第十一章 整式的乘除（期中知识清单）八年级数学上学期新教材华东师大版

第11章 整式的乘除　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 幂的运算 1.1 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。设 、 为正整数，有 示例：；。 1.2 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。设 、 为正整数，有 示例：；。 1.3 积的乘方 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。设 为正整数，有 示例：；。 注意：积的乘方中，系数也要乘方。如 ，不能漏掉系数的乘方。 1.4 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。设 、 为正整数，，，有 示例：；。 注意：同底数幂的除法要求 ，且 。以后如果没有特别说明，我们总假设所给出的式子是有意义的。 2. 整式的乘法 2.1 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 示例：；。 2.2 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 示例：。 2.3 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 示例：。 3. 乘法公式 3.1 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。 示例：。 3.2 两数和的平方 两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的 倍。 这个公式叫做两数和的平方公式。 示例：。 3.3 两数差的平方 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的 倍。 示例：。 注意：两数和的平方公式与两数差的平方公式统称完全平方公式，展开结果都是三项，中间项为 ，不能漏掉。 4. 整式的除法 4.1 单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 示例：。 4.2 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 示例：。 5. 因式分解 5.1 因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 示例： 就是把多项式 因式分解。 5.2 提公因式法 多项式 中的每一项都含有一个相同的因式 ，我们称之为公因式。把公因式提出来，多项式 就可以分解成两个因式 和 的乘积了。像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。 示例：。 5.3 公式法 实际上是将乘法公式反过来用，来进行因式分解的。这种因式分解的方法称为公式法。 示例：；。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 幂的符号规律 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，即 ，（ 为整数）。由此底数互为相反数的幂：，。如 ，。 1.2 幂运算公式的逆用 ；；。用于化简与求值：如 ；。 1.3 完全平方公式的变形 ；；。已知 、、 中任意两个，可求其余。如 。 1.4 平方差公式的广义使用 中的 、 可代表任意单项式或多项式，如 ；两个连续整数的平方差 必为奇数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 幂的混合运算步骤 先定符号（负底数看指数奇偶），再算幂的乘方与积的乘方，最后做同底数幂的乘除。如 。 2.2 整式乘法的操作步骤 单项式相乘：系数相乘、相同字母的幂相乘（底数不变指数相加）、只在单项式中出现的字母连同指数照写；多项式相乘按分配律逐项相乘再合并同类项。如 。 2.3 乘法公式的适用判断 先看结构再选公式：两数和与两数差相乘用平方差公式；两数和（差）的平方用完全平方公式；不符合结构的多项式相乘按法则展开。如 ；，不能套平方差公式。 2.4 因式分解的一般步骤 “一提、二套、三查”：先提公因式，再看能否套平方差或完全平方公式，最后检查每个因式是否还能继续分解。如 。 【使用提醒】分解必须彻底，直到每个因式都不能再分为止。 2.5 先化简再求值 先按整式乘法、乘法公式或分解因式把式子化到最简，再代入数值求值，避免直接大数运算。如 。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 化同底数幂 底数互为相反数的幂先定符号化同底： 与 奇次反号、偶次同号 化同指数幂 指数相同的幂用 合并 乘法公式简便计算 凑成平方差或完全平方再算 末位是 的平方速算 十位数字与其加 的乘积，后接”” ：，故 完全平方公式判非负 配方成”平方 正数”判最小（大）值 4. 常见考试模型 4.1 对称式求值模型 公式：已知 、，则 ；；。 限定： 时 才有意义； 开平方求值时注意正负两个结果。 示例：如已知 ，，则 ，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：完全平方公式漏掉中间项 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：公式记忆错误。学生把”和的平方”误当作”平方的和”，漏掉交叉项 。 本质是 ，用多项式乘法法则展开得 。遇到两数和（差）的平方，务必展开成三项，且注意中间项符号。 易错点 2：积的乘方漏乘系数 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：漏项。学生只对字母部分 乘方，漏掉系数 也要乘方。积的乘方法则是”把积的每一个因式分别乘方”， 和 都是因式；且负数奇次幂仍为负，故系数部分 。 易错点 3：幂的乘方与同底数幂乘法混淆 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：法则混淆。 是”幂的乘方”，底数不变、指数相乘，得 ；只有 （同底数幂相乘）才是指数相加得 。区分关键：括号外还有指数的是幂的乘方（指数相乘），两个幂相乘的是同底数幂乘法（指数相加）。 易错点 4：因式分解不彻底 典例：把 分解因式。 错解：。 正解：。 原因：步骤不完整。学生提完公因式 就停，没发现 还能用平方差公式继续分解。因式分解要”一提、二套、三查”：提公因式后还要看能否套公式，最后检查每个因式是否都不能再分解。 易错点 5：负数的幂符号判断错误 典例：计算 与 的值。 错解：。 正解：；。 原因：符号处理失误。 表示 的相反数（底数是 ，先算 再取负），结果为 ； 的底数是 （负数的偶次幂为正），结果为 。学生混淆了”负号在括号内还是括号外”的含义。 学科网（北京）股份有限公司 $