第25章一元二次方程 章节检测卷 2026～2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为九年级数学一元二次方程单元检测卷，以核心素养为导向，覆盖定义、解法、应用等全章知识，融合数学文化与实际情境，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|一元二次方程定义（第2题）、根与系数关系（第4题）|结合欧几里得几何解法（第10题），体现数学眼光| |填空题|5|判别式（第11题）、根的应用（第14题）|设计短信传播问题（第14题），培养模型意识| |解答题|9|实际应用（第18题矩形仓库）、数学文化（第9题《四元玉鉴》）|融合古代数学问题与销售利润（第22题），发展应用意识与推理能力|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 2026~2027学年人教版新教材九年级数学上学期 第25章一元二次方程章节检测卷 学校： 姓名：」 班级： 考号： 一、单选题 1.将方程3x2+2x=5化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和 常数项分别是() A.2,5 B.2,-5 C.-2,5 D.-2,-5 2.下列方程中一定是一元二次方程的是() A.x-y+1=0B.x2-4=0 C.ar+bxtc-0 D.2+x-1-0 3.若x=2是方程x+x-m=0的一个根，则m的值为() A.-6 B.-2 C.2 D.6 4.已知方程r+px+0的两个根分别是2和一3，则x2+px+q可分解为()· A.(x+2)(x+3) B.(x-2)(x-3) C.(x-2)(x+3) D.(x+2)(x-3) 5.一元二次方程(x-旷+b(x-1少+c=0化为一般形式后为32-2x+8=0,则一次函数 a y= x+C的图象不经过()· A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 6.关于方程x2-2=0的理解错误的是() A.这个方程是一元二次方程 B.方程的解是V2 C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D.这个方程可以用公式法求解 7.某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投入经费4000万元. 试卷第1页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 设投入经费的年平均增长率为x,根据题意，下列所列方程正确的是() A.1000(1+x)2=4000 B.10001+x2)=4000 c.1000(1+x)+1000(1+x)2=4000 D.1000+1000(1+x)+1000(1+x}2=4000 8.如图，某小区计划在一块长为30m,宽为2lm的矩形空地上修建三条同样宽的道路， 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为560m2.设道路的宽为m,则所列方程正确的是 () -30m 21m (30-x)(21-x)=30×21-560 B.30x+2×21x=30x×21-560 C.30x+2×21x-2x2=560 D (30-2x)(21-x)=560 9.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了 “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一 株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文， 那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ (椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是 () 至 A. 620=3x B. 6210-3 x x-1 试卷第2页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 C.3(x-1)=6210 D.3(x-1)=6210 x-1 10.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+心=b的方法，类似地可以 用折纸的方法求方程x+x-1=0的一个正根。下面是甲、乙两位同学的做法：甲：如图 1,裁一张边长为I的正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后 通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F,因而EF=EB,类似地，在AB上 折出点M使AM=AF。此时，AM的长度可以用来表示方程x+x-1=0的一个正根；乙： 如图2，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD,先折出ADBC的中点GH,再折出线 段AN,然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，折出点D的新位置P,因而 AD=AP DN 。此时，的长度可以用来表示方程 2+x-1=0 的一个正根；甲、乙两人的做 法和结果()。 H A M B 图1 图2 A.甲对，乙错B.乙对，甲错 C.甲乙都对 D.甲乙都错 二、填空题 11.若方程2x+2x+m=0无实数根，则应满足的条件是 12.若方程(m+3)r+m-r-2=0是关于的一元二次方程，则m= 五+五 13.己知，x是方程x2-5x+3=0的两个实数根，则x的值是 试卷第3页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光今笔 14.小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加 1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给 了 个好友 15.已知关于x的一元二次方程 -(2k+r++k=0.若△CDE的两边1B,4C的长是 这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，则k的值为 三、解答题 16.解方程 (1) (x+2)2-36=0 (2)2x2-7x+6=0 17.已知：关于x的方程2x2+-1=0. (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根： (②)若方程的两个实数根为，元且满足名=3， ,求k的值 18.如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米）， 另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，己知 围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ B 19.习题课上老师给了一道解方程的题目：x2+3x=2x+6.小马和小明的解法如下： 小明的解法 小马的解法 原方程可化为： xx+3)=2x+3).…第一 原方程可化为：x2+x-6=0…第一步， (x-3x+2)=0 步， …第二步， x+3) 两边都除以 …第二步， 试卷第4页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先今笔 x=3x2=-2 …第三步 .x=2…第三步 (1)他们的解法都是错误的，小马从第 步开始错误，小明从第」 步开始错误： (2)写出方程正确的解答过程. 20.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程a2+bx+c=0的倒方程，其中a,b,c为 常数（且a,C≠0）.根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程4x2+3x+1=0的“倒方程”是一 (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的“倒方程”的解，求出c的值； (3)若m是一元二次方程6x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m+m2-6m+2025的 值为 21.已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB-5cm,BC-7cm.点P从点A开始沿AB边向 点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cs的速度移动.当一 个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒， A→P B (1)求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2? (2)求几秒后，P9的长度等于5cm? (3)运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm？说明理由. 22.根据以下素材，探索并完成任务 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5 素材1 月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件， 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时， 试卷第5页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 月销售量为450件.若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15 件。 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率： 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价 任务2 应定为多少元？ 23.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+心=b的一元二次方程通过图解法能得到其中 的一个正根：如图，先画R1△ACB,使∠ACB=90,BC=号，AC-6:再在斜边AB上 被取BD-号，连接CD:那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根。 (I)用含a,b的代数式表示AD的长 (2)图中哪条线段的长是一元二次方程x2+c=b的一个正根？请说明理由。 24.我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程.在数学史上，我 国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法. 例：用几何解法求方程“+2x-3=0即x+2)=3 的正根 方法(I):三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造 边长为x+x+2的大正方形（如图1）： (1)根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： (x+x+2)2=3×4+22 ,解得正根： 试卷第6页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 xx+2 x+2 x+2 x+2 x 图1 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、 “拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）： (2)根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：-，解得正 根； x+2 图2 图3 图4 (3)实际上，对关于x的方程 (x+m)=n 可以用方法(I)、(Ⅱ)求出方程的正根， 若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程 中的n=_,求得方程的正根为_； (4)类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x=3的正根。 ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程：一，解得正根为· 图5 试卷第7页，共20页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年人教版新教材九年级数学上学期 · 第25章一元二次方程章节检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．将方程化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．2，5 B．2， C．，5 D．， 【答案】B 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】将化为一般形式进行判断即可． 【详解】解：∵化为一元二次方程的一般形式， ∴一次项系数、常数项分别是2，， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式是：，a，b，c是常数，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，解题的关键是正确进行变形． 2．下列方程中一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；根据此定义即可进行解答． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、，含有4个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，再去进行判断． 3．若是方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．将方程的根代入方程，通过计算求出的值． 【详解】解：把代入方程，得， ， ， ， 故选：D． 4．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2+px+q可分解为（     ）． A．（x+2）（x+3） B．（x－2）（x－3） C．（x－2）（x+3） D．（x+2）（x－3） 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据因式分解法，可写出以2和-3为根的一元二次方程为（x-2）（x+3）=0，原式得到x2+px+q=（x-2）（x+3）． 【详解】解：∵方程x2+px+q=0的两个根分别是2和-3， ∴方程可写成（x-2）（x+3）=0， ∴x2+px+q可分解为（x-2）（x+3）． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 5．一元二次方程化为一般形式后为，则一次函数的图象不经过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一元二次方程的一般形式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式、一次函数的性质等知识点，利用一元二次方程的一般形式得出方程组是解题关键． 根据一元二次方程的一般形式列方程组可解得，从而求得，，即可判断函数图像不经过第四象限． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式后为， ∵一元二次方程化为一般形式后为， 得，解得， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 6．关于方程的理解错误的是（ ） A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是 C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可. 【详解】A、这个方程是一元二次方程,正确; B、方程的解是x=±,错误; C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式,正确; D、这个方程可以用公式法求解,正确; 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法. 7．某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投入经费4000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据2026年投入经费2024年投入经费列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：A． 8．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：， 故选：D 9．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】根据单价=总价÷数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得： 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。下面是甲、乙两位同学的做法：甲：如图1，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而，类似地，在上折出点使。此时，的长度可以用来表示方程的一个正根；乙：如图2，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段N，然后通过沿线段折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而。此时，的长度可以用来表示方程的一个正根；甲、乙两人的做法和结果（    ）。 A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】C 【知识点】正方形折叠问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】图1中，设AM=AF=x，列出关于x的等式判断即可，图2中，设DN为x，列出关于x的等式判断即可. 【详解】在图1中， ∵正方形ABCD的边长为1，AM=AF=x， ∴BE=EF=，AE=， 在Rt△ABE中， ∴， ∴， ∴， ∴的长度可以用来表示方程的一个正根， 故甲同学的做法正确； 在图2中，连接NH， ∵正方形边长为1，H是CB中点， ∴BH=CH=， ∴， ∵折叠， ∴AP=AD=1， ∴HP=， 设DN为x， 则NP=x，CN=1-x， ∴在Rt△NPH中， ， 在Rt△NCH中， ， ∴， 解得：， 把代入中，等式成立， ∴的长度可以用来表示方程的1个正根， 故乙同学做法正确； 故选C. 【点睛】本题是对一元二次方程运用的考查，熟练掌握正方形的性质定理及一元二次方程的运用是解决本题的关键. 二、填空题 11．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】一元二次方程无实数根时判别式小于零，列出关于的不等式，求解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得， 故答案为： 13．已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】/ 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系，完全平方公式变形．根据题意先将通分得，再计算和的值，代入通分式子即可． 【详解】解：∵， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了__________个好友 【答案】5. 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题可设第一轮中某人向x人发短信，那么在第二轮中获得短信的这x人每人又发出了（x+1）条信息，即在第二轮中共发出了x（x+1）条短信，进而我们可列出方程，求出答案． 【详解】设第一轮中某人向x人发短信,获得短信的x人,每人向外发(x+1)条短信， 由题意得， x+x(x+1)=35， 整理x2+2x−35=0， 解得：x1=5,x2=−7(不合题意,舍去)           故答案为5. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 15．已知关于的一元二次方程．若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，则的值为______． 【答案】12或3 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法与勾股定理逆定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决问题的关键．利用公式法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的方程，解之即可得出k值． 【详解】解：， ∴= 即． 当为直角边时，， 解得， 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍）， 综上：k的值为12或3． 故答案为：12或3． 三、解答题 16．解方程 （1） ；                  （2） 【答案】（1）x1=4，x2=-8；（2）x1=，x2=2； 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）利用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）用十字相乘法解答； 【详解】解：（1）（x+2）2-36=0 （x+2）2=36 x+2=±6 解得x1=4，x2=-8； （2）因式分解得，（2x-3）（x-2）=0， 解得，x1=，x2=2； 【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． 17．已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)k的值为 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）略 （2）解：根据根与系数的关系得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 18．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】 首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米， 由题意得：， 解得：，， ∵这堵墙的长为18米， ∴不合题意舍去， ∴， 宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 19．习题课上老师给了一道解方程的题目：．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：…第一步， ∴…第二步， ∴，…第三步． 小明的解法 原方程可化为：…第一步， 两边都除以…第二步， ∴…第三步． (1)他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 【答案】(1)二；二 (2) 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）小马第二步方程左边因式分解错误，小明第二步忽略了的值可以为； （2）先把原方程化为，再移项得，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小马从第二步开始错误，理由是方程左边进行因式分解时，因式分解错误；小明从第二步开始错误，理由是的值可以为，方程两边不能直接同时除以； （2）略 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 21．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒， (1)求几秒后，△PBQ的面积等于6？ (2)求几秒后，PQ的长度等于5cm？ (3)运动过程中，△PQB的面积能否等于8？说明理由． 【答案】(1)2或3秒后△PBQ的面积等于6； (2)2秒后，PQ的长度等于5cm； (3)△PQB的面积不能等于8，理由: 设经过x秒以后△PBQ面积为8， 则： 整理得：． ∵， ∴△PQB的面积不能等于8． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）根据PQ=5，利用勾股定理，求出即可； （3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8． 【详解】（1）解：设经过x秒以后△PBQ面积为6， 则：， 整理得：， 解得：， 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6 ． （2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴当t=2后，PQ的长度等于5cm． （3）略 【点睛】本题考查一元二次方程在几何问题中的应用，勾股定理，三角形的面积求法，根据题意能准确列出方程是解题的关键． 22．根据以下素材，探索并完成任务． 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 【答案】（1）该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为；（2）每件泥塑的售价应定为元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程，是解题的关键： （1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，根据5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件，列出方程进行求解即可； （2）设每件泥塑的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得或（舍去）； 答：该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为； （2）设每件泥塑的售价应定为元，由题意，得：， 解得或； ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：每件泥塑的售价应定为元． 23．在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．    (1)用含，的代数式表示的长． (2)图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由． 【答案】(1)； (2) 线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下： 设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根 【知识点】用勾股定理解三角形、一元二次方程的解 【分析】（1）由勾股定理得到，由即可得到答案； （2）设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2） 略 【点睛】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键． 24．我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； （1）根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （2）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； （3）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； （4）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 【答案】（1）； （2）；； （3）5；； （4）①如图5所示， ②； 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）用不同的方式表示大正方形面积得到新的方程，然后求解即可； （3）根据题意求出，然后列出方程求解即可； （4）①根据据图1的方法构造即可； ②根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1） 解得， ∴正根为； （2）大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积还可以表示为， ∴可以得到新的方程：， ∴ 解得， ∴正根为； （3）∵图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴， ∴ 解得， ∴正根为； （4）①∵ ∴ ∴ ②∵ 根据题意得， ∴ 解得， ∴正根为． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $