周周测07 2.4圆的方程（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦“圆的方程”核心内容，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，全面考查标准方程、轨迹判定、最值求解等知识，适配高二周测巩固需求，强化数学思维与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|圆的标准方程、对称问题、切线方程|基础题占比60%，如第1题直接考查标准方程，第5题结合直线垂直求方程，落实数学眼光中的几何直观| |多项选择|3/18|圆的位置关系、直径圆方程|第10题以线段为直径求圆方程，需综合中点坐标与距离公式，体现数学思维的推理能力| |填空题|3/15|直线平分圆周长、反射光线与圆|第13题结合光线反射与圆的性质，渗透数学语言的应用意识| |解答题|5/77|圆的方程确定、外接圆、轨迹方程|第16题由中点坐标反求三角形外接圆，第19题探究中点轨迹，综合考查建模与运算，呼应核心素养中的创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学周周测07 2.4圆的方程 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（    ） A． B． C． D． 3．若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 4．直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 8．已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为___________. 10．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为__________. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测07 2.4圆的方程 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】以为圆心，2为半径的圆的标准方程是, 故选：B 2．已知圆，圆，若动圆始终平分圆的周长，则圆心的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】设圆的圆心，半径为，根据题意建立方程化简得出轨迹方程即可. 【详解】设圆的圆心，半径为， 由题意知，圆与圆的公共弦过圆的圆心，从而， 同理，，两式相减可得，， 因为, 所以，化简可得，即. 从而圆心的轨迹为直线. 故选：A 3．若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的一般方程得出圆的半径，再根据二次函数的性质可求得答案. 【详解】解：因为圆C的方程为， 所以圆C的半径为， 所以圆C的最小周长为. 故选：D. 4．若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 5．直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程写出圆心坐标，根据直线相互垂直可得，根据点斜式写出直线方程. 【详解】由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即， ∴直线l的方程为，即. 故选：D 6．已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元二次方程表示圆、点在圆外，列不等式来求得的取值范围. 【详解】方程表示圆， 则，， 解得或. 由于圆的一条切线过点， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 7．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 8．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答. 【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：， 于是点到直线：的距离，而点在圆上， 因此点到直线距离的最大值为，又， 所以面积的最大值为. 故选：D    二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 10．以A（1，1），B(3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心的坐标为（2，2） B．圆心的坐标为（2，-2） C．圆心的坐标为（-2，2） D．圆的方程是 E．圆的方程是 【答案】BE 【分析】根据AB的中点坐标为圆心，为半径，即可求解结果． 【详解】AB的中点坐标为，则圆心的坐标为 又，则圆的半径为 所以圆的方程是 故选：BE 11．已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为___________. 【答案】5 【分析】由已知可得圆的圆心在直线上，则，又，所以，，然后利用“1”的代换结合基本不等式求最值． 【详解】解：直线始终平分圆的周长， 圆的圆心在直线上，可得，又，，， 则 ，当且仅当时等号成立． 的最小值为5． 故答案为：5． 13．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为__________. 【答案】 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据直线平分圆的圆周可知，反射光线所在直线过圆心，根据对称性可知反射光线过点，即可求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， ∵反射光线恰好平分圆的圆周， ∴反射光线经过点， ∵关于轴对称的点为， ∴反射光线所在直线经过点， ∴反射光线所在直线斜率为，所以方程为，化简得. 故答案为：. 14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是______． 【答案】 【分析】先利用方程得到，求出或，然后分别求解即可． 【详解】方程表示圆， 所以，解得或， 当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为； 当时，方程，即，此时，方程不表示圆． 综上所述，圆心坐标是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0. (1)若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外； (2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为， 求圆C的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求； （2）利用圆的一般式得到圆心与半径关于的表达式，进而由题设条件得到关于的方程组，解之即可得到圆C的方程. 【详解】（1）因为方程x2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲线是圆， 所以D2+E2-12>0，即D2+E2>12， 因而点在圆x2+y2=12外. （2）由题意知，圆心， 因为圆心在直线x+y-1=0上，所以，即①， 又因为半径，即②， 联立①②，解得或， 又因为圆心在第二象限，所以，，即D>0，E<0. 所以， 故圆的一般方程为，即. 16．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1). （1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标； （2）求△ABC的外接圆的方程. 【答案】（1）x﹣y=0，（2）(x﹣8)2+(y+6)2=100 【分析】（1）设坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出坐标，进而取出直线方程； （2）分别求出的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论. 【详解】（1）设A(x，y)，B(a，b)，C(m，n)，则. 解得,∴A (0，0)，B(2，2)，C(8，4). ∴边AB所在直线的方程:x﹣y=0. （2）由（1）得的垂直平分线方程为， 的垂直平分线方程为， 联立，解得， 所以的外接圆的圆心， 半径为， ∴△ABC的外接圆方程为(x﹣8)2+(y+6)2=100. 【点睛】本题考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题. 17．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． (1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论； (2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) 点P不在圆上． 证明如下： ∵， ∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上； (2)x＝0或3x＋4y－8＝0． 【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可. (2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况. 【详解】（1）略 （2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0， 又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0， 综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0． 18．已知曲线． （1）求证：不论a取何值，曲线C必过一个定点，并求出定点的坐标． （2）当时，求证：曲线C是一个圆，且其圆心在一条直线上． （3）若曲线C与x轴相切，求a的值． 【答案】（1）定点为，见解析；（2）直线上，见解析，；（3） 【分析】（1）将曲线C的方程改写为，解方程组 得到答案. （2）将曲线C的方程改写为，得到圆心为在直线上. （3）曲线C的方程改写为，根据条件得到，解得答案. 【详解】（1）将曲线C的方程改写为，则不论a为何值，曲线C必过圆与直线的交点，解方程组，得，． 定点为 （2）将曲线C的方程改写为．当时，其表示圆心为，半径为的圆，圆心在直线上 （3），解得 【点睛】本题考查了圆过定点，圆心轨迹，直线与圆位置关系，其中把圆的一般方程化为标准方程得到半径圆心是解题的关键. 19．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测07 2.4圆的方程 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，圆，若动圆始终平分圆的周长，则圆心的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 3．若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（    ） A． B． C． D． 4．若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 5．直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 10．以A（1，1），B(3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心的坐标为（2，2） B．圆心的坐标为（2，-2） C．圆心的坐标为（-2，2） D．圆的方程是 E．圆的方程是 11．已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为___________. 13．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为__________. 14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0. (1)若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外； (2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为， 求圆C的方程. 16．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1). （1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标； （2）求△ABC的外接圆的方程. 17．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． (1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论； (2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 18．已知曲线． （1）求证：不论a取何值，曲线C必过一个定点，并求出定点的坐标． （2）当时，求证：曲线C是一个圆，且其圆心在一条直线上． （3）若曲线C与x轴相切，求a的值． 19．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测07 2.4圆的方程 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】以为圆心，2为半径的圆的标准方程是, 故选：B 2．若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的一般方程得出圆的半径，再根据二次函数的性质可求得答案. 【详解】解：因为圆C的方程为， 所以圆C的半径为， 所以圆C的最小周长为. 故选：D. 3．若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 4．直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程写出圆心坐标，根据直线相互垂直可得，根据点斜式写出直线方程. 【详解】由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即， ∴直线l的方程为，即. 故选：D 5．已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元二次方程表示圆、点在圆外，列不等式来求得的取值范围. 【详解】方程表示圆， 则，， 解得或. 由于圆的一条切线过点， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 6．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答. 【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：， 于是点到直线：的距离，而点在圆上， 因此点到直线距离的最大值为，又， 所以面积的最大值为. 故选：D    二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 8．已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为___________. 【答案】5 【分析】由已知可得圆的圆心在直线上，则，又，所以，，然后利用“1”的代换结合基本不等式求最值． 【详解】解：直线始终平分圆的周长， 圆的圆心在直线上，可得，又，，， 则 ，当且仅当时等号成立． 的最小值为5． 故答案为：5． 10．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为__________. 【答案】 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据直线平分圆的圆周可知，反射光线所在直线过圆心，根据对称性可知反射光线过点，即可求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， ∵反射光线恰好平分圆的圆周， ∴反射光线经过点， ∵关于轴对称的点为， ∴反射光线所在直线经过点， ∴反射光线所在直线斜率为，所以方程为，化简得. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $