圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系专项测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆的方程及位置关系，通过分层题型系统整合圆的概念、直线与圆及圆与圆位置关系的判定与计算，强化几何直观与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选4题|考查圆的方程、圆心半径等核心概念|从圆的标准方程到一般方程的转化，构建概念生成逻辑| |位置关系判定|单选3题+多选2题|涉及直线与圆、圆与圆位置关系多维度判定|通过距离公式、半径关系推导位置关系判定法则，形成原理应用链条| |综合应用|填空3题+解答5题|综合圆的方程求解、切线方程、弦长计算等|从基础计算到实际问题解决，体现知识应用拓展逻辑，培养推理能力与应用意识|

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系专题测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 2．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．圆与圆的位置关系为（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 4．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 8．圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 二、多选题 9．已知圆，直线，记直线与轴交点为，则（   ） A．若直线与圆相切，则 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．不存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．由点向圆作切线，则切线长的最小值为 10．已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（    ） A．面积的最大值为2 B．的最小值为4 C． D．若，则 11．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 三、填空题 12．过，，三点的圆的标准方程为_______. 13．圆恒过的定点是______. 14．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是_______． 四、解答题 15．已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 16．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 17．已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 18．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 19．已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系专题测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 2．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 3．圆与圆的位置关系为（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再应用圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【详解】由题意，，， 所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10， 由，所以两圆内含. 故选：D 4．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 5．已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系得出，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 6．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 7．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 8．圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】由题意有：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，故AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，故D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，故C正确. 故选：C. 二、多选题 9．已知圆，直线，记直线与轴交点为，则（   ） A．若直线与圆相切，则 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．不存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．由点向圆作切线，则切线长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用直线与圆的位置关系可判定A，利用弦长公式可判定B，利用圆的性质可判定C，利用勾股定理结合二次函数的性质可判定D. 【详解】易知圆的圆心及半径为， 对于A，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，故A错误； 对于B，由弦长公式可知，解得，故B正确； 对于C，由于圆的半径为1，结合圆的对称性， 可知若过圆心，圆中到距离为1的点有2个， 若不过圆心，圆中到距离为1的点至多有2个，故C正确； 对于D，由勾股定理可知切线长， 当时取得等号，故D正确. 故选：BCD 10．已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（    ） A．面积的最大值为2 B．的最小值为4 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用面积公式可判断A；设，数量积的坐标表示结合重要不等式可判断B；利用M的坐标表示出直线坐标，从而可得C、D坐标，然后直接求解可判断C；利用韦达定理可判断D. 【详解】A项：因为直线与圆O交于点M，N，所以， 所以， 当，即，时，面积的最大值为2，A正确； B项：设，则，， 所以， 因为，所以． 所以，即， 所以当时，取得最小值，B错误； C项：当直线MB斜率存在时，则直线． 令，可得，故． 直线， 令，可得，所以． 故 ； 当直线斜率不存在时，，，则， 综上所述，为定值，C正确； D项：当时，，设，联立 消去y可得，则，， 则 ，D正确． 故选：ACD 11．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】ABD 【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解 【详解】曲线的方程可化为，它表示圆心为，半径为的圆. 对于A，表示圆上的点到原点的距离的平方， 则它的最小值为， 此时的最小值是 ，故A正确； 对于B，表示圆上的点与点的连线的斜率， 则该直线的方程为，即 由圆心到直线的距离， 解得，故B正确； 对于C，设是曲线上任意一点， 则到直线的距离为， 所以表示曲线上任意一点到直线的距离的倍， 而圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对于D，因为点在圆上， 的斜率为，则过点的切线斜率为， 故切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 13．圆恒过的定点是______. 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 14．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】求出圆的圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 则，即， 解得或． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；（2）根据点关于直线的对称关系求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得. 【详解】（1）依题意，因为圆心在轴上，所以设圆的方程为， 因为圆经过两点，所以，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为； 设关于直线对称的点为， 则的中点为，直线的斜率为； 因为点关于直线对称，所以， 即，解得，所以， 所以与圆关于直线对称的圆的方程为. 16．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或 (2)相交，弦长为 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线截圆所得弦长. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆心到直线的距离为，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 17．已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 18．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 19．已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $