第三单元 小数乘法（易错专项讲义）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学第三单元小数乘法易错专项讲义通过框架图梳理8个核心易错题型，从口算、竖式计算到运算律应用、积的变化规律等，用表格归纳各题型易错点与算理，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“易错点-精讲-巩固”三阶设计，如积的变化规律题型通过反向核验法培养推理意识，解决问题题型结合购物场景强化应用意识。分层巩固练习适配不同学生，助力自主复习，教师可据此实施精准教学提升运算能力。

第三单元 小数乘法易错专项讲义  易错题型01 小数乘法口算 易错题型02 小数乘法竖式计算 易错题型03 整数乘法运算律推广到小数乘法 易错题型04 积的变化规律（小数乘法） 易错题型05 积的小数位数与乘数小数位数的关系 易错题型06 因数和积的大小关系（小数乘法） 易错题型07 运用小数乘法解决问题 易错题型08 小数的估算及应用 易错题型01 小数乘法口算 1、同时满足「数位对齐逻辑合规、运算过程匹配小数乘法算理」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法口算的合规结果，脱离小数的计数单位本质、随意拼接整数乘积与小数点位置得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、口算小数乘整数时，要严格依托“先按整数乘法算积、再看因数小数位数点小数点”的规则运算，不能直接把小数的数位和整数的数位错位对齐相加，混淆小数乘法和小数加减法的对位逻辑。 3、口算小数乘小数时，要严格依托积的小数位数规则运算：积的小数位数等于两个因数的小数位数之和，不能错误把积的小数位数等同于两个因数的小数位数之差，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验口算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、口算含末尾有0的小数乘法时，要仅统计有效数位参与运算后再补0、点小数点，不能把末尾的0提前计入小数位数统计，得到积的小数点位置偏移的错误结果。 6、标注小数乘法口算的最终结果时，若涉及实际场景必须明确标注对应的单位，单价类问题标注货币单位、长度面积类问题匹配对应度量单位，同时要划掉积末尾多余的0保证结果最简，避免出现单位错配、结果冗余的问题，导致运算结果的指代完全失真。 【题型精讲1】直接写出得数。 4.2＋1.5＝     2－0.78＝       0.3×20＝        1.5＋0.85＝      0.15×50＝ 2.13×0＝        0.3×40＝        2.6＋8.7＝       2.3×0.3＝        7.2－2.7＝ 【答案】5.7；1.22；6；2.35；7.5； 0；12；11.3；0.69；4.5 【易错巩固1】直接写出得数。 0.02×50＝    1.6×4＝    0.6×0.5＝    1.1×3＝ 2.5×0.8＝    0×0.22＝    0.08×600＝    24×0.5＝ 【答案】1；6.4；0.3；3.3；   2；0；48；12 【易错巩固2】直接写出得数。 1.3×2＝    7.6－4＝    5.8×10＝    15.8－2.6＝ 0.8＋0.24＝    2.6×5＝    0.4×2.1＝    9.3＋7＝ 【答案】；；；； ；；； 【易错巩固3】直接写得数。 2.5＋1.5＝        124÷100＝        12.6＋2.6＝        1.1×0.8＝ 0.4×0.9＝        50×0.2＝          3.56－2.5＝        20×1.5＝ 【答案】4；1.24；15.2；0.88； 0.36；10；1.06；30 【易错巩固4】直接写出得数。 0.3＋0.7＝        3.5－2＝        0.4×0.5＝        0.053×100＝ 1.2×3＝        4.08＋6.2＝        0.7×0＝        1－0.01＝ 【答案】1；1.5；0.2；5.3；3.6；10.28；0；0.99 易错题型02 小数乘法竖式计算 1、同时满足「数位对位逻辑合规、竖式运算过程匹配小数乘法算理」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法竖式计算的合规结果，脱离小数的计数单位本质、随意拼接整数乘积与小数点位置得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、列竖式计算小数乘法时，要严格按照“两个因数的末位对齐”规则对位，不能错误对齐两个因数的小数点位置，混淆小数乘法和小数加减法的竖式对位逻辑。 3、确定积的小数点位置时，要严格依托“积的小数位数等于两个因数小数位数之和”的规则运算，不能错误将小数点和因数的小数点纵向对齐。 4、反向核验竖式计算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算因数末尾带0的小数乘法竖式时，要先通过简便对位把0暂时放在竖式末尾，计算完非0部分后再补全对应个数的0、点小数点，不能直接把所有数位对齐硬算导致重复计算0位，得到数位错位的错误乘积。 6、计算乘得的积小数位数不足时，要严格在积的前面用0补足数位后再点小数点，不能直接省略补0步骤把小数点位置提前，得到结果量级偏差10倍、100倍的错误答案。 【题型精讲2】列竖式计算。 ①10－3.18＝        ②2.8×3.4＝        ③1.06×6.5＝ 【答案】①；②；③ 【分析】①小数减法，同样先把小数点对齐，将相同数位对齐。按照整数减法计算方法计算 哪一位上不够减就要向前一位借1当10。最后对齐横线上的小数点，在得数中点上小数点，小数点位置与被减数和减数的小数点位置对齐。 ②③小数乘法的计算方法：先按照整数乘整数的计算方法算出乘积；点小数点时，看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点即可；积的小数位数如果不够，前面用0补位再点小数点；据此计算。 【解答】①10－3.18＝6.82    ②2.8×3.4＝9.52  ③1.06×6.5＝6.89                                         【易错巩固1】用竖式计算。 1.9×0.25＝    5.09×2.6＝    4.6×60＝    3.8×0.35＝ 【答案】0.475；13.234；276；1.33 【分析】小数乘整数，先忽略小数点，把小数当作整数，按照整数乘法算出乘积。观察原式中的小数一共有几位小数。从整数乘积的右边开始，向左数出对应位数，点上小数点。如果积末尾有0，点完小数点后，可以去掉末尾多余的0。竖式计算时末尾对齐，不是小数点对齐。 小数乘小数计算时，先按照整数乘整数的计算方法算出乘积；点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点即可；积的小数位数如果不够，前面用0补位再点小数点； 【解答】1.9×0.25＝0.475 5.09×2.6＝13.234 4.6×60＝276 3.8×0.35＝1.33 【易错巩固2】用竖式计算。 2.09×1.6＝         3.4×400＝         0.36×2.5＝ 【答案】3.344；1360；0.9 【分析】小数乘法计算法则：先把小数当成整数相乘；数一数两个乘数一共有几位小数；积就从右边起数出几位，点上小数点；末尾有0可以去掉。 【解答】2.09×1.6＝3.344     3.4×400＝1360                0.36×2.5＝0.9 【易错巩固3】用竖式计算。 0.46×0.3＝          2.6×0.49＝          2.05×9.3＝ 【答案】0.138；1.274；19.065 【分析】小数竖式乘法计算方法：先把小数当成整数做乘法，算出整数乘积；再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 【解答】0.46×0.3＝0.138 2.6×0.49＝1.274 2.05×9.3＝19.065                         【易错巩固4】用竖式计算。 2.7×4.5＝    0.48×2.25＝    48.5×0.05＝ 4.5×2.1＝    0.33×1.7＝    2.28×0.9＝ 【答案】12.15；1.08；2.425     9.45；0.561；2.052 【分析】小数的乘法：首先末尾对齐，将小数乘法看成整数乘法，按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位小数，点上小数点，得数的小数部分末尾有的一般要把去掉。 【解答】                                                        易错题型03 整数乘法运算律推广到小数乘法 1、同时满足「运算顺序合规、简便运算逻辑匹配乘法运算律定义」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法脱式计算的合规结果，脱离运算律适用条件、随意凑整拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展小数乘法脱式运算时，要严格遵循四则运算优先级规则：无括号时同级运算从左到右依次计算、有括号时优先计算括号内的部分，不能为了强行凑整随意颠倒运算顺序，混淆合规简便运算和乱序错算的逻辑。 3、应用乘法分配律展开计算时，要严格依托a×(b+c)=a×b+a×c的公式运算，不能错误将括号外的因数只与括号内的某一个加数相乘、漏乘其余项，得到完全偏离正确值的计算结果。 4、反向核验脱式计算结果的合理性时，将算出的结果按照原式的原始运算顺序、不使用简便方法重新计算一遍，得到的数值必须和简算结果完全匹配，不能出现两种算法结果不一致的逻辑矛盾。 5、进行脱式递推计算时，要仅统计每一步运算后得到的等价有效结果，不能把上一步已经完成运算的数值重复带入下一步叠加计算，得到结果虚高的错误答案。 6、应用乘法交换律、结合律计算连乘算式时，要优先组合乘积为整数的因数配对简化运算，不能直接将所有因数的整数部分、小数部分拆分后错误相加，得到拆分逻辑错误、重复计算的结果。 7、同一道小数乘法脱式计算过程中，运算律的适用规则、小数点的对位逻辑、每一步的等号等价关系必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、错移小数点位置，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲3】计算下面各题，能简算的要简算。 12.5＋7.5×1.02           （15.6－2.8）×3.2    25×1.3×0.4 【答案】20.15；40.96；13 【分析】计算12.5＋7.5×1.02：利用乘法分配律进行简便运算； 计算（15.6－2.8）×3.2：按四则运算顺序先算括号内的减法，再利用乘法分配律进行简算； 计算25×1.3×0.4：利用乘法交换律简化计算。 【解答】12.5＋7.5×1.02 ＝12.5＋7.5×（1＋0.02） ＝12.5＋（7.5×1＋7.5×0.02） ＝12.5＋（7.5＋0.15） ＝12.5＋7.65 ＝20.15 （15.6－2.8）×3.2 ＝12.8×3.2 ＝12.8×（3＋0.2） ＝12.8×3＋12.8×0.2 ＝38.4＋2.56 ＝40.96 25×1.3×0.4 ＝25×0.4×1.3 ＝10×1.3 ＝13 【易错巩固1】脱式计算，能简算的要简算。 15.08－5.47－4.53           10－6.75×0.6           0.38×99＋0.38 【答案】5.08；5.95；38 【分析】15.08－5.47－4.53，根据减法的性质a－b－c ＝ a－（b＋c）进行简算； 10－6.75×0.6先算乘法，再算减法； 0.38×99＋0.38，把0.38看成0.38×1，算式改写成0.38×99＋0.38×1，用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【解答】15.08－5.47－4.53 ＝15.08－（5.47＋4.53） ＝15.08－10 ＝5.08 10－6.75×0.6 ＝10－4.05 ＝5.95 0.38×99＋0.38 ＝0.38×99＋0.38×1 ＝0.38×（99＋1） ＝0.38×100 ＝38 【易错巩固2】脱式计算。（能简算的可以简算）          【答案】 88；78；0.65 【分析】根据减法的性质：，观察到与相加能凑成整数，先算加法再算减法，据此进行简便计算。 根据乘法分配律：，将后面的看作，提取相同因数，据此进行简便计算。 根据乘法分配律：，观察到两个乘法算式中都有公因数，提取相同因数，据此进行简便计算。 【解答】 【易错巩固3】脱式计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】8.46；5；11 【分析】运用减法的性质进行简便计算。 先算乘法，再算减法。 用乘法分配律进行简便计算。 【解答】 【易错巩固4】脱式计算，能简算的用简便方法计算。          【答案】2.7；4.1；23 【分析】（1）0.12＝4×0.03，利用2.5×4＝10简便计算即可； （2）一个算式中既有减法，又有加法，要按照从左往右的顺序依次计算； （3）根据乘法分配律的逆运算，式子可写为：2.3×（3.4＋6.6），然后计算。 【解答】 ＝9×2.5×4×0.03 ＝（2.5×4）×9×0.03 ＝10×9×0.03 ＝90×0.03 ＝2.7 ＝1.83＋2.27 ＝4.1 ＝2.3×（3.4＋6.6） ＝2.3×10 ＝23 易错题型04 积的变化规律（小数乘法） 1、同时满足「因数变化逻辑合规、积的推导匹配变化规律」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法积的变化规律应用的合规结果，脱离因数与积的联动关系、随意拼接小数点位置得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、分析因数变化对积的影响时，要严格依托“一个因数不变，另一个因数乘/除以不为0的数，积也同步乘/除以同一个数”的规律运算，不能直接把因数的变化量等同于积的变化量，混淆因数缩放和积的联动逻辑。 3、计算两个因数同时变化时的积时，要严格依托“积的总缩放倍数等于两个因数缩放倍数的乘积”规则运算，不能错误把两个因数的缩放倍数相加作为积的缩放倍数，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验规律应用的合理性时，将算出的积反向除以两个因数的缩放倍数，得到的结果必须和原始整数乘法的基准积完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计因数缩放带来的积的变化量时，要仅统计因数有效数位变化带来的小数点移动影响，不能把因数末尾划去的无效0、小数部分末尾的冗余0计入缩放倍数，得到积的缩放倍数虚高、小数点位置错误的结果。 6、应用积的变化规律计算多个因数连乘的结果时，要先统计所有因数的总缩放倍数再调整基准积的小数点位置，不能直接将每个因数的整数部分乘积直接相加，得到重复计算、缩放逻辑错误的结果。 【题型精讲4】两个数的积为0.63，如果两个数同时扩大到原来的10倍，积是（    ）。 A．0.0063 B．0.063 C．6.3 D．63 【答案】D 【分析】根据积的变化规律，两个因数同时扩大到原来的10倍，积扩大到原来的倍，用原来的积乘100可得到现在的积。 【解答】 即积为63。 【易错巩固1】已知23×5＝115，那么下面计算正确的是（    ）。 A．23×0.5＝1.15 B．0.23×5＝11.5 C．230×5＝115 D．2.3×50＝115 【答案】D 【分析】根据乘法中积的变化规律判断：两个数相乘，一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变；只有一个因数变化时，积的变化和该因数的变化保持一致。 【解答】A．23×0.5＝1.15：其中一个因数5除以10，而另一个因数不变，因此积应该也除以10，等于11.5，所以此题计算错误； B．0.23×5＝11.5：其中一个因数23除以100，而另一个因数不变，因此积应该也除以100，等于1.15，所以此题计算错误； C．230×5＝115：其中一个因数23乘10，而另一个因数不变，因此积应该也乘10，等于1150，所以此题计算错误； D．2.3×50＝115：其中一个因数23除以10，另一个因数5乘10，因此积不变，等于115，所以此题计算正确。 【易错巩固2】不计算，根据36×45＝1620，在括号里填上适当的数。 3.6×4.5＝（ ）                    0.36×（ ）＝0.162 【答案】 【分析】因数变成，缩小到原来的； 因数变成，缩小到原来的； 根据积的变化规律，积应缩小到原来的； 缩小到原来的是。 因数变成，缩小到原来的； 积变成，缩小到原来的； 因为，所以另一个因数也应缩小到原来的； 缩小到原来的是。 【解答】根据积的变化规律可得： 【易错巩固3】根据34×15＝510，在括号里填一填。 0.34×15＝（ ）        （ ）×1.5＝5.1 【答案】5.1 3.4 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘或除以几； 根据积的变化规律，一个因数除以10，另一个因数除以10，积要除以100。 【解答】34÷100＝0.34，510÷100＝5.1，所以0.34×15＝5.1； 510÷100＝5.1，15÷10＝1.5，故34÷10＝3.4。 【易错巩固4】根据28×15＝420，直接写出得数：2.8×1.5＝（ ），0.28×15＝（ ），28×（ ）＝0.42。 【答案】4.2 4.2 0.015 【分析】如果一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数不变，那么积也乘（或除以）几。如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。分析各算式与原式的关系即可。 【解答】28×15＝420 2.8×1.5＝28÷10×（15÷10）＝28×15÷10÷10＝420÷10÷10＝42÷10＝4.2 0.28×15＝28÷100×15＝28×15÷100＝420÷100＝4.2　　　　　　 420÷1000＝0.42，15÷1000＝0.015，28×0.015＝0.42 易错题型05 积的小数位数与乘数小数位数的关系 1、同时满足「小数数位计数合规、积的小数位数推导匹配数位运算逻辑」得到的结论，才是本单元认可的小数位数关系应用的合规结果，脱离小数的计数单位本质、随意点放小数点得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、判断积的小数位数时，要严格依托“积的小数位数等于两个乘数小数位数之和”的核心规则推导，不能直接把积的小数点和乘数的小数点纵向对齐，混淆小数乘法和小数加减法的小数点定位逻辑。 3、计算乘数末尾有0的小数乘法的小数位数时，要先统计两个乘数的总小数位数、点上小数点后，再划去积末尾的冗余0，不能先划去0再数小数位数，得到小数位数统计偏少、小数点位置错误的结果。 4、反向核验小数位数判断的合理性时，将算出的积的小数位数反向拆分，拆分得到的两个乘数的小数位数之和必须和总位数完全匹配，不能出现反向推导后小数位数之和与积的位数不一致的逻辑矛盾。 5、统计积的有效小数位数时，要仅统计小数点后有实际意义的数位，不能把整数部分的数位、末尾划去的冗余0计入小数位数统计，得到小数位数计数虚高的错误结果。 6、计算三个及以上小数相乘的积的小数位数时，要先累加所有乘数的小数位数得到总位数，再处理末尾的0，不能直接将部分乘数的小数位数抵消后漏算，得到小数位数统计错误的结果。 7、同一道小数乘法的计算过程中，小数位数的计数标准、末尾0的处理规则、小数点的定位逻辑必须完全统一，不能中途随意更改计数起点、颠倒小数点左右移动方向，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲5】算式的积是（    ）位小数。 A．一 B．两 C．三 D．四 【答案】B 【分析】算式积的末位数字是7，因数中一共有几位小数，积就是几位小数，据此解答。 【解答】分析可知，算式的因数中一共有两位小数，所以的积是两位小数。 故答案为：B 【易错巩固1】5.07×0.06的积是（    ）位小数。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】小数乘法中，一般情况下，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和；如果乘积末尾有0，积的末尾有几个0，小数位数相应就减少几位。5.07是两位小数，0.06是两位小数，且两个因数末尾6×7＝42没有0，将两个因数的小数位数相加即可得到积的小数位数。 【解答】根据分析可知： 5.07×0.06的积的小数位数为：2＋2＝4（位） 所以5.07×0.06的积是4位小数。 故答案为：C 【易错巩固2】4.13×0.67的积是（ ）位小数，4.05×2.2的积是（ ）位小数。 【答案】四 两 【分析】判断小数乘法的积的小数位数，先看两个因数的总小数位数，再看末尾相乘会不会出现0，去掉末尾的0之后剩下的就是最终积的小数位数。 【解答】4.13是两位小数，0.67是两位小数，总共有四位小数，而且两个因数末尾的3和7相乘得21，末尾没有0，所以积是四位小数； 4.05是两位小数，2.2是一位小数，原本总共有三位小数，但两个因数末尾的5和2相乘得10，4.05×2.2＝8.910，末尾会产生1个0，去掉这个末尾的0之后，积就只剩两位小数了。 【易错巩固3】2.046×13的积是（ ）位小数；0.25×3.29的积是（ ）位小数。 【答案】三 四 【分析】（1）2.046是三位小数，13是整数，根据小数乘法法则，积的小数位数等于因数小数位数的和，所以2.046×13的积是三位小数。 （2）0.25是两位小数，3.29是两位小数，因数小数位数的和为，且积的末尾没有0，所以0.25×3.29的积是四位小数。 【解答】2.046×13的积是三位小数；0.25×3.29的积是四位小数。 【易错巩固4】0.86×1.8的积有（ ）位小数，0.86×1.5最终的积有（ ）位小数。 【答案】三 两 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。积的小数末尾如果有0，根据小数的性质化简。 计算出两个算式的积，即可知道积有几位小数。 【解答】0.86×1.8＝1.548 0.86×1.5＝1.29 0.86×1.8的积有三位小数，0.86×1.5最终的积有两位小数。 易错题型06 因数和积的大小关系（小数乘法） 1、同时满足「因数取值范围判断合规、大小关系推导匹配小数乘法运算本质」得到的结论，才是本单元认可的因数与积大小关系应用的合规结果，脱离因数的数值范围属性、随意判定积与因数大小的不符合数理逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、判断正数乘法中积与因数的大小关系时，要严格依托核心规律推导：一个正数乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的正数，积比原数小，不能直接默认小数乘法的积一定比因数小，混淆整数乘法和小数乘法的大小判断逻辑。 3、分析因数为1的特殊场景时，要严格依托“任何数乘1都等于它本身”的规则判断，不能错误认为乘1会让原数变大或变小，得到完全偏离正确结论的大小关系结果。 4、反向核验大小关系判断的合理性时，将判定的大小关系反向代入具体数值举例验证，举例计算得到的积和因数的大小关系必须和判定结论完全匹配，不能出现举例验证后关系颠倒的逻辑矛盾。 5、判断多个因数相乘的积与因数的大小关系时，要仅统计所有大于1、小于1的因数的总缩放效果，不能把等于1的因数、乘法过程中互相抵消的缩放比例重复计入，得到大小关系判断完全错误的结果。 6、判断因数含0的特殊场景的大小关系时，要先明确“任何数乘0都得0”的规则，不能直接套用大于1、小于1的缩放规律判断，得到忽略0因数影响的错误大小结论。 【题型精讲6】下列算式的结果小于0.65的是（    ）。 A．0.65×1.01 B．1×0.65 C．0.88×0.65 D．0.65×2.4 【答案】C 【分析】一个非零数乘大于1的数，积大于原数；乘等于1的数，积等于原数；乘小于1的数，积小于原数，据此判断即可。 【解答】A．，，不符合要求； B．，，不符合要求； C．，，符合要求； D．，，不符合要求。 【易错巩固1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 10.81（ ）10.8   0.5（ ）0.75×0.5   5.2×0.6（ ）0.52×6 【答案】＞ ＞ ＝ 【分析】小数大小比较：先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位看起，依数位比较，相同数位上的数大的那个数就大；据此比较（1）小题； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大；据此比较（2）小题； 如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0 除外），那么积不变；据此比较（3）小题。 【解答】10.81＞10.8    0.75＜1，所以0.5＞0.75×0.5    5.2÷10＝0.52，0.6×10＝6，所以5.2×0.6＝0.52×6 【易错巩固2】在（    ）里填上“”“”或“”。 （ ）9.86    （ ）8.5    （ ） 【答案】＜ ＞ ＝ 【分析】观察乘数与1的大小关系：一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。对于第三组算式，可以通过利用小数点移动规律进行比较。 【解答】（1）比较9.86×0.99与9.86：观察乘数0.99，因为0.99＜1，根据一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，所以9.86×0.99＜9.86。 （2）比较8.5×1.01与8.5：观察乘数1.01，因为1.01＞1，根据一个数（0 除外）乘大于1的数，积大于这个数，所以8.5×1.01＞8.5。 （3）比较0.1×8.9与89×0.01：观察左边算式和右边算式发现，0.1小数点向左移动一位变成0.01，8.9小数点向右移动一位变成89，此时乘积不变，刚好得到右边的算式，所以0.1×8.9＝89×0.01。 【易错巩固3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.5×1.2（ ）4.5     2.8×0.9（ ）2.8     0.78×1.99（ ）1.99×1.99 【答案】＞ ＜ ＜ 【分析】（1）一个数乘大于1的数，结果会比原来的数大。 （2）一个数乘小于1的数，结果会比原来的数小。 （3）两个乘法算式中有一个因数相同时，另一个因数大的积就大。 【解答】1.2＞1，4.5×1.2＞4.5 0.9＜1，2.8×0.9＜2.8 0.78＜1.99，0.78×1.99＜1.99×1.99 【易错巩固4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.34（ ）7.43                6.01（ ）6.1 9.2×3.5（ ）36×0.92        5.8×0.99（ ）1.01×5.8 【答案】 【分析】小数比较大小时，先比较整数部分，整数部分相同再比较十分位，十分位相同再比较百分位，以此类推。 对于乘法算式的大小比较，可以先计算出结果再比较，也可以利用积的变化规律或因数之间的关系进行比较。 两个算式有一个相同的因数，只需比较另一个因数的大小即可。 【解答】； ； ，，所以； ，所以。 易错题型07 运用小数乘法解决问题 1、同时满足「数量关系梳理合规、运算逻辑匹配实际场景规律」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法实际问题的合规结果，脱离场景中的数量对应关系、随意拼接数值得到的不符合现实逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、计算购物、计费类问题的总价时，要严格依托“总价=单价×数量”的公式运算，不能直接把单价的小数部分和数量直接错位相加，混淆乘法求总价和加法求和的计算逻辑。 3、计算面积、产量类问题的总量时，要严格依托“总量=单位面积产量×面积”“路程=速度×时间”等对应场景公式运算，不能错误将公式中的平方类关系错算为线性相加（如把面积计算里的边长乘边长错算为边长乘2），得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验解题结果的合理性时，将算出的结果反向代入原题数量关系推导已知条件，推导出的数值必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位，总价类标注货币单位、长度类标注长度单位、面积类标注面积单位、产量类标注重量单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 【题型精讲7】每少用1千克洗衣粉，大约可节省0.28千克标准煤，相应减排0.72千克二氧化碳。陈红家12月份少用2.5千克洗衣粉，相应减排多少千克二氧化碳？ 【答案】1.8千克 【分析】由题意可知，陈红家12月份减排二氧化碳的质量＝少用1千克洗衣粉减排二氧化碳的质量×陈红家12月份少用洗衣粉的质量，即0.72×2.5，据此解答。 【解答】0.72×2.5＝1.8（千克） 答：相应减排1.8千克二氧化碳。 【易错巩固1】学校舞蹈教室长9米，宽6米，高3米，门窗总面积是12.5平方米，现在要粉刷它的天花板和四壁。如果每平方米需用涂料0.6千克，那么粉刷这样一间舞蹈教室要多少千克涂料？ 【答案】78.9千克 【分析】教室可以看作是一个无盖的长方体，那么需要粉刷的面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高－门窗面积，已知教室长9米，宽6米，高3米，门窗总面积是12.5平方米，把数据代入计算即可得出需要粉刷的面积，每平方米需用涂料0.6千克，然后用0.6乘需要粉刷的面积即可解答。 【解答】9×6＋2×9×3＋2×6×3－12.5 ＝54＋54＋36－12.5 ＝108＋36－12.5 ＝144－12.5 ＝131.5（平方米） 0.6×131.5＝78.9（千克） 答：粉刷这样一间舞蹈教室要78.9千克涂料。 【易错巩固2】阅读一本好书，就像是受良师教诲。为了满足同学们读书的需求，学校图书室购买了许多新书，其中科技书和故事书各165本，每本科技书45.6元，每本故事书54.4元。购买科技书和故事书一共花了多少元？ 【答案】16500元 【分析】求购买科技书和故事书一共花的钱数，用科技书的数量乘单价＋故事书的数量乘单价。 【解答】165×45.6＋165×54.4 ＝165×（45.6＋54.4） ＝165×100 ＝16500（元） 答：购买科技书和故事书一共花了16500元。 【易错巩固3】小丽要买4本抄写本，1盒彩笔和2个铅笔盒，50元钱够吗？ 【答案】够 【分析】根据“单价×数量＝总价”分别计算出4本抄写本和2个铅笔盒的总价，再将4本抄写本的总价、1盒彩笔的价格和2个铅笔盒的总价求和，最后将求和结果与50进行比较即可判断。 【解答】4×2.8＋16.3＋10.1×2 ＝11.2＋16.3＋20.2 ＝27.5＋20.2 ＝47.7（元） 因为47.7＜50，所以钱够。 答：50元钱够。 【易错巩固4】五（1）班有46名师生拍合影。每人一张照片，一共需要付多少元？ 合影价格表： 定价：28.5元（含8张照片） 加洗一张2.5元 【答案】123.5元 【分析】五（1）班有46名师生，合影定价含8 张照片，所以需要加洗的照片数量为：46－8＝38（张）。加洗一张2.5元，根据总价＝单价×数量，求出加洗38张的费用，再加上定价28.5元，即可求出一共需要付多少元。 【解答】46－8＝38（张）     38×2.5＝95（元）     28.5＋95＝123.5（元） 答：每人一张照片，一共需要付123.5元。 易错题型08 小数的估算及应用 1、同时满足「估算策略适配场景、估算逻辑匹配凑整运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的小数估算应用的合规结果，脱离实际场景需求、随意凑整拼接数值得到的不符合估算逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、开展小数乘法估算时，要严格依托“先把小数看成接近的整数、整十/整百数再计算”的基本方法运算，不能直接把小数的整数部分直接相乘、完全忽略小数部分的数值影响，混淆精确计算和估算的凑整逻辑。 3、选择估算凑整方向时，要严格匹配场景判断需求：判断“钱够不够”类问题时，购物估钱数要根据判断方向选择往大估或往小估，不能统一把所有数都往小估，得到完全偏离实际情况的判断结果。 4、反向核验估算结果的合理性时，将估算值和精确计算的结果做对比，估算值必须和精确值处于同一量级、偏差在合理范围内，不能出现估算结果和精确值差出10倍、100倍的逻辑矛盾。 5、统计估算纳入计算的数值时，要仅统计和问题相关的有效数值参与凑整，不能把题目里的干扰数值、不参与运算的冗余条件也纳入估算计算，得到估算结果虚高或虚低的错误结论。 6、标注估算的最终结果时，若涉及实际场景必须明确标注对应的单位，费用类标注货币单位、长度重量类匹配对应度量单位，同时要说明估算的凑整方向，避免出现单位错配、估算方向不明的问题，导致判断结果的指代完全失真。 7、计算多物品采购、多段路程类的估算问题时，要先统一凑整的尺度再合并计算，不能有的数往大估、有的数往小估导致偏差互相抵消，得到和实际情况完全相反的错误判断。 8、同一道估算题的推导过程中，凑整的精度标准、估算的方向选择、数值的单位必须完全统一，不能中途随意更改凑整尺度、跳换单位换算标准，打乱估算逻辑的严谨性。 【题型精讲8】小明带100元钱去新华书店买书，他买了两本毛笔字帖，每本20.6元，又花了39.8元买了一本词典；之后，小明还想买一本剪纸书。有两本剪纸书可供选择：简装的13.7元，精装的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 【答案】够买13.7元的简装剪纸书 【分析】先将毛笔字帖和词典的单价取近似整数值，估算出总花费的范围，再用100元减去估算的总花费得到剩余钱数的范围，并与两本剪纸书的价格进行比较，判断可购买哪一本。 【解答】， 往大估算总花费，最少剩余钱数： （元） 往小估算总花费，最多剩余钱数： （元） 实际剩余钱数在元到元之间。 答：这时他的钱够买元的简装剪纸书。 【易错巩固1】李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元；又买了3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程） 【答案】够； 把48.5看作50，把12.8看作13。 牛肉：50×2＝100（元） 鱼：13×3＝39（元） 总共约：100＋39＝139 （元） 139＜150 即使把价格都往大估，总价也没超过150元，所以一定够。 【分析】分别对购买牛肉和鱼的花费进行估算，估算时，可将牛肉和鱼的单价看成与之接近的整数，再根据“总价＝单价×数量”计算出估算后各自的花费，再将估算后的花费相加，最后与李阿姨带的钱数比较，判断钱是否够。 【解答】略 【易错巩固2】张老师要买48本《数学真好玩》，每本9.80元，她带了500元，够吗？要解决这个问题，选择哪种方法更为合适？请说明理由。 【答案】够；用估算判断更合适；因为这种方法计算简便，能快速判断。 【分析】采用估算方法，将单价往大估（把元看作元），计算出估算总价，若估算总价仍小于预算，则实际总价一定小于预算，从而得出“够”的结论。 【解答】将元估算为元。 （元） 因为，所以实际总价小于元。 又因为，所以实际总价小于元。 答：够；用估算判断更合适；因为这种方法计算简便，能快速判断，因此对于此类判断性问题，估算方法更为合适。 【易错巩固3】王晓峰带100元到超市购物，买了4支圆珠笔，单价是4.9元/支，他还想买2支单价是38.5元/支的钢笔，够吗？请写出估算过程。 【答案】够；4.9元≈5元，38.5元≈40元；5×4＋40×2＝100（元）；实际购买价格＜100元 【分析】圆珠笔的每支的单价4.9元，可以估算为5元/支，用估算的单价5元乘购买支数4支即可求出购买圆珠笔的总价；钢笔每支的单价38.5元，可以估算为40元/支，用估算的单价40元乘购买支数2支即可求出购买钢笔的总价，估算的价格都大于实际价格，二者求和后与100元比较即可。 【解答】4.9元≈5元，38.5元≈40元 5×4＋40×2 ＝20＋80 ＝100（元） 实际购买价格＜100元 答：100元够用。 【易错巩固4】王阿姨购买一些相框摆放照片。她带了150元，买7个这样的相框，够吗？请写出估算过程。 【答案】够 见详解 【分析】已知每个相框19.8元，为保证结果的可靠性，通常把商品单价往大了估算，可将19.8元近似看作20元，因为19.8＜20，这样估算出的总价会比实际花费多，根据“总价＝单价×数量”，估算后每个相框20元，买7个相框，求出总价。比较估算总价和王阿姨所带的钱数，如果估算的总价小于等于所带的钱数，则够买，否则，不够买。 【解答】19.8≈20 计算估算后的总价：20×7＝140（元） 140＜150 估算时是把单价往大了估，所以实际花费一定小于140元，也就必然小于150元，够买。 答：王阿姨带的150元够买7个这样的相框。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数乘法易错专项讲义  易错题型01 小数乘法口算 易错题型02 小数乘法竖式计算 易错题型03 整数乘法运算律推广到小数乘法 易错题型04 积的变化规律（小数乘法） 易错题型05 积的小数位数与乘数小数位数的关系 易错题型06 因数和积的大小关系（小数乘法） 易错题型07 运用小数乘法解决问题 易错题型08 小数的估算及应用 易错题型01 小数乘法口算 1、同时满足「数位对齐逻辑合规、运算过程匹配小数乘法算理」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法口算的合规结果，脱离小数的计数单位本质、随意拼接整数乘积与小数点位置得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、口算小数乘整数时，要严格依托“先按整数乘法算积、再看因数小数位数点小数点”的规则运算，不能直接把小数的数位和整数的数位错位对齐相加，混淆小数乘法和小数加减法的对位逻辑。 3、口算小数乘小数时，要严格依托积的小数位数规则运算：积的小数位数等于两个因数的小数位数之和，不能错误把积的小数位数等同于两个因数的小数位数之差，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验口算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、口算含末尾有0的小数乘法时，要仅统计有效数位参与运算后再补0、点小数点，不能把末尾的0提前计入小数位数统计，得到积的小数点位置偏移的错误结果。 6、标注小数乘法口算的最终结果时，若涉及实际场景必须明确标注对应的单位，单价类问题标注货币单位、长度面积类问题匹配对应度量单位，同时要划掉积末尾多余的0保证结果最简，避免出现单位错配、结果冗余的问题，导致运算结果的指代完全失真。 【题型精讲1】直接写出得数。 4.2＋1.5＝     2－0.78＝       0.3×20＝        1.5＋0.85＝      0.15×50＝ 2.13×0＝        0.3×40＝        2.6＋8.7＝       2.3×0.3＝        7.2－2.7＝ 【易错巩固1】直接写出得数。 0.02×50＝    1.6×4＝    0.6×0.5＝    1.1×3＝ 2.5×0.8＝    0×0.22＝    0.08×600＝    24×0.5＝ 【易错巩固2】直接写出得数。 1.3×2＝    7.6－4＝    5.8×10＝    15.8－2.6＝ 0.8＋0.24＝    2.6×5＝    0.4×2.1＝    9.3＋7＝ 【易错巩固3】直接写得数。 2.5＋1.5＝        124÷100＝        12.6＋2.6＝        1.1×0.8＝ 0.4×0.9＝        50×0.2＝          3.56－2.5＝        20×1.5＝ 【易错巩固4】直接写出得数。 0.3＋0.7＝        3.5－2＝        0.4×0.5＝        0.053×100＝ 1.2×3＝        4.08＋6.2＝        0.7×0＝        1－0.01＝ 易错题型02 小数乘法竖式计算 1、同时满足「数位对位逻辑合规、竖式运算过程匹配小数乘法算理」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法竖式计算的合规结果，脱离小数的计数单位本质、随意拼接整数乘积与小数点位置得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、列竖式计算小数乘法时，要严格按照“两个因数的末位对齐”规则对位，不能错误对齐两个因数的小数点位置，混淆小数乘法和小数加减法的竖式对位逻辑。 3、确定积的小数点位置时，要严格依托“积的小数位数等于两个因数小数位数之和”的规则运算，不能错误将小数点和因数的小数点纵向对齐。 4、反向核验竖式计算结果的合理性时，将算出的乘积除以其中一个因数，得到的结果必须和题目给定的另一个因数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算因数末尾带0的小数乘法竖式时，要先通过简便对位把0暂时放在竖式末尾，计算完非0部分后再补全对应个数的0、点小数点，不能直接把所有数位对齐硬算导致重复计算0位，得到数位错位的错误乘积。 6、计算乘得的积小数位数不足时，要严格在积的前面用0补足数位后再点小数点，不能直接省略补0步骤把小数点位置提前，得到结果量级偏差10倍、100倍的错误答案。 【题型精讲2】列竖式计算。 ①10－3.18＝        ②2.8×3.4＝        ③1.06×6.5＝ 【易错巩固1】用竖式计算。 1.9×0.25＝    5.09×2.6＝    4.6×60＝    3.8×0.35＝ 【易错巩固2】用竖式计算。 2.09×1.6＝         3.4×400＝         0.36×2.5＝ 【易错巩固3】用竖式计算。 0.46×0.3＝          2.6×0.49＝          2.05×9.3＝ 【易错巩固4】用竖式计算。 2.7×4.5＝    0.48×2.25＝    48.5×0.05＝ 4.5×2.1＝    0.33×1.7＝    2.28×0.9＝ 易错题型03 整数乘法运算律推广到小数乘法 1、同时满足「运算顺序合规、简便运算逻辑匹配乘法运算律定义」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法脱式计算的合规结果，脱离运算律适用条件、随意凑整拼接数值得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、开展小数乘法脱式运算时，要严格遵循四则运算优先级规则：无括号时同级运算从左到右依次计算、有括号时优先计算括号内的部分，不能为了强行凑整随意颠倒运算顺序，混淆合规简便运算和乱序错算的逻辑。 3、应用乘法分配律展开计算时，要严格依托a×(b+c)=a×b+a×c的公式运算，不能错误将括号外的因数只与括号内的某一个加数相乘、漏乘其余项，得到完全偏离正确值的计算结果。 4、反向核验脱式计算结果的合理性时，将算出的结果按照原式的原始运算顺序、不使用简便方法重新计算一遍，得到的数值必须和简算结果完全匹配，不能出现两种算法结果不一致的逻辑矛盾。 5、进行脱式递推计算时，要仅统计每一步运算后得到的等价有效结果，不能把上一步已经完成运算的数值重复带入下一步叠加计算，得到结果虚高的错误答案。 6、应用乘法交换律、结合律计算连乘算式时，要优先组合乘积为整数的因数配对简化运算，不能直接将所有因数的整数部分、小数部分拆分后错误相加，得到拆分逻辑错误、重复计算的结果。 7、同一道小数乘法脱式计算过程中，运算律的适用规则、小数点的对位逻辑、每一步的等号等价关系必须完全统一，不能中途随意更改运算顺序、错移小数点位置，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲3】计算下面各题，能简算的要简算。 12.5＋7.5×1.02           （15.6－2.8）×3.2    25×1.3×0.4 【易错巩固1】脱式计算，能简算的要简算。 15.08－5.47－4.53           10－6.75×0.6           0.38×99＋0.38 【易错巩固2】脱式计算。（能简算的可以简算）          【易错巩固3】脱式计算下面各题，能简算的要简算。                   【易错巩固4】脱式计算，能简算的用简便方法计算。          易错题型04 积的变化规律（小数乘法） 1、同时满足「因数变化逻辑合规、积的推导匹配变化规律」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法积的变化规律应用的合规结果，脱离因数与积的联动关系、随意拼接小数点位置得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、分析因数变化对积的影响时，要严格依托“一个因数不变，另一个因数乘/除以不为0的数，积也同步乘/除以同一个数”的规律运算，不能直接把因数的变化量等同于积的变化量，混淆因数缩放和积的联动逻辑。 3、计算两个因数同时变化时的积时，要严格依托“积的总缩放倍数等于两个因数缩放倍数的乘积”规则运算，不能错误把两个因数的缩放倍数相加作为积的缩放倍数，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验规律应用的合理性时，将算出的积反向除以两个因数的缩放倍数，得到的结果必须和原始整数乘法的基准积完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、统计因数缩放带来的积的变化量时，要仅统计因数有效数位变化带来的小数点移动影响，不能把因数末尾划去的无效0、小数部分末尾的冗余0计入缩放倍数，得到积的缩放倍数虚高、小数点位置错误的结果。 6、应用积的变化规律计算多个因数连乘的结果时，要先统计所有因数的总缩放倍数再调整基准积的小数点位置，不能直接将每个因数的整数部分乘积直接相加，得到重复计算、缩放逻辑错误的结果。 【题型精讲4】两个数的积为0.63，如果两个数同时扩大到原来的10倍，积是（    ）。 A．0.0063 B．0.063 C．6.3 D．63 【易错巩固1】已知23×5＝115，那么下面计算正确的是（    ）。 A．23×0.5＝1.15 B．0.23×5＝11.5 C．230×5＝115 D．2.3×50＝115 【易错巩固2】不计算，根据36×45＝1620，在括号里填上适当的数。 3.6×4.5＝（ ）                    0.36×（ ）＝0.162 【易错巩固3】根据34×15＝510，在括号里填一填。 0.34×15＝（ ）        （ ）×1.5＝5.1 【易错巩固4】根据28×15＝420，直接写出得数：2.8×1.5＝（ ），0.28×15＝（ ），28×（ ）＝0.42。 易错题型05 积的小数位数与乘数小数位数的关系 1、同时满足「小数数位计数合规、积的小数位数推导匹配数位运算逻辑」得到的结论，才是本单元认可的小数位数关系应用的合规结果，脱离小数的计数单位本质、随意点放小数点得到的不符合运算逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、判断积的小数位数时，要严格依托“积的小数位数等于两个乘数小数位数之和”的核心规则推导，不能直接把积的小数点和乘数的小数点纵向对齐，混淆小数乘法和小数加减法的小数点定位逻辑。 3、计算乘数末尾有0的小数乘法的小数位数时，要先统计两个乘数的总小数位数、点上小数点后，再划去积末尾的冗余0，不能先划去0再数小数位数，得到小数位数统计偏少、小数点位置错误的结果。 4、反向核验小数位数判断的合理性时，将算出的积的小数位数反向拆分，拆分得到的两个乘数的小数位数之和必须和总位数完全匹配，不能出现反向推导后小数位数之和与积的位数不一致的逻辑矛盾。 5、统计积的有效小数位数时，要仅统计小数点后有实际意义的数位，不能把整数部分的数位、末尾划去的冗余0计入小数位数统计，得到小数位数计数虚高的错误结果。 6、计算三个及以上小数相乘的积的小数位数时，要先累加所有乘数的小数位数得到总位数，再处理末尾的0，不能直接将部分乘数的小数位数抵消后漏算，得到小数位数统计错误的结果。 7、同一道小数乘法的计算过程中，小数位数的计数标准、末尾0的处理规则、小数点的定位逻辑必须完全统一，不能中途随意更改计数起点、颠倒小数点左右移动方向，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲5】算式的积是（    ）位小数。 A．一 B．两 C．三 D．四 【易错巩固1】5.07×0.06的积是（    ）位小数。 A．2 B．3 C．4 D．5 【易错巩固2】4.13×0.67的积是（ ）位小数，4.05×2.2的积是（ ）位小数。 【易错巩固3】2.046×13的积是（ ）位小数；0.25×3.29的积是（ ）位小数。 【易错巩固4】0.86×1.8的积有（ ）位小数，0.86×1.5最终的积有（ ）位小数。 易错题型06 因数和积的大小关系（小数乘法） 1、同时满足「因数取值范围判断合规、大小关系推导匹配小数乘法运算本质」得到的结论，才是本单元认可的因数与积大小关系应用的合规结果，脱离因数的数值范围属性、随意判定积与因数大小的不符合数理逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、判断正数乘法中积与因数的大小关系时，要严格依托核心规律推导：一个正数乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的正数，积比原数小，不能直接默认小数乘法的积一定比因数小，混淆整数乘法和小数乘法的大小判断逻辑。 3、分析因数为1的特殊场景时，要严格依托“任何数乘1都等于它本身”的规则判断，不能错误认为乘1会让原数变大或变小，得到完全偏离正确结论的大小关系结果。 4、反向核验大小关系判断的合理性时，将判定的大小关系反向代入具体数值举例验证，举例计算得到的积和因数的大小关系必须和判定结论完全匹配，不能出现举例验证后关系颠倒的逻辑矛盾。 5、判断多个因数相乘的积与因数的大小关系时，要仅统计所有大于1、小于1的因数的总缩放效果，不能把等于1的因数、乘法过程中互相抵消的缩放比例重复计入，得到大小关系判断完全错误的结果。 6、判断因数含0的特殊场景的大小关系时，要先明确“任何数乘0都得0”的规则，不能直接套用大于1、小于1的缩放规律判断，得到忽略0因数影响的错误大小结论。 【题型精讲6】下列算式的结果小于0.65的是（    ）。 A．0.65×1.01 B．1×0.65 C．0.88×0.65 D．0.65×2.4 【易错巩固1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 10.81（ ）10.8   0.5（ ）0.75×0.5   5.2×0.6（ ）0.52×6 【易错巩固2】在（    ）里填上“”“”或“”。 （ ）9.86    （ ）8.5    （ ） 【易错巩固3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.5×1.2（ ）4.5     2.8×0.9（ ）2.8     0.78×1.99（ ）1.99×1.99 【易错巩固4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.34（ ）7.43                6.01（ ）6.1 9.2×3.5（ ）36×0.92        5.8×0.99（ ）1.01×5.8 易错题型07 运用小数乘法解决问题 1、同时满足「数量关系梳理合规、运算逻辑匹配实际场景规律」推导得到的结果，才是本单元认可的小数乘法实际问题的合规结果，脱离场景中的数量对应关系、随意拼接数值得到的不符合现实逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、计算购物、计费类问题的总价时，要严格依托“总价=单价×数量”的公式运算，不能直接把单价的小数部分和数量直接错位相加，混淆乘法求总价和加法求和的计算逻辑。 3、计算面积、产量类问题的总量时，要严格依托“总量=单位面积产量×面积”“路程=速度×时间”等对应场景公式运算，不能错误将公式中的平方类关系错算为线性相加（如把面积计算里的边长乘边长错算为边长乘2），得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验解题结果的合理性时，将算出的结果反向代入原题数量关系推导已知条件，推导出的数值必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位，总价类标注货币单位、长度类标注长度单位、面积类标注面积单位、产量类标注重量单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 【题型精讲7】每少用1千克洗衣粉，大约可节省0.28千克标准煤，相应减排0.72千克二氧化碳。陈红家12月份少用2.5千克洗衣粉，相应减排多少千克二氧化碳？ 【易错巩固1】学校舞蹈教室长9米，宽6米，高3米，门窗总面积是12.5平方米，现在要粉刷它的天花板和四壁。如果每平方米需用涂料0.6千克，那么粉刷这样一间舞蹈教室要多少千克涂料？ 【易错巩固2】阅读一本好书，就像是受良师教诲。为了满足同学们读书的需求，学校图书室购买了许多新书，其中科技书和故事书各165本，每本科技书45.6元，每本故事书54.4元。购买科技书和故事书一共花了多少元？ 【易错巩固3】小丽要买4本抄写本，1盒彩笔和2个铅笔盒，50元钱够吗？ 【易错巩固4】五（1）班有46名师生拍合影。每人一张照片，一共需要付多少元？ 合影价格表： 定价：28.5元（含8张照片） 加洗一张2.5元 易错题型08 小数的估算及应用 1、同时满足「估算策略适配场景、估算逻辑匹配凑整运算规则」推导得到的结果，才是本单元认可的小数估算应用的合规结果，脱离实际场景需求、随意凑整拼接数值得到的不符合估算逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、开展小数乘法估算时，要严格依托“先把小数看成接近的整数、整十/整百数再计算”的基本方法运算，不能直接把小数的整数部分直接相乘、完全忽略小数部分的数值影响，混淆精确计算和估算的凑整逻辑。 3、选择估算凑整方向时，要严格匹配场景判断需求：判断“钱够不够”类问题时，购物估钱数要根据判断方向选择往大估或往小估，不能统一把所有数都往小估，得到完全偏离实际情况的判断结果。 4、反向核验估算结果的合理性时，将估算值和精确计算的结果做对比，估算值必须和精确值处于同一量级、偏差在合理范围内，不能出现估算结果和精确值差出10倍、100倍的逻辑矛盾。 5、统计估算纳入计算的数值时，要仅统计和问题相关的有效数值参与凑整，不能把题目里的干扰数值、不参与运算的冗余条件也纳入估算计算，得到估算结果虚高或虚低的错误结论。 6、标注估算的最终结果时，若涉及实际场景必须明确标注对应的单位，费用类标注货币单位、长度重量类匹配对应度量单位，同时要说明估算的凑整方向，避免出现单位错配、估算方向不明的问题，导致判断结果的指代完全失真。 7、计算多物品采购、多段路程类的估算问题时，要先统一凑整的尺度再合并计算，不能有的数往大估、有的数往小估导致偏差互相抵消，得到和实际情况完全相反的错误判断。 8、同一道估算题的推导过程中，凑整的精度标准、估算的方向选择、数值的单位必须完全统一，不能中途随意更改凑整尺度、跳换单位换算标准，打乱估算逻辑的严谨性。 【题型精讲8】小明带100元钱去新华书店买书，他买了两本毛笔字帖，每本20.6元，又花了39.8元买了一本词典；之后，小明还想买一本剪纸书。有两本剪纸书可供选择：简装的13.7元，精装的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 【易错巩固1】李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元；又买了3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程） 【易错巩固2】张老师要买48本《数学真好玩》，每本9.80元，她带了500元，够吗？要解决这个问题，选择哪种方法更为合适？请说明理由。 【易错巩固3】王晓峰带100元到超市购物，买了4支圆珠笔，单价是4.9元/支，他还想买2支单价是38.5元/支的钢笔，够吗？请写出估算过程。 【易错巩固4】王阿姨购买一些相框摆放照片。她带了150元，买7个这样的相框，够吗？请写出估算过程。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $