12.1.2 定义、定理与证明-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（华东师大版·新教材）

.x-y=2. (2)当a=-5,b=-2时，(2x十a)· ∴.(x-y)2=4, (3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x2 x2+y2-2xy=4, 19x+10. 52-2xy=4, 1 2xy=48, 15.解：1)B=2x(x2+2x）=2x+x, xy=24. B+A=2x3+x2+2x. :(x+y)2=x2+y2+2xy=52+ 48=100, (2)A 2B .x十y=10或x十y=一10（不合题意， 舍去). 2x)72x+2z 连结CF(图略)，可知阴影部分的面积 =4x2-x3-1 ·y·2 222 7 =x十y =2x2-x =10. 16.解：(1)根据题意可构造图形如下， 滚动练习二(11.2~11.4) 1.D2.B3.B4.B5.B6.D S. 7.2ab8.-19.±210.29 SA 11.解：(1)(x-1)(x+2)-3(x-1) =x2+2x-x-2-3.x+3 S S3 =x2-2x+1. 2(号6+26-a6) 1 a平6c :大正方形的面积可以看作是边长为 (a十b十c)的正方形面积，还可以看作 是三个正方形的面积与六个长方形的 =(号6+6-g6） 面积的和，即S1,S2,S:,S:,S, S6,S,,Sg,Sa的和， .(a+b+c)2=S1+Sg+S3+S,+ S;+S6+S,+Sg+S。=a+b2+c2+ 2 ab÷ 1 1 1 9a62 2ab+2ac+2bc. (2)设正方形ACDE的边长为a,正方 1 1 9a6÷ga6 形BCFG的边长为b, 由于AB=5,两正方形的面积和S1十 =6a6+号b-6 S2=13, .a+b=5,a2+b2=13. (3)(2x+y)2+(x-y)(x+y) .(a+b)2=a2+2ab+b2 5.x(x-y) 即25=13+2ab, =4x2+4.xy+y2+x2-y2-5x2+5xy E --M =9xy: S 12.解：(1)原式=(90+1)×(90-1) B C =902-12 =8100-1 =8099. N--E G (2)原式=852-2×65×85+65 ∴.ab=6. =(85-65)2 =202 阴影部分的面积为？ab=3,即 =400. △BCD的面积为3. 13.解：原式=4(x-y)2-(4x2-3xy) (3)由(1)知，(x+y十g)2=x+y2十 =4x2-8.xy+4y2-4x2+3xy x2+2xy+2xg十2yx, =4y2-5.xy, x+y+x=8,x2+y2+x2=26, 当=-2y=-时 ..2xy +2xz+2ys=(x+y+)2- (x2+y2+x2)=82-26=38. 原式=4x(-号)）-5x(-2x(-） ∴.xy十yg十xg=19. 令a=xy,b=yz,c=xx, =4X-5X2X立 .(zy+yz+zz)2=x2y+y+ 4 x's+2xyz'+2x'yz+2xy'z. =1-5 zyz=12, =-4 .z'y2+y22+x=(zy+y+ 14.解：(1)由题意，得(2x一a)(3x十b) xx)2-24(x+y+x)=192-24× =6x2+(2b-3a)x-ab 8=169. =6x2+11x-10, 11.5因式分解 (2x+a)(x+b) =2x2+(a+2b)x+ab 第1课时提公因式法 =2x2-9.x+10, 基础达标 所以2的20-一每得82 1.B 2.解：①a2-1=(a+1)(a-1)是因式分 活20川川2对肉·HS版·八年级数学·上 解，理由：符合因式分解的定义： 5.解：(1)x3-9z ②+1=(：+)不是因式分解，理 =x(x2-9) =x(x十3)(x-3). (2)(.x2+y2)2-4x2y 由：立不是整式： =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) ③3mn2-6mn=3mn(n-2m)是因式 =(x+y)(x-y). 分解，理由：符合因式分解的定义； (3)(2x+y)2-(x+2y) ④ab一ac十a=a(b一c)不是因式分解 =(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y) 理由：左右两边不相等； =(3.x+3y)(x-y) ⑤2a3=2a·a·a不是因式分解，理 =3(x+y)(x-y) 由：2a3是单项式： 6.D7.(a-1)8.±12 ⑥x+2.xy-1=x(x+2y)-1不是因9.解：(1)a+6ab+9b2=(a+3b)2. 式分解，理由：右边不是积的形式 (2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9 3.C4.D5.x(x-3)6.2a =(x2-2x-3)2 7.解：(1)原式=3x·3x-3x·2y+3.x· =[(x+1)(x-3)] 1=3x(3x-2y+1). =(x十1)2(x-3)2. (2)原式=(a-b)2(a-b-1). 能力提升 (3)原式=3m(x一y)十n(x一y)=(x一 1.B2.D3.C4.D5.C y)(3m+n). 6.207.(x+3) (4)原式=-a"·3a2-a”·(-2a)- 8.解：(1)-2a3+12a2-16a=-2a(a2 a"·5=-a"(3a2-2a+5). 6a+8)=-2a(a-2)(a-4). 能力提升 (2)(x2+1)2-4x2 1.A2.B3.B4.A =(.x2+1+2x)(x2+1-2x) 5.(x+7)(4a-3)6.-3 =(x+1)2(x-1)2. 7.解：(1)2(a-b)2+4(b-a) (3)x+2xy+y2-2x-2y+1= =2(a-b)2-4(a-b) (x+y)2-2(x+y)+1=(x+y-1) =2(a-b)(a-b-2). 9.解：(1)20252-1975 (2)(2x+1)(3x-2)-(2x+1) =(2025+1975)×(2025-1975) =(2x+1)(3.x-2-2x-1) =4000×50 =(2x+1)(x-3). =200000. 8.解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01》 (2)42.52+85×57.5+57.52 =1.99×2 =42.5+2×42.5×57.5+57.5 =3.98. =(42.5+57.5) =1002 (2)原式=2025×(2025+1)-2026 =2025×2026-2026 =10000. =2026×(2025-2026) 10.解：(1)公式 =2026×(-1) (2)不彻底(x一2) =-2026. (3)设m2-2m=y, 9.解：(19x-31)(13x-17)-(17 原式=y(y+2)+1 13.x)·(11x-23) =y2+2y+1 =(19x-31)(13x-17)+(13.x-17)· =(y+1)2 =(m2-2m+1)2 (11.x-23) =(13x-17)(30x-54), =(m-1)' 11.解：(1)15=82-72 ∴.a=13,b=-17,c=-54. 15的另一个平方差分解是82-7. ∴.a十b+c=-58. (答案不唯一) 10.解：(1)提公因式法 (2)(1+x)2027 (2),M=x2+6x, .M=x2+6.x 3)原式=1 ×4×(5+52+53+…+ =(x+3)2-9 4 52026) =(x+3)2-32 :x为正整数，x十3也是正整数 =1×(4×5+4×5+4×53+…+ ∴.M可平方差表示. 4X52026) (3)k=一16.理由如下： N=x2-y2+6.x-10y+k 1 ×(1+4+4X5+4X5+4X5+.+ =(x+3)2-(y+5)2+k+16, 若N可平方差表示，则k+16=0, 4s)-子 .k=-16. =1十4)2g 专题训练六因式分解的几种 5 常见方法 52027-5 1.D2.3y-3 4 3.解：(1)原式=x(x一2)+3(x-2) =(x-2)(x十3). 第2课时公式法 (2)原式=0.11×(17+37+46) 基础达标 =0.11×100 1.D2.D3.C4.(x+2)(x-2) =11. 4.解：(1)原式=(a+3a十a-1)(a+5.解：方法一：草坪的面积=(a十2b)2- 3a-a+1) (a+26)6-(a+26)6+62 =(a2+4a-1)(a2+2a+1) =a2+2ab+b2: =(a2+4a-1)(a+1) 方法二：草坪的面积=(a+2b一b)(a+ (2)原式=(x2-1-3) 2b-b)=(a+b). =(x2-4)2 可以得到等式a2+2ab+b=(a十b)2. =(.x+2)2(x-2)2 6.解：设OA=m=OD,OB=n=OC, 5.解：(1)a2+b2-1-2ab 则m+n=OD+OB=BD=8, =(a2+b2-2ab)-1 S△A0D+S△B0e=17, =(a-b)2-1 =(a-b+1)(a-b-1). 7m+=17, (2).a-b=3,b-c=-4, 即m2+n2=34. 两式相加得，a一c=-1, 又：(m十n)2=m2+n2+2m, …a2-ac-ab+bc ∴.64=34+2mn, =(a:-ab)-(ac-bc) 即mn=15. =a(a-b)-c(a-b) =(a-b)(a-c) ∴Sam=oAOB=m=克 =3×(-1) 第12章全等三角形 =-3. 6.解：(1)a+b-ab-1 12.1 命题、定义、定理与证明 =(a-ab)+(b-1) =a(1-b)-(1-b) 1.命题 =(1-b)(a-1). 基础达标 (2)abi-ab+bic-bc 1.D2.B3.D =(ab2-ab)+(b'c-bc) 4.如果两个角互补，那么这两个角不可能 =ab(b-1)+bc(b-1) 都是锐角 =b(b-1)(a+c). 5.C6.A7.C8.直9.C10.A 7.解：(1)ab-2a-2b+4 能力提升 =(ab-2a)-(2b-4) 1.C2.A3.B4.C =a(b-2)-2(b-2) 5.如果一个三角形是直角三角形，那么它 =(b-2)(a-2). 的两个锐角互余真 (2).m2+2mn+2n2-6n+9=0, 6.①7.①②③ .(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0. 8.如果AB∥CD,那么∠B+∠C=180 .(m+n)2+(n-3)2=0. (答案不唯一) ∴.m+n=0,n-3=0. 9.解：(1)两直线相交有几个交点？它不 ∴.m=一3，n=3. 是命题， 8.解：(1)原式=(m)+8 (2)同角或等角的补角相等.它是命题， =(m2)2+2×m2×8+82-2×m2×8 它为真命题 =(m2+8)2-16m9 (3)如果a十b=0,那么a=0,b=0. =(m2+8-4m)(m2+8+4m). 它是命题，但它为假命题，例如：α (2)原式=m2-10m+25-9 2,b=-2 =(m-5)2-9 10.解：如图，∠1与∠2的两边分别平 =(m-5)2-32 行，但它们不相等，而是∠1十∠2 =(m-5+3)(m-5-3) 180°，即互补. =(m-2)(m-8). 9.解：(1)设m十n=x, 2 则原式=x一18x十81 =(x-9)9 人1 =(m+n-9)2. 2.定义、定理与证明 (2)设x2-6x=y, 基础达标 则原式=(y十8)(y十10)十1 1.C2.D3.定义4.B5.B =y2+18y+81 6.④ =(y+9)2 7.证明：：∠1+∠2=180（已知）， =(x2-6x+9) ∴a仍（同旁内角互补，两直线平行）. =(x一3) .∠2+∠3=180°（平角的定义）， 10.解：因为45=5×9,1=1×1，且1× ∠2+∠4=180°（已知）， 5+1×9=14, ∴.∠3=∠4（等量代换）. 所以原式=(a2+6a+5)(a2+6a+9)= .bc(同位角相等，两直线平行) (a+1)(a+5)(a+3) ∴a∥c(如果两条直线都和第三条直线平 数学活动面积与代数恒等式 行，那么这两条直线也互相平行). 1.B 能力提升 2.(a+b)(p+q)=ap+ag+bp+bg(答案1.B2.C 不唯一) 3.90°垂直的定义90°等量代换 3.a2-ab-2b=(a+b)(a-2b) 已知等角的余角相等同位角相等， 4.(a+b)(a+3b) 两直线平行 4.解：(1)上述问题有两个真命题，分别是： ∴.∠DAC=∠BAC=32°，∠D= 能力提升 命题1：①②→③；命题2：②③→① ∠B=27 1.C2.C3.D4.40°5.45 (2)选择命题1：①②→③」 ∴.∠ACD=180°-32°-27°=121 6.1<AD<8 证明：，AB∥CD, 6.B7.不一定 7.(1)解：③ .由平行线的性质可知∠B+∠C=180° 能力提升 (2)证明：，BF=CE,.BC=EF」 ,∠B+∠1+∠2=180°， 1.A2.D3.B4.B5.3 (AB=DE. .∠C=∠1+∠2. 6.解：(1)△ABC≌△DEB, 在△ABC和△DEF中，{∠B=∠E, ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴.AB=DE=7,EB=BC=4. BC=EF, ∠1=∠2，∠3=∠4， .AE=AB-EB=7-4=3. ∴.△ABC≌△DEF(SAS). .∴.∠2+∠3=90° (2),△ABC≌△DEB, 8.(1)证明：AC∥DF, .AE⊥ED .∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60° ∴.∠ACE=∠BDF」 选择命题2：②③→①. ∴.∠DFA=∠A+∠AEF=∠A+ .∠ACE+∠ACB=180°，∠BDF+ 证明：，AE⊥ED,∴∠AED=90°， ∠D+∠DBE=130°. ∠FDE=180°， ∴.∠2+∠3=90 7.解：(1)△ABC≌△CDE,CE=25 ∴.∠ACB=∠FDE ∠1=∠2，∠3=∠4， .AC=CE=25. EC=BD,..EC-CD=BD-CD, ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180° .AB=7,BC=24, 即ED=BC 又：∠B=180°-∠1-∠2，∠C= .△ABC的周长=AB+BC+AC=7+ 在△ABC和△FED中， 180°-∠3-∠4， 24+25=56. (BC=ED. .∠B+∠C=180°-∠1-∠2+ (2)∠B=90°， ∠ACB=∠FDE, 180°-∠3-∠4=360°-（∠1+∠2+ .∴.∠ACB+∠BAC=90°. AC=FD. ∠3+∠4)=180° .△ABC≌△CDE, .△ABC≌△FED(SAS). .AB∥CD .∠ECD=∠CAB (2)解：AB∥EF且AB=EF.理由 答案不唯一，任选其一即可 ∴.∠ACB+∠ECD=90° 如下： 5.(1)证明：，∠DFE+∠2=180°， ∴.∠ACE=90° 由(1)可知，△ABC≌△FED, ∠3+∠2=180°，∴.∠DFE=∠3. .AC=CE=25, .AB=FE,∠B=∠E..AB∥EF .BD∥EF..∠1=∠ADE ,∠1=∠B,.∠ADE=∠B. .DE∥BC △ACE的面积=号×25×25-62四 ∴.AB∥EF且AB=EF. 3.角边角 (2)解：由(1)知，∠ADE=∠B,BDEF, 8.解：(1)：△ABD≌△EBC, 基础达标 .∴.∠2=∠ADC .BD=BC=3 cm,BE=BA=2 cm 1.A2.D ,DE平分∠ADC, ∴.DE=BD-BE=1cm 3.证明：，AD=BE, .∠ADC=2∠ADE=2∠B (2)AC与BD垂直. .AD-BD=BE-BD...AB=DE. ,∠3+∠ADC=180°，∠3=3∠B, 理由如下：：△ABD≌△EBC, ,BC∥EF,.∠ABC=∠E ∴.3∠B+2∠B=180°，解得∠B=36° .∠ABD=∠EBC 在△ABC和△DEF中 ∴.∠ADC=72°..∴.∠2=72°. 又，点A、B、C在同一条直线上， 1∠A=∠EDF, 6.证明：如图，∠1=∠A十∠B, .∠EBC=90°..AC与BD垂直 (AB=DE. ∠2=∠C+∠D,∠3=∠E+∠F, (3)直线AD与直线CE垂直. 理由如下：如图，延长CE交AD于点F, ∠ABC=∠E, ∴.∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+ .△ABC≌△DEF(ASA) ∠D+∠E+∠F. 4.D5.∠B=∠C 又：∠1=∠4+∠5，∠2=∠4+∠6， 6.证明：，ABCD, ∠3=∠5+∠6， .∠A=∠D,∠B=∠C .∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠4+ C 点E为BC的中点，∴BE=CE ∠6+∠5+∠6=2（∠4+∠5+∠6）= .△ABE≌△DCE(AAS). 2×180°=360° △ABD≌△EBC,.∠D=∠C. ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ .在Rt△ABD中，∠A+∠D=90°， 能力提升 1.D2.B3.C4.D ∠F=360° .∠A+∠C=90° ∴.∠AFC=90°， 5.∠ABC=∠DCB(答案不唯一) 即CE⊥AD 6.(1)证明：由题意，得AC=BC, ∴.直线AD与直线CE垂直， ∠ACB=90°，AD⊥DE,BE⊥DE, W564 .∠ADC=∠CEB=90° 2.边角边 .∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+ 基础达标 ∠DAC=90°. 1.D 2.D 3.AD=AB .∠BCE=∠DAC. 12.2三角形全等的判定 4.DAB DAC AB=AC已知 在△ADC和△CEB中， ∠DAB=∠DAC已证AD=AD I∠ADC=∠CEB, 1.全等三角形的判定条件 公共边SAS (∠DAC=∠ECB, 基础达标 5.证明：由条件可知∠BAC=∠DAE=90, AC=CB, 1.C ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD .△ADC≌△CEB(AAS). 2.解：△ABC≌△DEF ∴.∠BAD=∠CAE. (2)解：.△ADC≌△CEB,a=10cm, .对应边是：AB=DE,BC=EF 在△ABD和△ACE中 ∴.AD=4a=40cm=CE, AC=DF; (AB=AC, BE=3a=30 cm=DC. 对应角是：∠A=∠D,∠B=∠E, ∠BAD=∠CAE ∴.DE=DC+CE=70cm. ∠ACB=∠DFE. AD-AE, 7.1 解：(1)①③②（或②③①） 3.A4.B ∴.△ABD≌△ACE(SAS). (2)当条件是①③，结论是②时，证明 5.解：△ABC≌△ADC,∠BAC=6.B 如下： 32°，∠B=27°， 7.I根据“SAS”确定三角形全等 ,AF、EG分别是∠BAD、∠CED的 平分线， .1·t=6-1·t,解得t=3. .∴.∠BAC=180°-（∠BAD+∠EAC)=90°」 ∴.AB⊥AC .∠DAF= BQAC_4 2 ∠BAD,∠DEG= 点Q的运动速度为3=3=3cm/s: (2)解：AB⊥AC.证明： 2∠CED. 当AP=BQ,AC=BP时， 同理(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE. ,∠A=∠B=60°， ∴·∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC .AF∥EG,∴.∠DAF=∠DEG. .△ACP≌△BPQ(SAS) ,∠EAC+∠ECA=90°， .∠BAD=∠CED」 .AC=BP,即AC=AB-AP ∴.∠EAC+∠DAB=90°， 在△ABD和△ECD中， ∴.4=6-1·t,解得t=2. 即∠BAC=90°.∴.AB⊥AC ∠BAD=∠CED, BQ AP ∴.点Q的运动速度为 =1 cm/s. 专题训练七全等三角形的 ∠ADB=∠EDC, 22 基本模型 AB=EC, ∴.△ABD≌△ECD(AAS). 绵上所述，点Q的运动速度为专cm/s1.证明：BE一CF, .BD=CD; 或1cm/s时，能使得以A、C、P三点 ,BE一CE=CF-CE,即BC=EF 当条件是②③，结论是①时，证明如下： 为顶点构成的三角形与以B、P、Q三 在Rt△ABC和Rt△DEF中， BC=EF, 'AF、EG分别是∠BAD、∠CED的 点为顶点构成的三角形全等】 AB=DE, 平分线， 5.斜边直角边 ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 1 .∠DAF= 2 ∠BAD, ∠DEG= 基础达标 ∴.AC=DF 1.D2.B3.C4.59 2. 1 (1)证明：AB∥DE ∠CED. 5.证明：，AE⊥BD,CD⊥BD, .∠B=∠DEF .AF∥EG,∴.∠DAF=∠DEG .∠AEB=∠BDC=90° BE=CF...BE+EC=CF+EC. ∴.BC=EF ∴.∠BAD=∠CED, 在Rt△ABE和Rt△BCD中， 在△ABD和△ECD中， (AB=BC. 在△ABC和△DEF中， ∠BAD=∠CED. BE=CD, AB=DE. ∠ADB=∠EDC, '.Rt△ABE≌Rt△BCD(HL). ∠B=∠DEF, 能力提升 BC=EF. BD=CD. ∴.△ABD≌△ECD(AAS) 1.B2.B3.D4.B5.7 ∴.△ABC≌△DEF(SAS). ..AB=CE. 6.证明：，∠BAD=∠BCD=90°， .∠ACB=∠F..AC∥DF 在Rt△ABD和Rt△CBD中， (2)解：由(1)，得∠B=∠DEF, 4.边边边 (BD=BD, ∠ACB=∠F, 基础达标 AB=CB. ∴.∠DEF=∠B=65°，∠ACB= 1.C2.B3.C .Rt△ABD≌Rt△CBD(HL). ∠F=35° 4.证明：DA=EB,.DE=AB. ..AD=CD. 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+ (EF=BC. ,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, ∠EOC=180°， 在△DEF和△ABC中，{DF=AC, ∴.∠E=∠F=90° ∴.∠EOC=180°-∠DEF-∠ACB= DE=AB, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， 180°-65°-35°=80° .△DEF≌△ABC(SSS). (AD=CD. 3.证明：，点E、D分别是CA、CB的中点， 5.A6.C AE=CF, 能力提升 .Rt△ADE≌Rt△CDF(HL) .CE-CA.CD-CB. 1.C2.D3.80°4.20 7.解：根据直角三角形全等的判定方法 .CA=CB,.CE=CD」 5.(1)证明：，BE=CF, HL可知， (CA=CB, .BE+EC=CF+EC..BC=FE. ①当点P运动到AP=BC时， 在△ACD和△BCE中，{∠C=∠C, (AB=DF, :∠C=∠QAP=90°， CD=CE. 在△ABC和△DFE中，AC=DE ∴△ABC和△QPA均为直角三角形 .∴.△ACD≌△BCE(SAS). BC=FE, 在Rt△ABC和Rt△QPA中， .∠A=∠B. ∴.△ABC≌△DFE(SSS). (CB=AP, 4.证明：，AB=DC, (2)解：△ABC≌△DFE,∠F=40°， AB=QP, ..AB+BC=DC+BC. ∴.∠B=∠F=40° ∴.Rt△ABC≌Rt△QPA(HL), .AC=DB. .·∠A=75°，∠A+∠B+∠ACB=180°， 即AP=BC=10; 在△ACE和△DBF中， .∠ACB=180°-∠A-∠B=65°. .AC=20, |∠A=∠D, 6.证明：在△ABC和△DEB中， AP=AC,即P为AC的中点， AC=DB, (AC=DB, ∠ACE=∠DBF, AB=DE. ②Rt△QAP≌Rt△BCA,此时AP= .∴.△ACE≌△DBF(ASA). BC=EB, AC,点P,C重合，不合题意 ∴.CE=BF. '.△ABC≌△DEB(SSS) 综上所述，当点P运动到线段AC的中5.证明：在△ABE和△CBD中， ∴，∠ACB=∠DBE 点时，△ABC与△APQ全等. (AB=CB, .∠AFB=∠ACB+∠DBE, 8.(1)证明：，BD⊥DE,CE⊥DE, AE=CD ∴.∠AFB=2∠ACB. .∴.∠ADB=∠AEC=90°. BE=BD, 7.解：，∠A=∠B=60°， 在Rt△ABD和Rt△CAE中， .△ABE≌△CBD(SSS). ∴以A、C、P三点为顶点构成的三角 (AB=CA, .∠ABE=∠CBD 形与以B、P、Q三点为顶点构成的三 AD=CE. .∠ABE-∠CBE=∠CBD-∠CBE 角形全等，有两种情况： .Rt△ABD≌Rt△CAE(HL). 又·∠1=∠ABE -∠CBE,∠2= 当AP=BP,AC=BQ时， ∴.∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC ∠CBD-∠CBE. ∠A=∠B=60°， ,∠DAB十∠DBA=90°， .∠1=∠2. .△ACP≌△BQP(SAS) ∠EAC+∠ACE=90°， 6.证明：(1)∠BAC=∠DAE, .AP=BP. .∠BAD+∠EAC=90°」 ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 参考答案川活212.定义、 基础达标人 答案见活20 知识点1定义、定理 1.能用推理的方法证明的真命题是 A.定义 B.基本事实 C.定理 D.以上都对 2.下列说法中，错误的是 ( A.所有的定义都是命题 B.所有的基本事实都是命题 C.所有的定理都是命题 D.所有的命题都是定理 3.“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形” 是 ·(填“定义”或“定理”) 知识点2证明及证明的步骤 4.在证明过程中可以作为推理根据的是() A.命题、定义、基本事实 B.定理、定义、基本事实 C.命题 D.真命题 5.如图，给出下列条件，其中不能判定a仍的 是 A.∠1=∠4 B.∠2=∠3 C.∠1+∠5=180 D.∠2+∠4=180° 6.推理是数学的基本思维方式，若推理过程不 严谨，则推理结果可能产生错误 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都 等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x,令x=m. 等式两边都乘以x,得x2=mx.① 等式两边都减去m2,得x2一m2=mx一m2.② 等式两边分别分解因式，得(x+m)（x一 m）=m(x-m).③ 等式两边都除以x一m,得x十m=.④ 等式两边都减去m,得x=0.⑤ 第12章全等三角形11147 定理与证明 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对 应的序号是 7.(2025西安新城区期末)如图，直线a、b、c 被直线1所截，其中∠1+∠2=180°， ∠2+∠4=180°. 求证：ac. 能力提升 答案见活20 1.命题、定理、基本事实的关系如下：①定义 是真命题；②定理是由定义和基本事实推理 出来的真命题；③真命题是定义；④真命题 一定是定理.其中正确的有 () A.1个B.2个C.3个D.4个 2.如图，下列推理正确的个数是 () B ①.AB∥DC,.∠ABC+∠C=180; ②.∠1=∠2，AD∥BC; ③.AD∥BC,.∠3=∠4； ④.∠A+∠ADC=180°，∴.AD∥BC. A.4个B.3个C.2个D.1个 48川川红树勾·HS版·八年级数学·上 3.请完成下面的推理过程并在括号里填写推理 依据： 如图，AB⊥BC,∠1+∠2=90°， ∠2=∠3，BE与DF平行吗？为什么？ E 1 解：BE∥DF.理由如下： ,AB⊥BC(已知)， ∴.∠ABC= 即∠3+∠4= 又.∠1+∠2=90( 且∠2=∠3（已知）， ∴.∠1=∠4( .BE//DF( 4.(2025长春朝阳区期末)如图，点B、E、C 在同一条直线上，请你从下面三个条件中， 选出两个作为已知条件，另一个作为结论， 推出一个真命题.①AB∥CD；②∠1= ∠2，∠3=∠4；③AE⊥ED (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择(1)中的一个真命题加以证明， A D B 2入3 5.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、 AC上，EF交DC于点F,∠3+∠2= 180°，∠1=∠B. (1)求证：DE∥BC; (2)若DE平分∠ADC,∠3=3∠B,求∠2 的度数. D E 合核心素养 6.(推理能力)如图，将△MNP的三边分别向 两边延长，并在每两条延长线上任取两点连 结起来，又得到了三个新的三角形， 求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=360°.