第三单元 用字母表示（二） 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

第三单元 用字母表示（二） 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、用字母表示数的书写规范 2 1. 核心书写规则 2 2. 单位书写规范 2 二、用字母表示运算定律与计算公式 2 1. 运算定律（用字母表示） 2 2. 常见几何公式 3 三、用字母表示数量关系 3 1. 基础数量关系模型 3 2. 常见表述的字母表达 3 四、化简含有字母的式子 4 1. 同类项的概念 4 2. 合并同类项（化简核心方法） 4 3. 含括号的式子化简 4 4. 易错提醒 4 五、代入求值 4 1. 含义 4 2. 规范步骤 4 3. 格式示例 4 六、易错点总结 5 考点讲练 5 考点一：用字母表示数的书写规范与概念判断 5 考点二：化简含有字母的式子 6 考点三：用字母表示数量关系 6 考点四：代入求值 7 考点五：用字母表示数的综合实际应用 8 综合训练 9 知识梳理 一、用字母表示数的书写规范 1. 核心书写规则 用字母表示数时，为了书写简洁规范，需遵循以下约定： 数字与字母相乘：乘号可以记作 “・” 或省略不写，数字必须写在字母前面。 例：，不能写成。 字母与字母相乘：乘号省略不写，一般按字母表顺序书写。 例：，。 1 与字母相乘：数字 1 省略不写，只写字母。 例：，。 带分数与字母相乘：先把带分数化成假分数，再与字母相乘。 例：，不能写成。 数字与数字相乘：乘号不能省略，必须用 “×”。 除法运算：一般写成分数形式，不写除号。 例：。 2. 单位书写规范 若式子是乘除关系，单位直接写在式子后面； 若式子是加减关系，必须把整个式子用括号括起来，再写单位。 例：米；千克。 二、用字母表示运算定律与计算公式 1. 运算定律（用字母表示） 设表示任意数，常见运算定律如下： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律：（简写为） 乘法结合律：（简写为） 乘法分配律： 减法的性质： 除法的性质：（均不为 0） 2. 常见几何公式 长方形：周长，面积（长，宽） 正方形：周长，面积（边长） 平行四边形：面积（底，高） 三角形：面积（底，高） 梯形：面积（上底，下底，高） 注意：读作 “a 的平方”，表示 2 个 a 相乘，即；表示 2 个 a 相加，即，二者意义不同。 三、用字母表示数量关系 1. 基础数量关系模型 价格问题：单价 × 数量 = 总价，字母表示：（单价，数量，总价） 行程问题：速度 × 时间 = 路程，字母表示：（速度，时间，路程） 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量，字母表示： 2. 常见表述的字母表达 比的 3 倍多 8： 比的 5 倍少 3： 与的和的 4 倍： 的一半与的 2 倍的和： 四、化简含有字母的式子 1. 同类项的概念 所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的式子，叫做同类项。例如和、和都是同类项。 2. 合并同类项（化简核心方法） 把多个同类项合并成一项，叫做合并同类项。 方法：字母和字母的次数不变，只把系数相加减。 例：；； 3. 含括号的式子化简 运用乘法分配律去括号，再合并同类项。 例：； 4. 易错提醒 只有同类项才能合并，不是同类项不能合并（如无法化简）。 字母前系数为 1 时，1 省略不写，如。 五、代入求值 1. 含义 把字母表示的具体数值代入含有字母的式子，按照运算顺序计算出结果，叫做求含有字母的式子的值。 2. 规范步骤 写出字母的取值； 抄写原式； 将字母替换为对应数字，还原省略的乘号； 按运算顺序计算出结果，结果后不带单位（单位在答句中注明）。 3. 格式示例 当时，求的值。 解：当时， 六、易错点总结 书写顺序错误：数字与字母相乘时，字母写在数字前（如写成）。 混淆与：是两个相乘，是两个相加。 合并同类项错误：改变字母或字母次数，如；非同类项强行合并。 代入求值时省略乘号：直接写成，漏写乘号。 加减式子带单位时漏加括号：如米，正确应为米。 考点讲练 考点一：用字母表示数的书写规范与概念判断 【典例精讲】 下列各式的书写中，符合规范的有（ ）个。 ① ② ③ ④ ⑤ A. 2 B. 3 C. 4 【变式训练 1】 下列式子书写正确的是（ ）。 A. B. C. 【变式训练 2】 判断题：和表示的意义相同，结果也一定相等。（ ） 【变式训练 3】 填空题：小明有 a 元，买了 3 本笔记本，每本 b 元，还剩的钱数用式子表示为（ ）元。 考点二：化简含有字母的式子 【典例精讲】 化简下面各式。 （1） （2） （3） 【变式训练 1】 化简： 【变式训练 2】 下列式子化简正确的是（ ）。 A. B. C. 【变式训练 3】 化简： 考点三：用字母表示数量关系 【典例精讲】 用含有字母的式子表示下面的数量关系。 （1）比 x 的 4 倍多 7 的数。 （2）m 与 n 的差的 3 倍。 （3）比 a 的一半少 2 的数。 【变式训练 1】 学校买来 8 个足球，每个 x 元；又买来 y 个篮球，每个 65 元。买足球和篮球一共花的钱数用式子表示为（ ）元。 【变式训练 2】 甲乙两车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 a 千米，乙车每小时行 b 千米，3 小时后两车相遇。两地相距（ ）千米。 【变式训练 3】 一个长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米，如果长增加 3 厘米，宽不变，周长增加（ ）厘米，面积增加（ ）平方厘米。 考点四：代入求值 【典例精讲】 当时，求的值。 【变式训练 1】 当，时，求的值。 【变式训练 2】 当时，求的值。 【分析】 可以先化简式子，再代入数值计算，更简便；也可以直接代入计算。 【变式训练 3】 已知一个长方形的长 a=12 厘米，宽 b=8 厘米，求这个长方形的周长和面积。 考点五：用字母表示数的综合实际应用 【典例精讲】 超市运来 120 箱苹果，每箱重 a 千克，卖出 b 箱后，还剩多少千克苹果？当 a=15，b=40 时，还剩多少千克？ 【变式训练 1】 修路队修一条长 x 米的公路，每天修 80 米，修了 y 天。 （1）用式子表示还没修的长度。 （2）当 x=1000，y=8 时，还剩多少米没修？ 【分析】 【变式训练 2】 学校购买了 10 套桌椅，每张桌子 a 元，每把椅子 b 元。 （1）用式子表示一共花的钱数。 （2）当 a=80，b=35 时，一共花了多少钱？ 【变式训练 3】 某公园门票价格：成人票每张 20 元，儿童票每张 10 元。小明一家有 x 个成人，y 个儿童。 （1）用式子表示买门票的总费用。 （2）如果有 3 个成人，2 个儿童，一共需要多少元门票钱？ 综合训练 1．小新今年a岁，爸爸今年36岁，爸爸比小新大（    ）岁。 A．a B．36−a C．36 D．无法确定 2．李时珍纪念馆采用“智慧导览”系统，每30秒自动更新一次游客人数。上午10：00显示游客数为a人，到10：12时，系统更新了（    ）次。 A．12 B．24 C．25 D．26 3．有三个连续的自然数，其中最小的是，那么这三个自然数的和是（    ）。 A． B． C． D． 4．四位同学分别画图表示自己对“2m＋8”这个式子的理解，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 5．1只青蛙有4条腿，a只青蛙有多少条腿？这个问题的结果可以用4a表示。还有哪些问题的结果也可以用4a表示？对此，同学们想到了以下三个问题，其中结果可以用4a表示的是（    ）。 一个正方形的边长是a分米，它的周长是多少分米？ ① 1支笔的价格是4元，a支笔的总价是多少元？ ② 一只小蜗牛以4厘米/分的速度缓慢爬行，爬完a厘米需要多少分？ ③ A．只有① B．只有② C．只有①② D．有①②③ 6．若a＝0.4，b＝1.5，则( )。 7．跨学科“桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情。”出自唐代诗人李白的《赠汪伦》。如果唐代的一尺相当于现在的a米，那么诗中的千尺相当于现在的________米。 8．我们经常把“数”与“形”联系在一起进行研究。请认真观察图：第1幅图有2个点，第2幅图有6个点，第3幅图有10个点，……，那么第15幅图有( )个点，第n幅图有( )个点。 …… 9．水果店每千克苹果的单价是元，山竹的单价比苹果的2倍还多1.8元，山竹的单价是( )元；当时，山竹的单价是( )元。 10．如图，用三角形摆图形，第1个图中有4个三角形，第2个图中有7个三角形，第3个图中有10个三角形，按照这样的规律，第10个图中有_________个三角形，第_________个图中有10个三角形。 11．小明今年a岁，爸爸的年龄比小明的3倍还多2岁。如果用b表示爸爸今年的年龄，则________；再过9年，两人的年龄关系会变为：________。 12．小宇用大小相同的黑色棋子按如图所示的规律摆图案。 …… 按这个规律摆下去，第n个图案中有( )枚棋子。 13．按下面的方式用小棒搭正方形： 如图，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭3个正方形需要10根小棒，搭10个这样的正方形需要( )根小棒；100根小棒可以搭( )个这样的正方形；搭n个这样的正方形需要( )根小棒。 14．小小今年a岁，比妈妈小24岁，妈妈今年( )岁；当小小19岁时，妈妈( )岁。 15．如图，拼第1个图案需要1块灰色正方形和4块白色正方形，拼第2个图案需要2块灰色正方形和7块白色正方形，拼第3个图案需要3块灰色正方形和10块白色正方形，……，照这样的规律继续拼下去，拼第n个图案中白色正方形的块数为( )块。（用含有n的式子表示） 16．观察下图中正方形的个数与直角三角形个数之间的关系。如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数用含有n的式子怎么表示？请写出思考的过程。 17．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定：|。例如，。 (1)计算的值。 (2)当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简。 18．诸葛神算。 人称“小诸葛的小明在计算74－47＝27，83－38＝45时，用这样的计算方法： 74－47＝9×（7－4）＝27，83－38＝9×（8－3）＝45。 (1)请你尝试用这种方法计算： 72－27＝________    81－18＝________…… (2)小朋友，这样的例子能举完吗？请你静下心来，想一想，把四、五年级的知识整合起来，借助运算律和字母表示数的知识，在下面的方框里推理一下其中蕴含的道理。 19．“冬”风强劲，冰雪燃情。黑土地上，“冷资源”正加速释放“热效应”，冰雪经济“火力全开”，王伯伯准备租下一间边长为12米的正方形商铺开咖啡书吧。签约那天，销售经理说：“现在还有一间房也挺好，比起那间房子，虽然宽减少了3米，但是长增加了3米。租金一样，很公道”。 (1)你认为原来的商铺与现在的商铺面积相比，面积( )（选填“增加”“减少”或“相等”）。 (2)请解释你的想法。 (3)通过以上问题的探索、反思，你有什么感悟？ 20．王老师想乘坐出租车从江山一品小区到世界风筝公园参加风筝会开幕式，江山一品小区到世界风筝公园距离是10千米。安丘市乘坐出租车的价格如下： 起步价（2千米及以内）：元 超过2千米的部分：元/千米 (1)用含有字母的式子表示王老师要付的车费。 (2)当，时，王老师应付多少钱？ 21．如下图，小明家和小冬家到图书馆的距离相等，小明步行的速度是每分钟52米，小冬步行的速度是每分钟48米。 (1)图中是个( )三角形，三角形的两个底角都是( )°。 (2)两人按（1）题中的路线同时从家出发，相向而行，M分钟后两人相遇。用含有字母的式子表示两家之间的距离。 (3)当M＝6时，他们两家之间的距离是多少米？ 22．根据下面四幅图的规律完成表格。 第1幅 第2幅 …… 第8幅 …… 第（    ）幅 涂色方块 1 3 …… （    ） …… 19 未涂色方块 0 1 …… （    ） …… （    ） 23．为落实五育并举，学校设立一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展。如下图，五（1）班同学利用一面墙（墙足够长）围一块长方形蔬菜种植区，一共用去11根1米长的木条。填表列出所有不同的围法，并回答问题。    m/米 n/米 面积/平方米 答：围成长方形蔬菜种植区的面积最大是（    ）平方米。 24．娜娜参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打了3分钟，再打t分钟就全部打完，若娜娜平均每分钟打a个字。 (1)这篇作文一共有多少个字？（用含字母的式子表示） (2)当时，这篇作文一共有多少个字？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 用字母表示（二） 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、用字母表示数的书写规范 2 1. 核心书写规则 2 2. 单位书写规范 2 二、用字母表示运算定律与计算公式 2 1. 运算定律（用字母表示） 2 2. 常见几何公式 3 三、用字母表示数量关系 3 1. 基础数量关系模型 3 2. 常见表述的字母表达 3 四、化简含有字母的式子 4 1. 同类项的概念 4 2. 合并同类项（化简核心方法） 4 3. 含括号的式子化简 4 4. 易错提醒 4 五、代入求值 4 1. 含义 4 2. 规范步骤 4 3. 格式示例 4 六、易错点总结 5 考点讲练 5 考点一：用字母表示数的书写规范与概念判断 5 考点二：化简含有字母的式子 6 考点三：用字母表示数量关系 8 考点四：代入求值 9 考点五：用字母表示数的综合实际应用 11 综合训练 13 知识梳理 一、用字母表示数的书写规范 1. 核心书写规则 用字母表示数时，为了书写简洁规范，需遵循以下约定： 数字与字母相乘：乘号可以记作 “・” 或省略不写，数字必须写在字母前面。 例：，不能写成。 字母与字母相乘：乘号省略不写，一般按字母表顺序书写。 例：，。 1 与字母相乘：数字 1 省略不写，只写字母。 例：，。 带分数与字母相乘：先把带分数化成假分数，再与字母相乘。 例：，不能写成。 数字与数字相乘：乘号不能省略，必须用 “×”。 除法运算：一般写成分数形式，不写除号。 例：。 2. 单位书写规范 若式子是乘除关系，单位直接写在式子后面； 若式子是加减关系，必须把整个式子用括号括起来，再写单位。 例：米；千克。 二、用字母表示运算定律与计算公式 1. 运算定律（用字母表示） 设表示任意数，常见运算定律如下： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律：（简写为） 乘法结合律：（简写为） 乘法分配律： 减法的性质： 除法的性质：（均不为 0） 2. 常见几何公式 长方形：周长，面积（长，宽） 正方形：周长，面积（边长） 平行四边形：面积（底，高） 三角形：面积（底，高） 梯形：面积（上底，下底，高） 注意：读作 “a 的平方”，表示 2 个 a 相乘，即；表示 2 个 a 相加，即，二者意义不同。 三、用字母表示数量关系 1. 基础数量关系模型 价格问题：单价 × 数量 = 总价，字母表示：（单价，数量，总价） 行程问题：速度 × 时间 = 路程，字母表示：（速度，时间，路程） 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量，字母表示： 2. 常见表述的字母表达 比的 3 倍多 8： 比的 5 倍少 3： 与的和的 4 倍： 的一半与的 2 倍的和： 四、化简含有字母的式子 1. 同类项的概念 所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的式子，叫做同类项。例如和、和都是同类项。 2. 合并同类项（化简核心方法） 把多个同类项合并成一项，叫做合并同类项。 方法：字母和字母的次数不变，只把系数相加减。 例：；； 3. 含括号的式子化简 运用乘法分配律去括号，再合并同类项。 例：； 4. 易错提醒 只有同类项才能合并，不是同类项不能合并（如无法化简）。 字母前系数为 1 时，1 省略不写，如。 五、代入求值 1. 含义 把字母表示的具体数值代入含有字母的式子，按照运算顺序计算出结果，叫做求含有字母的式子的值。 2. 规范步骤 写出字母的取值； 抄写原式； 将字母替换为对应数字，还原省略的乘号； 按运算顺序计算出结果，结果后不带单位（单位在答句中注明）。 3. 格式示例 当时，求的值。 解：当时， 六、易错点总结 书写顺序错误：数字与字母相乘时，字母写在数字前（如写成）。 混淆与：是两个相乘，是两个相加。 合并同类项错误：改变字母或字母次数，如；非同类项强行合并。 代入求值时省略乘号：直接写成，漏写乘号。 加减式子带单位时漏加括号：如米，正确应为米。 考点讲练 考点一：用字母表示数的书写规范与概念判断 【典例精讲】 下列各式的书写中，符合规范的有（ ）个。 ① ② ③ ④ ⑤ A. 2 B. 3 C. 4 【分析】 根据用字母表示数的书写规范逐一判断：数字 1 要省略；数字在前字母在后；带分数要化假分数；字母乘法交换律成立；除法写成分数形式。 【详解】 ① 错误，1×a 应简写为 a，1 要省略； ② 正确，数字与字母相乘，数字在前，省略乘号； ③ 错误，带分数要先化成假分数，不能直接和字母相乘； ④ 正确，符合乘法交换律，字母乘法省略乘号； ⑤ 正确，除法运算写成分数形式。 符合规范的有②④⑤，共 3 个。 【答案】B 【变式训练 1】 下列式子书写正确的是（ ）。 A. B. C. 【分析】 根据书写规范判断：数字要在字母前，1 要省略，字母相乘省略乘号。 【详解】 A 选项错误，应写成 8a；B 选项错误，应写成 x；C 选项书写正确。 【答案】C 【变式训练 2】 判断题：和表示的意义相同，结果也一定相等。（ ） 【分析】 从意义和结果两方面分析：是两个 a 相乘，是两个 a 相加，意义不同；只有当 a=0 或 2 时结果相等，其他情况不相等。 【详解】 ，，二者意义完全不同；只有特殊值下结果相等，并非一定相等，说法错误。 【答案】× 【变式训练 3】 填空题：小明有 a 元，买了 3 本笔记本，每本 b 元，还剩的钱数用式子表示为（ ）元。 【分析】 剩下的钱 = 总钱数 - 花掉的钱，花掉的钱是 3b 元，式子是加减关系，带单位要加括号。 【详解】 花掉的钱：3b 元 剩下的钱：元，带单位时整体加括号，即元。 【答案】 考点二：化简含有字母的式子 【典例精讲】 化简下面各式。 （1） （2） （3） 【分析】 前两题是同类项合并，字母不变，系数相加减；第三题用乘法分配律去括号，分别相乘再相加。 【详解】 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【变式训练 1】 化简： 【分析】 三个同类项合并，按顺序计算系数的加减，字母 m 保持不变。 【详解】 【答案】 【变式训练 2】 下列式子化简正确的是（ ）。 A. B. C. 【分析】 根据同类项的概念判断：只有同类项才能合并，合并时字母不变，系数相加减。 【详解】 A 选项错误，3a 和 2b 不是同类项，不能合并； B 选项错误，，不是 7； C 选项正确，。 【答案】C 【变式训练 3】 化简： 【分析】 先用乘法分配律去括号，再合并同类项，注意 - b 乘 2 是 - 2b，再和 4b 合并。 【详解】 【答案】 考点三：用字母表示数量关系 【典例精讲】 用含有字母的式子表示下面的数量关系。 （1）比 x 的 4 倍多 7 的数。 （2）m 与 n 的差的 3 倍。 （3）比 a 的一半少 2 的数。 【分析】 根据文字描述的运算顺序列式：先找倍数关系，再处理加减；有 “的和 / 差” 时，先算加减要加括号。 【详解】 （1）x 的 4 倍是 4x，多 7 就加 7，式子为： （2）先算 m 与 n 的差，再乘 3，式子为： （3）a 的一半是，少 2 就减 2，式子为： 【答案】（1）；（2）；（3） 【变式训练 1】 学校买来 8 个足球，每个 x 元；又买来 y 个篮球，每个 65 元。买足球和篮球一共花的钱数用式子表示为（ ）元。 【分析】 分别算出足球总价和篮球总价，再相加，就是总花费。 【详解】 足球总价：8x 元 篮球总价：65y 元 一共花费：元 【答案】 【变式训练 2】 甲乙两车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 a 千米，乙车每小时行 b 千米，3 小时后两车相遇。两地相距（ ）千米。 【分析】 相遇问题中，总路程 = 速度和 × 相遇时间，速度和是 (a+b) 千米 / 时，乘时间 3 小时即可。 【详解】 速度和： 总路程：千米，也可写成千米。 【答案】（或） 【变式训练 3】 一个长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米，如果长增加 3 厘米，宽不变，周长增加（ ）厘米，面积增加（ ）平方厘米。 【分析】 长增加 3 厘米，周长增加 2 个 3 厘米（长方形两条长）；面积增加的部分是长为 3 厘米、宽为 b 厘米的小长方形的面积。 【详解】 周长增加：厘米 面积增加：平方厘米 【答案】6； 考点四：代入求值 【典例精讲】 当时，求的值。 【分析】 按照代入求值的规范步骤，先写字母取值，再抄原式，替换数字计算，注意还原乘号。 【详解】 解：当时， 【答案】27 【变式训练 1】 当，时，求的值。 【分析】 ab 表示 a 乘 b，代入数值时还原乘号，先算乘法再算减法。 【详解】 解：当，时， 【答案】17 【变式训练 2】 当时，求的值。 【分析】 可以先化简式子，再代入数值计算，更简便；也可以直接代入计算。 【详解】 方法一：先化简再代入 当时， 【答案】9 【变式训练 3】 已知一个长方形的长 a=12 厘米，宽 b=8 厘米，求这个长方形的周长和面积。 【分析】 分别代入长方形周长公式和面积公式，按规范格式计算。 【详解】 周长： 当，时， 面积： 当，时， 答：周长是 40 厘米，面积是 96 平方厘米。 【答案】周长 40 厘米，面积 96 平方厘米 考点五：用字母表示数的综合实际应用 【典例精讲】 超市运来 120 箱苹果，每箱重 a 千克，卖出 b 箱后，还剩多少千克苹果？当 a=15，b=40 时，还剩多少千克？ 【分析】 先算出剩下的箱数，再乘每箱重量，得到剩下的总重量；再代入数值计算具体结果。 【详解】 剩下的箱数： 剩下的总重量：千克（或千克） 当，时， 答：还剩千克；当 a=15，b=40 时，还剩 1200 千克。 【答案】千克；1200 千克 【变式训练 1】 修路队修一条长 x 米的公路，每天修 80 米，修了 y 天。 （1）用式子表示还没修的长度。 （2）当 x=1000，y=8 时，还剩多少米没修？ 【分析】 先算已经修的长度，用总长度减已修长度得到剩下的；再代入数值计算。 【详解】 （1）已修长度：80y 米 没修的长度：米 （2）当，时， 答：还剩 360 米没修。 【答案】（1）米；（2）360 米 【变式训练 2】 学校购买了 10 套桌椅，每张桌子 a 元，每把椅子 b 元。 （1）用式子表示一共花的钱数。 （2）当 a=80，b=35 时，一共花了多少钱？ 【分析】 一套桌椅是一张桌子加一把椅子，一套的价格是 (a+b) 元，乘 10 就是总价；再代入求值。 【详解】 （1）一套桌椅价格： 10 套总价：元（或元） （2）当，时， 答：一共花了 1150 元。 【答案】（1）元；（2）1150 元 【变式训练 3】 某公园门票价格：成人票每张 20 元，儿童票每张 10 元。小明一家有 x 个成人，y 个儿童。 （1）用式子表示买门票的总费用。 （2）如果有 3 个成人，2 个儿童，一共需要多少元门票钱？ 【分析】 分别算成人总票价和儿童总票价，相加得总费用；再代入数值计算。 【详解】 （1）成人总费用：20x 元 儿童总费用：10y 元 总费用：元 （2）当，时， 答：一共需要 80 元门票钱。 【答案】（1）元；（2）80 元 综合训练 1．小新今年a岁，爸爸今年36岁，爸爸比小新大（    ）岁。 A．a B．36−a C．36 D．无法确定 【答案】B 【分析】爸爸比小新大多少岁，即求两人的年龄差，根据减法的意义，用爸爸的年龄减去小新的年龄即可列出代数式。 【详解】A.表示小新今年的年龄，不符合题意； B.，表示爸爸与小新的年龄差，符合题意； C.36表示爸爸今年的年龄，不符合题意； D.无法确定，不符合题意。 2．李时珍纪念馆采用“智慧导览”系统，每30秒自动更新一次游客人数。上午10：00显示游客数为a人，到10：12时，系统更新了（    ）次。 A．12 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】首先计算从上午10：00到10：12经过的总时间，将单位统一为秒，然后根据每30秒更新一次，用总时间除以更新间隔时间，即可求出更新的次数。注意初始显示不计入更新次数。 【详解】10：12－10.00＝12（分钟） 12×60＝720（秒） 720÷30＝24（次） 系统更新了24次。 3．有三个连续的自然数，其中最小的是，那么这三个自然数的和是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相邻两个自然数相差。已知最小的数是m，根据这一特征依次表示出中间和最大的数，最后将三个数相加并利用含有字母的式子的化简方法求出和。 【详解】已知最小的自然数是m，则中间的自然数是m＋1，最大的自然数是m＋1＋1＝m＋2。 即这三个自然数的和是3m+3。 4．四位同学分别画图表示自己对“2m＋8”这个式子的理解，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】2m表示2个m相加的和，2m＋8表示2个m与8相加的和，据此逐项分析。 【详解】 A．长方形的周长＝（长＋宽）×2，长＝2＋8＝10，宽＝m，所以大长方形的周长＝（10＋m）×2＝20＋2m，不符合题意； B．长方形的周长＝（长＋宽）×2，图形周长＝（8＋m）×2＝16＋2m，不符合题意； C．线段AB的长度＝2＋m＋8＝m＋10，不符合题意； D．线段CD的长度＝m＋m＋8＝2m＋8，符合题意。 5．1只青蛙有4条腿，a只青蛙有多少条腿？这个问题的结果可以用4a表示。还有哪些问题的结果也可以用4a表示？对此，同学们想到了以下三个问题，其中结果可以用4a表示的是（    ）。 一个正方形的边长是a分米，它的周长是多少分米？ ① 1支笔的价格是4元，a支笔的总价是多少元？ ② 一只小蜗牛以4厘米/分的速度缓慢爬行，爬完a厘米需要多少分？ ③ A．只有① B．只有② C．只有①② D．有①②③ 【答案】C 【分析】正方形的周长＝边长×4，总价＝单价×数量，时间＝路程÷速度，代入数值即可。 【详解】①正方形的周长是：（分米）； ②a支笔的总价是：（元）； ③爬完a厘米需要的时间：（a÷4）（分）； 由此可知，①②可以用表示。 6．若a＝0.4，b＝1.5，则( )。 【答案】1.34 【分析】把a＝0.4，b＝1.5代入计算即可。 【详解】当a＝0.4，b＝1.5时。 ＝1.5－0.42 ＝1.5－0.16 ＝1.34 7．跨学科“桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情。”出自唐代诗人李白的《赠汪伦》。如果唐代的一尺相当于现在的a米，那么诗中的千尺相当于现在的________米。 【答案】 【分析】根据题意可知，唐代的一尺相当于现在的a米，求千尺相当于现在的多少米，就是求1000个a是多少，用乘法计算。 【详解】1000×a＝1000a（米） 千尺相当于现在的1000a米。 8．我们经常把“数”与“形”联系在一起进行研究。请认真观察图：第1幅图有2个点，第2幅图有6个点，第3幅图有10个点，……，那么第15幅图有( )个点，第n幅图有( )个点。 …… 【答案】 58 4n－2 【分析】根据图示可知，从左往右，右面一幅图总比左面相邻的一幅图多4个黑点，据此规律解答本题。 【详解】从左往右： 第一幅图：2个黑点； 第二幅图：2＋4（个）黑点，多了4×（2－1）个黑点； 第三幅图：2＋4×2（个）黑点，多了4×（3－1）个黑点； 第四幅图：2＋4×3（个）黑点，多了4×（4－1）个黑点； …… 当n＝15时， 2＋4×（15－1） ＝2＋4×14 ＝2＋56 ＝58（个） 那么第n幅图多了4（n－1）个黑点有： 2＋4（n－1） ＝2＋4n－4 ＝4n－2。 即第15幅图有58个点，第n幅图有（4n－2）个点。 9．水果店每千克苹果的单价是元，山竹的单价比苹果的2倍还多1.8元，山竹的单价是( )元；当时，山竹的单价是( )元。 【答案】 2a＋1.8 31.8 【分析】用苹果的单价乘2再加上1.8元即可表示出山竹的单价；把a＝15代入山竹的单价表达式中，算出结果即可。 【详解】山竹的单价是（2a＋1.8）元； 当a＝15时， 2a＋1.8 ＝2×15＋1.8 ＝30＋1.8 ＝31.8 当a＝15时，山竹的单价是31.8元。 10．如图，用三角形摆图形，第1个图中有4个三角形，第2个图中有7个三角形，第3个图中有10个三角形，按照这样的规律，第10个图中有_________个三角形，第_________个图中有10个三角形。 【答案】 31 3 【分析】从图中可知，第1个、第2个、第3个图中分别有4个、7个、10个三角形……，发现：后一个图形比前一个图形多3个三角形，据此得出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形发现： 第1个图4个三角形，4＝1×3＋1； 第2个图7个三角形，7＝2×3＋1； 第3个图10个三角形，10＝3×3＋1； …… 规律：第n个图形中有（3n＋1）个三角形。 当n＝10时 3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 当3n＋1＝10时 3n＝10－1 3n＝9 n＝9÷3 n＝3 第10个图中有31个三角形，第3个图中有10个三角形。 11．小明今年a岁，爸爸的年龄比小明的3倍还多2岁。如果用b表示爸爸今年的年龄，则________；再过9年，两人的年龄关系会变为：________。 【答案】 3a＋2 3a＋11 【分析】根据爸爸今年的年龄＝小明今年的年龄×3＋2，写出关系式； 再过9年，也就是爸爸的年龄加9，也就是关系式的等号两边都加9。 【详解】爸爸今年的年龄：b＝3a＋2 再过9年，爸爸的年龄加9，即 b＋9 ＝3a＋2＋9 ＝3a＋11 12．小宇用大小相同的黑色棋子按如图所示的规律摆图案。 …… 按这个规律摆下去，第n个图案中有( )枚棋子。 【答案】2＋3n 【分析】由图可知，图案依次递增3个棋子，第1个图案中需要摆5枚棋子，可表示为2＋3×1；第2个图案中需要摆8枚棋子，可表示为2＋3×2；第3个图案中需要摆11枚棋子，可表示为2＋3×3；发现规律：第n个图案中需要摆（2＋3n）枚棋子；据此解答。 【详解】由分析可知，按这个规律摆下去，第n个图案中有（2＋3n）枚棋子。 13．按下面的方式用小棒搭正方形： 如图，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭3个正方形需要10根小棒，搭10个这样的正方形需要( )根小棒；100根小棒可以搭( )个这样的正方形；搭n个这样的正方形需要( )根小棒。 【答案】 31 33 3n＋1 【分析】观察可知，搭个正方形需要根小棒，搭个正方形需要根小棒，搭个正方形需要根小棒，所以搭个这样的正方形需要根小棒，代入数据得出答案。 【详解】 （根） （个） 搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭3个正方形需要10根小棒，搭10个这样的正方形需要根小棒；100根小棒可以搭个这样的正方形；搭n个这样的正方形需要根小棒。 14．小小今年a岁，比妈妈小24岁，妈妈今年( )岁；当小小19岁时，妈妈( )岁。 【答案】 a＋24 43 【分析】年龄差不变，妈妈和小小的年龄差始终是24岁。用小小的年龄a加上两人的年龄差24，即可求出妈妈今年的年龄表达式。因为年龄差不变，直接用小小当时的年龄19加上24，即可求出妈妈的年龄。 【详解】妈妈今年的年龄：（a＋24）岁 当小小19岁时，妈妈的年龄：19＋24＝43（岁） 15．如图，拼第1个图案需要1块灰色正方形和4块白色正方形，拼第2个图案需要2块灰色正方形和7块白色正方形，拼第3个图案需要3块灰色正方形和10块白色正方形，……，照这样的规律继续拼下去，拼第n个图案中白色正方形的块数为( )块。（用含有n的式子表示） 【答案】3n＋1/1＋3n 【分析】第1个图案：灰色正方形1块，白色正方形4块； 第2个图案：灰色正方形2块，白色正方形比第1个图案多7－4＝3块，即4＋3＝7块； 第3个图案：灰色正方形3块，白色正方形比第2个图案多10－7＝3块，即4＋3＋3＝10块，； 可以发现从第1个图案开始，每多1个灰色正方形（图案序号加1），白色正方形就增加3块。所以第n个图案，白色正方形的数量为4＋（n－1）×3个。 【详解】4＋（n－1）×3 ＝4＋3n－3 ＝3n＋1 16．观察下图中正方形的个数与直角三角形个数之间的关系。如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数用含有n的式子怎么表示？请写出思考的过程。 【答案】4（n－1）； 思考过程：观察图形可知，正方形的个数分别是2，3，4，……， 对应直角三角形的个数分别是4，8，12，……， 每增加一个正方形，就会增加4个直角三角形， 也就是4＝4×（2－1），8＝4×（3－1），12＝4×（4－1）……， 如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数为。 【分析】先观察图形，找正方形个数和直角三角形个数的对应关系： 当n＝2（2个正方形）时，直角三角形个数：4＝4×（2－1）； 当n＝3（3个正方形）时，直角三角形个数：8＝4×（3－1）； 当n＝4（4个正方形）时，直角三角形个数：12＝4×（4－1）； …… 可以发现规律：每增加1个正方形，就会增加4个直角三角形； 所以当正方形个数为n时，直角三角形的个数为：4（n－1）。 【详解】略 17．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定：|。例如，。 (1)计算的值。 (2)当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简。 【答案】(1) 8 (2) 【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果；根据数轴得出：，且，再代入定义的公式计算即可。 【详解】（1）因为， 所以 （2）由数轴可得：，， 所以，， 18．诸葛神算。 人称“小诸葛的小明在计算74－47＝27，83－38＝45时，用这样的计算方法： 74－47＝9×（7－4）＝27，83－38＝9×（8－3）＝45。 (1)请你尝试用这种方法计算： 72－27＝________    81－18＝________…… (2)小朋友，这样的例子能举完吗？请你静下心来，想一想，把四、五年级的知识整合起来，借助运算律和字母表示数的知识，在下面的方框里推理一下其中蕴含的道理。 【答案】(1) (2) 这样的例子举不完； 【分析】（1）先观察给出的示例规律，因为两位数减去它个位十位互换后的数，等于9乘十位数字与个位数字的差，所以直接套用该模式计算对应算式即可。 （2）首先明确两位数的数位表示规则，十位数字是a、个位数字是b的两位数，可表示为，互换后的数可表示为。 列出两个数的差的代数式，运用乘法分配律对代数式进行化简，推导得出通用规律。 【详解】（1） 故填空结果为：， （2）原来的两位数，十位是，个位是，因此这个两位数可以写成：。交换数位后的新两位数可以写成：。两数作差，结合运算律化简： 结论：一个两位数和它交换数位后的两位数相减，结果等于9乘两个数位数字的差。 因为可以取中任意不相等的数，存在非常多的组合，这样的例子举不完。 19．“冬”风强劲，冰雪燃情。黑土地上，“冷资源”正加速释放“热效应”，冰雪经济“火力全开”，王伯伯准备租下一间边长为12米的正方形商铺开咖啡书吧。签约那天，销售经理说：“现在还有一间房也挺好，比起那间房子，虽然宽减少了3米，但是长增加了3米。租金一样，很公道”。 (1)你认为原来的商铺与现在的商铺面积相比，面积( )（选填“增加”“减少”或“相等”）。 (2)请解释你的想法。 (3)通过以上问题的探索、反思，你有什么感悟？ 【答案】(1)减少 (2)面积不一样，租金却一样，不公道。 (3)数学中的代入公式能简化实际问题的计算，形状微小调整可能显著影响面积，需要计算而非直观判断。 【分析】（1）现在商铺的长是（12＋3）米，宽是（12－3）米。根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入计算出两间商铺的面积。再比较即可。 （2）可以假设原来商铺的边长是a米，调整后商铺的长是（a＋3）米，宽是（a－3）米。根据面积公式计算出面积的表示。看相差多少即可。然后说明自己想法。 （3）根据解答①②两题的方法进行分析即可。 【详解】（1）12×12＝144（平方米） （12＋3）×（12－3） ＝15×9 ＝135（平方米） 135＜144 你认为原来的商铺与现在的商铺面积相比，面积减少。 （2）假设原来商铺的边长是a米，原来面积为a2平方米，调整后的面积为（a＋3）（a－3）＝（a2－9）平方米因此，面积减少9平方米。 144－135＝9（平方米） 所以，面积不一样，租金却一样，不公道。 （3）数学中的代入公式能简化实际问题的计算，形状微小调整可能显著影响面积，需要计算而非直观判断。 20．王老师想乘坐出租车从江山一品小区到世界风筝公园参加风筝会开幕式，江山一品小区到世界风筝公园距离是10千米。安丘市乘坐出租车的价格如下： 起步价（2千米及以内）：元 超过2千米的部分：元/千米 (1)用含有字母的式子表示王老师要付的车费。 (2)当，时，王老师应付多少钱？ 【答案】(1)（a＋8b）元 (2)22元 【分析】（1）出租车费由起步价和超过起步里程的费用两部分组成。总路程为10千米，起步里程为2千米，超过部分的路程为10－2＝8千米。超过部分的费用为超过的路程乘每千米的价格，即8×b元。总车费等于起步价加超过部分的费用。 （2）将a＝6，b＝2代入第（1）小题得到的式子中，进行计算。 【详解】（1）10－2＝8（千米） 超过2千米的部分：8×b＝8b 总费用：（a＋8b）元 答：王老师要付的车费是（a＋8b）元。 （2）已知a＝6，b＝2 a＋8b＝6＋8×2 6＋8×2 ＝6＋16 ＝22（元） 答：王老师应付22元。 21．如下图，小明家和小冬家到图书馆的距离相等，小明步行的速度是每分钟52米，小冬步行的速度是每分钟48米。 (1)图中是个( )三角形，三角形的两个底角都是( )°。 (2)两人按（1）题中的路线同时从家出发，相向而行，M分钟后两人相遇。用含有字母的式子表示两家之间的距离。 (3)当M＝6时，他们两家之间的距离是多少米？ 【答案】(1) 等腰直角 45 (2)100M (3)600米 【分析】（1）小明家和小冬家到图书馆的距离相等，可知三角形两条边相等且有直角符号，所以是等腰直角三角形； （2），小明行走的路程＝52M，小冬行走的路程＝48M，两人行走路程之和就是两家之间的距离； （3）将M＝6代入（2）中算式，即可算出两家之间的距离。 【详解】（1）两条边相等且两条边夹角为90°，那么这是一个等腰直角三角形，所以两个底角都是45°。 （2）两家之间的距离＝52M＋48M＝100M （3）M＝6时，两家之间的距离为 答：两家之间的距离是600米。 22．根据下面四幅图的规律完成表格。 第1幅 第2幅 …… 第8幅 …… 第（    ）幅 涂色方块 1 3 …… （    ） …… 19 未涂色方块 0 1 …… （    ） …… （    ） 【答案】见详解 【分析】通过观察每幅图的涂色方块数量，判断涂色方块和未涂色方块规律，计算得出答案。 【详解】设图的序号为n： 涂色方块规律：第1幅1个，第2幅3个，第3幅5个，第4幅7个，可得规律：涂色方块数＝2n－1 未涂色方块规律：第1幅0个，第2幅1个，第3幅4个，第4幅9个，可得规律：未涂色方块数＝ 第8幅的涂色方块： 第8幅的未涂色方块： 当涂色方块为19时：，，则n为10 第10幅的未涂色方块： 如图： 第1幅 第2幅 …… 第8幅 …… 第（ 10 ）幅 涂色方块 1 3 …… （  15  ） …… 19 未涂色方块 0 1 …… （  49  ） …… （  81  ） 23．为落实五育并举，学校设立一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展。如下图，五（1）班同学利用一面墙（墙足够长）围一块长方形蔬菜种植区，一共用去11根1米长的木条。填表列出所有不同的围法，并回答问题。    m/米 n/米 面积/平方米 答：围成长方形蔬菜种植区的面积最大是（    ）平方米。 【答案】见详解 【分析】用11根1米长的木条围长方形，且利用一面墙，所以木条只围三条边，2个宽和1个长，宽为m米，长为n米，则。因为木条的长度为1米，所以m和n的长度均为非0自然数，且，所以m可以取的值为1、2、3、4、5，根据求出与m相对应的n的值后，利用长乘宽求出每一组长方形的面积，最后作比较找到最大的面积。 【详解】由可得： 当米时， （米） 面积：（平方米） 当米时， （米） 面积：（平方米） 当米时， （米） 面积：（平方米） 当米时， （米） 面积：（平方米） 当米时， （米） 面积：（平方米） 所以围成长方形蔬菜种植区的面积最大是15平方米。 如下表： m/米 1 2 3 4 5 n/米 9 7 5 3 1 面积/平方米 9 14 15 12 5 答：围成长方形蔬菜种植区的面积最大是15平方米。 24．娜娜参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打了3分钟，再打t分钟就全部打完，若娜娜平均每分钟打a个字。 (1)这篇作文一共有多少个字？（用含字母的式子表示） (2)当时，这篇作文一共有多少个字？ 【答案】(1)（3a＋at） (2)900个 【分析】（1）每分钟打字个数×已经打了的时间＋每分钟打字个数×再打的时间＝总字数，据此用字母表示出总字数； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】（1）a×3＋a×t＝（3a＋at）个 答：这篇作文一共有（3a＋at）个字。 （2）3a＋at ＝3×60＋60×12 ＝180＋720 ＝900（个） 答：这篇作文一共有900个字。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $