第11章 专题训练6 因式分解的几种常见方法-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（华东师大版·新教材）

42川川z网勾·HS版·八年级数学·上 专题训练六 因式分解的几种常见方法 类型1提公因式法 类型3分组分解法 1.(2025福州期中)把多项式2(a一2)+6x(2一 5.“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进 a)分解因式，结果是 ( 行的因式分解如下： A.(a-2)(2+6.x) B.(a-2)(2-6x) 甲：x2-xy+4x-4y C.2(a-2)(1+3x) D.2(a-2)(1-3x) =(x2-xy)十(4x-4y)(分成两组) 2.(2025北京西城区期末)已知等式：x(y一 =x(x一y)十4(x一y)(直接提公因式) 1)+()=(y-1)(x+3),若括号内所 =(x-y)(x+4). 填的式子记为A,则A= 乙：a2-b2-c2+2bc 3.(1)分解因式：x(x-2)-3(2-x); =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组) =a2一(b-c)2(直接运用公式) =(a+b-c)(a-b+c). 请你在他们的解法的启发下，解答下面 各题： (1)因式分解：a2+b2-1-2ab; (2)计算：17×0.11+37×0.11+46×0.11. (2)已知a-b=3,b-c=-4,求式子a2 ac-ab+bc的值. 类型2公式法 4.分解因式： (1)(a2+3a)2-(a-1)2; 6.因式分解： (1)a+b-ab-1; (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9. (2)ab2-ab+b'c-bc. 第11章整式的乘除143 7.先阅读，再解决问题： 类型5换元法 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公 9.(2025衡阳蒸湘区期中)阅读并解决问题：分 式分解的方法叫分组分解法」 解因式(a+b)2+2(a+b)+1. 例如：am+an十bm+bn=(am+an)+ 解：设a十b=x,则原式=x2十2x十1= (bm+bn)=a(m+n)+b (m+n)=(m+ (x+1)2=(a+b+1)2. n)·(a+b). 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂 (1)分解因式：ab-2a-2b+4; 的多项式中，某一部分重复出现时，我们用 (2)若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n 字母将其替换，从而简化这个多项式，换元 的值. 法是一个重要的数学方法，不少问题能用换 元法解决. 请用“换元法”对下列多项式进行因式 分解： (1)(m+n)2-18(m+n)+81; (2)(x2-6x+8)(x2-6.x+10)+1. 类型4拆项（补项)法 8.(2025重庆期中)19世纪的法国数学家苏 菲·热门给出了一种分解因式x4十4的方 法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方 和(x2)2+22的形式，要使用公式法就必须 添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得 x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2 4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2+2x)(x2+ 2一2x),人们为了纪念苏菲·热门给出的这 一解法，就把它叫做“热门定理”.阅读材 类型6十字相乘法 料，完成下列各题。 10.因式分解：(a2+6a)2+14(a2+6a)+45. (1)分解因式：m+64; (2)分解因式：m2-10m+16. 44川川2对勾·HS版·八年级数学·上 数学活动 面积与代数恒等式 1.如图，图中面积关系可以验证的恒等式为 5.通过计算图形的面积，可以获得一些有趣的 发现.如图，在边长为a+2b的正方形空地 中，有两条宽为b且互相垂直的长方形道 路，其余部分是草坪，试用两种不同的方法 求草坪的面积，由此你能得到哪个等式？ A.(a-b)2=a2-2ab+b2 a+2b B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.a(a+b)=a2+ab D.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(2025北京期末)图中的四边形均为长方形，根据 图形面积写出一个正确的等式： b ap bp 9 ag 6.我们已经知道，通过计算几何图形的面积可 3.(2025福州连江县期末)我们在学习代数公式 以表示一些代数恒等式. 时，可以用几何图形来推理论证.受此启 例如，由图1可以根据面积相等得到公式： 发，在学习因式分解之后，小明同学将图1 (a+b)2=a2+2ab+b2. 一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a、 如图2，四边形ABCD的对角线AC与BD 宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之 相交于点O,已知AC⊥BD,OA=OD, 后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了 OB=OC,若BD=8,S△A0D+S△0c=17, 如图2所示的长方形.观察图1和图2的阴 求△AOB的面积. 影部分的面积，请从因式分解的角度，用一 个含有a、b的等式表示从图1到图2的变 化过程： 1 图1 图2 bb bb 图1 图2 4.如图，现有边长为a的正方形1个，边长为 b的正方形3个，边长为a、b(a>b)的长方 形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用 这个拼图中图形的面积关系分解因式：a2+ 4ab+3b2= b b☐b☐b☐ bb aa b☐b□b☐b☐.x-y=2. (2)当a=-5,b=-2时，(2x十a)· ∴.(x-y)2=4, (3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x2 x2+y2-2xy=4, 19x+10. 52-2xy=4, 1 2xy=48, 15.解：1)B=2x(x2+2x）=2x+x, xy=24. B+A=2x3+x2+2x. :(x+y)2=x2+y2+2xy=52+ 48=100, (2)A 2B .x十y=10或x十y=一10（不合题意， 舍去). 2x)72x+2z 连结CF(图略)，可知阴影部分的面积 =4x2-x3-1 ·y·2 222 7 =x十y =2x2-x =10. 16.解：(1)根据题意可构造图形如下， 滚动练习二(11.2~11.4) 1.D2.B3.B4.B5.B6.D S. 7.2ab8.-19.±210.29 SA 11.解：(1)(x-1)(x+2)-3(x-1) =x2+2x-x-2-3.x+3 S S3 =x2-2x+1. 2(号6+26-a6) 1 a平6c :大正方形的面积可以看作是边长为 (a十b十c)的正方形面积，还可以看作 是三个正方形的面积与六个长方形的 =(号6+6-g6） 面积的和，即S1,S2,S:,S:,S, S6,S,,Sg,Sa的和， .(a+b+c)2=S1+Sg+S3+S,+ S;+S6+S,+Sg+S。=a+b2+c2+ 2 ab÷ 1 1 1 9a62 2ab+2ac+2bc. (2)设正方形ACDE的边长为a,正方 1 1 9a6÷ga6 形BCFG的边长为b, 由于AB=5,两正方形的面积和S1十 =6a6+号b-6 S2=13, .a+b=5,a2+b2=13. (3)(2x+y)2+(x-y)(x+y) .(a+b)2=a2+2ab+b2 5.x(x-y) 即25=13+2ab, =4x2+4.xy+y2+x2-y2-5x2+5xy E --M =9xy: S 12.解：(1)原式=(90+1)×(90-1) B C =902-12 =8100-1 =8099. N--E G (2)原式=852-2×65×85+65 ∴.ab=6. =(85-65)2 =202 阴影部分的面积为？ab=3,即 =400. △BCD的面积为3. 13.解：原式=4(x-y)2-(4x2-3xy) (3)由(1)知，(x+y十g)2=x+y2十 =4x2-8.xy+4y2-4x2+3xy x2+2xy+2xg十2yx, =4y2-5.xy, x+y+x=8,x2+y2+x2=26, 当=-2y=-时 ..2xy +2xz+2ys=(x+y+)2- (x2+y2+x2)=82-26=38. 原式=4x(-号)）-5x(-2x(-） ∴.xy十yg十xg=19. 令a=xy,b=yz,c=xx, =4X-5X2X立 .(zy+yz+zz)2=x2y+y+ 4 x's+2xyz'+2x'yz+2xy'z. =1-5 zyz=12, =-4 .z'y2+y22+x=(zy+y+ 14.解：(1)由题意，得(2x一a)(3x十b) xx)2-24(x+y+x)=192-24× =6x2+(2b-3a)x-ab 8=169. =6x2+11x-10, 11.5因式分解 (2x+a)(x+b) =2x2+(a+2b)x+ab 第1课时提公因式法 =2x2-9.x+10, 基础达标 所以2的20-一每得82 1.B 2.解：①a2-1=(a+1)(a-1)是因式分 活20川川2对肉·HS版·八年级数学·上 解，理由：符合因式分解的定义： 5.解：(1)x3-9z ②+1=(：+)不是因式分解，理 =x(x2-9) =x(x十3)(x-3). (2)(.x2+y2)2-4x2y 由：立不是整式： =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) ③3mn2-6mn=3mn(n-2m)是因式 =(x+y)(x-y). 分解，理由：符合因式分解的定义； (3)(2x+y)2-(x+2y) ④ab一ac十a=a(b一c)不是因式分解 =(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y) 理由：左右两边不相等； =(3.x+3y)(x-y) ⑤2a3=2a·a·a不是因式分解，理 =3(x+y)(x-y) 由：2a3是单项式： 6.D7.(a-1)8.±12 ⑥x+2.xy-1=x(x+2y)-1不是因9.解：(1)a+6ab+9b2=(a+3b)2. 式分解，理由：右边不是积的形式 (2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9 3.C4.D5.x(x-3)6.2a =(x2-2x-3)2 7.解：(1)原式=3x·3x-3x·2y+3.x· =[(x+1)(x-3)] 1=3x(3x-2y+1). =(x十1)2(x-3)2. (2)原式=(a-b)2(a-b-1). 能力提升 (3)原式=3m(x一y)十n(x一y)=(x一 1.B2.D3.C4.D5.C y)(3m+n). 6.207.(x+3) (4)原式=-a"·3a2-a”·(-2a)- 8.解：(1)-2a3+12a2-16a=-2a(a2 a"·5=-a"(3a2-2a+5). 6a+8)=-2a(a-2)(a-4). 能力提升 (2)(x2+1)2-4x2 1.A2.B3.B4.A =(.x2+1+2x)(x2+1-2x) 5.(x+7)(4a-3)6.-3 =(x+1)2(x-1)2. 7.解：(1)2(a-b)2+4(b-a) (3)x+2xy+y2-2x-2y+1= =2(a-b)2-4(a-b) (x+y)2-2(x+y)+1=(x+y-1) =2(a-b)(a-b-2). 9.解：(1)20252-1975 (2)(2x+1)(3x-2)-(2x+1) =(2025+1975)×(2025-1975) =(2x+1)(3.x-2-2x-1) =4000×50 =(2x+1)(x-3). =200000. 8.解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01》 (2)42.52+85×57.5+57.52 =1.99×2 =42.5+2×42.5×57.5+57.5 =3.98. =(42.5+57.5) =1002 (2)原式=2025×(2025+1)-2026 =2025×2026-2026 =10000. =2026×(2025-2026) 10.解：(1)公式 =2026×(-1) (2)不彻底(x一2) =-2026. (3)设m2-2m=y, 9.解：(19x-31)(13x-17)-(17 原式=y(y+2)+1 13.x)·(11x-23) =y2+2y+1 =(19x-31)(13x-17)+(13.x-17)· =(y+1)2 =(m2-2m+1)2 (11.x-23) =(13x-17)(30x-54), =(m-1)' 11.解：(1)15=82-72 ∴.a=13,b=-17,c=-54. 15的另一个平方差分解是82-7. ∴.a十b+c=-58. (答案不唯一) 10.解：(1)提公因式法 (2)(1+x)2027 (2),M=x2+6x, .M=x2+6.x 3)原式=1 ×4×(5+52+53+…+ =(x+3)2-9 4 52026) =(x+3)2-32 :x为正整数，x十3也是正整数 =1×(4×5+4×5+4×53+…+ ∴.M可平方差表示. 4X52026) (3)k=一16.理由如下： N=x2-y2+6.x-10y+k 1 ×(1+4+4X5+4X5+4X5+.+ =(x+3)2-(y+5)2+k+16, 若N可平方差表示，则k+16=0, 4s)-子 .k=-16. =1十4)2g 专题训练六因式分解的几种 5 常见方法 52027-5 1.D2.3y-3 4 3.解：(1)原式=x(x一2)+3(x-2) =(x-2)(x十3). 第2课时公式法 (2)原式=0.11×(17+37+46) 基础达标 =0.11×100 1.D2.D3.C4.(x+2)(x-2) =11. 4.解：(1)原式=(a+3a十a-1)(a+5.解：方法一：草坪的面积=(a十2b)2- 3a-a+1) (a+26)6-(a+26)6+62 =(a2+4a-1)(a2+2a+1) =a2+2ab+b2: =(a2+4a-1)(a+1) 方法二：草坪的面积=(a+2b一b)(a+ (2)原式=(x2-1-3) 2b-b)=(a+b). =(x2-4)2 可以得到等式a2+2ab+b=(a十b)2. =(.x+2)2(x-2)2 6.解：设OA=m=OD,OB=n=OC, 5.解：(1)a2+b2-1-2ab 则m+n=OD+OB=BD=8, =(a2+b2-2ab)-1 S△A0D+S△B0e=17, =(a-b)2-1 =(a-b+1)(a-b-1). 7m+=17, (2).a-b=3,b-c=-4, 即m2+n2=34. 两式相加得，a一c=-1, 又：(m十n)2=m2+n2+2m, …a2-ac-ab+bc ∴.64=34+2mn, =(a:-ab)-(ac-bc) 即mn=15. =a(a-b)-c(a-b) =(a-b)(a-c) ∴Sam=oAOB=m=克 =3×(-1) 第12章全等三角形 =-3. 6.解：(1)a+b-ab-1 12.1 命题、定义、定理与证明 =(a-ab)+(b-1) =a(1-b)-(1-b) 1.命题 =(1-b)(a-1). 基础达标 (2)abi-ab+bic-bc 1.D2.B3.D =(ab2-ab)+(b'c-bc) 4.如果两个角互补，那么这两个角不可能 =ab(b-1)+bc(b-1) 都是锐角 =b(b-1)(a+c). 5.C6.A7.C8.直9.C10.A 7.解：(1)ab-2a-2b+4 能力提升 =(ab-2a)-(2b-4) 1.C2.A3.B4.C =a(b-2)-2(b-2) 5.如果一个三角形是直角三角形，那么它 =(b-2)(a-2). 的两个锐角互余真 (2).m2+2mn+2n2-6n+9=0, 6.①7.①②③ .(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0. 8.如果AB∥CD,那么∠B+∠C=180 .(m+n)2+(n-3)2=0. (答案不唯一) ∴.m+n=0,n-3=0. 9.解：(1)两直线相交有几个交点？它不 ∴.m=一3，n=3. 是命题， 8.解：(1)原式=(m)+8 (2)同角或等角的补角相等.它是命题， =(m2)2+2×m2×8+82-2×m2×8 它为真命题 =(m2+8)2-16m9 (3)如果a十b=0,那么a=0,b=0. =(m2+8-4m)(m2+8+4m). 它是命题，但它为假命题，例如：α (2)原式=m2-10m+25-9 2,b=-2 =(m-5)2-9 10.解：如图，∠1与∠2的两边分别平 =(m-5)2-32 行，但它们不相等，而是∠1十∠2 =(m-5+3)(m-5-3) 180°，即互补. =(m-2)(m-8). 9.解：(1)设m十n=x, 2 则原式=x一18x十81 =(x-9)9 人1 =(m+n-9)2. 2.定义、定理与证明 (2)设x2-6x=y, 基础达标 则原式=(y十8)(y十10)十1 1.C2.D3.定义4.B5.B =y2+18y+81 6.④ =(y+9)2 7.证明：：∠1+∠2=180（已知）， =(x2-6x+9) ∴a仍（同旁内角互补，两直线平行）. =(x一3) .∠2+∠3=180°（平角的定义）， 10.解：因为45=5×9,1=1×1，且1× ∠2+∠4=180°（已知）， 5+1×9=14, ∴.∠3=∠4（等量代换）. 所以原式=(a2+6a+5)(a2+6a+9)= .bc(同位角相等，两直线平行) (a+1)(a+5)(a+3) ∴a∥c(如果两条直线都和第三条直线平 数学活动面积与代数恒等式 行，那么这两条直线也互相平行). 1.B 能力提升 2.(a+b)(p+q)=ap+ag+bp+bg(答案1.B2.C 不唯一) 3.90°垂直的定义90°等量代换 3.a2-ab-2b=(a+b)(a-2b) 已知等角的余角相等同位角相等， 4.(a+b)(a+3b) 两直线平行