专题29.3 弧长和扇形面积（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“弧长和扇形面积”核心知识点，系统梳理弧长公式（从360°圆心角弧长推导n°弧长）、扇形面积公式（角度制与弧长结合两种形式）及圆锥侧面积与全面积计算，构建从基础定义到综合应用的学习支架。 该资料以10类题型（如点的弧形运动路径、弓形面积、圆锥最短路径）为载体，结合中国扇文化、风车等生活实例，通过“化动为静”分析轨迹培养几何直观，用割补法计算面积发展推理能力。课中助力教师分层教学，课后通过中考链接与分层练习帮助学生查漏补缺。

专题29.3 弧长和扇形面积 教学目标 1.掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。 2.掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。 3.掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。 教学重难点 1.重点 （1）扇形的弧长弧面积的计算； （2）圆锥面积的相关计算。 2.难点 （1）扇形的弧长与面积公式的灵活运用； （2）不规则图形的面积计算，计算组合图形的面积。 知识点01 弧长公式 1.扇形弧长的定义 扇形的弧长就是扇形两条 间 的长度。 2.扇形弧长的计算公式 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。 【即学即练】 1．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为______． 2．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ） A． B． C． D． 3．半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（ ） A． B． C． D． 知识点02 扇形的面积公式 1.扇形的定义 由组成 所围成的图形叫做扇形。 2.扇形的面积公式 公式①：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝ ，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝ 。 公式②：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。 【即学即练】 5．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 知识点03 圆锥的侧面积与全面积 连接圆锥 和 的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 公式①：圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为： 。 公式②：若已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 ，侧面展开图的弧长等于底面圆周长等于，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。 【即学即练】 6．如图，圆锥的母线长l为，底面圆半径r为，则该圆锥的侧面积为______． 7．一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的表面积是____________________ 8．若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 题型01 弧长公式的基本计算 【典例1】中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【典例2】圆心角为，半径为的扇形的弧长为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查弧长公式 的正向（已知n,R求）及逆向应用（已知求n或R）。 （2）核心方法：直接应用或变形公式。注意找准圆心角n 和半径R，看清题目要求的计算对象。 【变式1】一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（ ） A． B． C． D． 【变式2】一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ） A． B． C． D． 【中考链接】如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 题型02 点的弧形运动路径长度 【典例1】如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度（单位：）为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查物体运动或旋转时，对应点所经过的轨迹长度计算。 （2）核心方法：“化动为静”。分析点的运动轨迹是圆弧，找到对应的圆心、半径及转过的圆心角。若是多点交替为圆心的滚动，需分段求弧长再求和。 【变式1】如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【中考链接】阳春三月风和日丽，艳阳高照，正是踏春郊游的好时节某景区举办风车节吸引游客前来参观如图是园区内一个风车的简化图，若，当风车转动，点运动的路径长度为（ ） A． B． C． D． 题型03 扇形面积的基本计算 【典例1】小聪用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查扇形面积公式的灵活运用，特别是的使用，以及拼接组合图形中的整体思想。 （2）核心方法：根据已知条件选择角度制公式或。遇到多个扇形拼接时，利用角度和差关系（如四边形内角和为360∘）进行整体转化。 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【中考链接1】如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A． B． C． D． 题型04 图形旋转后扫过的面积 【典例1】贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（ ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 （1）考查方向：考查图形旋转扫过的不规则区域面积计算。 （2）核心方法：割补法。寻找旋转过程中两条边界线段扫过的扇形，阴影部分面积通常等于“大扇形面积减去小扇形面积”（即S=S大扇形−S小扇形​）。 【变式1】如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ） A． B． C． D． 题型05 弓形面积的计算 【典例1】如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π-2 B．π-4 C．4π-2 D．4π-4 （1）考查方向：考查阴影部分为弓形的面积计算，常结合垂径定理或圆周角定理来确定圆心角和三角形边长。 （2）核心方法：“扇形减三角”。S弓形=S扇形−S三角形​。利用解直角三角形先求出圆心角、三角形底边和高，再代入公式计算。 【变式1】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，弦的长为，点在上，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为______．（结果保留） 题型06 其他不规则图形的面积 【典例1】如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查通过翻折、对称等几何变换构成的复杂不规则阴影面积计算。 （2）核心方法：割补法与等积转化。寻找图中的全等关系、对称轴进行面积代换，或利用“大面积减去空白面积”的策略简化计算。 【变式1】如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【中考链接】如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 题型07 圆锥的基本计算 【典例1】如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积_____． 【典例2】用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（ ） A． B．1 C． D． 【典例3】将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A．1 B．2 C．4 D． （1）考查方向：考查圆锥各要素（母线l、底面半径r、高h）的关系，以及侧面展开扇形弧长与底面圆周长的等量关系。 （2）核心方法：抓住勾股定理和弧长相等两个核心等量关系列方程求解。 【变式1】已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【变式3】如图，在矩形纸片上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥．如果圆的半径为，那么圆锥的高为__________． 【中考链接1】某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【中考链接3】一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 题型08 圆锥侧面展开图的圆心角 【典例1】一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查通过已知圆锥的底面半径和母线长，求解侧面展开扇形圆心角。 （2）核心方法：公式法。利用等量关系直接推导出，将已知的底面半径r和母线长l代入快速计算。 【变式1】如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【中考链接1】若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为__________度． 【中考链接2】如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为_______°． 题型09 圆锥的实际应用问题 【典例1】“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查圆锥几何知识在生产生活实际场景中的应用，常结合勾股定理、表面积及结合其他知识（如反比例函数）的综合应用。 （2）核心方法：数学建模。将实际问题抽象为圆锥几何模型，明确半径、高和母线，分步求出侧面积、底面积或建立函数关系解决问题。 【变式1】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【中考链接】假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 题型10 圆锥侧面上最短路径问题 【典例1】已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． （1）考查方向：考查立体几何表面的最短路径问题。 （2）核心方法：化曲为直（展开法）。将圆锥侧面展开为扇形平面，利用“两点之间线段最短”原理，在展开图上通过勾股定理或解直角三角形求两点间的距离。 【变式1】如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【中考链接】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A．5 B． C． D． A组·基础过关 1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·一模）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（  ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（ ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·浙江温州·阶段检测）若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A． B． C． D． 9．（2026·江苏镇江·一模）如图是某户外用品公司设计的一款圆锥形单顶帐篷的三视图（无底面，单位：），为完成100顶这种帐篷的订单制作，公司采购部门需采购的布料最为合适的是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A．5 B． C． D．10 11．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（ ） A． B． C． D． 13．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 14．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ） A． B．48cm C． D．20cm 15．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． B组·能力提升 16．（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 17．（2022·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 18．（2026·山东·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（ ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ） A． B． C． D． 20．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 21．（2022·云南玉溪·二模）如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 22．（2026·辽宁阜新·二模）如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 23．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______． 24．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 25．（2026·河南三门峡·三模）如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． C组·拓展延伸 26．（2026·河南商丘·模拟预测）月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·山东烟台·期末）将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26六年级下·上海普陀·期末）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 30．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.3 弧长和扇形面积 教学目标 1.掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。 2.掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。 3.掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。 教学重难点 1.重点 （1）扇形的弧长弧面积的计算； （2）圆锥面积的相关计算。 2.难点 （1）扇形的弧长与面积公式的灵活运用； （2）不规则图形的面积计算，计算组合图形的面积。 知识点01 弧长公式 1.扇形弧长的定义 扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。 2.扇形弧长的计算公式 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。 【即学即练】 1．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键．利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 2．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解． 【详解】解：设半径为， 弧长公式，其中，， ， ，故半径为， 故选：D． 3．半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的圆心角，掌握弧长公式是解题的关键． 根据扇形的弧长公式，代入已知的弧长与半径，即可求解． 【详解】解：扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为半径） 当，时，则， 解得，即该扇形的圆心角为． 故选：D． 知识点02 扇形的面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 2.扇形的面积公式 公式①：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝ ，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝ 。 公式②：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。 【即学即练】 5．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 知识点03 圆锥的侧面积与全面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 公式①：圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为： 。 公式②：若已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 ，侧面展开图的弧长等于底面圆周长等于，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。 【即学即练】 6．如图，圆锥的母线长l为，底面圆半径r为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，直接用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 7．一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的表面积是____________________ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥表面积的求解，根据圆锥表面积等于侧面积加上底面圆的面积之和进行求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积， 圆锥底面圆的面积， 圆锥的表面积， 故答案为：． 8．若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角度数，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面周长，利用弧长公式列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设圆心角度数为． ∵ 圆锥底面周长， 扇形弧长 ， ∴，解得． 故圆心角的度数为． 故选D． 题型01 弧长公式的基本计算 【典例1】中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 【典例2】圆心角为，半径为的扇形的弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键． 运用弧长公式计算，即可得答案． 【详解】解：∵圆心角，半径， ∴弧长． 故选：D． （1）考查方向：考查弧长公式 的正向（已知n,R求）及逆向应用（已知求n或R）。 （2）核心方法：直接应用或变形公式。注意找准圆心角n 和半径R，看清题目要求的计算对象。 【变式1】一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角的度数，即可得到正确答案． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积， ∵， 解得 ∵， ∴， 即圆心角为． 【变式2】一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角 【详解】解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 【中考链接】如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 题型02 点的弧形运动路径长度 【典例1】如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度（单位：）为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为转过的弧长，利用弧长公式l=计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 则重物上升了， 故选：B． （1）考查方向：考查物体运动或旋转时，对应点所经过的轨迹长度计算。 （2）核心方法：“化动为静”。分析点的运动轨迹是圆弧，找到对应的圆心、半径及转过的圆心角。若是多点交替为圆心的滚动，需分段求弧长再求和。 【变式1】如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，根据题意求得点从开始到结束所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 依题意， ∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是 故答案为：． 【中考链接】阳春三月风和日丽，艳阳高照，正是踏春郊游的好时节某景区举办风车节吸引游客前来参观如图是园区内一个风车的简化图，若，当风车转动，点运动的路径长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由弧长公式求解即可． 本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：当风车转动，点运动的路径长度． 故选：D． 题型03 扇形面积的基本计算 【典例1】小聪用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积和弧长的关系，解题的关键是掌握扇形面积和弧长关系公式． 利用扇形面积和弧长关系公式进行求解即可． 【详解】解：扇形纸板的面积为, 故选：B． 【典例2】如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：由题意知，半径，弧长， ∴弧长×半径， 故选：A． （1）考查方向：考查扇形面积公式的灵活运用，特别是的使用，以及拼接组合图形中的整体思想。 （2）核心方法：根据已知条件选择角度制公式或。遇到多个扇形拼接时，利用角度和差关系（如四边形内角和为360∘）进行整体转化。 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，设与交于点，的半径为，根据得到为等边三角形，根据垂径定理得到，然后证明，得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径，交于，两点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【中考链接1】如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 【中考链接2】如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 题型04 图形旋转后扫过的面积 【典例1】贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． （1）考查方向：考查图形旋转扫过的不规则区域面积计算。 （2）核心方法：割补法。寻找旋转过程中两条边界线段扫过的扇形，阴影部分面积通常等于“大扇形面积减去小扇形面积”（即S=S大扇形−S小扇形​）。 【变式1】如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 【中考链接】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 题型05 弓形面积的计算 【典例1】如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π-2 B．π-4 C．4π-2 D．4π-4 【答案】A 【详解】S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2． 故选：A． （1）考查方向：考查阴影部分为弓形的面积计算，常结合垂径定理或圆周角定理来确定圆心角和三角形边长。 （2）核心方法：“扇形减三角”。S弓形=S扇形−S三角形​。利用解直角三角形先求出圆心角、三角形底边和高，再代入公式计算。 【变式1】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式2】如图，中，弦的长为，点在上，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，设和交于点D，首先利用圆周角定理求出，然后根据垂径定理得到，，求出，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接，设和交于点D， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：D． 【中考链接】将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】记圆心为O，折痕为，作于点B，连接，，然后根据垂径定理以及特殊角的三角函数值，求得，，利用弓形面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，记圆心为O，折痕为，作于点B，连接，， 则，，，，， ∴在中，， ∴，， ∴，， ∴弓形的面积为． 题型06 其他不规则图形的面积 【典例1】如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据翻折的对称性，得出和是等边三角形，再利用三角形全等将求阴影部分的面积转化为求扇形的面积，最终求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵点C为弧的中点， ∴， 又∵弧沿弦翻折恰好过圆心O点， ∴点关于对称，所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积． 【典例2】如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理得出，结合图形得出阴影部分的面积为即可求解 【详解】解：连接，如图所示： ∵以为直径作半圆O， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． （1）考查方向：考查通过翻折、对称等几何变换构成的复杂不规则阴影面积计算。 （2）核心方法：割补法与等积转化。寻找图中的全等关系、对称轴进行面积代换，或利用“大面积减去空白面积”的策略简化计算。 【变式1】如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据折叠可知，根据勾股定理可知的长度，即可求弧长和面积． 【详解】解：连接，且直线与交于点，如图所示， ∵扇形中，， ∴， ∵点与圆心重合， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则, ∵ ，， ∴． 【中考链接】如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积 的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 题型07 圆锥的基本计算 【典例1】如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积_____． 【答案】 【详解】解：从三视图来看，主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆， ∴这个几何体是：圆锥， 由三视图可知：底面直径为，则底面半径， 高为，母线长(左视图的斜边)， 圆锥的侧面积公式：． 【典例2】用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形弧长等于圆锥底面周长，先求出圆锥底面半径，再用勾股定理计算圆锥的高。 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，根据扇形弧长公式， ， 设圆锥底面半径为， 扇形弧长等于圆锥底面周长， ， 解得， 圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为， 由勾股定理得圆锥的高：. 【典例3】将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积求出扇形的半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由题意，得， 解得（舍去负根）； ∵， 解得； 故该圆锥的底面圆的半径为1. （1）考查方向：考查圆锥各要素（母线l、底面半径r、高h）的关系，以及侧面展开扇形弧长与底面圆周长的等量关系。 （2）核心方法：抓住勾股定理和弧长相等两个核心等量关系列方程求解。 【变式1】已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆锥主视图和左视图的信息得到圆锥的母线长和底面直径，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形， ∴圆锥的母线长，底面圆的直径为， 可得底面圆的周长 ， ∵， ∴ . 【变式2】如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 【变式3】如图，在矩形纸片上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥．如果圆的半径为，那么圆锥的高为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的弧长，求圆锥的高，勾股定理， 先根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长求出母线，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：以半径为的圆形是圆锥的底面， ∴圆锥的底面周长为， 即扇形纸片的弧长， 解得， 即圆锥的母线长为． 根据勾股定理，得圆锥的高为． 故答案为：． 【中考链接1】某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 【中考链接2】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【中考链接3】一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的体积．根据圆锥的体积=×底面积×高，即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为2， ∴它的体积， 故选：B． 题型08 圆锥侧面展开图的圆心角 【典例1】一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的底面周长、侧面展开图的扇形弧长，设圆锥底面半径为，则母线长为，根据圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合弧长公式求解圆心角. 【详解】解：设圆锥底面半径为，则母线长， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长. ∴， 将代入得：， 故选：B. （1）考查方向：考查通过已知圆锥的底面半径和母线长，求解侧面展开扇形圆心角。 （2）核心方法：公式法。利用等量关系直接推导出，将已知的底面半径r和母线长l代入快速计算。 【变式1】如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，扇形与圆锥的关系，掌握弧长公式是解题关键． 先构造直角三角形求出扇形圆心角，再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，解出底面半径． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，，， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， 设底面圆的半径为，则， 解得，即圆锥的底面半径为． 故答案为：． 【中考链接1】若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为__________度． 【答案】160 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算． 【详解】解：根据弧长的公式得到： ， 解得． 即侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为：160． 【中考链接2】如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为_______°． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长是解题的关键． 由三视图可知，该几何体为圆锥，由勾股定理可得，圆锥的母线长为，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由勾股定理可得，圆锥的母线长为， ∴， 解得 ，， 故答案为：． 题型09 圆锥的实际应用问题 【典例1】“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． （1）考查方向：考查圆锥几何知识在生产生活实际场景中的应用，常结合勾股定理、表面积及结合其他知识（如反比例函数）的综合应用。 （2）核心方法：数学建模。将实际问题抽象为圆锥几何模型，明确半径、高和母线，分步求出侧面积、底面积或建立函数关系解决问题。 【变式1】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人，故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 【中考链接】假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，灵活运用圆锥体积公式及反比例函数的增减性是解题的关键．根据圆锥体积公式，先求出圆锥的体积，进而得到底面积关于高的反比例函数表达式，再结合反比例函数的性质及的取值范围，求出底面积的取值范围． 【详解】解：由题意得，已知圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的底面积：， ∴圆锥体积：， 圆锥体积不变， ， 整理得， 是关于的反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最大值，为， 此底面积的取值范围为． 题型10 圆锥侧面上最短路径问题 【典例1】已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． （1）考查方向：考查立体几何表面的最短路径问题。 （2）核心方法：化曲为直（展开法）。将圆锥侧面展开为扇形平面，利用“两点之间线段最短”原理，在展开图上通过勾股定理或解直角三角形求两点间的距离。 【变式1】如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理，将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形求边长是解题的关键． 根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可求解最短路径． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为，则， ∴，即圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示， ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴， ∴在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是：． 故选：B． 【中考链接】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：B． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． A组·基础过关 1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 【详解】解：该中心线的展直长度为， 故选：B． 2．（2026·云南·一模）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的性质，结合弧长公式列方程求解母线长． 【详解】解：设该圆锥的母线长为 ∵圆锥底面半径为 ∴圆锥底面周长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图圆心角为直角，即， ∴ 解得 ∴该圆锥母线长为． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 4．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变换—旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解决问题的关键．根据旋转的性质得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴点转过的路径长为． 故选：D． 5．（21-22九年级上·浙江温州·阶段检测）若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用扇形的面积计算． 【详解】解：扇形的面积． 故选：A． 6．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 7．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 8．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 9．（2026·江苏镇江·一模）如图是某户外用品公司设计的一款圆锥形单顶帐篷的三视图（无底面，单位：），为完成100顶这种帐篷的订单制作，公司采购部门需采购的布料最为合适的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三视图可知该几何体是圆锥，其母线长为，底面圆的直径为， ∴该圆锥的侧面积为， ∴完成100顶这种帐篷所需布料为, ∵， ∴A选项最合适． 10．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥底面圆半径的计算，掌握圆锥底面圆的半径的计算方法是解题关键． 先计算圆锥侧面展开图对应扇形的弧长，该弧长即为底面圆周长，据此计算半径即可． 【详解】解：， 设底面圆的半径为r， 则， ∴， 故选： C． 11．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 12．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题关键是利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合勾股定理求出圆锥底面半径． 先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长为、高为，得底面半径为， 底面周长为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数为， 扇形弧长公式为， 化简得，解得， 即所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 故选：． 13．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 14．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ） A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 15．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用勾股定理求高；设侧面展开扇形的圆心角为，再根据扇形弧长等于底面周长列式求解； （2）分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ； 设侧面展开扇形的圆心角为，则， 又底面周长为， ，解得， 则侧面展开扇形的圆心角为； （2）解：圆锥底面积为， 圆锥的侧面积为， 所以圆锥的全面积为． B组·能力提升 16．（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 17．（2022·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 18．（2026·山东·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 19．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 20．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 21．（2022·云南玉溪·二模）如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可得阴影部分面积等于正方形面积减去两个扇形面积的一半，由正方形的性质可求得对角线长及扇形半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：由图可知， ，． ∵四边形是正方形，边长为2， ∴，，， ∴ ∴扇形的半径为，圆心角为， ∴ ∴． 22．（2026·辽宁阜新·二模）如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式即扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由扇形面积公式得：． 23．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______． 【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中 ， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 24．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1) 证明：连接， 由题可得， ∴，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弧长； （1）连接，由作图可知，均为等边三角形，进而得到，等角对等弧，得到，进而得到，即可得证； （2）求出，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，即半径为5， ∴． 25．（2026·河南三门峡·三模）如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解k值即可； （2）如图，连接．先利用坐标与图形性质求得，由求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，连接． ． 为的直径， ， ， ． C组·拓展延伸 26．（2026·河南商丘·模拟预测）月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明为等边三角形，得出，进而得出优弧所对圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】由图可得， ，∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴优弧所对圆心角为， ∴优弧的长为． 故选：A． 27．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O点，根据菱形的性质可得， ， ，，进而求得，，，则可得，，再根据即可求解． 本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质求面积，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【详解】解：连接交于O点， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 28．（25-26九年级上·山东烟台·期末）将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的基本性质与计算，扇形的弧长公式，解决本题的关键是表面积增加的部分是两个以底面直径为底，圆锥高为高的等腰三角形的面积． 根据表面积增加的部分可求解圆锥的高，由此可求解圆锥的母线，再由圆锥的侧面展开图为扇形，即可得该扇形的弧长，设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，由扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：∵该圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了， 由圆锥的几何特征可知，表面积增加的是两个等腰三角形的面积， 即每个三角形的底为圆锥底面直径， 设圆锥的高为h，即三角形的高为h， ∴，解得， 又底面半径为， ∴圆锥的母线为， ∴该圆锥的侧面展开图的弧长为该底面圆的周长，即， 设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 由弧长公式可得，， 即，解得． 故选：D ． 29．（25-26六年级下·上海普陀·期末）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 【答案】(1)，． (2) ， ． 【分析】（1）根据纸杯上下面圆的直径求出周长，纸杯展开之后即是扇形弧长，根据，即可求出． （2）根据素材二和素材三内容判断出和直径的大小，结合题意求出制作的纸杯底面圆形纸片的直径，进行对比即可发现素材一中该型号纸杯的底面是圆． 根据结论结合可以求出，再根据，即可求出新型号纸杯的侧面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是， ∴ ， ， ∵扇形圆心角， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． （2）解：由（1）可知扇形中，，，， 根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面， ∴纸杯底面圆形纸片周长， ∴纸杯底面圆形纸片直径， ∵在扇形中裁剪出最大的圆， ∴根据素材二得，圆半径， ∴圆直径， ∵在扇环中裁剪出最大的圆， ∴根据素材三得，圆直径， ∵扇环为新纸杯的侧面， ∴新纸杯底面的， ∴即新纸杯底面圆形周长为， 设新纸杯底面圆形纸片直径为， ∴， ∴， ∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯， ∴素材一中该型号纸杯的底面是圆． 解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新型号纸杯的侧面积 ． 30．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； （2）解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $