专题04 三角形（3年汇编）（广西专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦广西中考三角形专题，汇编2024-2026年真题及模拟题，覆盖角平分线、等腰三角形等6大核心考点，基础题结合钟表角度计算等生活情境，解答题融合圆与动态几何，梯度分明适配中考备考。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|含多道真题模拟题|角平分线、平行线、相似全等|结合生活情境（如跳远垂线段最短）| |填空题|含多道真题模拟题|等腰三角形性质、对顶角计算|直接应用定义性质| |解答题|含综合大题|直角三角形、锐角三角函数、动态几何|融合圆与旋转（2026几何大题）、平移遮阳伞最值问题|

专题04 三角形 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01角、角平分线 2026广西卷 2024广西卷 以选择题、解答题形式考查；三角形角与角平分线分基础、压轴两层命题。基础题结合钟表角度计算，依托角的等分、周角拆分考查角度简单运算，以选择填空出现，侧重生活情境化。几何大题融合外接圆、直角三角形、切线等综合考点，将角平分线、圆周角、垂直、切线性质结合设问，第一问常证明角平分关系，依托圆心角、四点共圆、垂直平分线推导；第二问结合切线、勾股、三角函数求线段长与角度。命题坚持数形结合，串联圆、等腰直角三角形知识，兼顾基础计算与逻辑证明，梯度明显，侧重几何推理与综合应用能力考查。 考点02 相交线与平行线 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 以选择题、填空题形式考查；考查邻补角、对顶角的性质（如角度计算）、垂线段最短等基础概念，题目情境简单，侧重对定义和性质的直接应用。会将知识点融入实际场景（如跳远成绩测量），考查对“垂线段最短”等原理的理解，体现数学与生活的联系。整体难度偏低，属于试卷基础得分点，较少与复杂几何图形深度综合，主要检验学生对相交线、平行线核心概念的掌握程度。 考点03 等腰三角形的性质与判定 2025广西卷 2024广西卷 以填空选择题、解答题形式考查；常结合等边三角形、等腰直角三角形，考查“三线合一”“等边对等角”，如第1题利用垂直平分线性质计算线段长度，属于基础填空。常与圆、平行四边形结合，如第2题中利用AB=AC推出弧相等、半径垂直平分底边，再结合中位线、切线判定定理证明切线，体现性质的串联应用。结合三角函数、勾股定理，如第2题中利用等腰三角形三线合一求高，再通过勾股定理列方程求外接圆半径，侧重几何计算能力。 考点04 直角三角形的性质与判定 2026广西卷 2024广西卷 均以解答题形式考查；常结合平行四边形、全等三角形，考查直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半、勾股定理，如第1题用30°角性质求边长，再计算周长。会与垂直平分线、角平分线结合，利用“等角对等边”推导角的关系，再通过AA判定三角形相似，如第2题（1）的证明。在几何旋转题中，以直角三角形为载体，结合垂直平分线性质，考查面积最值、直角三角形存在性问题，涉及分类讨论思想，难度偏高。 考点05 相似与全等 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 以选择题、解答题形式考查；常以平行四边形、圆为载体，结合公共边、半径相等的条件，用SSS、SAS判定全等，侧重基础证明，比如圆中利用同圆半径相等证明三角形全等。多结合光的反射、平行六边形、实际测量场景，利用“两角对应相等”判定相似，常和勾股定理、方程结合求线段长度，还会融入旋转、裁剪等动态情境，考查综合应用能力。整体命题既注重基础判定方法，也会结合几何变换、实际问题，考查逻辑推理与计算能力。 考点06 锐角三角函数及其应用 2026广西卷 2025广西卷 以选择题、填空题、解答题形式考查；常以直角三角形为载体，直接考查正弦、余弦、正切的定义，比如给出直角三角形的边长，求某个锐角的三角函数值，题型以选择题为主，难度较低。常和正方形、矩形等图形结合，需要利用三角函数求出线段长度，再结合勾股定理计算，比如在正方形中利用正切求边长，再算对角线或其他线段。会结合动态几何（如平移遮阳伞），通过分析图形位置变化，利用三角函数或相似三角形求面积、线段的最值，这类题综合性较强，需要分阶段讨论。 考点01 角、角平分线 1．（2024年广西中考数学试题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026年广西中考数学试题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 考点02 相交线与平行线 1．（2026年广西中考数学试题）如图，直线，相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025年广西中考数学真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 3．（2024年广西中考数学试题）已知与为对顶角，，则______°． 考点03 等腰三角形的性质与判定 1．（2025年广西中考数学真题）如图，点在同侧，，则_________．    2．（2024年广西中考数学试题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 考点04 直角三角形的性质与判定 1．（2026年广西中考数学试题）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 2．（2024年广西中考数学试题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 考点05 相似与全等 1．（2024年广西中考数学试题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 2．（2026年广西中考数学试题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 3．（2025年广西中考数学真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．（2025年广西中考数学真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 考点06 锐角三角函数及其应用 1．（2025年广西中考数学真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026年广西中考数学试题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 3．（2025年广西中考数学真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 一、单选题 1．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 5．（广西钦州市钦北区2026年九年级中考模拟考试数学试题）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（    ） A．5 B． C． D．6 6．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 二、填空题 7．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________． 8．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为___． 9．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 10．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______． 11．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 12．（2026年广西来宾市九年级中考三模数学试题）如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 三、解答题 13．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 14．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）计算： (1)； (2)． 15．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． (1)作，垂足为，求的长； (2)求的值． 17．（2026年广西南宁市中考二模考试数学试题）如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，四边形ABCD是某小区的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，求在该空地上种植草皮共需多少元？ 19．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）【综合实践】测量铜像高度 【工具准备】边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器． 【测量步骤】如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得，，三点在同一直线上，，将点对准点，视线经过边上一点，读取，测得． 【查阅数据】，． 【计算结果】 (1)求的长度； (2)求铜像的高度． 20．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）综合与实践． 素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题． 任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为． (1)求此时长棍的端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米． (2)求此时点离地面的高度． 21．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）【阅读理解】定义：如图1，点D，E分别在射线上（均不与点A重合），过点D且垂直于的直线与过点E且垂直于的直线交于点F，则称满足这样条件的（需满足两边分别与的两边垂直）为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别延长，交于点C，交于点B，连接． ①与之间的数量关系是_________； ②求的“边垂角”及与它的“边垂角”之间的数量关系； (2)如图2，是的“边垂角”，，交于点E，点F在射线上，连接，若，，，求的长． 22．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）综合与实践． 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”．如图1，在中，，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“原属三角形”． (1)【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出与的位置关系：______； (2)如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中与的位置关系依然成立，请证明； (3)如图4，在钝角中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边的延长线上，得到四边形．求证：四边形是双等四边形； (4)【拓展应用】如图5，在锐角中，，，，在的右侧是否存在一点D，使四边形是以为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01角、角平分线 2026广西卷 2024广西卷 以选择题、解答题形式考查；三角形角与角平分线分基础、压轴两层命题。基础题结合钟表角度计算，依托角的等分、周角拆分考查角度简单运算，以选择填空出现，侧重生活情境化。几何大题融合外接圆、直角三角形、切线等综合考点，将角平分线、圆周角、垂直、切线性质结合设问，第一问常证明角平分关系，依托圆心角、四点共圆、垂直平分线推导；第二问结合切线、勾股、三角函数求线段长与角度。命题坚持数形结合，串联圆、等腰直角三角形知识，兼顾基础计算与逻辑证明，梯度明显，侧重几何推理与综合应用能力考查。 考点02 相交线与平行线 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 以选择题、填空题形式考查；考查邻补角、对顶角的性质（如角度计算）、垂线段最短等基础概念，题目情境简单，侧重对定义和性质的直接应用。会将知识点融入实际场景（如跳远成绩测量），考查对“垂线段最短”等原理的理解，体现数学与生活的联系。整体难度偏低，属于试卷基础得分点，较少与复杂几何图形深度综合，主要检验学生对相交线、平行线核心概念的掌握程度。 考点03 等腰三角形的性质与判定 2025广西卷 2024广西卷 以填空选择题、解答题形式考查；常结合等边三角形、等腰直角三角形，考查“三线合一”“等边对等角”，如第1题利用垂直平分线性质计算线段长度，属于基础填空。常与圆、平行四边形结合，如第2题中利用AB=AC推出弧相等、半径垂直平分底边，再结合中位线、切线判定定理证明切线，体现性质的串联应用。结合三角函数、勾股定理，如第2题中利用等腰三角形三线合一求高，再通过勾股定理列方程求外接圆半径，侧重几何计算能力。 考点04 直角三角形的性质与判定 2026广西卷 2024广西卷 均以解答题形式考查；常结合平行四边形、全等三角形，考查直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半、勾股定理，如第1题用30°角性质求边长，再计算周长。会与垂直平分线、角平分线结合，利用“等角对等边”推导角的关系，再通过AA判定三角形相似，如第2题（1）的证明。在几何旋转题中，以直角三角形为载体，结合垂直平分线性质，考查面积最值、直角三角形存在性问题，涉及分类讨论思想，难度偏高。 考点05 相似与全等 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 以选择题、解答题形式考查；常以平行四边形、圆为载体，结合公共边、半径相等的条件，用SSS、SAS判定全等，侧重基础证明，比如圆中利用同圆半径相等证明三角形全等。多结合光的反射、平行六边形、实际测量场景，利用“两角对应相等”判定相似，常和勾股定理、方程结合求线段长度，还会融入旋转、裁剪等动态情境，考查综合应用能力。整体命题既注重基础判定方法，也会结合几何变换、实际问题，考查逻辑推理与计算能力。 考点06 锐角三角函数及其应用 2026广西卷 2025广西卷 以选择题、填空题、解答题形式考查；常以直角三角形为载体，直接考查正弦、余弦、正切的定义，比如给出直角三角形的边长，求某个锐角的三角函数值，题型以选择题为主，难度较低。常和正方形、矩形等图形结合，需要利用三角函数求出线段长度，再结合勾股定理计算，比如在正方形中利用正切求边长，再算对角线或其他线段。会结合动态几何（如平移遮阳伞），通过分析图形位置变化，利用三角函数或相似三角形求面积、线段的最值，这类题综合性较强，需要分阶段讨论。 考点01 角、角平分线 1． （2024年广西中考数学试题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 2． （2026年广西中考数学试题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【答案】(1)证明：连接，， ，， ， ， ，，， ， ， 平分； (2)， 【分析】（1）连接，，证明即可； （2）连接，，，过点作于点，根据圆周角定理先确定为等腰直角三角形，，然后解求出，再由圆的切线的性质求解，再解求出，解求出，最后根据垂径定理以及角度和差计算即可． 【详解】（1）略 （2） 解：连接，，，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 以为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ，均为等腰直角三角形， ， ， ，平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 考点02 相交线与平行线 1．（2026年广西中考数学试题）如图，直线，相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴与是邻补角， ∵， ∴． 2．（2025年广西中考数学真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短． 故选：A 3．（2024年广西中考数学试题）已知与为对顶角，，则______°． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 考点03 等腰三角形的性质与判定 1．（2025年广西中考数学真题）如图，点在同侧，，则_________．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    3． （2024年广西中考数学试题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （3） 如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 考点04 直角三角形的性质与判定 1．（2026年广西中考数学试题）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ (2) 【分析】（1）通过平行四边形的性质结合证明即可； （2）先根据30度直角三角形的性质以及勾股定理求解，再由平行四边形的性质以及全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴四边形的周长 2．（2024年广西中考数学试题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， 又； ∴； (2)①，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 取中点，连接，，作于N， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ∴，，， 根据垂线段最短知， 又， ∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为； ②或 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 同理 ∴为直角三角形时，只有， 当A和重合时，如图， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， ∴为直角三角形， 此时旋转角； 当和C重合时，如图， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， 又 ∴为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 考点05 相似与全等 1． （2024年广西中考数学试题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 2．（2026年广西中考数学试题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线 分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 3．（2025年广西中考数学真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 4． （2025年广西中考数学真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2) 证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）略 （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 考点06 锐角三角函数及其应用 1．（2025年广西中考数学真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 2． （2026年广西中考数学试题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 3．（2025年广西中考数学真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于 点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 一、单选题 1．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的定义，计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 2．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用位似图形的性质以及锐角三角函数求解． 【详解】解：∵轴， ∴， ∵与关于原点O位似， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， 由勾股定理得， ∴． 3．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 4．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 【答案】D 【分析】设，则，在中根据勾股定理得得数，进一步根据三角形面积即可求解． 【详解】解：设，则， 将矩形沿折叠， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 解得，，即， ． 5．（广西钦州市钦北区2026年九年级中考模拟考试数学试题）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质定理得到，可知，，得到，，根据勾股定理得到，可知，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线交于点D，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 6．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先推导出，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 二、填空题 7．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 8．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为___． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是的中点． 由折叠的性质推出，，，四点共圆，结合圆周角性质，以及等腰三角形性质推出是的中点，进而求出，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：由折叠可得，， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即是的中点， 中，， ， 又， ， ，即， ， 故答案为：． 9．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 10．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______． 【答案】 【分析】由旋转的性质得出，，从而得到，再求出，结合求出，由三角形内角和定理求得度数，作于点F，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：、、， ， ， ， ∴， ， ， 如图，作于点F， 在中，、， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 11．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 【答案】1.6 【分析】线段的最小值即点到的距离．作，利用相似三角形对应边成比例求出即可． 【详解】解：过点E作，垂足为， ∵中，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， ∴当点与点重合时，线段最小，线段的最小值为米． 12．（2026年广西来宾市九年级中考三模数学试题）如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 【答案】4或11 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 三、解答题 13．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ， 当，时，原式． 14．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先明确有理数混合运算顺序，因为运算优先级规定乘方高于乘除、乘除高于加减，所以先计算乘方，再计算乘法 ，最后计算加法得到结果． （2）先分别处理三个部分：因为负数的偶次幂为正，所以计算；因为非零数的0次幂等于1，所以计算；再根据特殊角的三角函数值得到 的数值，最后按照顺序计算加减得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件，，，运用证明即可； （2）由三角形内角和定理得，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴． 由（1）知，， ． 16．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． (1)作，垂足为，求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，用勾股定理求出，根据三角形面积求出的长； （2）过点作，交于，求出，，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，作，垂足为， ∵交于点， ∴， 为的中点，， ． 又∵在直角三角形中，， ． 又， ∵， ； （2）解：过点作，交于， ， 又， ， ∴， ． 又，， ． 又， ． 在直角三角形中，， ，， ． 17．（2026年广西南宁市中考二模考试数学试题）如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是和的外角， ， ． 18．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，四边形ABCD是某小区的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，求在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】元 【分析】利用含30度直角三角形的性质可求得，由勾股定理求得；由勾股定理的逆定理可得，求出四边形的面积即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴ ， 元， ∴在该空地上种植草皮共需元． 19．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）【综合实践】测量铜像高度 【工具准备】边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器． 【测量步骤】如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得，，三点在同一直线上，，将点对准点，视线经过边上一点，读取，测得． 【查阅数据】，． 【计算结果】 (1)求的长度； (2)求铜像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）解直角三角形求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解∶四边形是正方形， ，． ，三点共线， ， ． ， ． ． ，即． ． 答：的长度为． （2）解：由（1）可得， ． ∵， ． ∵， ． ∴，即． ． ∴铜像的高度为． 20．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）综合与实践． 素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题． 任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为． (1)求此时长棍的端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米． (2)求此时点离地面的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形，在中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解； （2）过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形，求出Q点离地高度，在 中，设为，为，则，然后在 中，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形， 米， 在中，， 米，， ， （米） ∴C端到地面高度： （米） 答：长棍的C端到地面高度为0．4米． （2）解：如图，过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形， 米，点离地高度为米，且竖直向上， （米） 点离地高度（米） ，为锐角， ∴在 中，设为，为， 由勾股定理，得， ∴在 中，， （米） （米） 点离地高度（米） 答：此时R离地面的高度为米． 21．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）【阅读理解】定义：如图1，点D，E分别在射线上（均不与点A重合），过点D且垂直于的直线与过点E且垂直于的直线交于点F，则称满足这样条件的（需满足两边分别与的两边垂直）为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别延长，交于点C，交于点B，连接． ①与之间的数量关系是_________； ②求的“边垂角”及与它的“边垂角”之间的数量关系； (2)如图2，是的“边垂角”，，交于点E，点F在射线上，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)①；②的“边垂角”是，； (2)7 【分析】（1）①根据垂直的定义及四边形的内角和求解即可；②根据“边垂角”的定义求解即可； （2）先根据“边垂角”的定义可得，．再证明．．再求解即可． 【详解】（1）解：① ∵ ； ②根据“边垂角”的定义，可知的“边垂角”是． ，， ，即． （2）解：是的“边垂角”， ，． ． 由②可得． 在和中， ，，， ． ，． ， ． ． 在和中， ，，， ． ． ． 22．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）综合与实践． 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”．如图1，在中，，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“原属三角形”． (1)【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出与的位置关系：______； (2)如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中与的位置关系依然成立，请证明； (3)如图4，在钝角中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边的延长线上，得到四边形．求证：四边形是双等四边形； (4)【拓展应用】如图5，在锐角中，，，，在的右侧是否存在一点D，使四边形是以为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：根据题意得：和是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即（1）中的结论依然成立； (3) 证明：由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是双等四边形； (4)存在，的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，再结合，得到，再根据平行线的判定即可得出结论； （3）根据旋转的性质得，，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，则，再根据双等四边形的定义即可证明； （4）过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接，在中利用正弦的定义以及等腰三角形三线合一性质得到，再根据双等四边形的定义可知四边形是以为原属三角形的双等四边形，再通过证明，得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：和是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）略 （4）如图，过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是以为原属三角形的双等四边形， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01角、角平分线 1.C 2.(1)证明：连接OA,OB, A CBD⊥AC∠BAC=45° .∠ABD=90°-∠BAC=45°=∠BAC, ∴DA=DB .OA=OB.DO=DO,DA=DB, ∴.△DOA≌aDOB(SSS) ∴.∠ADO=∠BDO ∴.OD平分∠ADB: a4C=V6.∠CBD=150 品 考点02相交线与平行线 3.A 4.A 5.35 考点3等腰三角形的性质与判定 118 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 5-1,-1+5 7.(1) 证明：：点D,E分别是BC,AC的中点， .BD=CD,AE=CE, 又.∠AEF=∠CED,DE=EF, .△AEF≌ACED. ∴.AF=CD,∠F=∠EDC, ∴.AF=BD,AF II BD .四边形ABDF是平行四边形： (2) 证明：如图，连接AD, :AB=AC,D为BC中点， .AD⊥BC E B .AD过圆心， AF II BD. AF⊥AD, 而OA为半径， .AF为⊙O的切线： 3)10 考点04直角三角形的性质与判定 8.(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD/∥BC ∴.∠A=∠CBE 218 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BE=AB :△1BD≌6BEC(SAS) g@3*7 9.(1) 证明：MO垂直平分AC, ..OA=OC, ∴.∠A=∠ACO, :CO平分∠ACB .∠ACO=∠OCB .∠A=∠OCB. 又∠B=∠B: .△ABCACBO: (2085.a=180 理由如下： ∠B=90° .∠A+∠AC0+∠OCB=90°， .∠A=∠AC0=∠OCB=30°， :0C040， 又AB=AO+B0=6, .B0=2,A0=4, ,MO垂直平分AC, :0M-40=2,AC=24M 21 AM=JAO -MOF=23 :1C-4V5 取A'C中点M',连接OM',MM',作MN⊥A'C'于N, 318 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M M B 由旋转的性质知△AOC≌△AOC',OM'为OM旋转a所得线段， :.OM'L4C'4C'=AC=43 OM'=OM=2 根据垂线段最短知MN≤MM', 又MM'≤OM+OM', “.当MO、M'三点共线，且点O在线段MM'时，MN取最大值，最大值为2+2=4， 此时a=180°， 六△AMC"面积的最大值为2×4W5x4=8V5, ②120°或240° 考点05相似与全等 10.C 11.(1) 证明：SD⊥AC, .∠SDC=∠SDA=90°， .'∠MDS=∠BDS, :.∠SDC-∠BDS=∠SDA-∠MDS. .∠MDA=∠BDC: (2)4.5米 12.(1) 证明：：⊙0的半径为OD,OB,OC,OA, 4/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OA=OB=OD=OC, .OC=OC,BC=CD ∴.△BOC≌△DOC(SSS) (2)40° 13.(1)错误；正确：错误 (2) 证明：过点作QH平行且相等于PO,连接OH,HS, 则平行四边形PQH0是平行四边形， ∴.P2OHPQ=OH 平行于 在平行六边形OPORST中，PO平行于RS,PO=RS, .QH平行且相等于RS, ∴.QRSH 为平行四边形， ..OR HS OR=HS 平行于 在平行六边形OPORST中，PO平行于ST,QR平行于OT, .OH平行于ST,HS平行于OT, HSTO为平行四边形， .HS=OT,OH=ST ..OR=OT,PO=ST ..OP=PO=OR=RS ∴.PQ=QR=RS=ST=OT=PO 小平行六边形 OPORST 是菱六边形. 518 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H R 284 6)393 考点06锐角三角函数及其应用 14.B 15.5 16.(1)s随x的增大而增大；(2)x=3,S=5:(3)S=-2x2+14x-19(3<x≤4)：(4)2m /一年模拟练测园 1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.A 7.6 5 8.8 2 9.2 10.26 11.1.6 12.4或11 13.(1)2 ②0+62 618 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.1)4 (2)1 15.I)证明：在△AOC和△BOD中， [∠AOC=∠BOD ∠C=∠D AC=BD :∴.△AOC≌△BOD(AAS) (2)65° 15 16.1)2 5 (2)9 17.(1)证明见解析 (2)62 18.(（18005+960)元 19.(1)975cm (2)405cm 20.(1)0.4米 (2)0.66米 21.I)①∠BAC+LDFE=180°：②∠DCE的“边垂角”是∠ABE,∠DCE=∠ABE: (2)7 22.1)AB∥CD (2) 证明：根据题意得：△ABC和△ACD是等腰三角形， A<C4B-180°-，∠8C4,∠ACD-180P-∠D 2 2 ,∠BCA=∠D, .∠CAB=∠ACD, AB∥CD, 718 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即(1)中的结论依然成立： 3) 证明：由旋转的性质得，AD=AB,AE=AC,DE=BC,∠ADE=∠B, .∠B=∠ADB, .∠BAD=180°-2∠B. .AC=BC. ∴AE=DE, ∴.∠DAE=∠ADE, .∠E=180°-2∠ADE. ∴.∠E=∠BAD, “四边形ABDE是双等四边形； 125 ④)存在，CD的长为18 818