周周测05 2.2直线的方程（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦直线方程核心内容，通过基础辨析（如倾斜角、垂直条件）与综合应用（如光线反射、面积最值），考查数学抽象、推理能力及模型意识，适配高二周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|倾斜角、垂直关系、反射光线方程|结合几何直观，基础与辨析并重| |多选|3/18|直线截距、平行垂直判定|考查概念辨析，体现批判性思维| |填空|3/15|定点问题、截距和为零的直线方程|强化模型意识，注重知识迁移| |解答题|5/77|直线方程综合应用、面积最值、光线反射|融合推理与运算，关联真题动态几何问题，提升应用能力|

2026-2027学年高二上学期数学周周测05 2.2直线的方程 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则（    ） A．或0 B． C．或0 D．1 3．光线由点射到轴后，经过反射过点，则反射光线方程是（ ） A． B． C． D． 4．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 8．下列说法正确的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．斜率为的直线与直线一定平行 C．经过两个不同的点的直线总可以用方程表示 D．直线关于点对称的直线方程是 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 10．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，_________. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测05 2.2直线的方程 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则（    ） A．或0 B． C．或0 D．1 3．经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 4．光线由点射到轴后，经过反射过点，则反射光线方程是（ ） A． B． C． D． 5．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知,则“”是“点和在直线的同侧”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知点，，若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为 B．过点且不垂直轴 C．若，则或 D．若，则 10．已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 11．下列说法正确的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．斜率为的直线与直线一定平行 C．经过两个不同的点的直线总可以用方程表示 D．直线关于点对称的直线方程是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线恒过定点的坐标为_____． 13．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 14．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，_________. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 16．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 18．已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 19．已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测05 2.2直线的方程 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 因此该直线的倾斜角为， 故选：D 2．若直线与直线垂直，则（    ） A．或0 B． C．或0 D．1 【答案】A 【分析】根据直线垂直：即可求解. 【详解】由题意可得， 解得或0. 故选：A 3．光线由点射到轴后，经过反射过点，则反射光线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出关于轴的对称点，利用反射光线经过该对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，点关于轴的对称点为，所以反射光线经过， 又由反射过点，可得反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线的方程为，即. 故选：A. 4．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意，把直线方程整理，得， 令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 5．已知点，，若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的定点，再结合图象利用斜率公式计算求解即可. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点， 则，， 若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 6．四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】ACD 【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可. 【详解】由题知，直线， 对于A，当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，解得或，故B错误； 对于C，在直线中， 当时，，当时，， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当时，的图象为： 故D正确； 故选：ACD. 8．下列说法正确的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．斜率为的直线与直线一定平行 C．经过两个不同的点的直线总可以用方程表示 D．直线关于点对称的直线方程是 【答案】CD 【分析】分析直线斜率是否存在可判断A，考虑直线重合情况可判断B，分类讨论斜率是否存在两种情况可判断C，求直线关于点的对称直线可判断D. 【详解】对于，经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示， 斜率不存在时，用方程来表示，故A错误； 对于，斜率为的直线与直线可能重合，故B错误； 对于，经过两个不同的点的直线有两种情况： 当时，直线方程为，整理得， 当时，直线方程为，满足方程， 故经过两个不同的点的直线总可以用方程表示，故C正确； 对于，设点关于点的对称点为， 则由，得，由点在直线0上， 得，即，故D正确． 故选：CD 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，然后分别求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，此时直线方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，解得，此时直线方程为. 所以该直线方程为或. 故答案为：或 10．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，_________. 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【答案】(1)或. (2)（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或. 【分析】（1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. 【详解】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. （2）（i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测05 2.2直线的方程 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 因此该直线的倾斜角为， 故选：D 2．若直线与直线垂直，则（    ） A．或0 B． C．或0 D．1 【答案】A 【分析】根据直线垂直：即可求解. 【详解】由题意可得， 解得或0. 故选：A 3．经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由直线的倾斜角为知，直线的斜率， 因此，其直线方程为，即. 故选：A 4．光线由点射到轴后，经过反射过点，则反射光线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出关于轴的对称点，利用反射光线经过该对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，点关于轴的对称点为，所以反射光线经过， 又由反射过点，可得反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线的方程为，即. 故选：A. 5．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意，把直线方程整理，得， 令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 6．已知,则“”是“点和在直线的同侧”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案. 【详解】要保证点和在直线的同侧 需满足,即 解得:或 由可以推出或 即由可以推出点和在直线的同侧, “”是“点和在直线的同侧”的充分条件. 由或不能推出 即由点和在直线的同侧不能推出 “”是“点和在直线的同侧”的不必要条件. “”是“点和在直线的同侧”的充分不必要条件 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 7．已知点，，若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的定点，再结合图象利用斜率公式计算求解即可. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点， 则，， 若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 8．四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为 B．过点且不垂直轴 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【分析】将直线方程进行转化可确定AB正误；根据直线平行、垂直的关系直接构造方程组可得CD正误. 【详解】对于A，对于直线，令，解得：，在轴上的截距为，A正确； 对于B，由直线方程得：， 直线斜率存在，即直线不垂直于轴，且经过点，B正确； 对于C，，，解得：，C错误； 对于D，，，解得：，D正确. 故选：ABD. 10．已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】ACD 【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可. 【详解】由题知，直线， 对于A，当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，解得或，故B错误； 对于C，在直线中， 当时，，当时，， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当时，的图象为： 故D正确； 故选：ACD. 11．下列说法正确的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．斜率为的直线与直线一定平行 C．经过两个不同的点的直线总可以用方程表示 D．直线关于点对称的直线方程是 【答案】CD 【分析】分析直线斜率是否存在可判断A，考虑直线重合情况可判断B，分类讨论斜率是否存在两种情况可判断C，求直线关于点的对称直线可判断D. 【详解】对于，经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示， 斜率不存在时，用方程来表示，故A错误； 对于，斜率为的直线与直线可能重合，故B错误； 对于，经过两个不同的点的直线有两种情况： 当时，直线方程为，整理得， 当时，直线方程为，满足方程， 故经过两个不同的点的直线总可以用方程表示，故C正确； 对于，设点关于点的对称点为， 则由，得，由点在直线0上， 得，即，故D正确． 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线恒过定点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由直线方程得到，进而可求解. 【详解】直线， 即， 联立可得，∴， 即直线恒过定点. 故答案为： 13．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，然后分别求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，此时直线方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，解得，此时直线方程为. 所以该直线方程为或. 故答案为：或 14．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，_________. 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由点斜式方程进行求解即可； （2）由斜截式方程求解即可； （3）由两点式方程求解即可； （4）由截距式方程求解即可. 【详解】（1）由点斜式，得直线方程为， 即. （2）由斜截式，得直线方程为， 即. （3）由两点式，得直线方程为， 即. （4）由截距式，得直线方程为， 即. 16．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 17．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1) 直线，即. 由，解得. 所以直线过定点. (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）略 （2）当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 18．已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【答案】(1)或. (2)（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或. 【分析】（1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. 【详解】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. （2）（i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 19．已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形可知，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）由光的反射原理可知，从点射出的入射光所在直线方程经过点关于轴的对称点，求出后结合直线点斜式方程即可求解； （3）设出的坐标后，可设出直线的截距式方程，代入点可得，因为三点共线且与方向相反，故可表示为，用坐标运算表示出数量积后，再用乘“1”法与基本不等式即可得解. 【详解】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $