专题05 函数（5年汇编）（陕西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦陕西中考函数专题，汇编2022-2026年真题及模拟题，覆盖正比例、一次、二次、反比例函数七大考点，突出考情分析与命题规律，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约25题/3分|一次函数图象判断、二次函数性质|结合机器人马拉松、新能源汽车等真实情境，考查k/b几何意义| |填空|约15题/3分|反比例函数k几何意义、二次函数顶点|与矩形、三角形面积综合，如矩形对称中心过反比例函数图象| |解答|约30题/7-10分|一次函数实际应用、二次函数最值|以方案选择、利润问题为背景，如“人机共跑测试”行程建模，体现分层设计|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05函数 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 陕西考情(2022-2026) 命题规律 较少单独出题，分值 考点01正比例函 正比例函数是一次函数特殊形式；重点考k的正 3分；常融合在一次函数 负与图象经过象限、增减性；很少单独大题，多作为 数的图象和性质 题目中考查，偶尔出现在 基础工具融入一次函数考题。 选择题。 每年必考，选择题3 考点02一次函数 核心考查k、b的几何意义：判断图象大致位 分；考查k、b对图象的 的图象 影响、求解析式、与坐标 置、求函数解析式：常与坐标轴交点、与其它函数交 轴交点。 点结合；易错点：k正负判断增减性。 高频解答题，7-8 考点03一次函数 分；常在第21-23题， 以现实情境建模，求函数关系式，利用增减性求 最值；多结合不等式做方案选择；注重审题，分清自 的实际应用 以方案选择、费用、行程 变量取值范围；是中考高频应用题。 为背景。 必考，选择1填空3 考点04二次函数 压轴核心考点；考查三种表达式互化；根据图象 分， 压轴大题必考：考查 的图象和性质 开口、对称轴、顶点、最 判断a、b、c及代数式符号；考顶点、对称轴、增减 值、图象符号判断。 性；常结合几何综合，难度偏大。 考点05实际问题 压轴大题常考，8-10 多考利润最值、面积最值：注意实际问题自变量 分；利润、面积、运动背 取值范围；顶点不一定在取值范围内，要对比端点 与二次函数 景，求实际最值。 值；常和方程、不等式综合。 考点06反比例函 选择题、填空题，3 重点考k的符号与象限、增减性；注意：谈增减 分；考查k几何意义、 性必须强调“在每个象限内”；求函数解析式，代入 数的性质 增减性、象限分布。 点坐标求值。 考点07反比例函 高频填空选择，3 核心是k的几何意义，过双曲线上一点作坐标轴 分：常和三角形、矩形面 垂线求面积；常与全等、相似结合；求交点坐标，联 数与几何综合 积结合，k的几何意义。 立函数解析式：是填空高频小压轴。 五年真题分类园 1/32 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01正比例函数的图象和性质 1.(2026陕西·中考真题)一个正比例函数的图象经过点-2,3，则该函数图象经过的点的坐标还可以是 () A.2,3 B.-3,-2 c.3,-2 D.2,-3 2.(2025陕西中考真题)在平面直角坐标系中，点A3,y,B4,y,均在直线y=xk0上，若 少y2' 则该直线经过的点的坐标还可以是() A.1,0 B.-1,-3 C.1,-2 D.-1,2 3.(2024陕西：中考真题)一个正比例函数的图象经过点A2,m和点Bn,-6,若点A与点B关于原点 对称，则这个正比例函数的表达式为() 1 1 A.y=3x B.y=-3x C.y=gx D.y=- 考点02一次函数的图象 4.(2025陕西中考真题)在平面直角坐标系中，过点1,0,0,2的直线向上平移3个单位长度，平移后 的直线经过的点的坐标可以是() A.1,-3 B.1,3 C.-3,2 D.3,2 5.（2023陕西.中考真题)在平面直角坐标系中，直线y=-x+m(m为常数)与x轴交于点A,将该直 线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A.若点A与A关于原点O对称，则m的值为() A.-3 B.3 C.-6 D.6 6.(2023陕西·中考真题)在同一平面直角坐标系中，函数y=ax和y=x+a(a为常数，a<0)的图象 可能是() VA 2/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点3一次函数的实际应用 7.(2026陕西·中考真题)在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上 进行了“人机共跑测试”.测试赛道总长为800，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达 终点后停止.机器人出发1min后运动员才出发，运动员出发1min后追上机器人.如图，11，l2分别表示 运动员、机器人距起点的距离ym与时间xmin之间的关系. y/m 800 o 1 8 x/min (1)求l1对应的函数表达式： (②)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离， 8.(2025陕西·中考真题)在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动， 到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示.小球滚动过程中的速度ym/s与时间xs 之间的关系如图②所示. y(m/s) 777777 7777777777 3.5 B x(s) 图① 图② (1)求AB所在直线的函数表达式： (②)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长 9.(2025陕西中考真题)研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积yL与气体温度 3/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x℃成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数 据如下表： 气体温度 25 30 35 … x℃) 气体体积 596 606 616 yL (1)求y与x的函数关系式： (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热.求停止加热时的气体温度， 10.(2024陕西.中考真题)实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣 叫次数y可近似看成该地当时温度x(C)的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为16C时，1min平均鸣叫 92次：在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次. (1)求y与x之间的函数表达式： (2)当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？ 11.（2024陕西中考真题)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动 汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kw·h,行驶了240m 后，从B市一高速公路出口驶出，己知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量ykw·h)与行驶路程 xkam之间的关系如图所示. ◆y/kw.h 80 50 150 240 x/km (1)求y与x之间的关系式： (2)已知这辆车的“满电量”为100kW·h,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电 量占“满电量”的百分之多少 12.(2023·陕西·中考真题)某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得 到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量ym门天数x之间的关系如图所示，其中，线段0A'AC分别 表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系. 4/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/m B 1660f-- 960F- 20 40 51x庆 (1)求这51天内，y与x之间的函数关系式： (2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量. 13.(2023陕西·中考真题)经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直 径)越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高ym是其胸径xm的一次函数. 已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m;这种树的胸径为0.28m时，树高为22m (1)求y与x之间的函数表达式： (2)当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？ 考点04二次函数的图象和性质 14. (2026陕西·中考真题)已知二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： -2 -1 0 4 y 5 0 -3 5 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是 (填序号)： ①a>0;②b2-4ac>0;③当x=1时，y有最小值为-4：④当x>0时，y的值随x值的增大而增大 3)若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A,B两点，求AB的长， 5/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2025陕西.中考真题)己知二次函 y=ax2+bx-3a≠0？当x>0时，y的值随x值的增大而减小， 则下列结论正确的是() A.ab<0 B.该函数图象的顶点位于第四象限 C.方程ax2+bx+1=0没有实数根 D.该函数的最大值不小于-3 16.（2025陕西·中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2-2ax+a-3a≠0的图象与x轴有两 个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是() A.图象的开口向下 B.当X>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当X=2时，y<0 17.（2024陕西：中考真题）关于x的二次函数y=X-2mX+m2-1m>1的图像可能是（） 18.(2024陕西·中考真题)已知一个二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表， -4 2 0 3 -24 -8 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线X=1 19.(2023陕西·中考真题)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： 3 0 16 5 8 0 6/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是() A.图象的顶点在第一象限 B.有最小值-8 C.图象与x轴的一个交点是(-1,0) D.图象开口向下 20.(2023陕西中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数y=x+mx+m-m(m为常数)的图像经过 点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有() A.最大值5 B.最大位号 C.最小值5 D.最小水号 21.(2022陕西·中考真题)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,,x3对应的函数值分别为，y2, .当-1<1<0,1<x<2,x>3时，，y2,三者之间的大小关系是() A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 考点05实际问题与二次函数 22. (2026陕西·中考真题)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出 的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的 高度y(cm与水平距离xcm的关系可以表示为y=-0.1x+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高度是 () A.9cm B.30cm C.90cm D.360cm 23.（2025·陕西·中考真题)某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L,钢缆 L1,L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC,OA=2m,L1,L2关于OA所在直线对 称。L,的最低点到BC的距离为2m,到0OA的距离为2m.以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系、 7/32 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A M N2 (1)求L1所在抛物线的函数表达式： 2)现要悬挂两条灯带M1N1,M2N2来增加夜景效果，M1N1,M2N2均与BC垂直，点M1,M2分别在 L1,L2上，点N1,N2在L上，点M1,M2到OA的距离均为3m.已知L所在抛物线的函数表达式为 y=- ，求这两条灯箭的总长. 1 24.(2025·陕西·中考真题)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L3均 呈抛物线型，水平横梁AC=16m,L1的最高点B到AC的距离☐B0=4m,L2,L3关于BO所在直线对称. MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点P,Q分别在L2,L3上，MNAC,MP⊥AC, NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， B (1)求抛物线L1的函数表达式： ②)已知抛物线L3的函数表达式为y=- x-4,NQ-n,求N的长 25.(2024陕西·中考真题)某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的.每个柱形 喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形.当围观游人喊声较小时， 下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水.如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置 OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C.以O为原点，以OC所在直线为X轴，OB所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系，（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：OA=1m,OB=2m,OC=3m,从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m) 之间的关系式分别是y=一号X+hx+cy=X x2+bx+c. 3 8/32 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Ay/m B C D x/m (1)求A喷头喷出的水流的最大高度： (②)一名游人站在点D处，OD=4m.当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的 点D处？ 26.（2024·陕西.中考真题)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线 型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF为x轴，以桥塔AO所在直线 为y轴，建立平面直角坐标系， Ay/m E D F产m 己知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m, AO=BC=17m,缆索L1的最低点P到FF的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式： (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF,且EF=2.6m,FO<OD,求FO的长. 27.(2023陕西·中考真题)某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部 宽度OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米.将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在X轴上. 其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段AB,PN,DC构成）， 点B,N,C在OM上，且OB=BN=NC=CM,点A,D在抛物线上，AB,PN,DC均垂直于OM;方 案二是“H”形内部支架（由线段AB,DC,EF构成），点B,C在OM上，且OB=BC=CM, 点A,D在抛物线上，AB,DC均垂直于OM,E,F分别是AB,DC的中点. ◆/m ◆y/m OB N C M x/m O B'C' M x/m 方案一 方案二 (1)求该抛物线的函数表达式： 9/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由. 28.(2023陕西中考真题)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的 跨度与拱高之积为48，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方 案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON,OE=EN 方案二，抛物线型拱门的跨度ON=8m,拱高PE=6m其中，点N在x轴上， PE⊥ON,OE=EN. 要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计)，方案一中，矩形框架 ABCD的面积记为S1,点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架ABCD的面积记为 S2,点A,D在抛物线上，边BC在ON上，现知，小华已正确求出方案二中，当AB=3m时， S2=12V2m2,请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： y/m Ay/m A D 0 E Nx/m B CNx/m 方案一 方案二 (1)求方案一中抛物线的函数表达式： (2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1,S2的大小. 29.(2022陕西·中考真题)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面， 以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据 设计要求：OE=10,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m. 10132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Ay/m P A B E x/m (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式： (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点 A、B到OE的距离均为6m,求点A、B的坐标. 考点06反比例函数的性质 30. (2024陕西：中考真题）若点A-2,y,和点B2,y,在同-个正比例函数y=kaxk<0的图象上，则 () A.y1=-y2 B.y1=y2 C.y2>0 D.y2>yi 31,(2024陕西中考真题)已知点A-2,y和点Bm,,均在反比例函数y-三的图象上，若 X 0<m<1,则y1+y2 0. 32.(2023陕西.中考真题)若点A-1,2,B1,m,C4,n都在同一个反比例函数的图象上，则m,n 的大小关系是m n.(填“>”“=”或“<”) 考点07反比例函数与几何综合 33.(2026陕西·中考真题)如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，反比 例函数y=的图象经过矩形OABC的对称中心D.若矩形OABC的面积为12，则k的值为 11/32 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 1 34.(2024陕西中考真患)如图，点A3,m和点B1-5,n在同一个反比例函数y=kk>0)的图象上， X AC和BC分别垂直于x轴和y轴.若△ABC的面积为32，则k的值为 35.(2023·陕西·中考真题)如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C,F均在 x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上，则这个 反比例函数的表达式是 B D 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026陕西榆林.一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=-ax-4ax-4a+3(a为常数，且a≠0 )的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有() A.最大值-3B.最小值-3 C.最大值3 D.最小值3 2.(2026陕西榆林.一模)已知一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)，当x增加2时，y增加6，则k 的值是() 12132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-3 B.2 C.3 D.4 3.(2026陕西商洛一模）已知AX,yBX,y是一次函数y=+bk≠0图象上的两点，且 x<x2<0'y2>y1>0' 则该函数的图象经过() A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 4.(2026陕西咸阳一模)将直线y=x-1沿y轴向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、 三象限，则的值可以是（) B.1 C.3 1 A.2 D. 4 2 5.(2026陕西榆林·三模)若点A-4,m和点B4,n在同一个正比例函数y=x(k为常数，k<0)的 图象上，则下列式子一定成立的是() A.m-n=0 B.n>0 C.m+n=0 D.m-n<0 6.(2026陕西榆林.三模)已知抛物线y=x2-2mx-m(m为常数)，当X<2时，y随x的增大而减小， 则抛物线的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(2026陕西延安.一模)在正比例函数y=x(m为常数，且m≠0)中，y随x的增大而减小，则函数 y=mx-m的大致图象为() 8.(2026陕西榆林·二模)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为0,2，Q是X轴上一点，直线PQ的 函数表达式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，当y的值随着x值的增大而增大时，点Q的坐标可以是 13132 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.-3,0 B.0,-1 C.2,0 D.4,0 9.(2026陕西宝鸡·二模)将一次函数y=-2x+1的图象沿X轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一 定经过点() A.1,5 B.(1,2 c.1,-4 D.1,-7 10。(2026陕西渭南，二模)如图。在平面直角坐标系巾，0为坐标原点，一次离数y一之×+b(b为常 数)的图象分别交x轴、y轴于点A4,0、B,则△AOB的面积为() B A.2 B.4 C.6 D.8 11.(2026陕西西安.一模)已知二次函数y=ax2-bx-c的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选 项中的结论正确的是() A.ab<0 B.a+b+c>0 C.c≤0 D.b2+4ac<0 12.(2026陕西西安一模)若一次函数y=2a-5x+a-2的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x 的增大而减小，则α的取值范围是() A.2sa<5 B.a> 2 C.2<a<5 D.a为任意实数 13.（2026陕西延安一模)图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”，如图2，门的内侧曲线 为抛物线，以门的底部AB所在的直线为X轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐 标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为y=一 日X+200,则下列说法错误的是( 14132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 A.门的最大高度为200m B.门的底部宽度AB为80m C.离地面150m处的门的水平宽度为50m D.当门的水平宽度为8/10m时，门的高度为180m 14.(2026陕西安康.一模)已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横纵坐标的对应值如表格所示， 其顶点坐标为-2,3？且x,<X,<-2:则下列选项中正确的是(） X … X1 X2 m -2 n Y2 -1 -1 A.ab<0 B.y1>y2 C.当X>-3时，y随x的增大而减小 D.m+n=-4 15.(2026陕西安康.一模)已知直线l1:y=2x-5与直线l2:y=ax-b相交于点Pm,-1,则方程组 2x-y-5=0 ax-y-b=0 的解为() A./2 X=-2 y=1 B. y=-1 n 16.(2026陕西商洛.一模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x+bx+t-1图象的对称轴为直线 x=-1,则下列关于该函数的结论正确的是() A.b的值为-2 B.抛物线不可能经过坐标原点 C.y的最大值为t-2 D.关于x的方程x+bx+t-1=0在1<x<3范围内有实数根，则-14<t<-2 17.（2026陕西咸阳一模)已知一个二次函数y=ax2-bx+7(a、b是常数，且a≠0)，函数y与自变 量x的部分对应值如下表： 15132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 … -1 6 … y … 12 4 19 … 则下列关于该函数的结论错误的是() A.该函数图象开口向上 B.当X>3时，y的值随x值的增大而增大 C.函数有最小值，且最小值为3 D.该函数图象与x轴有两个交点 18.(2026陕西渭南·二模)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a、c为常数，且a<0)的图象经过点 P-1,m2+4小Q1t,4m'则：的取值范围是() A.t≥-1 B.t≤3 c.t≤-1或t≥3 D.-1≤t≤3 19.(2026陕西榆林.二模)已知一个二次函数y=ax+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的自变量x与 函数y的几组对应值如下表： -1 0 1 y 3 一4 则下列关于这个二次函数的结论错误的是() A.2a+b=0 B.图象开口向上 C.函数图象与x轴的交点坐标分别为-1,0和3,0 D.点m-2,y小m,y,在该函数图象上.当m>3时，y>y 20.(2026陕西西安·二模)已知正比例函数y=kbx(k、b为常数，k≠0，b>0)中，y随x的增大而减 小，则一次函数y=kx+b的图象大致是() VA D 16132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2026陕西渭南·二模)定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的 “向心值”.根据定义可得抛物线 y=X2-4x+6与直线y=2x-5的“向心值”为（) A.1 B.2 C.3 D.4 22.(2026陕西西安·三模)已知二次函数y=ax+bx+c的图象分别经过点A(-1,0),点B(0,-3),且 顶点在第四象限，下列说法中，正确的是() A.该函数图象开口向下 B.该函数图象与x轴只有一个交点 C.a的取值范围是0<a<3 D.当x<0时，y随x的增大而增大 23.(2026陕西西安，三模)在平面直角坐标系中，一次函数y=-3X+b(b为常数)的图象与y轴交于 点A,将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B.若点A与点B关于原点对称， 则b的值为() A.1 B.-1 C.2 n 24.(2026陕西渭南·二模)在平面直角坐标系中，已知直线y=4x-2与直线y=ax+b(a、b为常数， a≠0)关于x轴对称，则b-a的值为() A.-6 B.6 C.-4 D.8 25.(2026陕西渭南·二模)二次函数y=x2+bx+b-2b(b为常数)的图象经过点(0,8)，且对称轴在y 轴左侧，则该二次函数的最小值为() A.4 B.-4 C.7 D.-7 26.(2026陕西咸阳·三模)在平面直角坐标系中，直线y=2x+b(b为常数)与直线y=k心+6(k为常 数，k≠0)交于点1,3，则关于x、y的二元一次方程组 y=2x+b y=kx+6 的解是() 27.(2026陕西西安·二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx-2a(a、b为常数，a≠0 ),当0≤x≤4时函数值y有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则a的 17132 6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值为() B.-1 D. 或 8 二、填空题 k 28.(2026陕西咸阳一模)在平面直角坐标系中，反比例函数y=二(k为常数，且k≠0)的图象经过点 X A-1,a、B-3,b,若a+b=4,则k的值为. 29.(2026陕西西安·二模)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单 位：2)是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为42时，电流I为A. I/A本 8 R 30.(2026陕西榆林三模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为反比例函数y=K(k为 常数，k≠0，x>0)图象上的一点，连接AO并延长到点B,使得BO=AO,AC⊥y轴于点C,连接BC. 若△ABC的面积为6，则k的值为 31. (2026陕西西安一模)已知点a+4,y,2a,y2在反比例函数y=《k>0l的图象上，若0<y,<y, 则a的取值范围是. 32.(2026陕西安康一模)在平面直角坐标系中，点A2,1,B2,-3,Cm,3分别位于三个不同的象 限，若反比例函数y=kk≠0的图象经过其中两点，则m的值为 X 33.(2026陕西商洛一模)如图，已知菱形0ABC的顶点A在反比例函数y=18x>0的图象上，点C在 X 18132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 X轴上，边BC与该反比例函数的图象交于点D,连接AD,OD.若点B的纵坐标为6，则△OCD与 △ABD的面积之和为 34. (2026陕西渭南二模)幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”.如图所示的幻 方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则y与x的关系可以表示为 y 2 35. (2026陕西榆林，二模)如图，已知正比例函数y=(k为常数，k≠0)与反比例函数y=-6图象 X 的交点坐标分别为A2,a、Bm,n,则m-n的值为 36. (2026陕西渭南·二模)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A在 反比例函数y=- 5x>01的图象上，顶点B在y轴负半轴上，则正方形OABC的面积为 y B 19132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(2026陕西渭南二模)如图，点B、A分别在反比例函数y=3(X>0和y=k(k为常数，k≠0. x<0)的图象上，连接AB交y轴于点C,连接OA、OB.若AB⊥y轴，3AC=5BC,则k的值为 B 38.(2026陕西延安一模)如图，在平面直角坐标系中，△AB0的顶点A在反比例函数y=k(k<0) X 的图象上，点B的坐标为-6,8，且AB‖x轴.若AB=BO,则k的值为 39. (2026陕西榆林一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K(k为常数，k≠0，X<0)的 X 图象经过△ABC的顶点A,x轴负半轴上的点D为AB的中点，坐标原点O为AC的中点，AB=AC,若 △ABC的面积为8，则k的值为 40.(2026陕西渭南二模)如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点A、C是反比例函数y=kk为 常数，k≠O)图象上的点，AB⊥X轴于点B,坐标原点O为BD的中点，若口ABCD的面积为16，则k的值 是 20132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 41. (2026陕西榆林.二模)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12,∠BAD=60°，∠ADC=150°， 连接BD,点E在AB边上，且AE号AB,过点E作EF|BD交AD边于点R,动点P、Q分别在直线EF 和直线BD上，连接AP、PQ、CQ,且PQ⊥BD.若CD=3V3,则当AP+PQ+CQ最小时，DQ的长 为 k 42. (2026陕西西安·三模)如图，点D,E分别是矩形ABCO的边AB,BC的中点，反比例函数y=二的 图象经过点D,E,连接DE,若S△BDE= 1 则k的值为 B E 三、解答题 43.(2026陕西安康一模)浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺， 水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算 时间.某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究.实验小组通过观察，每2小时 记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x 0 4 6 8 21132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时 箭尺读数y 18 30 42 54 /厘米 浮箭漏示意图 供 箭尺 箭壶 接水壶→ (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上， 请求出y与X之间的函数表达式. (②)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为 100厘米) 44.(2026陕西西安·一模)小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种 充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 ·次性安装费用元 电费/（元/千瓦时） A 家用充电2800 0.55(综合平均价) 1.05(含服务费均 B 公共充电0 价) (注：家用充电桩需一次性安装费， 公共充电站无需安装费，但电价含服务费) (1)请分别求出方案A和方案B的总费用y(单位：元)关于充电量x(单位：千瓦时)的函数关系式y4与 YB. (2)已知该款车百公里耗电15千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通 过计算说明哪种充电方案更合算， 45. (2026陕西咸阳一模)根据下列材料，完成任务. 背 端午节是我国四大传统节日之一，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 景 素 某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子共500袋进行 22132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 材 销售.已知甲种粽子和乙种粽子的进价分别为10元/袋、15元/袋， 说 设购进甲种粽子的数量为x袋，购进甲、乙两种粽子的总费用为y元 明 完成下列解答： 1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购进甲种粽子370袋，求该超市购进甲、乙两种粽子的总费用. 46.（2026陕西榆林.三模)人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放 共享的责任担当.在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余 电量y(单位：%)是奔跑时间x(单位：分钟)的一次函数，其函数图象如图所示， 剩余电量y/% 100 50 40 /分钟 (1)求y与x之间的函数关系式：（无需写出自变量的取值范围） (2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为60%时，它此时奔跑了多少分钟？ 47.(2026陕西商洛一模)在某次虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器（如图①）·实 验开始时，高位容器内水面高度一定，实验开始的短时间内，由于水流速度恒定，高位容器内水面高度随 时间均匀下降，高位容器内水面高度ycm与实验时间xmin之间的关系如图②所示 高位容器 30/cm 24 低位容器 x/min 图① 图② (1)实验开始时，高位容器内水面高度为 cm: (2)求实验开始的短时间内，y与x之间的函数关系式： (3)若实验进行到第5min时，水流速度发生变化，求此时高位容器内的水面高度， 48.(2026陕西榆林.二模)《中华人民共和国生态环境法典》将于2026年8月15日正式施行，标志着我 国生态环境保护从“分散立法”正式迈入“法典化”治理时代.某社区超市计划购进一批用新型降解环保 23132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 塑料制作的玩具A、B共100个进行销售，已知玩具A、B进价分别为25元/个、10元/个.设购入玩具A的 数量为X个，购入玩具A、B的总费用为y元. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若该超市购入玩具A的数量不少于40个，求购入玩具A、B的总费用至少为多少元？ 49.(2026陕西渭南·二模)某实践小组为了研究某种均匀蜡烛（每根总长20Cm)的燃烧变化情况.取 根这种蜡烛点燃后，每隔1min测量一次蜡烛的剩余长度，发现燃烧时间每增加lmin,蜡烛的剩余长度 就减少0.4cm,设这根蜡烛的燃烧时间为tmin,蜡烛的剩余长度为hcm. (1)求h与t之间的函数关系式： (②)请按此变化情况估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间.（不考虑其他因素） 50.（2026陕西商洛一模)在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花 弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为X轴，垂直于地面 的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息： y/m A O E x/m 烟花弹L1的发射点位于坐标原点O0,0,其爆炸最高点坐标为4,80，落地点为E: 烟花弹L2的发射点位于x轴上点A-10,0,其爆炸最高点坐标为-4,64： 设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地。 (1)求烟花弹L1的轨迹对应的抛物线表达式： (2)若将烟花弹L2的轨迹关于y轴对称后，得到一条新的抛物线L3,点F在抛物线L3上，EF⊥x轴，求点F 到点E的距离 51.(2026陕西咸阳一模)如图，某款无人机某次飞行的路线可以看作抛物线，飞行起点为A,落地点 为B,且其飞行的最大高度为36米，此时距离飞行起点A的水平距离为20米，以OB所在直线为x轴， OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已知飞行起点A到OB的距离AO为20米 24132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B (1)求图中抛物线的函数表达式： (②)某建筑物的主视图为矩形CDEF(如图)，其中点C、D在x轴正半轴上，CD=20米，CF=27米，建 筑物一侧CF距离飞行起点A的水平距离为10米，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F 的竖直距离不少于4米，则本次飞行符合条件吗？请通过计算说明理由. 52.(2026陕西咸阳·三模)小泽家是陕西关中地区某村的草莓种植大户，每到草莓成熟季节，小泽妈妈 将采摘好的草莓按标准重量分装成果盆（每盆草莓重量相同，忽略差异）进行售卖.妈妈统计了一周的销 售量，小泽发现每天的销售量y(盆)与售价x(单位：元/盆)之间存在一次函数关系，且部分数据如下： 售价x(元/盆) 18 16 14 每天销售量y 54 90 126 (盆) (1)请根据表格中数据，求出y与X之间的函数关系式； (2)若某天小泽的妈妈至少要销售108盆草莓，求这天草莓的售价最多为多少元/盆？ 53.(2026陕西安康一模)如图，工人师傅建造一座外轮廓为抛物线型的拱门，按照设计要求：门框横 梁部分AB=2m,拱门底部宽度OC=6m,且满足ABOC,∠AOC=∠BCO=60°.以O为坐标原 点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. VA (1)求出拱门所在抛物线的表达式. (2)工人师傅为了固定门框横梁AB,需要安装两个支架，支架AD,BE均与X轴垂直，随着施工的进行， 工人师傅还需增加支架，以此来维持拱门的稳定性，为了减少不必要的工作量，工人师傅将支架MN水平 放置安装，且满足MN=AD,MN‖x轴，与此同时，还要使支架MN与拱门底部距离超过2m.结合题 25132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目己知，分析工人师傅的操作是否可行， 54.(2026陕西延安.一模)有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置 内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据.设探针浸入液面以下的长度为x(cm),装置内 液体体积为V(mL)·下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x 装置内液体体积V (cm) (mL) 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V(mL)与x(cm)满足一次函数关系.解决下列问题： (1)求V与x之间的函数表达式： (2)当探针浸入液面以下的长度为14cm时，求装置内液体的体积. 55.(2026陕西榆林一模)三翻饼是陕西省某地的特色小吃，外皮金黄，油炸后呈翻裂千层之状，犹如 花朵盛开，故有“千层之花”的美誉.姗姗准备购买三翻饼送给亲朋好友，她了解到，商店的三翻饼原价 为20元/盒，若一次购买不超过10盒，每盒都按原价销售，超过10盒，则超过的部分每盒按原价打9折. 设姗姗此次购买x盒三翻饼，所需费用为y元. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若姗姗此次购买三翻饼的预算不超过300元，则她最多可以购买多少盒三翻饼？ 56.(2026陕西西安·二模)抛物线形吊顶，以工艺为底，以美学为形，于方寸之间，感受曲线之美.如 图1为某酒店大厅抛物线形吊顶装修效果图，小刚抽象出了如图2中的示意图（部分），它的下方为矩形 ABCD,上方两条抛物线L、L交于点E,以BC所在直线为X轴，BC的垂直平分线OE为y轴建立如图2 26132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所示的平面直角坐标系，已知抛物线L的函数表达式为y=-三x+hP+4(h为常数)，抛物线L、L上最 8 高点之间的距离为2m,且抛物线L、L关于y轴对称。 y/m E F 0 C x/m 图1 图2 (1)求h的值及抛物线L的函数表达式： ②已知在点E处安装的吊灯的g直高度EF为号m(点F在OE上)，求吊灯最下端距离地面BC的高度 (即求FO的长度). 57.（2026陕西西安·二模)2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批 12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国.为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红 色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程y(千米)与行驶时间x(小 时)之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： X(小时) 0 y(千米) 320 240 160 1)求y与x之间的一次函数关系式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 58.(2026陕西渭南·二模)温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳.小明家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横 截面由抛物线AEC和矩形AOBC构成，如图，以点O为坐标原点，OB、OA所在直线分别为X轴、y轴建 立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面OB的距离为5米，支撑杆OA=BC=3米，棚宽 OB=12米，点A与点C关于抛物线的对称轴对称. B 27132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线AEC的函数表达式： (2)为了加固棚顶，现需在横梁AC上方至顶端部分加装两根与y轴平行的支撑柱PM、QN,并沿PD、 QD安装斜支撑杆，已知M、D、N为AC的四等分点（即AM=MD=DN=NC),且P、Q均在抛物线 上，求两根斜支撑杆的总长度（即求PD+QD的长）， 59.(2026陕西榆林.三模)如图1是某工作室设计的一款巨型龙头风筝模型草图，其外轮廓近似呈抛物 线形状，如图2，风筝的主体横杆（底部）长度为12米（即AB=12米）.点O为AB的中点，以AB所在 直线为X轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，该风筝模型的外轮廓近似满足关系式 Y三行X+c(c为常数)·为了让风筝飞行更稳定，需要在骨架内侧绑定一个短形排线盒CP,线 盒的下边缘DE固定在AB上(D、E关于y轴对称)，并用木杆（宽度不计）CP、FQ将其固定，点P、 Q分别在DC、EF的延长线上，且点P、Q均在抛物线上， B x 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： ②)已知EQ点米，请求出DP+EQ+CF的长度 60.(2026陕西榆林.一模)某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图1所示)，该模型由“龙 头”“船身”、“龙尾”三部分组成.船身外轮廓近似呈抛物线形，如图2所示，船身最左端O与最右端 A关于该抛物线的对称轴对称，且它们之间的距离OA=16cm,船身最低点到OA的距离为6cm.以OA所 在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系. B 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (②)为了便于摆放，在龙舟的B、C两点设置支撑点，在其下方分别安装平衡木，B、C两点均在抛物线上， 28132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且这两点关于抛物线的对称轴对称，若这两点间的距离为4cm,求点C到OA的距离 61.(2026陕西渭南·二模)端午节是中国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等习俗.某单位准备购 买某品牌粽子作为福利在端午节发放给员工.采购人员通过市场调查得知：在甲超市购买该品牌粽子的费 用y1(元)与粽子的盒数x（盒)之间的关系如图所示；在乙超市购买该品牌粽子的费用y2(元)与粽子 的盒数，（盒）之间的函数关系式为y,=90xx≥0 y元 8000 5000 050100200/盒 (1)求y1与X之间的函数关系式； (2)该单位现计划购买200盒粽子，选甲、乙哪家超市购买更划算？ 62.(2026陕西榆林.二模)某护目镜的轮廓示意图如图所示，边框L、L1、L2均呈抛物线形，抛物线L1 的顶点P和抛物线L2的顶点Q之间的距离为8cm,点C是抛物线L1与抛物线L2的交点，以PQ所在直线为x 轴，过点C且垂直于PQ的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称，点C到 PQ的距离为3cm,这三条抛物线的对称轴均与X轴垂直。 A B (1)分别求出抛物线L1与抛物线L2的函数表达式； (②)若鼻架E、F(点E、F分别在抛物线L1、抛物线L2上)之间的距离为2Cm,且点E、F关于y轴对称， 求点F的坐标 63.(2026陕西西安·三模)物理课上，同学们在探究“某金属导体的电阻随温度变化”的实验中，控制 该金属导体的长度和横截面积不变，测得金属导体的电阻R(2)与温度t℃之间的关系如图所示 29132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 本R/Q 26 20 010 40 tc (1I)求该金属导体的电阻R与温度t之间的函数表达式： (2)当温度加热到30℃时，该金属导体的电阻是多少？ 64.(2026陕西西安·三模)海盗船是一种绕水平轴往复摆动的观览车类游艺机，乘客乘坐于海盗船之上， 随着由缓至急的往复摆动，犹如莅临惊涛骇浪的大海之中，如图1是某游乐场的海盗船，其底部轮廓可近 似看作抛物线的一部分，当该海盗船静止时，其最低点A距离地面1.5m.图2是该海盗船静止时的底部截 面示意图.如图，以水平地面为x轴，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，此时海盗船最左侧的点 B处距离地面4m,且与y轴的水平距离为5m., A O 图1 图2 (1)求该海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式： (2)在海盗船上的两侧，距离地面2.4m处的两个座位（视为点）之间的距离是多少米？ 65。(2026陕西延安一模)在平面直角坐标系中，抛物线C1:y=X2-2X+3与x轴交于4，B两点（点 4 在点B的左侧)，与v箱交于点C:抛物线C2:y三X+ax+c经过8，C两点 1)求点A,B的坐标； (2)求抛物线C2的函数表达式： 30132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B)在抛物线C2上是否存在一点M,使以点C,A,B,M为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，若存 在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 6.（2026陕西西安一模)在平面直角坐标系中，抛物线C:y=aX-2axa>0的顶点为D与x轴交 于A,B两点，其中点A在点B的左侧.连接AD,满足tan∠DAB=2. (1)求抛物线C的表达式： (2)将抛物线C进行平移，得到抛物线M,记平移后点D的对应点为E,点A的对应点为F,当点E在X轴上， 且满足四边形ADEF的面积为8时，求出抛物线C到抛物线M的平移方式. 67.（2026陕西西安·三模)巴黎奥运会中，中国羽毛球队以2金3银收官，位列该项目奖牌榜第一，如 图，在一次羽毛球赛中，甲运动员在地面点O的正上方1m的点A处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的 部分，当球运动到离点0水平距离为4m时，达到最大高反m,在热点O水平距离5m的点B处，放 置一个高1.55m的球网BC,以点O为原点，以水平地面为x轴，以AO所在直线为y轴，建立平面直角坐 标系 y/m x/m (1)求该抛物线的解析式： (2)试通过计算说明此球必过网： 12 6)乙运动员在球场上点Dd,0处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为5m,若 乙因接球高度不够而失球，求d的取值范围， 68.(2026陕西渭南·二模)用数学的眼光观察现实世界 某商场地面上的两盏射灯在墙上的照射区域的边缘为形状相同的两条抛物线的一部分，如图1. 用数学的思维思考现实世界 萧萧观察到墙面上有一条水平刮痕，那么刮痕被灯光照射区域的总长度是多少呢？ 用数学的语言表达现实世界 如图2，抛物线L1、L2为图1中的这两条抛物线，点A、B为两盏射灯的位置（点A与点B分别在两条抛物 线的对称轴上)，直线m为墙面上的刮痕，萧萧以AB所在直线为X轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平 31132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 面直角坐标系，抛物线L1、L2关于y轴对称，且它们的对称轴均与x轴垂直，抛物线L1满足函数表达式 y=ax2-2x+c(a、c为常数，且a≠0)，两条抛物线的交点M到地面(x轴)的距离为16dm, AB=20dm,直线mx轴，图中所有点都在同一平面内， y/dm 17 x/dm 图1 图2 (1)求抛物线L1的函数表达式并直接写出抛物线L2的函数表达式： (②)已知刮痕（直线m)与地面(x轴）之间的距离为9.6dm,且刮痕与抛物线L1交于点C、D(点C在点 D的右侧)，与抛物线L2交于点E、F(点E在点F的右侧)，求刮痕被灯光照射区域的总长度（即 CD+EF的长)· 32132函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05函数 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01正比例函数的图象和性质 1.D 2.B 3.A 考点02一次函数的图象 4.B 5.B 6.D 考点03一次函数的实际应用 7.(1)y=200x-2001≤x≤5 (2)300m 8.0y= 4.20 3 3 (2)3s 9.(1)y=2x+546 (2)77C 10.(1)y=9x-52 (2)20C 11.(1y与x之间的关系式为y=-0.2x+80: (2)该车的剩余电量占“满电量”的32%， 1/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.1)y= 48x0≤x≤20 35x+26020<x≤51 (2)1085m3 13.1)y=25x+15 (2)22.5m 考点04二次函数的图象和性质 14.1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②3 3)210 15.D 16.D 17.C 18.D 19.C 20.D 21.B a 考点05实际问题与二次函数 22.C 2.0y-x-2+号 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 e33 m 8 4ay-启+4 (2)MN=12m 25.13m (2)不会 26.(0)y= 3x-50P+2; 50 2r0的长为40m 2@y-+3x (2) 解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：，OB=BN=NC=CM,OM=12m, :0B=20M=3m,0C=3oM=9m, 当x=3时，y=3-6+g=子可AB- -m, 当x=9时，y=-29-62+9= m, 4 4,即CD=2 4 :方案一内部支架材料长度为：AB+NP+CD=2? +9+2245 -m: 42 方案二：，OB=BC=CM,OM=12m, ..OB=4m,OC=8m,EF=BC=4m, 当x=4时，y=4-649=8,即AB-8m 当x=8时，y=-8-6+9=8,即CD=8m, 4 ∴方案二内部支架材料长度为：AB+EF+CD=8+4+8=20m: 45>20. 21 319 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方案二的内部支架节省材料. 28.0y=-x2+4 9*3: 2)18m2S1>S2 29.@y=-2x-5f+9 25 2A5-53,6,B(5+53,6) 3 3 考点06反比例函数的性质 30.A 31.<1小于 32.< 考点07反比例函数与几何综合 33.3 34.15 35.y=18 X V一年模孤练测园 1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A 9.A 10.B 419 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.c 12.C 13.C 14.D 15.C 16.D 17.D 18.C 19.D 20.C 21.B 22.C 23.A 24.B 25.A 26.D 27.D 28. -3 29.10 30.6 31.0<a<4 32.-2 33.95 34.y=x+1 35.-5 36.10 37. -5 38.-128 519 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 39.-2 40.-8 .号 8 42.-2 43.(1)y=6x+6 (2)晚上八点半 44.1) y4=0.55x+2800(x≥0)，yB=1.05x(x≥0) (2) 方案A更合算 45.(1) y=-5x+7500(0≤x≤500，且x为整数) (2) 该超市购进甲、乙两种粽子的总费用为5650元 46.(1)y=-号x+100 4 (2)当该台机器人剩余电量为60%时，它此时奔跑了32分钟. 47.(1)30 (2)y=-2x+30 3)此时高位容器内的水面高度为20cm 48.1)y=15x+1000(0≤x≤100且X为整数) (2)总费用至少为1600元 49.1)h=-0.4t+200≤t≤50 (2)估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为50min 50.四)y=-5x-4+80 2320 9 51.(0)y=-0.04x-202+36 (2) 6/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：本次飞行符合条件理由如下： 把x=10代入y=-0.04x-20P+36得： y=-0.04×10-202+36=32' 此时无人机与点F的竖直距离为32-27=5（米） 把x=30代入y=-0.04x-202+36得： y=-0.04×30-202+36=32 此时无人机与点E的竖直距离为32-27=5（米） 5>4, .本次飞行符合条件. 52.(1)y=-18x+378 (2)这天草莓的售价最多为15元/盆 53.1y=- X+33 4 2 (2)工人师傅的操作可行，分析见解析 54.1)V=10x+50 (2)190mL 55.(1)当0≤x≤10，且x为整数，y=20x;当x>10时，且x为整数，y=18x+20 (2)她最多可以购买15盒三翻饼 56.1)y=- x-1f+4 唱 57.(1) y=-80x+320 (2) 80千米 58.①y=-x-6P+5 18 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②35米 S9.1)y=二ax2+4 221米. 60.0)y=3 x-82-6 R4 8 cm 61.0)y1 100x0≤x<50 60x+2000x≥50 (2)选甲超市购买更划算 62.0)抛物线L,的表达式为y=3X+3x +3,抛物线L,的表达式为y=三2-号x +3 16 2 16 2 器 63.0R-t+18≥0 (2)242 64.(①0y=0.1x2+1.5-5≤x≤5 (2)6米 65.(1)A2,0,B6,0 @y=x*x+3 3)点M的坐标为4,3 66.1)y=2x2-4x (2)平移方式为向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度，或向上平移2个单位长度，向左平移5个 单位长度 6.@凌数物战的解折行式为y=x-4P,号 (2)解：由题意得，球网位于x=5处，高1.55m, 819 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y5-4+ 5 5 =4m, 4>1.55,即球在网处的高度大于网高， 此球必过网： (3)5<d<7 68@港物线L,的商数表达式为y-。-2x+16。抛物线，的适数表达式为y-42x+16 10 (2)24dm 9/9 专题05 函数 5年真题1年模拟 考点分类 陕西考情（2022-2026） 命题规律 考点01正比例函数的图象和性质 较少单独出题，分值 3 分；常融合在一次函数题目中考查，偶尔出现在选择题。 正比例函数是一次函数特殊形式；重点考 k 的正负与图象经过象限、增减性；很少单独大题，多作为基础工具融入一次函数考题。 考点02 一次函数的图象 每年必考，选择题 3 分；考查 k、b 对图象的影响、求解析式、与坐标轴交点。 核心考查 k、b 的几何意义；判断图象大致位置、求函数解析式；常与坐标轴交点、与其它函数交点结合；易错点：k 正负判断增减性。 考点03 一次函数的实际应用 高频解答题，78 分；常在第 2123 题，以方案选择、费用、行程为背景。 以现实情境建模，求函数关系式，利用增减性求最值；多结合不等式做方案选择；注重审题，分清自变量取值范围；是中考高频应用题。 考点04 二次函数的图象和性质 必考，选择 / 填空 3 分，压轴大题必考；考查开口、对称轴、顶点、最值、图象符号判断。 压轴核心考点；考查三种表达式互化；根据图象判断 a、b、c 及代数式符号；考顶点、对称轴、增减性；常结合几何综合，难度偏大。 考点05 实际问题与二次函数 压轴大题常考，810 分；利润、面积、运动背景，求实际最值。 多考利润最值、面积最值；注意实际问题自变量取值范围；顶点不一定在取值范围内，要对比端点值；常和方程、不等式综合。 考点06 反比例函数的性质 选择题、填空题，3 分；考查 k 几何意义、增减性、象限分布。 重点考 k 的符号与象限、增减性；注意：谈增减性必须强调 “在每个象限内”；求函数解析式，代入点坐标求值。 考点07 反比例函数与几何综合 高频填空选择，3 分；常和三角形、矩形面积结合，k 的几何意义。 核心是k 的几何意义，过双曲线上一点作坐标轴垂线求面积；常与全等、相似结合；求交点坐标，联立函数解析式；是填空高频小压轴。 考点01 正比例函数的图象和性质 1．（2026·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正比例函数的一般解析式，代入已知点求出解析式，再将选项中点坐标代入验证，即可得到正确结果． 【详解】解：设该正比例函数解析式为， ∵函数图象经过点， ∴将代入解析式得， 解得， ∴该正比例函数解析式为， A选项，时，，不符合； B选项，时，，不符合； C选项，时，，不符合； D选项，时，，符合解析式要求． 2．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 3．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 考点02 一次函数的图象 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 5．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．根据平移的规律和关于原点对称的特点求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点，若点与A关于原点O对称， ∴ ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故选：B． 6．（2023·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 考点03 一次函数的实际应用 7．（2026·陕西·中考真题）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． (1)求对应的函数表达式； (2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点为，再由待定系数法求解对应的函数表达式； （2）可求运动员在第时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离． 【详解】（1）解：由题意得，机器人的速度为， 由题意得，运动员时追上机器人，此时机器人跑了 ∴，的交点为， 设对应的函数表达式为，代入点，， 则， 解得， ∴， 当时，则，解得， ∴对应的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 则， 解得， ∴， ∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为． 8．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 9．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． （2）解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 10．（2024·陕西·中考真题）实验表明，在某地，温度在至的范围内，一种蟋蟀的平均鸣叫次数可近似看成该地当时温度（）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16时，平均鸣叫92次；在温度为23时，平均鸣叫155次． (1)求与之间的函数表达式； (2)当这种蟋蟀平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？ 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）将代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：与之间的函数表达式为， 由题意得，将和分别代入 得：， 解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：由题意得，将代入 得：， 解得：， ∴该地当时的温度约是20． 11．（2024·陕西·中考真题）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】(1)y与x之间的关系式为； (2)该车的剩余电量占“满电量”的． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 12．（2023·陕西·中考真题）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这天内累计需水量与天数之间的关系如图所示，其中，线段，分别表示抽穗期、灌浆期的与之间的函数关系． (1)求这天内，与之间的函数关系式； (2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，分和两段通过待定系数法可以得解； （2）依据题意，令时求出需水总量，再减去前天的需水量，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，设， ∴， ， ∴， 当时，设关系式为， ∴， 解得：， ∴， 综上，所求函数关系式为． （2）解：由题意，令， ∴， 又当时，， 每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象获取信息，求一次函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析． 13．（2023·陕西·中考真题）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）的结论解答即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解之，得， ∴； （2）当时，． ∴当这种树的胸径为时，其树高为． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 考点04 二次函数的图象和性质 14．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 15．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 16．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 17．（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【详解】解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 18．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 19．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 20．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 21．（2022·陕西·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 考点05 实际问题与二次函数 22．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 23．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 24．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 25．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 26．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 27．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴， ∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）略 28．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数的解析式． 根据抛物线型拱门的跨度，拱高，可得：，，所以方案一中抛物线的顶点，可以设抛物线的函数表达式为，把原点的坐标代入解析式，得到关于的方程，解方程求出的值即可； 令，可得一元二次方程：，解方程求出的两个值即为点、的横坐标，根据两点的横坐标求出线段的长度，根据矩形的面积求出的值，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解得：或， ， ， ， ． 29．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可； （2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 考点06 反比例函数的性质 30．（2024·陕西·中考真题）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 31．（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0． 【答案】/小于 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（2023·陕西·中考真题）若点，，都在同一个反比例函数的图象上，则的大小关系是 _____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先由点求出解析式，再把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，比较大小即可，掌握反比例函数图象上点的横纵坐标的积等于比例系数是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 考点07 反比例函数与几何综合 33．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 34．（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 【答案】15 【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 【详解】解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴， 点C的坐标为，且， ，， 的面积为32， ， ， 整理得：， 点，点在同一个反比例函数的图象上， ， 解方程组，得：， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，正确地表示出点C的坐标，灵活运用三角形的面积公式构造方程组是解决问题的关键． 35．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 2．（2026·陕西榆林·一模）已知一次函数（，为常数，），当增加时，增加，则的值是（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据与的变化量列出等式，即可求出的值． 【详解】解：设当时，函数值为， 当增加，即时，函数值为， 当增加时，增加， ， 化简得， ． 3．（2026·陕西商洛·一模）已知，是一次函数图象上的两点，且，，则该函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质判断出，再结合一次函数的性质即可得出结论． 【详解】∵，， ∴对于一次函数，随的增大而增大， ∴， 故一次函数的图象经过第一、三象限； ∵，， 故，两点在第二象限， 故一次函数的图象经过第二象限； 综上，一次函数的图象经过第一、二、三象限． 4．（2026·陕西咸阳·一模）将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到m的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移m个单位长度，得到的新直线解析式为： ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、二、三象限时满足且， ∴ 解得， ∴只有A选项中的数符合题意． 5．（2026·陕西榆林·三模）若点和点在同一个正比例函数（为常数，）的图象上，则下列式子一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将A，B两点坐标代入正比例函数解析式，得到m，n关于k的表达式，再化简判断即可． 【详解】解：∵点和在的图象上， ∴坐标满足函数解析式，代入得，， ∴， 对其余选项验证如下： ，∵，∴，即，故A，D错误； ，∵，∴，故B错误； 因此只有C一定成立． 6．（2026·陕西榆林·三模）已知抛物线（为常数），当时，随的增大而减小，则抛物线的顶点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数解析式求对称轴，再结合函数增减性得到m的取值范围，最后判断顶点横纵坐标的符号，确定顶点所在象限． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上， 由对称轴公式得抛物线对称轴为， ∵当时，随的增大而减小，又当时，随的增大而减小， ∴，即顶点的横坐标为正， ， ∵， ∴， ∴，即顶点纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 7．（2026·陕西延安·一模）在正比例函数（为常数，且）中，随的增大而减小，则函数的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， ∴函数的图象大致是 ， 故选项A符合题意． 8．（2026·陕西榆林·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，直线的函数表达式为（、为常数，且），当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，是轴上一点，得出点Q一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】解：∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，Q是x轴上一点， ∴Q一定在x轴负半轴上， ∴只有符合，故A正确． 9．（2026·陕西宝鸡·二模）将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减”的规律求出平移后的函数解析式，把代入计算值即可判断． 【详解】解：∵一次函数图象沿轴向右平移3个单位长度，符合“左加右减”的平移规律，原函数为， ∴平移后的函数解析式为， 化简得， 将代入解析式，得， ∴平移后的图象经过点． 10．（2026·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先将代入，得出，进一步可得出点的坐标，进而可得出，的长，结合三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将代入得，， 解得，， ， 当时，，即， ． ， ， 的面积为． 11．（2026·陕西西安·一模）已知二次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象性质，判断开口方向，对称轴位置，与轴交点，判别式，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数 的图象经过第一，第二，第四象限， 若开口向下，图象必然经过第三象限， ∴，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 又∵得， ∴，选项A错误； 当时，，即函数与轴交点为， 若图象只经过第一，第二，第四象限，则交点不在轴负半轴，即 ， ∴，选项C正确； ∵图象经过第四象限，说明二次函数与轴有两个不同交点， ∴判别式 ，选项D错误； 对于选项B，举反例：取，， ，二次函数 符合过第一，第二，第四象限的要求，此时 ，故B错误． 综上，答案选C． 12．（2026·陕西西安·一模）若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于的不等式，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一次函数 ， ∵随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 又∵函数图象与轴交点在轴上方， 当时， ，交点在轴上方即， ∴， 解得 ． ∴ ． 13．（2026·陕西延安·一模）图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 【答案】C 【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项． 【详解】解：选项：当，，即门的最大高度为，正确； 选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确； 选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误； 选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确． 14．（2026·陕西安康·一模）已知二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表格所示，其顶点坐标为，且，则下列选项中正确的是（    ） … … … 3 … A． B． C．当时，随的增大而减小 D． 【答案】D 【分析】根据表格中数据，结合抛物线的顶点坐标为，得出抛物线的开口向下，得出，再根据对称轴得出，再根据二次函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，已知抛物线的顶点坐标为，即当时，有最大值，最大值为3， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，， ∴，故A选项错误； 当时，随的增大而增大，，故．故B选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故C选项错误； 根据表格可知点，关于直线对称，故，故D选项正确． 15．（2026·陕西安康·一模）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解． 先将点代入直线的解析式求出的值，再根据一次函数与二元一次方程组的关系，直接得到方程组的解． 【详解】解： 点在直线上， 把，代入，得 解得 直线与的交点为 直线可化为，直线可化为， 方程组的解就是两直线交点的坐标，即 16．（2026·陕西商洛·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的对称轴为直线，则下列关于该函数的结论正确的是（   ） A．的值为 B．抛物线不可能经过坐标原点 C．的最大值为 D．关于的方程在范围内有实数根，则 【答案】D 【详解】解：A选项，二次函数图象的对称轴为直线，，，A选项不符合题意； B选项，，，当时，二次函数为，当时，，即当时，抛物线经过坐标原点，B选项不符合题意； C选项，，抛物线的对称轴为直线，当时，取得最小值，此时最小值为，C选项不符合题意； D选项，关于的方程在的范围内有实数根，当时，，；当时，，，，D选项符合题意． 17．（2026·陕西咸阳·一模）已知一个二次函数（a、b是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 1 4 6 … y … 12 4 7 19 … 则下列关于该函数的结论错误的是（    ） A．该函数图象开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数有最小值，且最小值为3 D．该函数图象与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：将，代入二次函数， 得， 解得：， 则二次函数的解析式为：， ∴函数的开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，函数的最小值为3，该函数与x轴没有交点，则正确，选项D错误． 18．（2026·陕西渭南·二模）已知二次函数（、为常数，且）的图象经过点、，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出二次函数对称轴，再比较两点纵坐标的大小，结合开口向下的抛物线函数值与到对称轴距离的关系，列不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 对于开口向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 即， ∴点到对称轴的距离大于等于点到对称轴的距离， ∵点到对称轴的距离为， ∴， 解得或． 19．（2026·陕西榆林·二模）已知一个二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（     ） A． B．图象开口向上 C．函数图象与轴的交点坐标分别为和 D．点、在该函数图象上，当时， 【答案】D 【分析】先代入已知点求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项正误即可． 【详解】解：将表格中已知点，，代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为； A．，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴图象开口向上，故B正确，不符合题意； C．令，得，因式分解得， 解得或， ∴函数图象与轴交点坐标为和，故C正确，不符合题意； D．该二次函数的对称轴为， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，，且 ， ∴，即，故D错误，符合题意． 20．（2026·陕西西安·二模）已知正比例函数（、为常数，，）中，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数，随的增大而减小，判断出，即可得到的取值范围，即可根据一次函数的图象性质确定图象的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴在函数中，，函数图象经过二四象限；，函数图象经过一二象限； ∴一次函数的图象大致为： 21．（2026·陕西渭南·二模）定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．根据定义可得抛物线与直线的“向心值”为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将问题转化为求同一横坐标下两个函数纵坐标差的最小值，利用配方法求二次函数的最小值即可． 【详解】解：设竖直距离为，则 ， 整理得， 配方得， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为，即两个函数的“向心值”为． 22．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的图象分别经过点，点，且顶点在第四象限，下列说法中，正确的是（     ） A．该函数图象开口向下 B．该函数图象与x轴只有一个交点 C．a的取值范围是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】先将已知点代入二次函数，得到用表示的式子，再结合顶点在第四象限的性质，逐一判断选项正误． 【详解】二次函数 经过点 ， 代入得 ， 将 代入函数得 ， 代入得 ， 二次函数解析式为 ， 顶点在第四象限， 顶点横坐标大于，纵坐标小于， 顶点纵坐标为 ，可知分子分母异号，由题意得， 恒成立， 可得，函数开口向上，故选项A错误； 判别式 ， ， ， 函数图象与轴有两个交点，故选项B错误； 顶点横坐标为， ， ， 解得， 综上可得 ，故选项C正确； 对称轴 ，函数开口向上， 当 时， 随的增大而减小， ， 时 ， 随增大而减小，故选项D错误． 23．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求出平移前后一次函数与y轴的交点坐标，再根据对称关系列方程求解即可． 【详解】解：对于一次函数，令，得， ∴点的坐标为，将函数图象向下平移2个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为，令，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴， 解得． 24．（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 25．（2026·陕西渭南·二模）二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（     ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】先将已知点代入函数解析式求出b的可能值，再根据对称轴位置筛选出符合条件的b，求出函数解析式，即可求解最值． 【详解】解：因为二次函数的图象经过点 所以 解得或 因为对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴公式为，本题中 所以 所以舍去，得 所以解析式为 配方得 因为 所以该二次函数的最小值为4． 26．（2026·陕西咸阳·三模）在平面直角坐标系中，直线（b为常数）与直线（k为常数，）交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两条一次函数直线的交点坐标，就是两个函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】∵ 二元一次方程组的解就是对应两条直线的交点坐标，又已知两条直线交于点， ∴ 方程组的解是． 27．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（、为常数，），当时函数值有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据平移后过原点得到与的关系，再结合二次函数开口方向分情况讨论，利用时的最大值为求解． 【详解】∵二次函数向左平移个单位后经过原点， ∴平移后的解析式为， ∵图像过， ∴， ∴， ∴原函数可化为，对称轴为，且在这个范围内， 分两种情况讨论： （1） 当时，抛物线开口向上，区间内离对称轴越远函数值越大 ∵离对称轴最远 ∴代入得最大值为 ∵最大值为， ， ∴ （2） 当时，抛物线开口向下，顶点在区间内，最大值在顶点处取得 代入得， ∵最大值为， ， ∴ 综上，的值为或． 二、填空题 28．（2026·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且）的图象经过点、，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】利用点在反比例函数图象上的性质，用表示出和，再结合列一元一次方程求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴，， 整理得，， ∵， ∴代入得， 合并同类项得， 解得． 29．（2026·陕西西安·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流为______． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为：，把代入计算出反比例函数的解析式，再把代入运算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图象可得：反比例函数经过点， ∴把代入可得： 解得：， ∴ 把代入可得：． 30．（2026·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为反比例函数（为常数，，）图象上的一点，连接并延长到点，使得，轴于点，连接．若的面积为6，则的值为__________． 【答案】6 【分析】设，求出长，再根据点是的中点，求出点B的坐标，进而求出点B到的距离，利用的面积为6，列方程求出的值． 【详解】解：设， 轴， ， ，即点是的中点， ， ， 解得：． 31．（2026·陕西西安·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，时，反比例函数在每个象限内随的增大而减小，结合可得两点都在第一象限，横坐标均为正，且横坐标满足不等关系，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． ， 均为正数，两点都在第一象限，横坐标均为正数，且， 即 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是． 32．（2026·陕西安康·一模）在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据三个点在不同象限确定点的象限，再结合反比例函数的性质确定反比例经过的两个点，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于计算的值． 【详解】解：点在第一象限， 点在第四象限， 点纵坐标为正，因此点在第一象限或第二象限， 点，，分别在三个不同的象限， 点不在第一象限，即点在第二象限，， 反比例函数的图象两支分别位于两个象限，当时，两支在第一，三象限；当时，两支在第二，四象限，本题三个点中无第三象限的点，因此反比例经过第二象限的和第四象限的， 反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于， ， 即， 解得． 33．（2026·陕西商洛·一模）如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 【答案】 【分析】由菱形得，利用 “同底等高的三角形面积相等”将与的面积之和转化为菱形面积的一半，再通过反比例函数解析式求出点 A 坐标，进而计算菱形的面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作交轴于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，轴，， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为6， ∴点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入解析式得， 解得， ∴点，即，， 在中， ， ∴， ∴． 34．（2026·陕西渭南·二模）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 【答案】 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴第三行与第三列的和都减去右下角的数结果依然相等， ∴， 移项整理得：． 35．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知正比例函数（为常数，）与反比例函数图象的交点坐标分别为、，则的值为________． 【答案】 【分析】利用反比例函数的解析式求出点的坐标，利用反比例函数和正比例函数的性质，得出点关于原点对称，求出，即可求解． 【详解】解：将代入得， ， ∴， ∵反比例函数图象关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴， ∴． 36．（2026·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，则正方形的面积为__________． 【答案】10 【分析】作轴于点D，根据正方形的性质得到，进而可知，即，根据k的几何意义求出，根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作轴于点D， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积为． 37．（2026·陕西渭南·二模）如图，点B、A分别在反比例函数和（k为常数，，）的图象上，连接交y轴于点C，连接、．若轴，，则k的值为________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据点在反比例函数图象上可得，由轴及可表示出点的坐标，最后将点坐标代入即可求出的值； 【详解】解：设点的坐标为，其中， 点在反比例函数的图象上， ， 轴，交轴于点， 点的坐标为，， ， ， 点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 38．（2026·陕西延安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，且轴．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标利用勾股定理求出的长，由得到的长，根据轴确定点的纵坐标，结合确定点的横坐标，最后代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：点的坐标为， ， ， ， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点在第二象限， 点的横坐标为，且， 点的横坐标为， 点的坐标为， 将点代入得． 39．（2026·陕西榆林·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，，）的图象经过的顶点A，x轴负半轴上的点D为的中点，坐标原点O为AC的中点，，若的面积为8，则k的值为________． 【答案】 【分析】先利用题中条件得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出的面积，再根据等腰三角形三线合一求出的值，得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作的垂线交于点， ∵点D为的中点，点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，反比例函数在第二象限， ∴． 40．（2026·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、是反比例函数(为常数，)图象上的点，轴于点，坐标原点为的中点，若的面积为16，则的值是________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及为中点，可得点为平行四边形的对称中心，从而得出、关于原点对称，、关于原点对称．结合轴，利用平行四边形面积公式和反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，且为的中点， 点是平行四边形的对称中心， 点与点关于原点对称，点与点关于原点对称． 又∵轴于点， ∴ ． 反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 41．（2026·陕西榆林·二模）如图，在四边形中，，，，连接，点在边上，且，过点作交边于点，动点、分别在直线和直线上，连接、、，且．若，则当最小时，的长为________． 【答案】 【分析】过A作于M，交于N，证明四边形是矩形，得出，证明是等边三角形，得出，，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，证明，求出，则，在上截取，连接，根据平行四边形判定与性质得出，则，故当G、Q、C三点共线时，最小，可求，以D为原点，所在的直线为横轴，所在的直线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，根据待定系数法求出直线解析式为，则可求，即可求解． 【详解】解：过A作于M，交于N， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴当G、Q、C三点共线时，最小， ∵，， ∴， 以D为原点，所在的直线为横轴，所在的直线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系， ， 则，， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴． 42．（2026·陕西西安·三模）如图，点，分别是矩形的边，的中点，反比例函数的图象经过点，，连接，若，则k的值为________． 【答案】 【分析】先设矩形顶点坐标，利用中点表示出、坐标，结合反比例函数横纵坐标乘积为建立等式；再根据三角形面积列方程，联立求解得到的值． 【详解】解：设点坐标为 ， 是中点，是中点，矩形中垂直轴、平行轴， ，， 、都在反比例函数上，即， 对：； 对：，两式一致， ， 三角形面积：， 已知，代入： ， 解得， 由，把代入： ． 三、解答题 43．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间/时 0 2 4 6 8 箭尺读数/厘米 6 18 30 42 54 (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式． (2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】(1) (2)晚上八点半 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，代入数值求出，即可得到答案； （2）当时，，解得，上午9：30过了11个小时后是晚上8：30，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知函数为一次函数， 设与之间的函数表达式为， 由题意可得， 解得， ； （2）解：当时，， 上午9：30过了11个小时后是晚上8：30， 当箭尺读数为72厘米时是晚上八点半． 44．（2026·陕西西安·一模）小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用/元 电费/（元/千瓦时） 家用充电2800 （综合平均价） 公共充电0 （含服务费均价） （注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费） (1)请分别求出方案和方案的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与． (2)已知该款车百公里耗电15千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算． 【答案】(1) ， (2) 方案更合算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、有理数的混合运算： （1）根据“总费用安装费电费”得到方案的函数表达式，根据“总费用电费”得到方案的函数表达式； （2）先计算6年的总行驶里程，再计算6年的总充电量，直接带入函数中计算不同方案的费用，比较得出最划算的方案即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案的充电费用与充电量的函数关系式为：， 方案的充电费用与充电量的函数关系式为：． （2）解：6年的总行驶里程为：（公里）， 6年的总充电量为：（千瓦时）， 当时， 方案的总费用为：（元）， 方案的总费用为：（元）， ， 方案更合算． 45．（2026·陕西咸阳·一模）根据下列材料，完成任务． 背景 端午节是我国四大传统节日之一，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗． 素材 某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子共500袋进行销售．已知甲种粽子和乙种粽子的进价分别为10元/袋、15元/袋． 说明 设购进甲种粽子的数量为x袋，购进甲、乙两种粽子的总费用为y元． 完成下列解答： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购进甲种粽子370袋，求该超市购进甲、乙两种粽子的总费用． 【答案】(1) （,且为整数） (2) 该超市购进甲、乙两种粽子的总费用为5650元 【分析】（1）根据等量关系构造函数关系式即可； （2）代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，甲、乙两种粽子的总费用甲种粽子的费用乙种粽子的费用， 设购进甲种粽子的数量为x袋，购进乙种粽子的数量为袋，购进甲、乙两种粽子的总费用为元； 则（,且为整数）， （2）解：将代入， 则（元）， 答：该超市购进甲、乙两种粽子的总费用为5650元． 46．（2026·陕西榆林·三模）人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量（单位：）是奔跑时间（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了多少分钟？ 【答案】(1) (2)当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟． 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得． 答：当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟． 47．（2026·陕西商洛·一模）在某次虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器（如图①）．实验开始时，高位容器内水面高度一定，实验开始的短时间内，由于水流速度恒定，高位容器内水面高度随时间均匀下降，高位容器内水面高度与实验时间之间的关系如图②所示． (1)实验开始时，高位容器内水面高度为________； (2)求实验开始的短时间内，与之间的函数关系式； (3)若实验进行到第时，水流速度发生变化，求此时高位容器内的水面高度． 【答案】(1)30 (2) (3)此时高位容器内的水面高度为 【分析】（1）通过图②函数与轴的交点即可解决， （2）用待定系数法即可求出与的函数关系式， （3）将代入第二小问求出的函数关系式求出即可． 【详解】（1）解：观察图象可知实验开始时，高位容器同水面高度为； （2）设与之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （3）当时，， 答：此时高位容器内的水面高度为． 48．（2026·陕西榆林·二模）《中华人民共和国生态环境法典》将于年月日正式施行，标志着我国生态环境保护从“分散立法”正式迈入“法典化”治理时代．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具、共个进行销售，已知玩具、进价分别为元/个、元/个．设购入玩具的数量为个，购入玩具、的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市购入玩具的数量不少于个，求购入玩具、的总费用至少为多少元？ 【答案】(1) 且 为整数 (2)总费用至少为元 【分析】（1）设购入玩具的数量为个，则购入玩具B的数量为个，再根据题意列式即可； （2）根据一次函数的性质，结合，得到最小值即可． 【详解】（1）解：设购入玩具的数量为个，则购入玩具B的数量为个， 且 为整数； （2）解：由（1）知， 又该超市购入玩具的数量不少于个，且，随的增大而增大， 时，取得最小值，最小值为（元）， 答：购入玩具、的总费用至少为元． 49．（2026·陕西渭南·二模）某实践小组为了研究某种均匀蜡烛（每根总长）的燃烧变化情况．取一根这种蜡烛点燃后，每隔测量一次蜡烛的剩余长度，发现燃烧时间每增加，蜡烛的剩余长度就减少，设这根蜡烛的燃烧时间为，蜡烛的剩余长度为． (1)求与之间的函数关系式； (2)请按此变化情况估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．（不考虑其他因素） 【答案】(1) (2)估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为 【分析】（1）根据蜡烛每根总长，燃烧时间每增加，蜡烛的剩余长度就减少，列出函数解析式即可； （2）令，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵， ∴， 解得：， 又∵燃烧时间不能为负数， ∴， ∴t的取值范围是， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意，令，则， 解得． ∴估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为． 50．（2026·陕西商洛·一模）在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息： 烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为； 烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为． 设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地． (1)求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式； (2)若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法解题即可； （2）根据待定系数法和轴对称的性质求出抛物线的表达式，求出点的坐标，将点的横坐标代入抛物线的表达式，进而解题． 【详解】（1）解：烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为， 设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 将代入表达式，得 ， 解得， 烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ； （2）解：烟花弹的爆炸最高点坐标为， 设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 将代入表达式，得 ， 解得， 烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 烟花弹的轨迹对应的抛物线与的轨迹对应的抛物线关于轴对称， 抛物线的表达式为 ， 如图， 为烟花弹的落地点，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 令， 解得（不符合题意，舍去），， ， 轴，点在抛物线上， 设，则， 点到点的距离为． 51．（2026·陕西咸阳·一模）如图，某款无人机某次飞行的路线可以看作抛物线，飞行起点为A，落地点为B，且 其飞行的最大高度为36米，此时距离飞行起点A的水平距离为20米，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已知飞行起点A到的距离为20米． (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)某建筑物的主视图为矩形（如图），其中点C、D在x轴正半轴上，米，米，建筑物一侧距离飞行起点A的水平距离为10米，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F的竖直距离不少于4米，则本次飞行符合条件吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 解：本次飞行符合条件；理由如下： 把代入得： ， 此时无人机与点F的竖直距离为（米） 把代入得： ， 此时无人机与点E的竖直距离为（米） ∵， ∴本次飞行符合条件． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）分别求出和时的函数值，然后分别求出与点E、点F的竖直距离，再进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点A的坐标为代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 52．（2026·陕西咸阳·三模）小泽家是陕西关中地区某村的草莓种植大户，每到草莓成熟季节，小泽妈妈将采摘好的草莓按标准重量分装成果盆（每盆草莓重量相同，忽略差异）进行售卖．妈妈统计了一周的销售量，小泽发现每天的销售量（盆）与售价（单位：元/盆）之间存在一次函数关系，且部分数据如下： 售价（元/盆） 每天销售量（盆） (1)请根据表格中数据，求出与之间的函数关系式； (2)若某天小泽的妈妈至少要销售盆草莓，求这天草莓的售价最多为多少元/盆？ 【答案】(1) (2)这天草莓的售价最多为元盆 【分析】（1）使用待定系数法求函数关系式即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，；，代入，得， ， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， 解得， ∴最大为． 答：这天草莓的售价最多为元盆． 53．（2026·陕西安康·一模）如图，工人师傅建造一座外轮廓为抛物线型的拱门，按照设计要求：门框横梁部分，拱门底部宽度，且满足，．以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求出拱门所在抛物线的表达式． (2)工人师傅为了固定门框横梁，需要安装两个支架，支架，均与轴垂直，随着施工的进行，工人师傅还需增加支架，以此来维持拱门的稳定性，为了减少不必要的工作量，工人师傅将支架水平放置安装，且满足，轴，与此同时，还要使支架与拱门底部距离超过．结合题目已知，分析工人师傅的操作是否可行． 【答案】(1) (2)工人师傅的操作可行，分析见解析 【分析】（1）先设抛物线的表达式为，然后解求出点的坐标，再由待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性求出点的横坐标，再代入抛物线的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过 ∴设抛物线的表达式为． ，，． 根据抛物线的对称性可知点与点关于抛物线对称轴对称， ∴ ， ∴， 即点的坐标为， 将点的坐标代入所设抛物线表达式得， 解得， ； （2）解：根据题意可知，且抛物线对称轴为直线， 点的横坐标为 将其代入到抛物线中， 得． ， 到拱门底部的距离超过，故工人师傅的操作可行． 54．（2026·陕西延安·一模）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（cm），装置内液体体积为V（mL）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（cm） 装置内液体体积V（mL） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（mL）与x（cm）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求V与x之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设，代入 和得： ，解得， ∴； （2）解：当时，． 55．（2026·陕西榆林·一模）三翻饼是陕西省某地的特色小吃，外皮金黄，油炸后呈翻裂千层之状，犹如花朵盛开，故有“千层之花”的美誉．姗姗准备购买三翻饼送给亲朋好友，她了解到，商店的三翻饼原价为20元/盒，若一次购买不超过10盒，每盒都按原价销售，超过10盒，则超过的部分每盒按原价打9折．设姗姗此次购买x盒三翻饼，所需费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若姗姗此次购买三翻饼的预算不超过300元，则她最多可以购买多少盒三翻饼？ 【答案】(1)当，且为整数，；当时，且为整数， (2)她最多可以购买盒三翻饼 【分析】（1）根据购买数量是否超过10盒，分两种求解即可； （2）首先判断购买数量是否超过10盒，再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，， ∴当，且为整数，； 当时，且为整数，； （2）解：当时，费用为 ∴购买数量超过10盒， ∴由题意得， 解得 ∵为整数， ∴的最大值为， 答：她最多可以购买盒三翻饼． 56．（2026·陕西西安·二模）抛物线形吊顶，以工艺为底，以美学为形，于方寸之间，感受曲线之美．如图1为某酒店大厅抛物线形吊顶装修效果图，小刚抽象出了如图2中的示意图（部分），它的下方为矩形，上方两条抛物线、交于点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为（为常数），抛物线、上最高点之间的距离为，且抛物线、关于轴对称． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)已知在点处安装的吊灯的竖直高度为（点在上），求吊灯最下端距离地面的高度（即求的长度）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性解答即可； （2）求出的长，再求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线、上最高点之间的距离为，且抛物线、关于轴对称， ∴抛物线顶点的横坐标为， ，     ∴抛物线的函数表达式为， 由对称性可知，抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，， ，     ． 故吊灯最下端距离地面的高度为． 57．（2026·陕西西安·二模）2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … (1)求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 【答案】(1) (2) 千米 【分析】（1）设一次函数的一般形式为，因为表格中给出了、时对应的值，所以可将两组对应值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，求解方程组即可得到函数关系式； （2）因为已经求得与的函数关系式，所以将代入该关系式，计算即可得到对应的值，即为行驶3小时时距离目的地的路程 【详解】（1）解：设与之间的一次函数关系式为， 将，和，分别代入， 得    解得 ∴与之间的函数关系式为； （2）当时，，    ∴当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有千米的路程． 58．（2026·陕西渭南·二模）温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳．小明家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面由抛物线和矩形构成，如图，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在横梁上方至顶端部分加装两根与轴平行的支撑柱、，并沿、安装斜支撑杆，已知、、为的四等分点（即），且、均在抛物线上，求两根斜支撑杆的总长度（即求的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可； （2）根据矩形的性质得出米，根据、、为的四等分点得出米，把代入抛物线的解析式即可求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线AEC的函数表达式为． （2）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， ∵、、为的四等分点， ∴（米）， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴两根斜支撑杆的总长度为米． 59．（2026·陕西榆林·三模）如图1是某工作室设计的一款巨型龙头风筝模型草图，其外轮廓近似呈抛物线形状，如图2，风筝的主体横杆（底部）长度为12米（即米）．点为的中点，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，该风筝模型的外轮廓近似满足关系式（为常数）．为了让风筝飞行更稳定，需要在骨架内侧绑定一个矩形排线盒，排线盒的下边缘固定在上（、关于轴对称），并用木杆（宽度不计）、将其固定，点、分别在、的延长线上，且点、均在抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知米，请求出的长度． 【答案】(1) (2)米． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意知，，，设，则，，将点代入抛物线求出，即可得解． 【详解】（1）解：（1）由题意知，，则点B坐标为， 将其代入中，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意知，，， 设， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故的长度为米． 60．（2026·陕西榆林·一模）某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图1所示），该模型由“龙头”“船身”、“龙尾”三部分组成．船身外轮廓近似呈抛物线形，如图2所示，船身最左端O与最右端A关于该抛物线的对称轴对称，且它们之间的距离，船身最低点到的距离为．以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为了便于摆放，在龙舟的B、C两点设置支撑点，在其下方分别安装平衡木，B、C两点均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，若这两点间的距离为，求点C到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到抛物线的顶点坐标为，再设顶点式求解即可； （2）先根据抛物线的对称性求出点的横坐标为6，再代入抛物线的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 将代入中，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，即点的横坐标为6， 当时，， 点到的距离为． 61．（2026·陕西渭南·二模）端午节是中国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等习俗．某单位准备购买某品牌粽子作为福利在端午节发放给员工．采购人员通过市场调查得知：在甲超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的关系如图所示；在乙超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的函数关系式为． (1)求与之间的函数关系式； (2)该单位现计划购买200盒粽子，选甲、乙哪家超市购买更划算？ 【答案】(1) (2)选甲超市购买更划算 【分析】（1）根据题意，分情况讨论：当时，设，当时，设，再结合图象利用待定系数法求解即可； （2）分别求出当时，与的值，再比较判断，即可解题． 【详解】（1）解：当时，设， 由图知，过点， ， 解得， 此时， 当时，设， 由图知，过点，， ， 解得， 此时， 综上，； （2）解：当时，（元）， （元）， ， 选甲超市购买更划算． 62．（2026·陕西榆林·二模）某护目镜的轮廓示意图如图所示，边框、、均呈抛物线形，抛物线的顶点和抛物线的顶点之间的距离为，点是抛物线与抛物线的交点，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线与抛物线关于轴对称，点到的距离为，这三条抛物线的对称轴均与轴垂直． (1)分别求出抛物线与抛物线的函数表达式； (2)若鼻架、（点、分别在抛物线、抛物线上）之间的距离为，且点、关于轴对称，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，抛物线的表达式为 (2) 【分析】（1）待定系数法求函数表达式； （2）根据轴对称的性质确定点的横坐标，代入表达式求纵坐标． 【详解】（1）解：∵点到的距离为， ∴， ∵抛物线的顶点和抛物线的顶点之间的距离为，且两点关于轴对称， ∴， 假设抛物线的表达式为，抛物线的表达式为， 将分别代入以上两个解析式得， ，， 解得， ∴抛物线的表达式为， 抛物线的表达式为； （2）解：∵、之间的距离为，且点、关于轴对称， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴点的坐标为． 63．（2026·陕西西安·三模）物理课上，同学们在探究“某金属导体的电阻随温度变化”的实验中，控制该金属导体的长度和横截面积不变，测得金属导体的电阻与温度之间的关系如图所示． (1)求该金属导体的电阻与温度之间的函数表达式； (2)当温度加热到时，该金属导体的电阻是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可知，电阻与温度成一次函数关系，设出函数表达式，结合图象上的点求解即可； （2）将代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：设电阻与温度之间的函数表达式为， ∵点与点在函数图象上， ∴，解得， ∴电阻与温度之间的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴当温度加热到时，该金属导体的电阻是． 64．（2026·陕西西安·三模）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的观览车类游艺机，乘客乘坐于海盗船之上，随着由缓至急的往复摆动，犹如莅临惊涛骇浪的大海之中．如图1是某游乐场的海盗船，其底部轮廓可近似看作抛物线的一部分，当该海盗船静止时，其最低点A距离地面．图2是该海盗船静止时的底部截面示意图．如图，以水平地面为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，此时海盗船最左侧的点B处距离地面，且与y轴的水平距离为． (1)求该海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)在海盗船上的两侧，距离地面处的两个座位（视为点）之间的距离是多少米？ 【答案】(1) (2)6米 【分析】（1）设出海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式，将点与点代入抛物线中求解即可； （2）将代入函数表达式中求出对应的x的值，由此可求解距离． 【详解】（1）解：设海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式为， ∵以所在直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴该抛物线的对称轴为y轴，即，则有， ∴抛物线的函数表达式为， 由题意可知，点与点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵距离地面处有两个座位， ∴当时，则有， 即，可得， 解得或， 即两个座位的横坐标分别为和， ∴这两个座位之间的距离为， 答：距离地面处的两个座位（视为点）之间的距离是6米． 65．（2026·陕西延安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 66．（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为，与轴交于，两点，其中点在点的左侧．连接，满足． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线进行平移，得到抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，当点在轴上，且满足四边形的面积为8时，求出抛物线到抛物线的平移方式． 【答案】(1) (2)平移方式为向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度，或向上平移2个单位长度，向左平移5个单位长度 【分析】(1) 先配方求出抛物线顶点坐标，再解方程得到抛物线与轴交点、坐标，依托直角三角形正切定义列式算出参数，代入写出函数解析式； (2) 根据平移的性质判定，且，得到四边形为平行四边形，结合面积公式，分在左侧、右侧两类，对应得到抛物线平移方案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴抛物线的顶点的坐标为， 令，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， 过点作轴于点，连接，如图： ∴， ∴，， 在中， ∵， ∴， 解得：， 把代入中得： ， ∴抛物线的表达式为: ； （2）由（1）可知 ，， ∵抛物线平移后点在轴上，且与E是对应点， ∴点向上平移了2个单位长度， 又∵抛物线平移时，对应点的平移方式相同， ∴点也向上平移了2个单位长度， 此时轴，轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，由（1）知，且， ∴，即， 解得：， 当点在点右侧时，点的坐标为， ∴点到点的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴抛物线到抛物线的平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度； 当点在点左侧时，点的坐标为， ∴点到点的平移方式为向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴抛物线到抛物线的平移方式为向左平移5个单位长度，向上平移2个单位长度； 答：抛物线到抛物线的平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度或向左平移5个单位长度，向上平移2个单位长度． 67．（2026·陕西西安·三模）巴黎奥运会中，中国羽毛球队以2金3银收官，位列该项目奖牌榜第一，如图，在一次羽毛球赛中，甲运动员在地面点O的正上方的点A处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分，当球运动到离点O水平距离为时，达到最大高度，在离点O水平距离的点B处，放置一个高的球网，以点O为原点，以水平地面为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明此球必过网； (3)乙运动员在球场上点处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为，若乙因接球高度不够而失球，求d的取值范围． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)解：由题意得，球网位于处，高， ∴ ， ∵，即球在网处的高度大于网高， ∴此球必过网； (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点为，设顶点式，将点代入解析式，求解即可； （2）球网位于处，高度为，将代入解析式，计算得，即可得到球在网处的飞行高度大于网高，则此球必过网； （3）乙接球高度不够，即球在点处的高度大于乙的最大接球高度，且需满足（不触网），解方程，得或．结合抛物线开口向下，可知当时，，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线过点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：∵乙接球高度不够， ∴球到达点时的高度，且不能触网，即， 当时， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点为， ∴当时，；当或时，， ∵， ∴． 68．（2026·陕西渭南·二模）用数学的眼光观察现实世界 某商场地面上的两盏射灯在墙上的照射区域的边缘为形状相同的两条抛物线的一部分，如图1． 用数学的思维思考现实世界 萧萧观察到墙面上有一条水平刮痕，那么刮痕被灯光照射区域的总长度是多少呢？ 用数学的语言表达现实世界 如图2，抛物线、为图1中的这两条抛物线，点、为两盏射灯的位置（点与点分别在两条抛物线的对称轴上），直线为墙面上的刮痕，萧萧以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，抛物线、关于轴对称，且它们的对称轴均与轴垂直，抛物线满足函数表达式（、为常数，且），两条抛物线的交点到地面（轴）的距离为，，直线轴，图中所有点都在同一平面内． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出抛物线的函数表达式； (2)已知刮痕（直线）与地面（轴）之间的距离为，且刮痕与抛物线交于点、（点在点的右侧），与抛物线交于点、（点在点的右侧），求刮痕被灯光照射区域的总长度（即的长）． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再根据抛物线、关于轴对称，写出抛物线的函数表达式； （2）刮痕（直线）与地面（轴）之间的距离为，可知刮痕的解析式为，解方程求出点、的坐标，即可求出的长度，根据抛物线、关于轴对称，可知，从而求出刮痕被灯光照射区域的总长度． 【详解】（1）解：两条抛物线的交点到地面（轴）的距离为， 点的坐标为， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 抛物线的函数表达式为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 抛物线、关于轴对称， 抛物线的函数表达式为； （2）解：刮痕（直线）与地面（轴）之间的距离为， ， 解方程， 整理可得：， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、关于轴对称， ， 刮痕的长度为 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $