2.4 圆的方程（10大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．4 圆的方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：求圆的标准方程 2 题型二：求圆的一般方程 2 题型三：点与圆的位置关系 2 题型四：二元二次曲线表示圆 3 题型五：定点问题 3 题型六：直接法求轨迹方程 3 题型七：相关点法求轨迹方程 4 题型八：定义法求轨迹方程 5 题型九：与圆有关的对称问题 6 题型十：阿氏圆问题 6 02 重难点拓展 8 题型一：求圆的标准方程 1．（2025·高二·北京·期中）若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·广西来宾·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·江苏淮安·月考）已知圆心在直线上，且与轴交于，两点，则圆的标准方程（   ） A． B． C． D． 题型二：求圆的一般方程 4．（2025·高二·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·天津·月考）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·河南南阳·月考）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系 7．（2025·高二·江苏南京·月考）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：二元二次曲线表示圆 10．（2025·高二·广西河池·月考）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高二·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 12．（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 题型五：定点问题 13．（2025·高二·湖北武汉·月考）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 14．（2025·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 15．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 题型六：直接法求轨迹方程 16．（2025·高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 17．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·高二·广东肇庆·月考）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型七：相关点法求轨迹方程 19．（2025·高二·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 20．（2025·高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 21．（2025·高二·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 22．（2025·高二·天津静海·期中）已知圆经过、、三点 (1)求圆的标准方程. (2)求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 题型八：定义法求轨迹方程 23．已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程． 24．（2025·高二·安徽·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 25．（2025·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·安徽滁州·二模）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 28．（2025·高二·江苏南通·月考）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 题型九：与圆有关的对称问题 29．（2025·高二·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·高二·山西运城·月考）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 题型十：阿氏圆问题 32．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·高二·辽宁沈阳·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．（多选题）（2025·高二·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆，点在直线上，当圆的半径最大时，的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．若两条直线互相平行，那么它们的倾斜角相等 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 7．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知圆，求圆关于直线的对称圆方程 . 8．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程 . 9．（25-26高二上·天津滨海新·月考）设直线则直线恒过定点 ；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为 . 10．（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点S在轴上，则的最小值为 ． 11．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知的三个顶点分别为，，.求： (1)的面积； (2)的外接圆的方程. 12．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 13．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知的顶点，线段的垂直平分线方程为． (1)求点的坐标； (2)求外接圆的标准方程． 14．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 15．（24-25高二上·广东中山·月考）已知圆经过两点，，且圆心在直线上． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的标准方程； 16．（25-26高二上·江苏无锡·期中）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为. (1)求边所在直线的方程； (2)求经过三点的圆的方程. 17．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (3)求的外接圆方程； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．4 圆的方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：求圆的标准方程 2 题型二：求圆的一般方程 3 题型三：点与圆的位置关系 4 题型四：二元二次曲线表示圆 5 题型五：定点问题 6 题型六：直接法求轨迹方程 8 题型七：相关点法求轨迹方程 9 题型八：定义法求轨迹方程 11 题型九：与圆有关的对称问题 15 题型十：阿氏圆问题 16 02 重难点拓展 20 题型一：求圆的标准方程 1．（2025·高二·北京·期中）若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点，在圆上，，中点坐标为， 则线段的垂直平分线所在直线方程为，即， 则圆心为直线与线段的垂直平分线的交点， 联立方程组：，解得，则圆心为，半径， 所以圆的方程为：. 故选：A 2．（2025·高二·广西来宾·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 3．（2025·高二·江苏淮安·月考）已知圆心在直线上，且与轴交于，两点，则圆的标准方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆与轴交于，两点，线段的中垂线方程为， 所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，由，解得，所以圆心坐标为， 又点与两点间的距离为半径，即半径， 所以所求圆的方程为. 故选：A 题型二：求圆的一般方程 4．（2025·高二·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 5．（2025·高二·天津·月考）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 6．（2025·高二·河南南阳·月考）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 题型三：点与圆的位置关系 7．（2025·高二·江苏南京·月考）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 8．（2025·高二·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 9．（2025·高二·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 题型四：二元二次曲线表示圆 10．（2025·高二·广西河池·月考）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 11．（2025·高二·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【解析】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 12．（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【解析】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 题型五：定点问题 13．（2025·高二·湖北武汉·月考）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【答案】或 【解析】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 14．（2025·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 15．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 【答案】 【解析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 题型六：直接法求轨迹方程 16．（2025·高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设动点，则，， ∵点满足， ∴，化简，整理得. ∴动点的轨迹方程为. 故答案为：. 17．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由题可知 故选：D 18．（2025·高二·广东肇庆·月考）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知, 所以, 化简得, 故选：C, 题型七：相关点法求轨迹方程 19．（2025·高二·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【解析】（1）设圆的方程为（其中）， 因为圆过点，，，可得， 解得，满足， 所以圆的方程为， 所以圆的标准方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点， 所以，所以，， 又因为点是圆上的一个动点，所以点的坐标满足圆的方程， 代入得，整理得， 所以点的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 20．（2025·高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【解析】（1）设圆心的坐标为， 则有， 整理求得，故圆心为， 半径r满足， 则圆P的方程为. （2）设线段中点，， 由可知，， ∵点C在圆上运动，∴， ∴的轨迹方程为. ∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 21．（2025·高二·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 【解析】（1）因为直线（）可化为：， 所以直线恒过点， 又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心， 可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径， 所以圆E的方程为. （2）设， 因为M为线段AP的中点，且，则， 因为点P是圆E上的动点，则，即， 所以M的轨迹方程为. 22．（2025·高二·天津静海·期中）已知圆经过、、三点 (1)求圆的标准方程. (2)求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 【解析】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）设中点为，圆上任一点， 因为，所以 整理得 ， 代入圆的方程得，整理得，   所以中点的轨迹方程为； 题型八：定义法求轨迹方程 23．已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程． 【解析】方法一：由题可知 ,所以点C的轨迹是以AB为直径的圆，圆心坐标为 ,半径为1. 分析可知，当点 C 与 A 或 B 重合时，满足题意. 所以点C的轨迹方程是：. 方法二：设点． 当直线，的斜率都存在时，可得其斜率分别为,. 由，互相垂直，可得, 化简整理得，即为点的轨迹方程. 当直线斜率不存在时，其方程是:,此时的斜率为,其方程是,点与点重合,满足上述方程； 当直线的斜率不存在时，其方程是:,此时直线的斜率为,其方程是:  .  ,此时点  C  与点 重合；点与点重合,满足上述方程. 综上可知，点的轨迹方程为． 方法三: 解:由直线，互相垂直，且，交于点，得,即,所以, 设点(异于、)，则， 当点与或重合时，满足条件，其坐标满足上述方程. 所以,点的轨迹方程为. 24．（2025·高二·安徽·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【解析】（1）设圆的标准方程为，故有： ， 所以圆的标准方程为； （2）设弦MN的中点， 当直线斜率不存在时，点与点重合， 当直线斜率为0时，点与点重合， 当直线斜率存在且不为0时，由垂径定理知， 点的轨迹是以CG为直径的圆． 由， 得，， 整理得：； 25．（2025·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为四边形为正方形，且,所以, 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为. 故选：B 26．（2025·安徽滁州·二模）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 27．（2025·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【解析】（1）设点，由，得，直线的斜率，而， 所以直线的方程为，即. （2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 28．（2025·高二·江苏南通·月考）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 【解析】（1）设点， ，整理得， 点在圆上， ， 整理得点的轨迹方程为. （2）设的中点为，在中，， 设为坐标原点，连接，则， ， . 故线段中点的轨迹方程为. 题型九：与圆有关的对称问题 29．（2025·高二·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 30．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点坐标为，设所求直线方程为 则有 两直线不能重合， 所以 故选：D. 31．（2025·高二·山西运城·月考）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆可得标准方程为， 即圆心为， 因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 即，整理得（，）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A． 题型十：阿氏圆问题 32．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 33．（2025·高二·辽宁沈阳·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，所以. 由，得. 因为，所以，整理得：. 因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以. 故选：C. 34．（多选题）（2025·高二·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】设，因为，所以，整理得到， 故点的轨迹方程为， 对于A，点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，故A正确； 对于B，因为圆的半径为4且，当的底边上的高最大， 即高为半径4时，面积最大，即面积的最大值是，故B正确； 对于C，由题知，点M的坐标为，当不共线时，因为， 由角平分线定理的逆定理知：射线是的平分线，故C正确； 对于D，因为，即，则，又P在圆上，如图所示， 由图知，当三点共线且点在线段上时，取最小值， 此时，故D错误， 故选：ABC． 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 4．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆，点在直线上，当圆的半径最大时，的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设圆的半径为． 由题意，圆的标准方程为，所以，，解得． 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，取得最大值， 此时． 因为点到直线的距离，所以的最小值为． 故选：A． 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知圆心，设其关于直线对称的圆心， 则有，解得，即. 又因为圆和圆的半径相同， 所以圆关于直线对称的圆的标准方程为. 故选：D 6．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．若两条直线互相平行，那么它们的倾斜角相等 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于A，由圆配方得，故圆心为，半径为 ，故A错误； 对于B，若两条直线互相平行，则它们与轴的所成角相等，故倾斜角相等，即B正确； 对于C，当直线可化为，为直线的两点式方程，表示不平行于坐标轴的直线； 当，直线可化为，表示平行于y轴的直线； 当，直线可化为，表示平行于x轴的直线； 所以方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 对于D，若直线不经过第二象限，则 ，解得，故D正确. 故选：BCD 7．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知圆，求圆关于直线的对称圆方程 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得，又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程 . 【答案】 【解析】圆：的圆心为，半径， 设圆心关于直线l：对称的圆心坐标为， 则，解得，故， 所以对称的圆的标准方程为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·天津滨海新·月考）设直线则直线恒过定点 ；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为 . 【答案】 【解析】由题意， 令，解得，所以直线恒过定点为； 因为，所以点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆， 则圆心为，半径， 所求表示圆上的点H与原点O距离的平方，即 因为点H到原点O的距离最大值为圆心到原点O的距离加上半径r， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：； 10．（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点S在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由圆得，可得圆圆心，半径为， 由圆 得，可得圆的圆心为，半径为， 又由 设圆心关于轴的对称点为，可得， 所以，所以. 所以的最小值为. 故答案为：. 11．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知的三个顶点分别为，，.求： (1)的面积； (2)的外接圆的方程. 【解析】（1）由，，则， 且直线的方程为，即， 则到直线的距离为， 所以的面积为. （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 则的外接圆的方程为. 12．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【解析】（1）由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. （2）设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为. 13．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知的顶点，线段的垂直平分线方程为． (1)求点的坐标； (2)求外接圆的标准方程． 【解析】（1）设，因为线段的垂直平分线的斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又线段中点在上， 所以，解得，， 所以点的坐标为； （2）因为，线段的中点为， 直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， 与联立，解得， 圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. 14．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【解析】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 15．（24-25高二上·广东中山·月考）已知圆经过两点，，且圆心在直线上． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的标准方程； 【解析】（1）线段的垂直平分线的方程为： ，整理得：. （2）由，即圆心. 设圆半径为，则， 所以圆的标准方程为：. 16．（25-26高二上·江苏无锡·期中）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为. (1)求边所在直线的方程； (2)求经过三点的圆的方程. 【解析】（1）由，得，则， 因为矩形两条对角线相交于，所以C与A关于点M对称， 设，所以，得，则， 因为边所在直线的方程为，斜率为， 因为与垂直，所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，即； （2）经过三点的圆即为矩形的外接圆， 所以圆心为，半径为 所以圆方程为. 17．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (3)求的外接圆方程； 【解析】（1）因为、，所以，则其高线的斜率， 又高线过点，所以高线所在的直线方程为，即； （2）设圆心，因为圆心在直线上，所以①， 又圆过点、，所以，即， 化简得②， 联立①②，解得，，圆的半径为， 所以圆的标准方程为； （3）设的外接圆方程为， 又、、在圆上， 所以可得，解方程组得， 所以的外接圆方程为，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $