有包含关系，若有包 B={女=夸k∈Z,则A与B之间的关系是 键 含关系就是子集关系，包括相等和真子集 两种关系 ★1变式训练21(1)已知集合A={x∈N [课堂笔记] x2-2<0},则以下关系正确的是() A.2∈A B.0A C.0,1}二A D.{-1,1}=A (2已知集合A=zz=a+名a∈Z,B= {=名-3,6∈z,c={xr=+后ce Z,则A,B,C之间的关系为 13 数学「第一章预备知识 探究点三」 集合相等关系的应用 【例3】已知集合A={2,x,y},B={2x,2, 1变式探究若将本例已知条件改为“集合 y2},且A=B,求实数x,y的值 A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A= [课堂笔记] B”,求实数x,y的值. 规律方法集合相等则元素相同，但要注意集 合中元素的互异性，防止错解。 探究点四 由集合间的关系求参数的范圆 【例4】已知集合A={x|-5<x<2},B= 1变式探究21若集合A={x|x<-5,或 {x|2a-3<x<a-2}. x>2},B={x2a-3<x<a-2},且B二A,求 (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存 实数a的取值范围. 在包含关系； (2)若B二A,求实数a的取值范围. [课堂笔记] 4444444444 缸规律方法由集合间的关系求参数的范围问题 中的两点注意事项 (1)解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法， I变式探究11例4(2)中，是否存在实数a, 将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要 使得A二B?若存在，求出实数a的取值范围；若 注意验证端点值，做到准确无误，一般含“一”用实心 不存在，请说明理由. 点表示，不含“一”用空心图表示 (2)涉及“A二B”或“A≡B,且B≠☑”的问题， 一定要分A=心和A≠心两种情况进行讨论，其中 A=心的情况容易被忽略，应引起重视 本节要点归纳 1.知识清单： (1)子集、集合相等、真子集的概念； (2)集合间关系的判断，求子集、真子集的个 数问题： (3)由集合间的关系求参数的值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论」 3.常见误区：易忽略对集合是否为空集的讨 论；求参数范围时，端点值能否取到容易出现误判. 14 S1集合 学以致用·随堂检测促达标 1.集合{x,y}的子集个数是() 4.(多选题)已知集合A二B,A二C,B={2,0,1, A.1 B.2 8},C={1,9,3,8),则A可以是() C.3 D.4 A.{1,8}B.{2,3}C.{1} D.{2} 2.下列正确表示集合M={一1,0,1}和N= 5.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A= {xlx2+x=0}关系的Venn图是() B,则x= 2y= 6.已知集合P={x-2<x<3},Q={x|x a≥0}.若P二Q,求实数a的取值范围. B D 3.(2025重庆南岸阶段测试)满足(2}二A{2, 3,4}的集合A的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 1.3集合的基本运算 第1课时 交集与并集 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 学习目标2.能求两个集合的并集与交集 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1交集 名师点睛 铁一不可、 求两个集合的交集，结果还是一个集合，当两个 般地，由既属于集合A又属于集合B的所有 集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不 概念元素组成的集合，叫作集合A与B的交集， 能说两个集合没有交集 记作A∩B,读作“A交B” 思考辨析 符号 A∩B={x|x∈A, x∈B} 1.A∩B是把集合A与集合B的部分元素组合 表示 在一起吗？ 图形 表示 2.两个集合交集中的元素一定在两个集合中吗？ 对于任何集合A,B,有 性质A∩B=B∩A,A∩B≤A,A∩B二B,A∩ A=A,A∩0=0 15