第三单元 用字母表示（二）（易错专项讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学第三单元易错专项讲义通过结构化梳理构建知识体系，以框架图呈现五个易错题型的核心要点，包括双未知数字母表示的规范、数与形规律的探索逻辑、数表规律的行列关系等，清晰展现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于“易错点解析-题型精讲-巩固练习”的三阶设计，如用字母表示数量关系时强调反向核验表达式合理性，培养抽象能力与模型意识。典型例题如“一桶油连桶重m千克，用去一半后连桶重n千克，求桶重”，引导学生通过数量关系推理，帮助不同层次学生掌握代数逻辑，为教师精准复习提供有效支持。

第三单元 用字母表示（二）易错专项讲义  易错题型01 用字母表示数量关系（2个未知数） 易错题型02 数与形（探索规律） 易错题型03 数与形（归纳递推） 易错题型04 数表中的规律 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 易错题型01 用字母表示数量关系（2个未知数） 1、同时满足「未知数指代属性合规、数量关系逻辑匹配实际运算规则」推导得到的表达式，才是本单元认可的双未知数字母表示的合规结果，脱离数量的实际意义、随意拼接字母和运算符号得到的不符合代数逻辑的结果不能作为有效表达依据。 2、设定两个未知数的字母指代时，要严格明确每个字母对应的具体数量含义，不能用同一个字母重复指代两个不同的未知量，混淆不同未知数的指代逻辑。 3、书写含两个未知数的数量表达式时，要严格依托代数式书写规范运算：数字与字母相乘省略乘号且数字在前、相同字母相乘写成幂的形式，不能错误把字母和数字的顺序写反、把两个未知数的乘积写成系数相加的形式，得到完全偏离数量关系的错误表达式。 4、反向核验表达式的合理性时，将符合题意的具体数值代入两个未知数，算出的结果必须和实际场景的数量逻辑完全匹配，不能出现代入后数值关系和题目描述不一致的逻辑矛盾。 5、表示包含两个未知数的组合数量关系时，要仅统计题目明确给出的运算关联，不能把题目未提及的无关数量关系强行纳入表达式，得到表达式冗余、关系错配的错误结果。 6、标注含字母的数量表达式最终结果时，若涉及实际场景必须明确标注每个字母对应的实际单位，表达式运算结果的单位要和数量属性匹配，避免出现单位错配的问题，导致数量关系的指代完全失真。 7、表示两个未知数存在和差、倍数关联的数量关系时，要先通过关联式把其中一个未知数用另一个未知数表示，不能直接把两个独立的字母直接相加等同于关联总量，得到重复计数的错误表达式。 8、同一道双未知数数量关系的表达过程中，字母的指代定义、运算符号的逻辑、数量关系的匹配规则必须完全统一，不能中途随意更改字母的指代含义、颠倒数量间的运算关系，打乱代数表达的严谨性。 【题型精讲1】s的6倍减去c的2倍的差是（    ）。 A．（6s－c）×2 B．6s－2c C．2c－6s D．6s－c 【易错巩固1】东东买了a千克苹果，每千克8.9元，又买了b千克草莓，每千克12元，那么12b－8.9a表示（    ）。 A．买水果一共花的钱数 B．买水果一共的千克数 C．买草莓的钱数比买苹果的多多少 D．买苹果的钱数比买草莓的多多少 【易错巩固2】一桶油连桶重m千克，用去一半油后，连桶还重n千克，桶重多少千克？下列式子中错误的是（    ）。 A．m－2（m－n）B．2n－m C．n－m÷2 D．n－（m－n） 【易错巩固3】一列火车以每小时a千米的速度从甲地开往乙地，行驶了4.5小时，距离乙地还有b千米，那么甲、乙两地相距（ ）千米。 【易错巩固4】4月23日是“世界读书日”，实验小学开展了“读书漂流”活动。小丽看一本书，平均每天看20页，看了天，还剩页没看，这本书共（ ）页。 【易错巩固5】李大爷家养了a只白兔，b只黑兔，将这些兔子装在8个笼子里，平均每个笼子里放（ ）只兔子。 易错题型02 数与形（探索规律） 1、同时满足「图形与数字的对应关系合规、规律推导匹配数形结合的内在逻辑」得到的结论，才是本单元认可的数与形规律探索的合规结果，脱离图形的结构特征、随意拼接数字序列得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效规律依据。 2、从图形结构提炼数字规律时，要严格依托图形的排列顺序、数量变化特征对应数列的项数与数值，不能脱离图形的实际构成直接臆造数字规律，混淆图形计数和数列运算的对应逻辑。 3、推导从1开始的连续奇数求和规律时，要严格依托正方形数的特征匹配规律：连续n个奇数的和等于n，不能错误把连续奇数的和等同于项数乘2，得到完全偏离正确值的求和结果。 4、反向核验规律的合理性时，将归纳出的规律反向代入前几项图形对应的数值，算出的结果必须和图形实际计数的数量完全匹配，不能出现反向推导后数值与图形计数不一致的逻辑矛盾。 5、统计组合图形的规律计数时，要仅统计图形外围或结构内符合排列规则的元素数量，不能把图形拼接处重复的内部元素、不属于规律序列的无关元素计入统计，得到计数虚高的错误结果。 6、标注数形规律的最终结果时，必须明确标注数值对应的图形序号、计数单位，求和结果标注数量单位、规律表达式标注变量的对应含义，避免出现指代错配的问题，导致规律结论的含义完全失真。 7、探索多层嵌套图形的数量规律时，要先通过分层计数剔除重复统计的重叠元素数量，不能直接把各层元素的数量直接相加，得到重复计算的错误总数量。 8、同一道数形规律的探索过程中，图形的计数标准、数列的运算规则、规律的归纳维度必须完全统一，不能中途随意更改计数起点、混淆项数和数值的对应关系，打乱规律推导的严谨性。 【题型精讲2】如图，用正方形纸片按规律拼成如下图形，第9个图案恰好有（    ）个正方形纸片。 A．29 B．33 C．37 D．41 【易错巩固1】观察下图，如果摆99个正方形，需要（    ）根小棒。 A．299根 B．105根 C．136根 D．298根 【易错巩固2】一场宴会，餐桌的拼摆方式如下图。下列说法中，正确的是（    ）。 A．4张桌子拼在一起，最多可以坐16人。 B．7张桌子拼在一起，最多可以坐42人。 C．若有34人参会，至少需要8张桌子。 D．若有48人参会，至少需要11张桌子。 【易错巩固3】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们画点或用小石子来表示数（如图的实心点），按照图中的规律，第5个图形有（ ）个实心点，第个图形有（ ）个实心点。 【易错巩固4】根据下图找规律填一填，第8个图形需要（ ）根小棒，第个图形需要（ ）根小棒。 【易错巩固5】木材厂的工人将大小相同的木料捆成下面的形状，图中每个圆的直径都是2厘米。第1幅图中，捆4根木料至少需要（ ）厘米的绳子；第2幅图中，捆9根木料至少需要（ ）厘米的绳子；第3幅图中，捆16根木料至少需要（ ）厘米的绳子。按照这样的规律捆下去，第n幅图中的木料至少需要（ ）厘米的绳子。 易错题型03 数与形（归纳递推） 1、同时满足「图形迭代边界属性合规、递推逻辑匹配数与形的对应规律」推导得到的结果，才是本单元认可的数与形归纳递推的合规结果，脱离图形的迭代定义、随意拼接数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、梳理图形序列的递推关系时，要严格依托相邻序号图形的元素增量特征提炼变化规则，不能直接把图形的首项数值直接等同于后续所有项的数值，混淆静态计数和动态递推的逻辑。 3、推导递推数列的通项公式时，要严格依托数与形的对应关系运算，不能错误将项数的平方直接等同于项数乘2，得到完全偏离正确值的通项结果。 4、反向核验递推结果的合理性时，将算出的通项数值反向代入对应图形推导项数，得到的项数数值必须和题目给定的原始图形序号条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含多步迭代的组合图形总元素数时，要仅统计图形外围的所有新增元素数量，不能把图形内部的拼接重叠元素也计入总计数，得到总数量虚高的错误结果。 6、标注数与形归纳递推的最终结果时，必须明确标注对应的计数单位，通项公式标注项数的取值范围、求和结果标注数量单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 7、计算包含图形重叠部分的递推总数量时，要先通过容斥原理剔除重复统计的元素数量，不能直接将多个基础图形的元素数量直接相加，得到重复计算的错误总数量。 8、同一道数与形归纳递推的解题过程中，元素的计数标准、递推的增量定义必须完全统一，不能中途随意更改计数规则，打乱运算逻辑的严谨性。 9、验证递推规律的普适性时，要至少选取3个不同序号的图形代入规律核验，不能仅凭前1-2个图形的数值就直接确定通项公式，得到以偏概全的错误规律。 【题型精讲3】按此规律继续画下去，第八幅图中有（    ）个●。 A．30 B．34 C．38 【易错巩固1】用黑、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（    ）块白色瓷砖。 A．42 B．40 C．84 D．60 【易错巩固2】观察一组数：0，3，8，15，24，…，第n个数是（ ）。 【易错巩固3】如果小明按照下图的方法摆图形，请问搭n个这样的三角形需要（ ）根小棒，如果有51 根这样的小棒，可以搭（ ）个这样的三角形。 【易错巩固4】如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用（ ）根小棒，搭n个正方体框架用（ ）根小棒。 【易错巩固5】蓝夹缬（xie）是温州地方传统印染技艺，国家级非物质文化遗产之一。 （1）师傅单独浸染一批蓝夹缬布料需3小时，徒弟单独浸染同一批需6小时。师徒合作浸染，需要（ ）小时完成。 （2）蓝夹缬的花纹以菱形组合而成（如图），按照这样的规律，第10幅花纹由（ ）个菱形构成。 易错题型04 数表中的规律 1、同时满足「数表行列边界属性合规、规律推导匹配数表的行列运算逻辑」得到的结论，才是本单元认可的数表规律探究的合规结果，脱离数表的行列排布定义、随意拼接数字得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效推理依据。 2、推导数表的横向规律时，要严格依托同一行相邻数字的差、和、倍数关系运算，不能直接把同一列的数字规律套用到横向关系上，混淆行与列的数字排布逻辑。 3、推导数表的纵向规律时，要严格依托同一列相邻数字的固定变化量运算，不能错误将列向的增量等同于行向的增量，得到完全偏离正确值的规律结果。 4、反向核验规律的合理性时，将归纳出的规律代入数表中已知的行列位置推导对应数值，得到的数值必须和数表给定的原始数字完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计数表中特定形状覆盖的数字和时，要仅统计形状框定范围内的有效数字，不能把框外的无关数字、框线重叠位置的重复数字计入总和，得到数值虚高的错误结果。 6、标注数表规律探究的最终结果时，必须明确标注数字对应的行列位置、数值单位（若涉及实际场景），避免出现位置错配、单位错漏的问题，导致规律结论的指代完全失真。 7、计算数表中存在交叉重叠的框选区域数字和时，要先通过容斥原理剔除重复统计的交叉位置数字，不能直接将多个框选区域的数字和直接相加，得到重复计算的错误总和。 8、同一道数表规律的探究过程中，行列的计数起点、数字的运算规则、规律的适用范围必须完全统一，不能中途随意更改行列计数方向、颠倒数字的运算关系，打乱推理逻辑的严谨性。 9、应用规律补全数表空缺数字时，要同时满足横向、纵向两个维度的规律校验，不能仅满足单一行或列的规律就直接填写数字，得到和另一维度规律冲突的错误结果。 【题型精讲4】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律可得x的值是（    ）。 A．106 B．108 C．38 D．98 【易错巩固1】乐乐从百数表上剪下了一部分（如图），下面关于a、b、c、d四个数，说法错误的是（    ）。 A．d比b大9 B．a比c小10 C．d比a大20 【易错巩固2】观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为（ ），b的值为（ ）。 【易错巩固3】认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 （1）设中间的数是x，则左边的数是（ ），下边的数是（ ）。 （2）当中间的数是a时，这5个数的和是（ ），若5个数的和是105，则这5个数分别是（ ）。 【易错巩固4】现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 【易错巩固5】图1是2021年6月的月历表。小明用如图2所示的“十字”型框图放置到月历表合适的位置上，可以框中5个数。 （1）如图1所示，若框中的5个数中，正中间的数是10，则框中5个数的和是（    ）； （2）若框中的5个数中，正中间的数为n，则这5个数的和为（    ）； （3）按照上面的框法，框中5个数的和可以是100吗？为什么？ 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 1、同时满足「字母指代定义合规、化简求值逻辑匹配代数运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的含字母式子化简与求值的合规结果，脱离字母的实际指代意义、随意拼接字母与数字得到的不符合代数逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、化简含字母的乘法式子时，要严格依托代数式书写规范运算：数字与字母相乘省略乘号且数字在前、1与字母相乘省略1，不能直接把数字写在字母后方、保留多余的乘号或系数1，混淆代数式的标准书写逻辑。 3、合并同类项化简时，要严格依托“同类项系数相加减、字母及指数保持不变”的规则运算，不能错误将不同类项的字母强行合并、把字母的指数直接相加，得到完全偏离正确形式的化简结果。 4、反向核验求值结果的合理性时，将算出的结果反向代入原式，结合给定的字母取值反推运算关系，得到的逻辑必须和原式的运算结构完全匹配，不能出现反向代入后等式不成立的逻辑矛盾。 5、化简含括号的字母式子时，要仅按去括号法则处理括号外围的运算符号，不能把括号内不参与运算的项随意增减、漏乘括号外的系数，得到式子变形后与原式不等价的错误结果。 6、标注含字母式子化简与求值的最终结果时，必须明确标注结果对应的单位（涉及实际场景时），化简后的式子保持最简形式、求值结果匹配对应量的单位属性，避免出现单位错配的问题，导致运算结果的指代完全失真。 7、化简含两个及以上字母、存在重复同类项的式子时，要先按字母类别归类合并同类项，剔除重复计数的同类项系数，不能直接把所有项的系数无差别相加，得到重复计算的错误化简结果。 8、同一道含字母式子的化简与求值过程中，每个字母的指代定义、运算优先级规则、π等固定常数的取值标准必须完全统一，不能中途随意更改字母含义、颠倒运算顺序，打乱代数运算的严谨性。 9、代入数值求值时，要先将原式化简为最简形式再代入字母对应的数值计算，不能未化简就直接代入数值导致运算繁琐、计算错误，得到与正确值偏差较大的结果。 【题型精讲5】4月23日是“世界读书日”，学校开展了“图书漂流”活动。丽丽看一本书，每天看10页，天可以全部看完。 （1）用含有字母的式子表示这本书的总页数。 （2）当时，求这本书的总页数。 【易错巩固1】用两个长分米、宽分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长。 （2）当，时，求这个长方形的周长。 【易错巩固2】实验室有一个弹簧测力计，原长为12厘米，最大称重10千克，且每增加1千克，弹簧会伸长2厘米。 （1）用含字母的式子表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度。 （2）如果物体质量是5千克，那么弹簧测力计的长度是多少厘米？ 【易错巩固3】无人机可用于航拍，还可以用于农业生产，一架新型无人机每小时喷洒农药亩，作业效率是人工的20倍以上，每亩的药量仅需800毫升。上午喷洒了3小时，下午喷洒了小时。 （1）用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药多少亩？ （2）如果，时，这架无人机一天喷洒农药多少亩？ 【易错巩固4】琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 （1）琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） （2）这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 【易错巩固5】化肥厂十月要生产a吨化肥，每天生产10.8吨，生产了b天。 （1）用含有字母的式子表示还要生产多少吨化肥才完成任务。 （2）当时，用上面的式子求出还要生产的化肥吨数。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 用字母表示（二）易错专项讲义  易错题型01 用字母表示数量关系（2个未知数） 易错题型02 数与形（探索规律） 易错题型03 数与形（归纳递推） 易错题型04 数表中的规律 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 易错题型01 用字母表示数量关系（2个未知数） 1、同时满足「未知数指代属性合规、数量关系逻辑匹配实际运算规则」推导得到的表达式，才是本单元认可的双未知数字母表示的合规结果，脱离数量的实际意义、随意拼接字母和运算符号得到的不符合代数逻辑的结果不能作为有效表达依据。 2、设定两个未知数的字母指代时，要严格明确每个字母对应的具体数量含义，不能用同一个字母重复指代两个不同的未知量，混淆不同未知数的指代逻辑。 3、书写含两个未知数的数量表达式时，要严格依托代数式书写规范运算：数字与字母相乘省略乘号且数字在前、相同字母相乘写成幂的形式，不能错误把字母和数字的顺序写反、把两个未知数的乘积写成系数相加的形式，得到完全偏离数量关系的错误表达式。 4、反向核验表达式的合理性时，将符合题意的具体数值代入两个未知数，算出的结果必须和实际场景的数量逻辑完全匹配，不能出现代入后数值关系和题目描述不一致的逻辑矛盾。 5、表示包含两个未知数的组合数量关系时，要仅统计题目明确给出的运算关联，不能把题目未提及的无关数量关系强行纳入表达式，得到表达式冗余、关系错配的错误结果。 6、标注含字母的数量表达式最终结果时，若涉及实际场景必须明确标注每个字母对应的实际单位，表达式运算结果的单位要和数量属性匹配，避免出现单位错配的问题，导致数量关系的指代完全失真。 7、表示两个未知数存在和差、倍数关联的数量关系时，要先通过关联式把其中一个未知数用另一个未知数表示，不能直接把两个独立的字母直接相加等同于关联总量，得到重复计数的错误表达式。 8、同一道双未知数数量关系的表达过程中，字母的指代定义、运算符号的逻辑、数量关系的匹配规则必须完全统一，不能中途随意更改字母的指代含义、颠倒数量间的运算关系，打乱代数表达的严谨性。 【题型精讲1】s的6倍减去c的2倍的差是（    ）。 A．（6s－c）×2 B．6s－2c C．2c－6s D．6s－c 【答案】B 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法； 先分别求出s的6倍和c的2倍，再用s的6倍减去c的2倍得到对应的差。 【解答】s的6倍是6×s，c的2倍是2×c，所求的差：6×s－2×c＝6s－2c。 【易错巩固1】东东买了a千克苹果，每千克8.9元，又买了b千克草莓，每千克12元，那么12b－8.9a表示（    ）。 A．买水果一共花的钱数 B．买水果一共的千克数 C．买草莓的钱数比买苹果的多多少 D．买苹果的钱数比买草莓的多多少 【答案】C 【分析】根据单价×重量＝总价钱，12是草莓每千克的价格，b是草莓的重量，所以12b代表买草莓花的总钱数；8.9是苹果每千克的价格，a是苹果的重量，所以8.9a代表买苹果花的总钱数。用草莓的总钱数减去苹果的总钱数，得到的就是买草莓的钱比买苹果的钱多的部分。 【解答】买苹果的总花费： 买草莓的总花费： 表示买草莓的总花费减去买苹果的总花费，即买草莓的钱数比买苹果的多多少。 【易错巩固2】一桶油连桶重m千克，用去一半油后，连桶还重n千克，桶重多少千克？下列式子中错误的是（    ）。 A．m－2（m－n）B．2n－m C．n－m÷2 D．n－（m－n） 【答案】C 【分析】m表示一桶油与桶的重量和，n表示半桶油与桶的重量和，用桶和油的总重量减去一半油的重量和桶的重量，求出一半油的重量为（m－n）千克，再逐一判断各选项计算结果是否为桶的重量。 【解答】一半油的重量：（m－n）千克。 A．，总重量减去整桶油的重量，结果为桶重，正确。 B．是2个桶加1整桶油的重量，减去总重量，结果为桶重，正确。 C．是一半油加半个桶的重量，得到的是半个桶的重量，不是桶重，原题说法错误。 D．，用一半油加桶的重量减去一半油的重量，结果为桶重，正确。 所以错误的式子是C选项。 【易错巩固3】一列火车以每小时a千米的速度从甲地开往乙地，行驶了4.5小时，距离乙地还有b千米，那么甲、乙两地相距（ ）千米。 【答案】4.5a＋b 【分析】速度×时间＝路程，甲乙两地相距的路程＝火车4.5小时行驶的路程＋b千米，据此分析即可。 【解答】4.5×a＋b＝4.5a＋b 所以甲、乙两地相距4.5a＋b千米。 【易错巩固4】4月23日是“世界读书日”，实验小学开展了“读书漂流”活动。小丽看一本书，平均每天看20页，看了天，还剩页没看，这本书共（ ）页。 【答案】 【分析】每天看的页数×天数＝已经看完的页数，结合题意可知：已经看了页。已经看完的页数＋还没看的页数＝这本书总页数，据此分析。 【解答】平均每天看20页，看了天，还剩页没看，这本书共页。 【易错巩固5】李大爷家养了a只白兔，b只黑兔，将这些兔子装在8个笼子里，平均每个笼子里放（ ）只兔子。 【答案】（a＋b）÷8 【分析】白兔有a只、黑兔有b只，用字母表示兔子总数为 （a + b），再将总数平均分成8份，每份就是每个笼子里的兔子数。 【解答】（a＋b）÷8 因此平均每个笼子里放（a＋b）÷8只兔子。 易错题型02 数与形（探索规律） 1、同时满足「图形与数字的对应关系合规、规律推导匹配数形结合的内在逻辑」得到的结论，才是本单元认可的数与形规律探索的合规结果，脱离图形的结构特征、随意拼接数字序列得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效规律依据。 2、从图形结构提炼数字规律时，要严格依托图形的排列顺序、数量变化特征对应数列的项数与数值，不能脱离图形的实际构成直接臆造数字规律，混淆图形计数和数列运算的对应逻辑。 3、推导从1开始的连续奇数求和规律时，要严格依托正方形数的特征匹配规律：连续n个奇数的和等于n，不能错误把连续奇数的和等同于项数乘2，得到完全偏离正确值的求和结果。 4、反向核验规律的合理性时，将归纳出的规律反向代入前几项图形对应的数值，算出的结果必须和图形实际计数的数量完全匹配，不能出现反向推导后数值与图形计数不一致的逻辑矛盾。 5、统计组合图形的规律计数时，要仅统计图形外围或结构内符合排列规则的元素数量，不能把图形拼接处重复的内部元素、不属于规律序列的无关元素计入统计，得到计数虚高的错误结果。 6、标注数形规律的最终结果时，必须明确标注数值对应的图形序号、计数单位，求和结果标注数量单位、规律表达式标注变量的对应含义，避免出现指代错配的问题，导致规律结论的含义完全失真。 7、探索多层嵌套图形的数量规律时，要先通过分层计数剔除重复统计的重叠元素数量，不能直接把各层元素的数量直接相加，得到重复计算的错误总数量。 8、同一道数形规律的探索过程中，图形的计数标准、数列的运算规则、规律的归纳维度必须完全统一，不能中途随意更改计数起点、混淆项数和数值的对应关系，打乱规律推导的严谨性。 【题型精讲2】如图，用正方形纸片按规律拼成如下图形，第9个图案恰好有（    ）个正方形纸片。 A．29 B．33 C．37 D．41 【答案】C 【分析】观察图形可知，第一个图形需要5张正方形纸片，可以写作：4×1＋1；第二个图形需要9张正方形纸片，可以写作：4×2＋1；第三图形需要13张正方形纸片，可以写成：4×3＋1；…由此可以推理得出一般规律解答问题。 【解答】第一个图形需要正方形纸片：5＝4×1＋1； 第二个图形需要正方形纸片：9＝4×2＋1； 第三个图形需要正方形纸片：13＝4×3＋1； …… 第n个图形需要正方形纸片：片数＝4×n＋1。 4×9＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 【易错巩固1】观察下图，如果摆99个正方形，需要（    ）根小棒。 A．299根 B．105根 C．136根 D．298根 【答案】D 【分析】先找规律：摆1个正方形用4根小棒，每多摆1个正方形，因为会和前一个共用1根小棒，所以只需要增加3根小棒，由此得出摆n个正方形的小棒数公式为。把代入公式，计算得到结果。 【解答】摆一个正方形需要（根）小棒， 摆两个正方形需要（根）小棒， 摆三个正方形需要（根）小棒， ……， 那么同理，摆个正方形需要（根）小棒， 把代入公式：（根）。 所以如果摆99个正方形，需要根小棒。 【易错巩固2】一场宴会，餐桌的拼摆方式如下图。下列说法中，正确的是（    ）。 A．4张桌子拼在一起，最多可以坐16人。 B．7张桌子拼在一起，最多可以坐42人。 C．若有34人参会，至少需要8张桌子。 D．若有48人参会，至少需要11张桌子。 【答案】C 【分析】先观察图形找出桌椅摆放的规律：1张桌子能坐6人，2张桌子拼起来坐10人，3张桌子拼起来坐14人。左右两头始终固定坐2人，每拼接1张桌子，上下一共多坐4人。总结数量关系式：总人数＝4×桌子张数＋2。再把各个选项的数字代入公式计算，判断对错。 【解答】A．4×4＋2＝16＋2＝18人，最多坐18人，不是16人，说法错误。 B．4×7＋2＝28＋2＝30人，最多坐30人，不是42人，说法错误。 C．4n＋2＝34 解：4n＋2－2＝34－2 4n＝32 4n÷4＝32÷4 n＝8 至少需要8张桌子，说法正确。 D．4n＋2＝48 解：4n＋2－2＝48－2 4n＝46 4n÷4＝46÷4 n＝11.5 桌子张数必须是整数，最少需要12张桌子，不是11张，说法错误。 【易错巩固3】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们画点或用小石子来表示数（如图的实心点），按照图中的规律，第5个图形有（ ）个实心点，第个图形有（ ）个实心点。 【答案】25 【分析】根据观察可以发现，第1个图形有1个实心点，可以写成；第2个图形有个实心点；第3个图形有个实心点；第4个图形有个实心点，按照此规律可以推算出，第几个图形就有几的平方个实心点，据此求解。 【解答】按照规律： 第5个图形有实心点的数量为：（个） 第个图形有个实心点。 【易错巩固4】根据下图找规律填一填，第8个图形需要（ ）根小棒，第个图形需要（ ）根小棒。 【答案】57 7n＋1 【分析】单个正八边形需要8根小棒；每增加1个八边形，会和前一个图形重合共用1条边，只新增7根小棒，按照这样规律推导出第8个组合图形需要的小棒数量，并用含字母n的式子表示第n个图形的小棒根数。 【解答】第1个图形需要小棒的根数：1＋7＝8（根） 第2个图形需要小棒的根数：1＋7＋7＝1＋2×7＝15（根） 第3个图形需要小棒的根数：1＋7＋7＋7＝1＋3×7＝22（根） 第4个图形需要小棒的根数：1＋7＋7＋7＋7＝1＋4×7＝29（根） …… 第8个图形需要小棒的根数：1＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＝1＋8×7＝57（根） …… 第n个图形需要小棒的根数：1＋n×7＝（7n＋1）根 所以，第8个图形需要57根小棒，第个图形需要（7n＋1）根小棒。 【易错巩固5】木材厂的工人将大小相同的木料捆成下面的形状，图中每个圆的直径都是2厘米。第1幅图中，捆4根木料至少需要（ ）厘米的绳子；第2幅图中，捆9根木料至少需要（ ）厘米的绳子；第3幅图中，捆16根木料至少需要（ ）厘米的绳子。按照这样的规律捆下去，第n幅图中的木料至少需要（ ）厘米的绳子。 【答案】14.28 22.28 30.28 【分析】每幅图把木料排成正方形。绳子由4段直线和4个圆组成，4个圆合起来正好是一个直径2厘米的圆，圆周长用3.14×2求得6.28厘米。第n幅图每边有根木料，每段直线等于个直径，即厘米；4段直线长为厘米，再加6.28厘米。分别把＝1、2、3代入求前三幅图的绳长。 【解答】4个圆弧合成的圆周长： （厘米） 第1幅图： （厘米） 第2幅图： （厘米） 第3幅图： （厘米） 第幅图： 厘米 易错题型03 数与形（归纳递推） 1、同时满足「图形迭代边界属性合规、递推逻辑匹配数与形的对应规律」推导得到的结果，才是本单元认可的数与形归纳递推的合规结果，脱离图形的迭代定义、随意拼接数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、梳理图形序列的递推关系时，要严格依托相邻序号图形的元素增量特征提炼变化规则，不能直接把图形的首项数值直接等同于后续所有项的数值，混淆静态计数和动态递推的逻辑。 3、推导递推数列的通项公式时，要严格依托数与形的对应关系运算，不能错误将项数的平方直接等同于项数乘2，得到完全偏离正确值的通项结果。 4、反向核验递推结果的合理性时，将算出的通项数值反向代入对应图形推导项数，得到的项数数值必须和题目给定的原始图形序号条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含多步迭代的组合图形总元素数时，要仅统计图形外围的所有新增元素数量，不能把图形内部的拼接重叠元素也计入总计数，得到总数量虚高的错误结果。 6、标注数与形归纳递推的最终结果时，必须明确标注对应的计数单位，通项公式标注项数的取值范围、求和结果标注数量单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 7、计算包含图形重叠部分的递推总数量时，要先通过容斥原理剔除重复统计的元素数量，不能直接将多个基础图形的元素数量直接相加，得到重复计算的错误总数量。 8、同一道数与形归纳递推的解题过程中，元素的计数标准、递推的增量定义必须完全统一，不能中途随意更改计数规则，打乱运算逻辑的严谨性。 9、验证递推规律的普适性时，要至少选取3个不同序号的图形代入规律核验，不能仅凭前1-2个图形的数值就直接确定通项公式，得到以偏概全的错误规律。 【题型精讲3】按此规律继续画下去，第八幅图中有（    ）个●。 A．30 B．34 C．38 【答案】B 【分析】观察图形可知，用中间的4个●加上上下两边的2个●，得4＋2＝6，即第一幅图中有6个●；同理，4×2＋2＝10，即第二幅图中有10个●；4×3＋2＝14，即第三幅图中有14个●；4×4＋2＝18，即第四幅图中有18个●。由此可知，4×图形的序数＋2＝●的个数，据此解答。 【解答】通过分析可得：4×图形的序数＋2＝●的个数 4×8＋2 ＝32＋2 ＝34（个） 则第八幅图中有34个●。 故答案为：B 【易错巩固1】用黑、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（    ）块白色瓷砖。 A．42 B．40 C．84 D．60 【答案】A 【分析】由图可知，第1个图案中有6个白色瓷砖，6＝2＋4×1； 第2个图案中有10个白色瓷砖，10＝2＋4×2； 第3个图案中有14个白色瓷砖，14＝2＋4×3； ……； 由此得出规律，第n个图案中有（2＋4n）个白色瓷砖。 把n＝10代入表达式中算出结果即可。 【解答】分析可知，第n个图案中有（2＋4n）个白色瓷砖。 当n＝10时， 2＋4n ＝2＋4×10 ＝2＋40 ＝42 第10个图案中有42块白色瓷砖。 【易错巩固2】观察一组数：0，3，8，15，24，…，第n个数是（ ）。 【答案】 【分析】观察一组有序数列，寻找项的序号和数的大小之间固定的数量关系，归纳通用规律。 【解答】把序号和数一一对应：第1个数（）：； 第2个数（）：； 第3个数（）：； 第4个数（）：； 第5个数（）：； ……依次类推，第n个数是：。 【易错巩固3】如果小明按照下图的方法摆图形，请问搭n个这样的三角形需要（ ）根小棒，如果有51 根这样的小棒，可以搭（ ）个这样的三角形。 【答案】 25 【分析】先统计搭个、个、个、个三角形分别需要的小棒数量，寻找数量变化的规律 根据找到的数量规律，推导搭个三角形时小棒数量的通项公式 ，把小棒总数代入得到的公式，列出方程，再根据等式性质、，即可求出可搭的三角形数量。 【解答】①摆个三角形用根小棒 摆个三角形用根小棒 摆个三角形用根小棒 摆个三角形用根小棒 ②当有根小棒时 解： 【易错巩固4】如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用（ ）根小棒，搭n个正方体框架用（ ）根小棒。 【答案】52 8n＋4 【分析】1个正方体：12＝8×1＋4根；2个正方体：20＝8×2＋4根；3个正方体：28＝8×3＋4根，可以发现： 每多搭1个正方体，只需要增加8根小棒（两个正方体相连会共用4根小棒），搭6个正方体比搭3个正方体多用3个8根，6个正方体需要：（6－3）×8＋28根；搭n个正方体框架，小棒总数为（8n＋4）根。 【解答】根据分析，搭6个正方体需要： （6－3）×8＋28 ＝3×8＋28 ＝24＋28 ＝52（根） 搭n个正方体需要（8n＋4）根。 【易错巩固5】蓝夹缬（xie）是温州地方传统印染技艺，国家级非物质文化遗产之一。 （1）师傅单独浸染一批蓝夹缬布料需3小时，徒弟单独浸染同一批需6小时。师徒合作浸染，需要（ ）小时完成。 （2）蓝夹缬的花纹以菱形组合而成（如图），按照这样的规律，第10幅花纹由（ ）个菱形构成。 【答案】（1）2 （2）31 【分析】（1）把浸染一批蓝夹缬布料工作量看作单位“1”那么师傅工作效率＝1÷3，徒弟的工作效率＝1÷6，用总工作量除以师傅和徒弟的工作效率之和即可解答。 （2）由图可知，第一幅有4个菱形花纹，第二幅有7个菱形花纹，第三幅图有10个菱形花纹……按照这样的规律，那么第n幅有4＋（n－1）×3个菱形花纹。 【解答】（1）1÷3＝ 1÷6＝ 1÷（＋） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1×2 ＝2（小时） 所以师徒合作浸染，需要2小时完成。 （2）4＋（10－1）×3 ＝4＋9×3 ＝4＋27 ＝31（个） 所以蓝夹缬的花纹以菱形组合而成（如图），按照这样的规律，第10幅花纹由31个菱形构成。 易错题型04 数表中的规律 1、同时满足「数表行列边界属性合规、规律推导匹配数表的行列运算逻辑」得到的结论，才是本单元认可的数表规律探究的合规结果，脱离数表的行列排布定义、随意拼接数字得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效推理依据。 2、推导数表的横向规律时，要严格依托同一行相邻数字的差、和、倍数关系运算，不能直接把同一列的数字规律套用到横向关系上，混淆行与列的数字排布逻辑。 3、推导数表的纵向规律时，要严格依托同一列相邻数字的固定变化量运算，不能错误将列向的增量等同于行向的增量，得到完全偏离正确值的规律结果。 4、反向核验规律的合理性时，将归纳出的规律代入数表中已知的行列位置推导对应数值，得到的数值必须和数表给定的原始数字完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计数表中特定形状覆盖的数字和时，要仅统计形状框定范围内的有效数字，不能把框外的无关数字、框线重叠位置的重复数字计入总和，得到数值虚高的错误结果。 6、标注数表规律探究的最终结果时，必须明确标注数字对应的行列位置、数值单位（若涉及实际场景），避免出现位置错配、单位错漏的问题，导致规律结论的指代完全失真。 7、计算数表中存在交叉重叠的框选区域数字和时，要先通过容斥原理剔除重复统计的交叉位置数字，不能直接将多个框选区域的数字和直接相加，得到重复计算的错误总和。 8、同一道数表规律的探究过程中，行列的计数起点、数字的运算规则、规律的适用范围必须完全统一，不能中途随意更改行列计数方向、颠倒数字的运算关系，打乱推理逻辑的严谨性。 9、应用规律补全数表空缺数字时，要同时满足横向、纵向两个维度的规律校验，不能仅满足单一行或列的规律就直接填写数字，得到和另一维度规律冲突的错误结果。 【题型精讲4】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律可得x的值是（    ）。 A．106 B．108 C．38 D．98 【答案】A 【分析】根据所给数据发现：4个图的左上角分别是1，3，5，7；后一个数比前一个数多2； 前3个图右上角分别是5，7，9；后一个数比前一个数多2，所以第4个图的右上角是9＋2＝11； 前三个图左下角分别是3，5，7；后一个数比前一个数多2，所以第4个图的左下角为7＋2＝9； 观察第一个图：5×3＋1＝16； 观察第二个图：7×5＋3＝38； 观察第三个图：9×7＋5＝68； 根据以上规律：右上角×左下角＋左上角＝右下角，计算出x的值。 【解答】 11×9＋7＝99＋7＝106 x的值是106。 【易错巩固1】乐乐从百数表上剪下了一部分（如图），下面关于a、b、c、d四个数，说法错误的是（    ）。 A．d比b大9 B．a比c小10 C．d比a大20 【答案】A 【分析】根据百数表中数的排列规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差10。据此填空。 【解答】根据分析： 88－77＝11，因此d比b大11，A说法错误； 78－68＝10，因此a比c小10，B说法正确； 88－68＝20，因此d比a大20，C说法正确。 【易错巩固2】观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为（ ），b的值为（ ）。 【答案】40 49 【分析】先分析图①的数字规律：因为第m行第n列的数等于m×n，所以可依据该规律结合图②、图③的已知数确定它们在原表格的行、列位置。 求a的值：先根据图②中28和32的数值差，确定这两个数所在的列数，再确定35和a所在的行数，结合规律计算a。 求b的值：先根据图③中36和56的数值，分别确定它们对应的行和列，再定位b的行、列位置，结合规律计算b。 【解答】图②中，28和32在同一行，相邻两数差为32－28＝4，因此这一行是第4行；28＝4×7，说明28在第4行第7列，32在第4行第8列，则a在第5行第8列： a＝5×8＝40。 图③中：36在截取部分的第一行第一列，b在截取部分的第二行第二列，56在截取部分的第三行第二列。 设36在原图的第x行第y列，那么根据规律可得： x×y＝36，（x＋2）×（y＋1）＝56，我们把36的因数对列举出来尝试，发现当x＝6、y＝6时，刚好满足：6×6＝36，（6+2）×（6＋1）＝8×7＝56，完全符合条件。b在原图的第x＋1行第y＋1列，所以：b＝（6＋1）×（6＋1）＝7×7＝49。 【易错巩固3】认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 （1）设中间的数是x，则左边的数是（ ），下边的数是（ ）。 （2）当中间的数是a时，这5个数的和是（ ），若5个数的和是105，则这5个数分别是（ ）。 【答案】（1）x－1 x＋7 （2）5a 14、20、21、22、28 【分析】（1）如图所示，表格为大月的日历，观察可知：每行的数从左到右依次增大，相邻两数之差是1；每一列的数从上到下依次增大，相邻两数之差是7，据此求解。 （2）当中间数是a时，用a表示出与它相邻的4个数，再将这5个数求和，用含有字母a的式子表示出来。根据5个数的和是105可以求出a的值，进一步求出与它相邻的数。 【解答】（1）设中间的数是x，则左边的数是（x－1），下边的数是（x＋7）。 （2）当中间的数是a时，与它相邻的数分别是：（a－1）、（a＋1）、（a－7）、（a＋7）。 （a－1）＋（a＋1）＋a＋（a－7）＋（a＋7） ＝（a－1＋a＋1）＋a＋（a－7＋a＋7） ＝2a＋a＋2a ＝5a 这5个数的和是（5a）。 当5a＝105时 a＝105÷5＝21 a－1＝21－1＝20；a＋1＝21＋1＝22；a－7＝21－7＝14；a＋7＝21＋7＝28 这5个数分别是14、20、21、22、28。 【易错巩固4】现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 【答案】292 × 364 【分析】分析题目，如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方，即（2n－1）2，因为172＝289，192＝361，即最接近365的奇数的平方是361，据此画出以数361为右下角的数的排列，再根据361右面的一个数比它大1确定362的位置，再根据同一列上面的一个数比下面一个数大1进一步确定出365的位置，最后确定出需要填空的数。 【解答】19×19＝361 根据分析可知，以365为中心的九宫格如图：。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①292；②×；③364。（如果是空格，用“×”表示） 【易错巩固5】图1是2021年6月的月历表。小明用如图2所示的“十字”型框图放置到月历表合适的位置上，可以框中5个数。 （1）如图1所示，若框中的5个数中，正中间的数是10，则框中5个数的和是（    ）； （2）若框中的5个数中，正中间的数为n，则这5个数的和为（    ）； （3）按照上面的框法，框中5个数的和可以是100吗？为什么？ 【答案】（1）50； （2）5n； （3）不可以；理由见详解 【分析】（1）当正中间的数为10时，框中的5个数分别为3、10、17、9、11，用加法求出这个5个数的和； （2）当正中间的数为n时，n上面的数为（n－7），n下面的数为（n＋7），n左面的数为（n－1），n右面的数为（n＋1），用含有n的式子表示出这5个数的和； （3）正中间的数为框中这5个数的平均数，根据这5个数的和为100求出正中间的数，根据正中间的数确定其它4个数是否存在，据此解答。 【解答】 （1） 3＋9＋10＋11＋17 ＝12＋10＋11＋17 ＝22＋11＋17 ＝33＋17 ＝50 所以，框中5个数的和是50。 （2）n－7＋n＋7＋n－1＋n＋1＋n ＝n＋n＋n＋n＋n－7＋7－1＋1 ＝（n＋n＋n＋n＋n）－（7－7＋1－1） ＝5n 所以，这5个数的和为5n。 （3）100÷5＝20 由上可知，框中5个数的和不可以是100，因为框中5个数的和为100时，正中间的数为20，但月历表中20的右面没有数字。 【点睛】月历表中上下相邻两个数的差是7，左右相邻两个数的差是1，根据框中的数与数之间的关系，用正中间的数表示出其它4个数是解答题目的关键。 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 1、同时满足「字母指代定义合规、化简求值逻辑匹配代数运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的含字母式子化简与求值的合规结果，脱离字母的实际指代意义、随意拼接字母与数字得到的不符合代数逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、化简含字母的乘法式子时，要严格依托代数式书写规范运算：数字与字母相乘省略乘号且数字在前、1与字母相乘省略1，不能直接把数字写在字母后方、保留多余的乘号或系数1，混淆代数式的标准书写逻辑。 3、合并同类项化简时，要严格依托“同类项系数相加减、字母及指数保持不变”的规则运算，不能错误将不同类项的字母强行合并、把字母的指数直接相加，得到完全偏离正确形式的化简结果。 4、反向核验求值结果的合理性时，将算出的结果反向代入原式，结合给定的字母取值反推运算关系，得到的逻辑必须和原式的运算结构完全匹配，不能出现反向代入后等式不成立的逻辑矛盾。 5、化简含括号的字母式子时，要仅按去括号法则处理括号外围的运算符号，不能把括号内不参与运算的项随意增减、漏乘括号外的系数，得到式子变形后与原式不等价的错误结果。 6、标注含字母式子化简与求值的最终结果时，必须明确标注结果对应的单位（涉及实际场景时），化简后的式子保持最简形式、求值结果匹配对应量的单位属性，避免出现单位错配的问题，导致运算结果的指代完全失真。 7、化简含两个及以上字母、存在重复同类项的式子时，要先按字母类别归类合并同类项，剔除重复计数的同类项系数，不能直接把所有项的系数无差别相加，得到重复计算的错误化简结果。 8、同一道含字母式子的化简与求值过程中，每个字母的指代定义、运算优先级规则、π等固定常数的取值标准必须完全统一，不能中途随意更改字母含义、颠倒运算顺序，打乱代数运算的严谨性。 9、代入数值求值时，要先将原式化简为最简形式再代入字母对应的数值计算，不能未化简就直接代入数值导致运算繁琐、计算错误，得到与正确值偏差较大的结果。 【题型精讲5】4月23日是“世界读书日”，学校开展了“图书漂流”活动。丽丽看一本书，每天看10页，天可以全部看完。 （1）用含有字母的式子表示这本书的总页数。 （2）当时，求这本书的总页数。 【答案】（1）页 （2）60页 【分析】（1）这本书的总页数＝每天看的页数×看完的天数，数字和字母相乘时中间的乘号可以省略并把数字写在字母的前面； （2）把m＝6代入含有字母的式子即可求出结果； 【解答】（1）根据分析，解答如下： 10×m＝10m（页） 答：这本书的总页数为10m页。 （2）根据分析，解答如下： ，10m＝10×6＝60（页） 答：当时，这本书的总页数为60页。 【易错巩固1】用两个长分米、宽分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长。 （2）当，时，求这个长方形的周长。 【答案】（1） ①分米 ②分米 （2）①分米 ②分米 【分析】（1）两个完全相同的长方形拼接成大长方形，有两种拼接方式：宽边重合拼接和长边重合拼接。先分别确定每种拼法下大长方形的长和宽，再结合长方形周长公式写出含字母的式子； （2）将数值代入对应式子计算即可。 【解答】（1）第一种拼法：将两个长方形的宽边重合，沿长的方向拼接，此时大长方形的长为分米，宽为分米。 周长：分米 第二种拼法：将两个长方形的长边重合，沿宽的方向拼接，此时大长方形的长为分米，宽为分米。 周长：分米 答：拼成的大长方形的周长是分米或分米。 （2）当，时： 宽边重合拼法的周长： （分米） 长边重合拼法的周长： （分米） 答：这个长方形的周长是88分米或80分米。 【易错巩固2】实验室有一个弹簧测力计，原长为12厘米，最大称重10千克，且每增加1千克，弹簧会伸长2厘米。 （1）用含字母的式子表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度。 （2）如果物体质量是5千克，那么弹簧测力计的长度是多少厘米？ 【答案】（1）厘米（） （2）22厘米 【分析】（1）弹簧总长度由原长和伸长部分组成，伸长长度等于每千克伸长的长度乘物体质量，据此写出含字母的式子. （2）把数值代入含字母的式子计算即可。 【解答】（1）弹簧伸长的长度：厘米 弹簧测力计的长度：厘米（）。 2×n＋12＝（2n＋12）厘米 答：弹簧测力计的长度是（2n＋12）厘米。 （2）当时 ＝10 ＋ 12 （厘米） 答：弹簧测力计的长度是22厘米。 【易错巩固3】无人机可用于航拍，还可以用于农业生产，一架新型无人机每小时喷洒农药亩，作业效率是人工的20倍以上，每亩的药量仅需800毫升。上午喷洒了3小时，下午喷洒了小时。 （1）用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药多少亩？ （2）如果，时，这架无人机一天喷洒农药多少亩？ 【答案】（1）亩 （2）528亩 【分析】（1）根据工作总量＝工作效率×工作时间的数量关系解题。第一问先求出全天总作业时长，再乘每小时喷洒亩数，用含字母的式子表示总亩数. （2）将字母的取值代入式子计算结果。 【解答】（1）上午喷洒亩数：3×x＝3x（亩） 下午喷洒亩数：t×x＝tx（亩） 3x＋tx＝（3＋t）x亩 答：用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药（3＋t）x亩。 （2）， （3＋t）x ＝（3＋5）×66 ＝8×66 ＝528（亩） 答：这架无人机一天喷洒农药528亩。 【易错巩固4】琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 （1）琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） （2）这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 【答案】（1）（30a＋90）个 （2）4小时 【分析】（1）一天生产的总时间＝上午生产的时间＋下午生产的时间；一天生产的数量＝平均每小时生产的数量×一天生产的总时间。 （2）一天生产的总时间＝一天生产的数量÷平均每小时生产的数量；上午生产的时间＝一天生产的总时间－下午生产的时间。 【解答】（1）30×（a＋3） ＝30×a＋30×3 ＝（30a＋90）个 答：琼韵工厂一天可生产椰雕（30a＋90）个。 （2）210÷30－3 ＝7－3 ＝4（小时） 答：a表示的是4小时。 【易错巩固5】化肥厂十月要生产a吨化肥，每天生产10.8吨，生产了b天。 （1）用含有字母的式子表示还要生产多少吨化肥才完成任务。 （2）当时，用上面的式子求出还要生产的化肥吨数。 【答案】（1）（a－10.8b）吨 （2）13.6吨 【分析】（1）每天生产吨数×生产天数＝已经生产吨数，要生产的吨数－已经生产吨数＝还要生产吨数，据此用字母表示出还要生产的吨数即可。 （2）将代入字母表示的算式，求值即可。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【解答】（1）a－10.8×b＝（a－10.8b）吨 答：还要生产（a－10.8b）吨化肥才完成任务。 （2）a－10.8b ＝100－10.8×8 ＝100－86.4 ＝13.6（吨） 答：还要生产13.6吨化肥才完成任务。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $