26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第2课时 总结提升与综合应用）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，系统梳理一般式与顶点式转化、a/b/c对图象的影响，通过知识回顾（配方、待定系数法）搭建学习支架，衔接解析式确定、综合应用等内容。 其亮点在于融入数形结合与模型思想，以拱桥、排球发球等实际问题为例，引导学生建立坐标系解决问题，培养数学眼光和应用意识。典例分析含区间最值分类讨论、新定义“问真二次函数”，助力学生构建知识体系，教师可借助此资料提升复习教学效率。

26.2二次函数的图象和性质 26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第二课时 总结提升与综合应用复习 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 系统熟记二次函数一般式全套图象与性质，精准掌握a、b、c对抛物线的影响；能熟练用配方法、公式法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等高阶综合问题，规避常见易错点. 通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范. 通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识. 知识回顾 1.二次函数的两种常用表达式是什么？ 一般式： 顶点式： 配方 抛物线开口方向看a 函数增减性看对称轴左右 对称轴： 直线 顶点坐标：(， ) 对称轴： 直线 顶点坐标：(， ) 转 化 a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 a＞0 左降右升 a＜0 左升右降 特征 特征 知识回顾 2.还记得如何求一次函数表达式吗？它的一般步骤是什么？ 待定系数法 设 代 解 写 设函数解析式 解方程（组） 写出解析式 代入已知点的坐标列方程（组） 3.确定二次函数的表达式需要几个条件？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k， 三个系数 a，b，c 三个系数 a，h，k 只要二次函数解析式中的系数a，b，c或a，h，k确定，图像特征和性质就能确定 新知探究 探究点1 二次函数解析式的确定 做一做 根据二次函数解析式的一般式、顶点式等特点，用待定系数法求抛物线解析式． 问题1：已知抛物线经过，，两点，求抛物线的解析式． 解：∵抛物线经过，两点， 代入解析得： ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 写出解析式 讨论：抛物线经过，能得到怎样的对应关系？ 经过 当时， 经过 当时， 一起来学习吧 新知探究 探究点1 二次函数解析式的确定 做一做 问题2：已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式. 解：∵抛物线顶点为(1, -4)， ∴设这条抛物线的解析式y=a(x-1)2-4. 把点(3, 0)代入得 0 = (3-1)2a-4， 解得：a=1. ∴这条抛物线为y=(x-1)2-4， 即y=x2-2x-3. 讨论：抛物线的顶点为(1, -4)，能得到怎样的对应关系？ 顶点式：y=a(x-h)2+k， h=1，k=－4 解析式: y=a(x-1)2-4. 可以化为一般式 已知不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与坐标轴平行）或三个独立的条件。 已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 二次函数常用的几种解析式的确定方法 一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0) 用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式. 注意 设 代 解 写 设函数解析式 代入已知条件列方程（组） 解方程（组） 写出解析式 待定系数法 新知探究 探究点1 二次函数解析式的确定 归一归 新知探究 议一议 二次函数y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )图象与性质与a、b、c有什么关系？ 开口方向 函数增减性 a 决定 a，b 共同决定 a，b ，c共同决定 c 决定什么？ 抛物线与y轴的交点 探究点2 系数与图象的对应关系 对称轴 直线 顶点坐标 (， ) 开口方向，对称轴 a，b 共同决定 c称为抛物线在y轴截距 新知探究 探究点2 系数与图象的对应关系 做一做 问题2：如图，在直角坐标系中，已知函数． (1)完成以下列表： … 0 1 2 3 4 … …               … (2)画出这个函数的图象； (3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴． … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 5 … 解：（1）如图，列表如下 （2）如图，函数的图象如下： 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 （3）由图可知：与x轴交于，， 与y轴交于， 顶点坐标：， 对称轴:直线． 新知探究 探究点3 二次函数的综合应用 做一做 掌握二次函数的性质是解二次函数图象性质的综合应用的关键 问题3.已知抛物线经过点，． (1)求，的值； (2)若是抛物线上的点，求的值． （1）解：抛物线经过点，， ，解得； （2）解：由（1）知抛物线表达式为， 把代入解析式，得： ． 分析： (1)求，的值即用待定系数法确定二次函数解析式 (2) 是抛物线上的点，即点坐标满足解析式， 代入解析式，求出m 新知探究 探究点4 二次函数的实际应用 做一做 建立合适的平面直角坐标系，转化为二次函数型问题. 问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【分析】 （1）建立合适的坐标系，以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； 新知探究 探究点4 二次函数的实际应用 做一做 问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； （1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； y O x 新知探究 探究点4 二次函数的实际应用 做一做 问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； 【分析】 （2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可； 解：由（1）得：， 当时，则：， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， y O x 新知探究 探究点4 二次函数的实际应用 做一做 问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【分析】（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处， ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 新知探究 探究点4 二次函数的实际应用 归一归 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系. (2)把已知条件转化为点的坐标. (3)合理设出函数解析式. (4)利用待定系数法求出函数解析式. (5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算. 典例分析 例1：已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 解：∵抛物线的顶点是， ∴可设抛物线的函数解析式为：， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． 典例分析 例2.已知二次函数y=-x²+2x+3，完成下列问题： （1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标； （2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数； （3）当0≤x≤3时，求函数的最大值和最小值； （4）若点A(1,)、B(2,)在抛物线上，比较、的大小. 解:（1）配方化为顶点式， y =-x²+2x+3 =-(x²-2x)+3 = -(x²-2x+1-1)+3 =-(x-1)²+4 可得：对称轴为：直线x=1， 顶点坐标：(1，4). （2）由题意得：a=-1<0， ∴抛物线开口向下； 令y=-x²+2x+3=0 ∵△=b²-4ac==4+12=16>0， ∴方程无实数根 即 抛物线与x轴有两个交点； 把x=0代入y=-x²+2x+3 ， 得：y=3 ∵3＞0，∴抛物线与y轴交于正半轴。 典例分析 例2.已知二次函数y=-x²+2x+3，完成下列问题： （1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标； （2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数； （3）当0≤x≤3时，求函数的最大值和最小值； （4）若点A(1,)、B(2,)在抛物线上，比较、的大小. （3）抛物线开口向下，对称轴x=1； 当0≤x≤3时； ∴ 当x=1时，函数取得最大值，； ∵ x=0时，y=3； x=3时，y = -9+6+3=0； ∴当x=3时，函数取得最小值， （4）比较函数值大小 对称轴x=1，开口向下， ∴ 当x>1时，y随x增大而减小； ∵ 1<2，∴ >. 典例分析 例3.阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“问真二次函数”．； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求a的值． （1）解：设二次函数的一个“问真二次函数”为， ， ，，，， 两个函数图像开口方向相反，的值可以是， 二次函数的一个“问真二次函数”可以是， 即（答案不唯一）； （2）∵图象的顶点为． 的顶点坐标为． ∵，且∴． 典例分析 例3.阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“问真二次函数”； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求a的值． （1）解：设二次函数的一个“问真二次函数”为：， ， ，， ，， 两个函数图像开口方向相反， 的值可以是， 二次函数的一个“问真二次函数”可以是：， 即； （答案不唯一） 典例分析 例4.如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)试写出的面积与之间的函数表达式； (2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）由题意得： ，， ； ； （2）， 当时，的面积最大，最大值是． 新知巩固 1．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； 解：（1） ． （2）∵抛物线， ∴对称轴为直线， 顶点坐标为． 拓展提升 1.如图，已知女排球场的长度为米，位于球场中线处的球网的高度米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)写出点坐标___________；点坐标___________． (2)若排球运行的最大高度为米，求排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． （1）解：∵，是的中点，∴， ∵，∴， ∵，∴， 拓展提升 1.如图，已知女排球场的长度为米，位于球场中线处的球网的高度米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)写出点坐标___________；点坐标___________． (2)若排球运行的最大高度为米，求排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）解：由排球运行的最大高度为米，则顶点的坐标点， 则设抛物线的解析式为， ∵点坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， 拓展提升 1.如图，已知女排球场的长度为米，位于球场中线处的球网的高度米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． （3）这次发球可以过网且不出边界， 理由：当时， ， 当时， ． ∴这次发球可以过网且不出边界． 真题感知 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 解：（1）由题意，结合表格数据可得， 二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2． 真题感知 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． （2）由题意，结合（1） y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． 真题感知 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． （3）由题意， ∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3； 当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5． ∴n4，不合题意． 真题感知 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时， y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3； 当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去） 或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． 真题感知 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为：（1﹣n）2﹣3； 当x＝3时，y取最大值为：（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2﹣3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 真题感知 2.（2025•浙江） 已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段 y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 解：（1）把（1，0）代入 y＝x2﹣ax+5，得： 1﹣a+5＝0，解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5， ∴对称轴为直线， ∵点A（0，t）在y轴上， 过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴ B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴ xc＝2xB，∴ ， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5， 得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴ t＝﹣3； 真题感知 2.（2025•浙江） 已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段 y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3,4） 即：y＝﹣4时，n﹣m最大， 此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12， 如图：∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， 即n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为： 7﹣（﹣1）＝8． 真题感知 3．（2026·江门校考期中）如图，在中，，，，点从出发沿向点以1厘米/秒的速度匀速移动；点从出发沿向点以2厘米/秒的速度匀速移动．点、分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为秒． (1)填空：_______，_______． (2)当为何值时，的面积等于？ (3)当为何值时，的面积最大． 解：（1）由题意得， ，， ∴； （2）根据题意得： ， 解得：； ∵点从出发沿向点以1厘米/秒的速度匀速移动；点从出发沿向点以2厘米/秒的速度匀速移动， ∴，， ∴， ∴当时，的面积等于； （3）， ∴当时，的面积最大． 课堂小结 （1）熟练完成一般式与顶点式互化，熟记核心公式； （2）掌握a、b、c、△数形双向判断； （3）掌握区间分类讨论求最值方法； （4）掌握对称轴距离法快速比较多点函数值. 知识与技能 课堂小结 （1）数形结合：以形助数、以数释形； （2）分类讨论：区间位置分类求最值； （3）模型思想：固化二次函数综合题解题模板. 思想与方法 课堂小结 （1）区间最值必须对比顶点和端点，不能只看顶点； （2）开口方向不同，距离对称轴远近对应的函数值大小规律相反； （3）配方提取系数后，常数项极易算错. 易错点提醒 课后练习 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2).在x轴上任取一点M，并按以下步骤作图： ①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2 ，记l1 ， l2的交点为P； ②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，再用平滑的曲线连接这些点，记为曲线l. (1)对于曲线 l上任意一点P，线段PA与PM有什么关系? (2)设点P的坐标是(x , y)，根据(1)的结论求 x , y 满足的关系式.你能由此确定曲线 l 是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含 x，y 的式子表示线段PA的长.） M P l2 l1 习题 26.2 课本p44页 课后练习 解：(1)∵l1是线段AM的中垂线 ∴PA=PM (2) 做PB⊥y轴于点B, 则PA2=PB2+AB2=PM2 即x2+(y-2) 2=y2，得y=x2+1，所以l是抛物线. B 习题 26.2 课本p44页 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2).在x轴上任取一点M，并按以下步骤作图： ①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2 ，记l1 ， l2的交点为P②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，再用平滑的曲线连接这些点，记为曲线l. (1)对于曲线 l上任意一点P，线段PA与PM有什么关系? (2)设点P的坐标是(x , y)，根据(1)的结论求 x , y 满足的关系式.你能由此确定曲线 l 是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含 x，y 的式子表示线段PA的长.） 谢谢聆听 $