第二十五章一元二次方程（单元自测卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 这份九年级上学期一元二次方程单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合社会热点（村BA、冬奥会）、文化传承（芜湖铁画、赵爽几何解法）及生活情境（日历九宫格），全面覆盖单元核心知识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式等|第6题以“村BA”双循环赛制考查方程建模，体现数学眼光| |填空题|6/18|根与系数关系、实际问题|14题微信群发红包列方程，培养模型意识| |解答题|8/72|解法应用、证明、综合探究|24题结合赵爽几何解法探究方程求解，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第25章 一元二次方程 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第25章 一元二次方程（25.1-25.3）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 6．“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（    ） A． B． C． D． 7．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 8．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 12．一元二次方程的两根为，，则______． 13．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 14．在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 15．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 16．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 18．（6分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 19．（8分）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 20．（8分）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 21．（10分）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 22．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，根据以上条件，解决下列问题： (1)如果上涨元，则售价为________元，则销量为________件； (2)该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 23．（12分）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 24．（12分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第25章 一元二次方程 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第25章 一元二次方程（25.1-25.3）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 3．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 4．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【详解】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.  ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 6．“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解双循环赛制的比赛场次计算逻辑，根据总比赛场数列写方程． 每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有支球队，比赛场次共有场，再根据共有30场比赛活动来列出方程，求解即可． 【详解】解：双循环赛制下，每两支球队间进行两场比赛，设参赛球队有支， 每支球队都要进行个主场比赛，总比赛场次为场． 又小组赛阶段共比赛30场， 可列方程． 故选：B． 7．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 8．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 9．芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得挂图是一个长为，宽为的矩形，求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 10．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 12．一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 13．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 14．在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 15．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 16．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【答案】或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 18．（6分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 19．（8分）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 20．（8分）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 21．（10分）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”； (2) 方程的两个根为和 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 22．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，根据以上条件，解决下列问题： (1)如果上涨元，则售价为________元，则销量为________件； (2)该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解变化量列方程求解是解题的关键． （1）根据售价与进价、上涨价格的关系以及销量与售价变化的关系求解即可； （2）先根据利润的计算公式列出方程，再解方程，最后根据销量尽可能大的条件确定售价； 【详解】（1）已知冰墩墩的进价是元，原售价为元，上涨元，那么售价为元， 每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，上涨元后，减少的销售量为件，所以销量为件； 故答案是：；． （2）由题意得：， 化简得：， ，， 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 要使销量尽可能大， ，此时售价为元． 23．（12分）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 【答案】(1)①； ②为定值，理由如下： 由题意可得：，，， ∴． (2) 【分析】（1）①根据中心数的特点可得；②根据中心数的特点分别表示，，，再进一步求解即可； （2）先解方程，再结合中心数的特点可得答案． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴不符合题意， ∴中心数为， ∴九宫格中最大的数为． 24．（12分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】(1)③ (2)，， (3)，3，1或3 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $