专题14 解答题22题（综合与实践，创新题型）（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 上海中考数学综合与实践创新题型汇编，含2022-2026年5年真题及模拟题，聚焦解答题22题，呈现从代数应用到几何探究再到综合建模的命题趋势，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |综合与实践解答题|25题|一次函数、几何变换、实际建模等|2026年扶梯客流题融合一次函数与不等式整数分析，2025年梯形分割题强调图形运动与方案设计，模拟题如新能源汽车充电、折纸三等分点，体现生活情境与开放探究，契合中考命题从单一计算到综合应用的发展方向。|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14解答题22题（综合与实践，创新题型） 5年真题1年模拟 五年真题分类园 1.()表格依次填入51,55；y关于x的函数解析式为y=0.8x+50.2 (2)①87位：②150位 2.(1)BC=3a (2) 解：如图(2)，连接 心，MP,把△MO沿P平移使M与P对应，得到PGH。 ，把 G,再把 △PGH、QG 沿 对 折，得到aNPG,H与N是对应点，则△N№G是等腰三角形，其中两腰分别为N№，NG,点N、Q分别是 梯形的顶点。 M (2) g心0等限直角三角板直角边为N2,合30的直角三角形板直角边为26和，9，②定为2 3√2-2v5 高为3h 62-6-45+26 面积为 3 (2) 如图，即为所作图形. 1/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(1)900 a少=0.9r-027 3)1.00 5.(1)atana+b米 (2)3.8米 一年模拟练测园 1.(1)90 △B,CE,≌△BCE△BC,E≌△BCE (2)证明：由题可知， ,即 .CE=CE BE=BE :平行四边形纸片ABCD .CDll AB :I⊥CD,则I⊥AB, .∠EBE,=90°n△EBE, ,即 是等腰直角三角形， :.∠EEB=45° :.∠NEC=∠EE,B=45°∠C,E,M=90°-∠EEB=45° 。 CN⊥CD, .∠ECN=90°，即△ECN是等腰直角三角形， .CN=EC,∠CNM=45°， :CN=E,C∠C,E,M=∠CWM 在△CNM和△CEM生 中， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [∠C,ME,=∠CMN ∠CEM=∠CNM CE=CN :.aCWM≌aC,EM(A,A,S) J 3) 2.(1)-2 (2)直线x=1:-1≤x≤3 3) 由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线x=1对称，且当x<1时，y随x的增大而增大：当 x>1时，y随x的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， 昌-子3-=4， 1 4 点A比点B更接近对称轴， .m>n. 3.(1)2 √5 (2)5 3) 解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知∠PO0=60,CD=2a,GH=TK=a, 在RtOCD中，sin∠CoD=CD OD' 0D=2a-43 则 53a 2 在RtADHG中，∠GDH=60, 3/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sin∠GDH=GH DH' DH=a21 则 v3 3 a 2 :OH=0D+DH=5。 3a=25a 在Rt△OEF中，tan∠TOK=K OK =30, :K=0H-0K=2W5a-5。=5 -a= 3 3 a ta∠H张=K。a=3V5 HK5355=5 在Rt△TKH中， 3 :an<S7H=tan∠THk=5 =tan∠BOO 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求. 4.(1)3.2m (2)水盆B应向左平移，且平移1.4m 5.(①)y=1080-54x,定义域为0<x≤20 (2)18元 (3)200元 6.()b 2) 解：如图2，过点O作OT⊥BF,则∠OTB=90° 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F T D OC b 图2 .OT经过圆心， ∴.TB=TF .BO=OE .OT∥EF, .∠EFB=∠OTD=90° :矩形ABCD中，∠DCB=90 .∠1=∠2=90°-∠BFC, ∴.tan∠1=tan∠2 CF CE :.BC CF CF b .a-CF' F=√ab 解得 (舍负)， .CF是所求正方形的边长； 3) 解：△BHM可以通过平移运动与△NDF叠合，理由如下： :矩形ABCD,正方形CFGH, :4DBC,∠C=∠GHC=90CH=CF=Vab GH∥cD .∠FND=∠MBH,∠FDN=∠C=90°， ∴.∠FDN=∠MHB=90° .△BHM∽△NDF、 BH BM HM ND NE DF' .GH∥CD 5/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △BHM∽△BCF BH HM ·BCCF a-Jab HM ∴.a√ab HM=√ab-b 解得 ..DF=CF-CD=Jab-b .DF HM, BH BM HM ·ND=NF=DF =1 BH =ND,BM=NF :△BHM≌△NDF(SS) .△BHM可以通过平移运动与△NDF叠合. 7.(1)-2x2-60x+6000 (2) 解：DH=CF=100-2x,底面积等于600cm2, :10-2x)30-x)=600 解得：x=20或x=60(舍去)， 当x=20时，方案1包装盒的表面积为：-2×202-60×20+6000=4000cm2, 两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， 得图 当FL=20cm,CF=30cm时，满足条件， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H G B K .AC=20cm,FB=50cm 则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积·正方形面积·长方形面积 =100×60-2×202-2×20×50=3200cm2 方案2包装盒的表面积为：3200cm2<4000cm2, 则AI对方案2“表面积最小”的评价准确. 8.(1①)4.25,891 (2)4 6)400n 9.(1)四，2”： (2)4.5cm 3) 解：小海的折法正确，理由如下： 由折叠的性质和正方形的性质可得∠D=∠GEC=90°， ∴.∠AEM=∠DME+∠D,∠AEG+∠CEG=∠DME+∠D, .∠AEG=∠DME .tan∠AEG=tan∠DME AE DM :.AG DE 6 DM …4.56’ 解得DM=8cm, 由8：12=2：3可知，M是边CD的一个三等分点. 10.1)右眼度数为275度，左眼度数为300度： 7/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )1 (2)f 3) 解：这副眼镜与验光单匹配，理由如下： 如图，延长CA,DE交于点F, y G--F0 ---------- 由题意，得E点是CD的中点， .'CE=DE, .CD⊥GE, :.∠FEC=∠FED=90°， EF=EF, △FCE≌AFDE(SAS) :.FC=FD,即F点在CD的垂直平分线上， ,CD⊥GE,E点是CD的中点， ∴.GE垂直平分CD, .F点在GE上， 设凹透镜虚焦点F到光心O的距离为焦距∫， .AB⊥GE,CD⊥GE, .AB//CD. .△FABn△FCD, AB OF CD OF+OE AB=0.06米，CD=0.15米，OE=0.3米， 0.06_f 0.15f+0.3 解得f=0.2米， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 由(2)的结论D= 1 解得Φ= =5D 0.2 ,是近视镜片，焦度为-5.00D 和验光单标记一致，因此匹配. 1Ⅱ.（④）快速充电的函数解析式为片=0.8x+0,2(0≤x≤) 慢速充电的函数解析式为为=0.1r+02(0≤x≤8) (2)解：当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%， 理由：40÷60= 小时， 1214 把x 3代入2=0.1x+0.2得%10×3+515： 一十 44.1 把y=15代入片=0.8x+0.2得15=5x+5, 解得x=2: 111 11.21919、3 若充到100%，还需要1-212（小时），2+3=12'12>2， ∴.车辆的电量不能充至100%， ∴.当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100% 12.(1)90 (2)160,补全条形统计图： 报名人数 60 -----56 50 40 20 10 0 A.唱歌B.舞蹈C.器乐D.戏刷E其他 表演类别 图1 36 3)①7,8,7： ②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小， 9/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 说明成绩更加稳定。 13.(1)长2米，宽1米 包o5米 ②15米 14.(1)1202 a号 3)0.05A≤I≤0.3A 15.1)①：四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BAD=90°， ,折叠， E-DE-4B.EPDP-DEAP0EFP EP-14B.AP-AE+EP-34B+14B-34B 2 4 设B=4,则F=B=4,4E=2x,4P4B=3x, 4 :EFPO,即EM/IPB', .△AEM∽△APB', AE AM 2x AM ·AP=AB,即3x4x, .AM=8x 8x :4M-3-2」 AB'4x 3' .点M就是边AB'(AB)的一个三等分点： ②根据题意，AB=PO=4x,AP=BQ=3x,DP=CQ=x,∠APQ=∠BQP=90° .A0=VAP+P02=V3x}+(4x}=5x, :折叠，边AB的对应边AB落在AQ上， AB=AB'=BC=4x,∠ABN=LAB'N=90°=∠NB'0, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..B'O=A0-AB'=x. ∠B'g+∠B'QN=∠B'QN+∠B'OP=90°， 、∠B'N0=∠B'OP,且∠NB'O=∠APQ=90°， .△NB'OAOPA. B'o NO x NO ·APA0,即3 "3x 5x №=5x 3, BN-BC-NQ-CQ=4x-x-x-4x 3 3 ∴点N就是一个边BC的三等分点： (②)如图所示，设正方形的边长为4a,则AB=BC=CD=AD=4a, A E D R---- S M F G H K 正方形ABCD,将边AB折叠，与边CD重合，得到线段AD的中点E,将边AD折叠，与边BC重合，得到 线段AB的中点F,连接BE,CF, 将边AB沿直线BE折叠得到对应点A,将边BC沿直线CF折叠得到对应点B',折痕BE,CF交于点O, “BE⊥C,CF是线段B的垂直平分线，4E=4D=2a,BF 2AB=2a .∠BOF=∠BOC=90°=∠ABC. :.CF=VBc2+BF2=V(4a'+(2a}=25a, CF-CF.BO 2 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC.BF 4a:2a 5a mor-Jur'-Bo -(2a)-4sa B0= 25a CF 25a 5 将边BC折叠，使得边BC与过点O垂直于AB的线段GH重合，折痕为KL, .OG⊥AB .∠BOG+∠GBO=∠GOB+∠BF0=90°. ∴.∠BOG=∠BFO. .△BOG△BFO 45a 5= BG B0BG,即2a4W5a BF BO 5 解得，BG=8a 5, :BK=IBG=4a 5 Aa ∴点K即为线段AB的五等分点， :K=苦a 将边AD折叠与折痕KL重合，得到折痕MN,不展开，再将边MN折叠与折痕KL重合，得到折痕GH,RS 展开，即可得到线段AB的五等分点，即K,G,M,R是线段AB五等分点， 4+5 16.1)2 ⑧)4V5 3 10 17.1)①2,5：②影子GH的长度为3米 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)解：小明会被照射到，理由：过点Q作P吧LBC交HF于点P. F 4 P Hax 夕 G OH C 由(I)知，∠ADE=a=∠DGB a=60°， ∴.∠IDE=∠DGB=60° 在R△DE中，DI-DE= 2 4米，AD= 2米 .BD=2米 在R△DBG中，BG=BD-25 tan60°=3米. GH=GJ4V3 在Rt GHJ中， sin60°3米. 在Rt△POH中，当PO=1米时， QH=P№-V5 tan60°3米. G+GH-OH-3 ∴小明刚好被照射到时离B点的距离为 小明会被照射到。 18.1)f=-16h+580 625 (22ml (3)①c:②300ml 19.(1)1.33 2)①40.0：②45.0°：③35.0 20.(1) 13/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 画图即为所求 N 9 M P 4 3) 解：延长QA,交BP于点E,连接OE, 过点A作AF∥OE,交NO于点F, F M E B 故沿着OE切割，然后拼接到AF位置上即可符合要求，理由如下： :AF∥OE,NO‖AQ ∴.四边形OEAF是平行四边形， .∠AOE=∠OAF, .∠AFN=∠AON+∠OAF,∠MOE=∠BOM-∠BOE ∴.∠AFN+∠MOE=∠BOM-∠BOE+∠AON+∠OAF=∠BOM+∠AON, .∠MOB=∠NOA=135°， .∠AFN+∠MOE=135°+135°=270°， .∠MOF=90°， 故沿着OE切割，然后拼接到AF位置上，此时∠MOF=90°，符合要求. 21.(1)7.6米 (2) 解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，正方形DEFG扩大2倍后为正方形D'E'FG, 则新正方形边长D'E'=1.8×2=3.6米， M D G E N: 在RtaD'E'N中，∠E'D'W=26.5°， 由cos∠E'DW=D DN得，DW=DE 3.6 c0s26.5°0.90 =4.0(米)， .DH=D'N+NH=4.0+3.0=7.0(米)， 由(1)得NH=3.0米，MH=6.8米， .MH <D'H, ∴·不能继续利用该传送带运输， 答：正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输. 22.1)k (2)见解析；步骤见解析 23.1)3.6米 (2)0.76米 24.1)15.6米 (2)9秒 25.)P=48 2×106m2 (2) 15/15 专题14 解答题22题（综合与实践，创新题型） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 解答题22题（综合与实践，创新题型） 2026、2025、2024、2023、2022 2022 至 2026 年第 22 题作为固定综合实践创新大题，命题呈现清晰变化趋势：早期 2022、2023 年侧重生活经济、测量类代数应用，以一次函数、解直角三角形、相似建模为主，设问直白，侧重列式计算；2024、2025 年转向几何操作探究，融合三角板拼接、梯形图形分割变换，新增画图、方案设计类开放设问，强调动手与空间想象；2026 回归生活情境，结合扶梯客流构建一次函数搭配不等式整数分析，代数综合度提升。整体命题从单一计算逐步走向代数、几何交叉融合，开放探究、方案设计题型占比逐年增加，文字情境更长，对建模、逻辑表达、分类分析的综合能力要求持续提高 1．（2026·上海·中考真题）某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，时第一位游客站上扶梯，时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为秒． (1)设登上观景台的游客数为，时间为（从开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出关于的函数解析式；（不用写定义域） 表1 (2)①请你求出从整，一共有几位游客到达观景台； ②请你求出，一共有几位游客到达观景台． 【答案】(1)表格依次填入，；关于的函数解析式为 (2)①位；②位 【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游客到达间隔推出表格数据，再推导得到关于的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时的范围，结合为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解． 【详解】（1）解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51秒． 所以当时，． 每位游客到达间隔为秒， 当时，． ∵位游客，第一位用时51秒，剩余位每位间隔秒， ∴ （2）解：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时秒． 令 解得为正整数，因此最大． 答：一共有位游客到达观景台． ②从8点10分0秒整到8点14分0秒整，总计时秒． 令 解得为正整数， 因此到8点14分0秒整最多有位游客到达． 该时间段游客数为． 答：一共有位游客到达观景台． 2．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】(1) (2) 解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识； （1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果； （2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）略 3．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】(1)等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； (2) 如图，即为所作图形． 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； （2）略 4．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】(1)900 (2) (3) 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，整理求解即可； （3）当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）解：由题意知，，整理得， ∴y关于x的函数解析式为； （3）解：当，则， ∵， ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式． 5．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 一、解答题 1．（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 【答案】(1) (2)证明：由题可知，，即， ，， 平行四边形纸片， ， ，则， ，即是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ． (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和垂直的定义，等量代换即可求解； （2）根据平行四边形的性质和垂直的定义，易证和是等腰直角三角形，可得，，再利用“”即可证明； （3）根据题意作图，先确定为的中点，不妨取，证明，得到，再利用勾股定理可得，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ， ， ， 平行四边形纸片， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，的垂直平分线交于， 中点为， 由，不妨取， 由（1）知，即，， ，又垂直平分， 则分别为的中点， ，又中点为， ，，则， 又， ，又， ，又， ， ， 又，即 ， ， ，由（2）知， ， ， 即的值为． 2．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【答案】(1) (2)直线； (3) 由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）略 3．（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知， 在中，， 则． 在中，， ∴， 则， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， （1）先延长，交于点D，可知，再根据可得答案； （2）先作，作，交于点E，再设，则，然后根据勾股定理分别表示出，进而求出，最后根据得出答案； （3）先根据题意可知再表示出，，即可得出，然后再表示出，接着求出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，交于点D，可知， ∴， 在中，． 故答案为：； （2）解：如图所示，过点O作，交的延长线于点C，过点B作，于点D，交于点E， 设，则， ∵， ∴，， 可知， ∴， 根据勾股定理，得， 解得，，则 ∴， ∴； （3）略 4．（2026·上海虹口·二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点）．已知于点，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： (1)任务一：求邻居到墙角的距离； (2)任务二：如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？ 【答案】(1) (2)水盆B应向左平移，且平移 【分析】（1）先求出，，再解直角三角形得出，再根据，求出即可； （2）先证明此时与重合，解直角三角形得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即邻居A到墙角P的距离为； （2）解：当镜子绕点顺时针旋转后，如图所示： 此时， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴此时与重合， ∴此时， ∴， ∴点B向左移动，且移动距离为：． 5．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 【答案】(1)，定义域为 (2)18元 (3)200元 【分析】（1）先求出张爷爷月份共就餐的顿数，再求出总扣款的钱数，即可得出y关于x的函数解析式，根据，且，即可求出定义域； （2）求出当时的值即可得出结果； （3）先消费的总餐费标价，再结合总优惠包括政府补贴和餐费九折优惠，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，张爷爷月份共就餐（顿）， 每顿实际扣款为元，则总扣款为（元）， ∴y关于x的函数解析式为， ∵，且， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 故他该月每餐标价是元； （3）解：设消费的总餐费标价为元， 由题意可得：， ∴， 故餐费九折优惠的金额为：（元）， ∵政府补贴80元， 故实际共获得优惠金额为（元）． 6．（2026·上海松江·二模）【问题提出】把一个长、宽分别为、的长方形（如图1），剪拼成一个正方形（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计） 【方案设计】某学习小组提出以下设计思考： (1)根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为 ．（用含、的代数式表示） 如图2，延长至点，使，以为直径作半圆．延长交于点，联结、，可得（后续说理如需用到这一结论，可直接使用），他们认为：“就是所求正方形的边长”； 如图3，以为边，在左侧作正方形，分别与、交于点、，沿虚线、裁剪，、可以通过适当的图形运动分别与、叠合，拼成正方形． 【论证说明】 (2)如图2，该学习小组认为：“是所求正方形的边长”，试说明理由； 【论证说明】 (3)可以通过怎样的图形运动与叠合，并说明它们能够叠合的理由． 【答案】(1) (2) 解：如图2，过点作，则 ∵经过圆心， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得（舍负）， ∴是所求正方形的边长； (3) 解：可以通过平移运动与叠合，理由如下： ∵矩形，正方形， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴可以通过平移运动与叠合． 【分析】（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知矩形和正方形的面积都是，即可求解边长； （2）过点作，先证明，然后得到，则，据此求解即可； （3）先证明，再证明，求证，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得，矩形的面积为， ∵根据剪拼前后图形面积不变， ∴可知剪拼后正方形的边长为； （2）略 （3）略 7．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】(1) (2) 解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； （2）略 8．（2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据水费的单价=供水费单价+污水处理费单价求解即可；求出用水量为的水费即可； （2）根据共缴水费元列出方程求解即可； （3）先判断，然后根据共缴水费元列出方程求解即可. 【详解】（1）解：第1档的自来水水费1m3的单价为元， ∵， ∴图中点的纵坐标为； （2）解：根据题意，得， 解得； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：小明家去年的年用水量. 9．（2026·上海浦东新·二模）折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术．学校折纸社团的同学们用正方形纸片开展折纸活动． 【发现问题】如图1，将正方形纸片对折再展开，折痕交于点、交于点，点、分别是边、的二等分点．在第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的________等分点．按照这样的方式对折次（是正整数）可以得到边的_________等分点（用含的代数式表示），但这样折的方式都不会得到边的三等分点． 【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？ 【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论． 小明：要得到边的三等分点，得想想别的折法． 小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出的比例？ 小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图1）的基础上，将点沿着直线翻折到点处（如图3），折痕分别交正方形的边于点、．边交正方形的边于点，就是边的一个三等分点． 【解决问题】 (1)完成填空； (2)求的长； (3)判断小海的折法是否正确并说明理由． 【答案】(1)四，； (2) (3) 解：小海的折法正确，理由如下： 由折叠的性质和正方形的性质可得． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴， 解得， 由可知，是边的一个三等分点． 【分析】（1）根据题意可得答案； （2）设，则由折叠的性质可得，求出的长，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （3）证明，得到．则，可求出，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的四等分点．按照这样的方式对折次（是正整数）可以得到边的等分点； （2）解：设，则由折叠的性质可得 ∵四边形是正方形， ∴． ∵是的中点，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）略 10．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 【答案】(1)右眼度数为度，左眼度数为度； (2) (3) 解：这副眼镜与验光单匹配，理由如下： 如图，延长交于点， 由题意，得点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴点在上， 设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 由（2）的结论， 解得， ∵是近视镜片，焦度为， ∴和验光单标记一致，因此匹配． 【分析】（1）根据度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为，分别代入数据计算即可； （2）设， 把，代入，求得，再根据，代入计算即可； （3）延长交于点，由题意，得点是的中点，证明点在上，设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距，证明，推出，求出米，由（2）的结论，代入计算即可解答． 【详解】（1）解：右眼焦度，则（度）； 左眼焦度 ，则（度）； 答：右眼度数为度，左眼度数为度； （2）解：∵近视眼镜度数与焦距成反比例， 设， 把，代入得：， 解得， 因此​， 又∵，代入得​， 化简得：； （3）略 11．（2026·上海崇明·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】(1)快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； (2)解：当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至， 理由：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； （2）略 12．（2026·上海宝山·二模）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 【答案】(1)90 (2)160，补全条形统计图： (3)①7，8，； ②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小，说明成绩更加稳定． 【分析】（1）用乘以占比即可； （2）先由C的人数除以占比求解总人数，然后计算出B、E的人数，即可补全条形统计图； （3）①根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； ②根据平均数，中位数，方差的意义分析即可． 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为； （2）解：总人数：（人）， B的人数：（人）， 则E的人数为：（人）， 补全条形统计图略 （3）解：①； 乙的数据排列为：3，4，8，8，8，9，9，则； ； ②略 13．（2026·上海奉贤·二模）综合知识的应用： (1)某社区有一个宽度（CD）为3米的矩形健身区，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示）．求每一个矩形器材区的边长； (2)为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案： （i）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道； （ii）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等； （iii）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形中，． ①求平行四边形器材区的另一边的长； ②求新建矩形健身区另一边的长度．（结果保留整数参考数据） 【答案】(1)长2米，宽1米 (2)①米 ②15米 【分析】（1）设每一个矩形器材区的长为x米，宽为y米，根据长方形的长等于2个宽，长方形的长和宽的和为3米得出方程组，求出解； （2）①由（1）知矩形器材区的面积为2平方米，作，即可求出（米），再根据，求出答案； ②设矩形器材区有m排，则平行四边形器材区有排，再表示出矩形器材和平行四边形器材区的数量，然后根据数量和等于42列出方程，求出m，接下来求出通道数量，则答案可得． 【详解】（1）解：设每一个矩形器材区的长为x米，宽为y米，根据题意，得 ， 解得， 所以每一个矩形器材区的长为2米，宽为1米； （2）解：①由（1）知矩形器材区的面积为（平方米）， ∵平行四边形器材区的面积与矩形器材区的面积相等， ∴平行四边形的器材区的面积为2平方米． 如图，过点N作于点K， 在中，， ∴（米）． ∵， ∴， 解得， 所以平行四边形器材区的另一边的长为米； ②设矩形器材区有m排，则平行四边形器材区有排， 矩形器材区每排的数量为（个）， 平行四边形器材区每排的数量为（个）， 根据题意，得， 解得， 因为m为正整数， 所以， 此时矩形器材区有3排，能放（个），平行四边形器材区有2排，能放（个），共42个器材，符合题意， 通道数量为：（个）， 则新建矩形健身区另一边的长度为（米）， 所以新建矩形健身区另一边的长度为15米． 14．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 15．（2026·上海虹口·三模）如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点P、Q就分别是边的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？ (1)同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案． ①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点A的直线l折叠，使得点B的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为M，点M就是边（）的一个三等分点．请你验证这个方案的正确性； ②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点A的直线m折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线m与边的交点N就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性； (2)请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言） 【答案】(1)①∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， 设，则，，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点M就是边（）的一个三等分点； ②根据题意，， ∴， ∵折叠，边的对应边落在上， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点N就是一个边的三等分点； (2)如图所示，设正方形的边长为，则， 正方形，将边折叠，与边重合，得到线段的中点E，将边折叠，与边重合，得到线段的中点F，连接， 将边沿直线折叠得到对应点，将边沿直线折叠得到对应点，折痕交于点， ∴，是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 将边折叠，使得边与过点垂直于的线段重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∴点K即为线段的五等分点， ∴， 将边折叠与折痕重合，得到折痕，不展开，再将边折叠与折痕重合，得到折痕，展开，即可得到线段的五等分点，即是线段五等分点． 【分析】（1）①根据正方形、折叠的性质得到，设，则，，，证明得到，由此即可求解； ②由勾股定理得到，证明得到，则，由此即可求解； （2）根据折叠得到线段的中点，连接，得到交点O，将边折叠，使得边与过点垂直于的线段重合，折痕为，将边折叠与折痕重合，得到折痕，不展开，再边折叠与折痕重合，得到折痕，展开，即可得到线段的五等分点，即是线段五等分点，运用折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定得到，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 16．（2026·上海奉贤·三模）【阅读材料】 在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”． 【解决问题】 如图2，平行四边形的边水平放置，，，． (1)求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值； (2)在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积； (3)在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，则即为所求，先解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，的长，进而求出的长即可； （3）设向右平移到的位置，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，参考（1）的方法，先求出的长，则可得的长，再根据题意建立方程，解方程求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是平行四边形的“隐形框”， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值为． （2）解：如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，矩形是平行四边形的“隐形框”， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， 即此时它的“隐形框”的面积为． （3）解：如图，设向右平移到的位置，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，矩形是平行四边形的“隐形框”， 由平移的性质得：，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平移后，这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍， ∴，即， 解得， ∴边向右平移的距离为． 17．（2026·上海闵行·三模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决： (1)任务1（确定影子长度）：若某一时刻测得米 ① 米， ； ②求此时影子的长度． (2)任务2（判断是否照射到）：这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由 【答案】(1)①，；②影子的长度为米 (2)解：小明会被照射到，理由：过点作交于点． 由（1）知，． ， ． 在中，米，米， 米． 在中，米． 在中，米． 在中，当米时，米． ∴小明刚好被照射到时离点的距离为． ∴小明会被照射到． 【分析】（1）①由米可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得米，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出米，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当米时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而米，米， 米， 米， ； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）略 18．（2026·上海·三模）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ (3)研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（     ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 【答案】(1) (2) (3)①C；② 【分析】（1）设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）根据（1）中解析式求出发出的音阶为时，杯中水位高度是，根据水位每升高时，则所使用的水量增加，即可求出答案； （3）①根据五线谱解答即可；②把个音阶从低到高排列，得出第个和第个数据分别为和，根据（1）中解析式求出发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为，结合（2）中结论，根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为． （2）解：∵音阶为的频率是，， ∴， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是， ∵杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加， ∴水位高度是时，玻璃杯中的水量为． （3）解：①由五线谱可知，对应的经典儿歌是（C）小星星． ②把个音阶从低到高排列为：、、、、、、、、、、、、、， ∴第个和第个数据分别为和， ∵音阶为的频率是，， ∴发出的音阶为时，， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， 由（2）可知，发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， ∴这个玻璃杯装水量的中位数为． 19．（2026·上海静安·三模）综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．    材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单：   （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： (1)根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． (2)根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 【答案】(1)1.33 (2)①；②；③ 【分析】（1）过点作交于点，根据题意得，，，推出，则有，证明四边形是矩形，得到，，再根据正弦的定义求出，，最后结合题意即可求出水的折射率的值； （2）①设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，证明，则有，进而解直角三角形，即可求解； ②设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； ③作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图4，过点作交于点， ∵为一圆柱形敞口容器的纵切面， ∴，， ∵水面到达容器高度一半， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴，， 由题意得，入射角，折射角， ∴，， ∴； （2）解：①如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 由光的反射定律可知，， 又 ∴， ∴， ∴， ∵入射角为， ∴， ∴， 即点到平面镜的距离是厘米； ②如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴入射角的度数为； ③如图3，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即的长度是厘米； 20．（2026·上海闵行·一模）探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【答案】(1) 画图即为所求 (2) (3) 解：延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故沿着切割，然后拼接到位置上，此时，符合要求． 【分析】（1）根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注好字母即可； （2）延长，交于点T，根据题意，得到，结合，得到，且，同理可证，再证明四边形是矩形，得到，根据，解答即可． （3）延长，交于点E，连接，过点A作，交于点F，利用平行四边形的判定和性质，三角形外角性质证明即可． 本题考查了基本作图，平移，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正切函数的应用，三角形外角性质的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （3）略 21．（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【答案】(1)7.6米 (2) 解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【详解】（1）解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； （2）略 22．（2026·上海·一模）小明所在的数学研究小组依据课本“第24章 相似三角形”内的知识展开了研究． (1)如图1，在中，点D、E分别在边上，且，边上有一点M，连接交线段于点N．设，求的值；（用含k的代数式表示） (2)如图2，平行四边形中，连接对角线．尝试仅用无刻度的直尺作出的重心，并简要说明画图步骤；画图步骤： ． 【答案】(1) (2)见解析；步骤见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质： （1）根据题意可得，从而得到，，从而得到，即可； （2）在边上任取一点E，连接并延长，交延长线于点F；再连接交于点P，连接并延长，交于点Q；然后连接，和的交点即为所求G． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． （2）解：如图所示，点G即为所求； 作图步骤： ① 在边上任取一点E，连接并延长，交延长线于点F； ② 连接交于点P，连接并延长，交于点Q； ③ 连接，和的交点即为所求G． 理由：过点A作，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，点O为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得：， ∴，即点Q为的中点， ∴点G为的重心． 23．（2026·上海徐汇·一模）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚长为，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高为． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板（竖直方向），示意图如图2所示，已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度至少要．根据以上信息，请你计算挡板至少要多长才能确保遮阳效果．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作，先利用余弦求得，再利用勾股定理求得即可； （2）先证明四边形是矩形，从而可得，进而可求得，根据走廊的遮阳宽度至少要，可求得，再利用正切求得，从而可求得． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴遮阳棚前端到墙面的距离为米； （2）解：如图，延长交于点M，则， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又，由（1）得， ∴， 又走廊的遮阳宽度至少要， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴挡板至少要米长才能确保遮阳效果． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 24．（2026·上海松江·一模）如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】(1)15.6米 (2)9秒 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出的长，进而求出的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； （2）解：由题意，，， 在中，； 在中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 25．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 解答题22题（综合与实践，创新题型） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 解答题22题（综合与实践，创新题型） 2026、2025、2024、2023、2022 2022 至 2026 年第 22 题作为固定综合实践创新大题，命题呈现清晰变化趋势：早期 2022、2023 年侧重生活经济、测量类代数应用，以一次函数、解直角三角形、相似建模为主，设问直白，侧重列式计算；2024、2025 年转向几何操作探究，融合三角板拼接、梯形图形分割变换，新增画图、方案设计类开放设问，强调动手与空间想象；2026 回归生活情境，结合扶梯客流构建一次函数搭配不等式整数分析，代数综合度提升。整体命题从单一计算逐步走向代数、几何交叉融合，开放探究、方案设计题型占比逐年增加，文字情境更长，对建模、逻辑表达、分类分析的综合能力要求持续提高 1．（2026·上海·中考真题）某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，时第一位游客站上扶梯，时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为秒． (1)设登上观景台的游客数为，时间为（从开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出关于的函数解析式；（不用写定义域） 表1 (2)①请你求出从整，一共有几位游客到达观景台； ②请你求出，一共有几位游客到达观景台． 2．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 3．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 4．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 5．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 一、解答题 1．（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 2．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 3．（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 4．（2026·上海虹口·二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点）．已知于点，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： (1)任务一：求邻居到墙角的距离； (2)任务二：如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？ 5．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 6．（2026·上海松江·二模）【问题提出】把一个长、宽分别为、的长方形（如图1），剪拼成一个正方形（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计） 【方案设计】某学习小组提出以下设计思考： (1)根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为 ．（用含、的代数式表示） 如图2，延长至点，使，以为直径作半圆．延长交于点，联结、，可得（后续说理如需用到这一结论，可直接使用），他们认为：“就是所求正方形的边长”； 如图3，以为边，在左侧作正方形，分别与、交于点、，沿虚线、裁剪，、可以通过适当的图形运动分别与、叠合，拼成正方形． 【论证说明】 (2)如图2，该学习小组认为：“是所求正方形的边长”，试说明理由； 【论证说明】 (3)可以通过怎样的图形运动与叠合，并说明它们能够叠合的理由． 7．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 8．（2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 9．（2026·上海浦东新·二模）折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术．学校折纸社团的同学们用正方形纸片开展折纸活动． 【发现问题】如图1，将正方形纸片对折再展开，折痕交于点、交于点，点、分别是边、的二等分点．在第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的________等分点．按照这样的方式对折次（是正整数）可以得到边的_________等分点（用含的代数式表示），但这样折的方式都不会得到边的三等分点． 【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？ 【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论． 小明：要得到边的三等分点，得想想别的折法． 小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出的比例？ 小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图1）的基础上，将点沿着直线翻折到点处（如图3），折痕分别交正方形的边于点、．边交正方形的边于点，就是边的一个三等分点． 【解决问题】 (1)完成填空； (2)求的长； (3)判断小海的折法是否正确并说明理由． 10．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 11．（2026·上海崇明·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 12．（2026·上海宝山·二模）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 13．（2026·上海奉贤·二模）综合知识的应用： (1)某社区有一个宽度（CD）为3米的矩形健身区，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示）．求每一个矩形器材区的边长； (2)为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案： （i）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道； （ii）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等； （iii）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形中，． ①求平行四边形器材区的另一边的长； ②求新建矩形健身区另一边的长度．（结果保留整数参考数据） 14．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 15．（2026·上海虹口·三模）如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点P、Q就分别是边的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？ (1)同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案． ①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点A的直线l折叠，使得点B的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为M，点M就是边（）的一个三等分点．请你验证这个方案的正确性； ②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点A的直线m折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线m与边的交点N就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性； (2)请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言） 16．（2026·上海奉贤·三模）【阅读材料】 在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”． 【解决问题】 如图2，平行四边形的边水平放置，，，． (1)求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值； (2)在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积； (3)在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离． 17．（2026·上海闵行·三模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决： (1)任务1（确定影子长度）：若某一时刻测得米 ① 米， ； ②求此时影子的长度． (2)任务2（判断是否照射到）：这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由 18．（2026·上海·三模）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ (3)研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（     ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 19．（2026·上海静安·三模）综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．    材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单：   （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： (1)根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． (2)根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 20．（2026·上海闵行·一模）探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 21．（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 22．（2026·上海·一模）小明所在的数学研究小组依据课本“第24章 相似三角形”内的知识展开了研究． (1)如图1，在中，点D、E分别在边上，且，边上有一点M，连接交线段于点N．设，求的值；（用含k的代数式表示） (2)如图2，平行四边形中，连接对角线．尝试仅用无刻度的直尺作出的重心，并简要说明画图步骤；画图步骤： ． 23．（2026·上海徐汇·一模）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚长为，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高为． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板（竖直方向），示意图如图2所示，已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度至少要．根据以上信息，请你计算挡板至少要多长才能确保遮阳效果．（结果精确到，参考数据：，，） 24．（2026·上海松江·一模）如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 25．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $