01任意角、弧度制及任意角的三角函数回归教材版讲义——2027届高三一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦任意角、弧度制及任意角的三角函数等核心考点，按概念内涵、公式应用、象限判定的逻辑层次梳理知识，通过回归教材经典例题、考点分类解析、方法规律总结、分层跟踪练习的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破终边相同角表示、扇形公式应用等难点。 资料以教材为根基深度对接高考要求，如通过推导扇形面积公式培养数学思维，结合三角函数定义判断象限角符号强化数学语言表达，设置基础巩固与能力提升分层练习。精准的考点突破策略和即时反馈设计，能有效提升学生解题效率，为教师把控一轮复习节奏、落实核心素养提供实用指导。

2027届高三一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义 ——01 任意角、弧度制及任意角的三角函数 知识梳理： 1．角的概念 (1)任意角 ①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ②如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角． (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位记作rad. (2)弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°． (3)公式：①弧长公式：l＝|α|r；②扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2． 说明：公式中的α必须为弧度制！ 3．任意角的三角函数 (1)定义 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 回归教材： 1、【人教A版必修一第5.1.1节例3】写出终边在直线上角的集合S.S中满足不等式的元素有哪些？ 2、【人教A版必修一第5.1.2节例6】利用弧度制证明下列关于扇形的公式： （1）；（2）；（3）. 其中R是圆的半径，（）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积. 3、【人教A版必修一第5.1.1节练习第5题】写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1）；（2）. 4、【人教A版必修一第5.1.2节练习第1题】把下列角度化成弧度：（1）；（2）；（3）. 5、【人教A版必修一第5.1.2节练习第2题】把下列弧度化成角度：（1）；（2）；（3）. 6、【人教A版必修一第5.1.2节练习第3题】分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1 m的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）. 7、【人教A版必修一第5.1.2节练习第4题】已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数. 8、【人教A版必修一习题5.1第3题】分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合. 9、【人教A版必修一习题5.1第4题】 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 10、【人教A版必修一习题5.1第11题】（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由. （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间） 11、【人教A版必修一习题5.1第12题】已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿. （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 12、【人教A版必修一第5.2.1节例1】求的正弦、余弦和正切值. 13、【人教A版必修一第5.2.1节例3】求证角为第三象限角的充要条件是 14、【人教A版必修一第5.2.1节练习第2题】设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？ 15、【人教A版必修一第5.2.1节练习第3题】确定下列三角函数值的符号： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 考点梳理： 终边相同的角及轴线角 例、【人教A版必修一第5.1.1节例2】写出终边在y轴上角的集合. 例、【人教A版必修一第5.1.2节练习第3题】用弧度表示： （1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合. 例、若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A. B. C. D. 例、【人教A版必修一习题5.1第2题】写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）. 小结： 1、终边相同角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．轴线角 象限角的判断 例. 已知角 的终边在第二象限，且，则角的终边在( ) A. 第一象限或第三象限 B. 第二象限或第四象限 C. 第三象限 D. 第四象限 例、【人教A版必修一第5.1.1节例1】在0°~360°范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 例、【人教A版必修一第5.1.1节练习第1题】锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题. 例、【人教A版必修一第5.1.1节练习第4题】在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： （1）；（2）；（3）. 小结： 1、象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为2kπ＋α(α∈[0，2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α， 再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．象限角 或nθ(n∈N*)终边所在象限的 例、【人教A版必修一习题5.1第7题】 已知是锐角，那么是（ ）． A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 第一或第二象限角 例、已知角 是第二象限角，则角 是第( )象限角. A. 一 B. 二 C. 三 D. 一或三 例、【人教A版必修一习题5.1第8题】若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 小结：1、求或nθ(n∈N*)终边所在象限的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k，k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)终边所在的象限． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或的范围； (3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置． 象限角的拓展——范围角 例、集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 例、集合,中的角所表示的范围（阴影部分）是( ) A. B. C. D. 例、已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________． 扇形的弧长、面积公式 例、(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列说法正确的是(　　) A．扇形的半径可能为2 B．扇形的半径可能为1 C．圆心角的弧度数可能是1 D．圆心角的弧度数可能是2 例、某日，分针长为6 cm的时钟从20：10走到20：35，则分针转动的弧度数α＝________，分针的针尖走过的弧长l＝________cm. 例、已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l， (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 　小结、扇形的弧长和面积的计算方法 (1)在弧度制下，记住下列公式 ①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 三角函数的定义及其应用 例、设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　) A．－ B．－ C. D. 例、已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sinα＝，则cosα＝________，tanα＝________． 例、【人教A版必修一第5.2.1节例2】如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，求证：，，. 三角函数值符号的判定 例、sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 例. 确定下列式子的符号 （1）；（2）；（3）；（4）. 例、【人教A版必修一第5.2.1节练习第4题】对于，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空： （1）角为第一象限角的充要条件是_____； （2）角为第二象限角的充要条件是_____； （3）角为第三象限角的充要条件是_____； （4）角为第四象限角的充要条件是______. 小结: 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 跟踪练习： 1．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－－6π　　　　　　 B．－6π C．－－8π D．－8π 2、已知点P(cos α，tan α)在第二象限，则角α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、已知点在角的终边上，且，则角 的大小为( ) A. B. C. D. 4、已知角 的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则角 的余弦值为( D ). A. B. C. D. 5．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于(　　) A． B．± C．－ D．－ 7、已知α与210°角的终边关于x轴对称，则是(　　) A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是(　　) A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为平方步 C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为平方步 9．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0，2π)，则角α的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 10．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A． B．cos α－sin α C．sin αcos α D．sin α＋cos α 11．(多选)下列关系式正确的是(　　) A．sin300°<0 B．cos(－305°)>0 C．tan>0 D．sin10>0 12．（多选）已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是(　　) A．sinθ＝－ B．α为钝角 C．cosα＝－ D．点(tanθ，sinα)在第一象限 13．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝ B．若α是第一象限角，则为第一或第三象限角 C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 D．若0<α<，则sin α<tan α 14．设α＝2 020°－360°×k，k∈Z，β＝2 020°，若α是与β终边相同的最小正角，则k＝________. 15、【人教A版必修一习题5.1第1题】在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）；（2）；（3）；（4）. 16. 【人教A版必修一习题5.2第5题】确定下列三角函数值的符号： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 17. 【人教A版必修一习题5.2第2题】已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求. 18．设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆交于点A，它的终边与单位圆交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义 ——01 任意角、弧度制及任意角的三角函数 知识梳理： 1．角的概念 (1)任意角 ①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ②如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角． (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位记作rad. (2)弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°． (3)公式：①弧长公式：l＝|α|r；②扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2． 说明：公式中的α必须为弧度制！ 3．任意角的三角函数 (1)定义 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 回归教材： 1、【人教A版必修一第5.1.1节例3】写出终边在直线上角的集合S.S中满足不等式的元素有哪些？ 解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线上的角的集合 . S中适合不等式的元素有，，，，，. 2、【人教A版必修一第5.1.2节例6】利用弧度制证明下列关于扇形的公式： （1）；（2）；（3）. 其中R是圆的半径，（）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积. 证明：（1）由公式可得.下面证明（2）（3）. 半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是，， 将n°转换为弧度，得，于是，.将代入上式，即得. 3、【人教A版必修一第5.1.1节练习第5题】写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1）；（2）. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）终边相同的角的集合，分别令，即可得解； （2）终边相同的角的集合，分别令，即可得解. 【详解】（1），分别令，得，，； （2），分别令，得. 【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，以及找出在指定范围内的元素，关键在于准确表示，正确求解不等式. 4、【人教A版必修一第5.1.2节练习第1题】把下列角度化成弧度：（1）；（2）；（3）. 【答案】（1）； （2）； （3） 【分析】（1）根据题意，结合弧度=角度，即可求解； （2）根据题意，结合弧度=角度，即可求解； （3）根据题意，结合弧度=角度，即可求解. 【解析】（1）由题意得，. （2）由题意得，. （3）由题意得，. 5、【人教A版必修一第5.1.2节练习第2题】把下列弧度化成角度：（1）；（2）；（3）. 【答案】1）；（2）；（3）. 【分析】(1)利用转化即可；(2) 利用转化即可；(3) 利用转化即可。 【详解】(1). (2). (3). 【点睛】本题考查的是角度制和弧度制的相互转化，较简单. 6、【人教A版必修一第5.1.2节练习第3题】分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1 m的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）. 【答案】 【分析】利用公式和分别计算即可 【详解】角度制下：，，弧长. 弧度制下：，，弧长. 【点睛】本题考查的是角度制和弧度制下弧长公式的应用，较简单. 7、【人教A版必修一第5.1.2节练习第4题】已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数. 【答案】1.2 【分析】利用公式计算即可 【详解】，即该弧所对的圆心角的张度数为1.2. 【点睛】本题考查的是扇形有关公式的直接应用，较简单. 8、【人教A版必修一习题5.1第3题】分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合. 【分析】先用角度制写出四个象限角的集合，再用弧度制写出这四个象限角的集合即可． 【详解】用角度制写出象限角的集合是： 第一象限角：； 第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：. 用弧度制写出象限角的集合是： 第一象限角：； 第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：. 【点睛】本题考查了象限角的角度制与弧度制的表示方法问题，解题时应熟练地写出来，是基础题． 9、【人教A版必修一习题5.1第4题】 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 【答案】不等于，原因见解析 【分析】直接利用弧度数定义判断即可． 【详解】不等于1弧度，这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所对的弧比半径长. 【点睛】本题考查弧度制的应用，属于基础题． 10、【人教A版必修一习题5.1第11题】（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由. （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间） 【答案】（1）时针：，；分针：，.（2）不正确，理由见解析 【分析】 （1）算出时针每小时转过的度数乘以4便是经过4小时时针转过的度数；分钟每分钟转过的度数乘以便是经过4小时分针转过的度数，然后将度数转换成弧度即可； （2）可假设经过后，时针和分针第次重合，则有，可以求出，并且最后一次相遇经过的时间为，这样即可求出一天内时针和分针重合的次数，从而判断出这种说法的正误． 【详解】（1）因为时针按照顺时针方向旋转，故形成的角为负角，经过4小时，时针转了，分针转了，分别等于弧度和弧度； （2） 分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第此重合， 则：；，；最后一次相遇经过了； 此时，即时针和分针相遇22次；重合24次的说法不正确． 【点睛】考查对时针和分针运动情况的掌握，度数和弧度数的关系及转换，弄清楚分针和时针相遇时转过圈数的关系． 11、【人教A版必修一习题5.1第12题】已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿. （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度； （2）再通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得. 【详解】（1）相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，小轮转动周，即．． （2）当大轮的转速为时，．小轮转速为， 小轮周上一点每转过的弧度数为：． 小轮的半径为，小轮周上一点每转过的弧长为：． 【点睛】本题考查了角度与弧度的关系的实际应用，本题难度不大，属于基础题 12、【人教A版必修一第5.2.1节例1】求的正弦、余弦和正切值. 【答案】，， 【分析】求出的终边与单位圆的交点即可 【详解】在直角坐标系中，作（如图）， 易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以，，，. 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 13、【人教A版必修一第5.2.1节例3】求证角为第三象限角的充要条件是 【分析】根据象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号证明即可 【详解】因为角为第三象限角所以， 反过来：由得，由得 所以，所以角为第三象限角， 所以角为第三象限角的充要条件是 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 14、【人教A版必修一第5.2.1节练习第2题】设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？ 【答案】和有可能取负值 【分析】直接根据角所在象限确定正负值. 【详解】当是钝角时，和取负值，当时，，此时和均为正值.即是三角形的一个内角时，和有可能取负值. 15、【人教A版必修一第5.2.1节练习第3题】确定下列三角函数值的符号： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）正；（2）负；（3）0；（4）负；（5）正；（6）正. 【分析】判断出每个角的终边所在象限即可 【详解】因为的第二象限角，所以的符号为正 因为，所以是第三象限角所以的符号为负 因为，所以的终边在轴负半轴，所以 因为，所以是第四象限角，所以的符号为负 因为，所以是第二象限角，所以的符号为正 因为，所以是第三象限角，所以的符号为正. 【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单. 考点梳理： 终边相同的角及轴线角 例、【人教A版必修一第5.1.1节例2】写出终边在y轴上角的集合. 解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合， 而所有与270°角终边相同的角构成集合，于是，终边在y轴上的角的集合 . 例、【人教A版必修一第5.1.2节练习第3题】用弧度表示： （1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)将终边在x轴正半轴上的角的集合与终边在x轴负半轴上的角的集合取并集即可 (2)将终边在y轴正半轴上的角的集合与终边在y轴负半轴上的角的集合取并集即可 【详解】(1)； (2). 【点睛】本题考查的是终边在坐标轴上的角的表示方法，较简单. 例．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A. B. C. D. 解析：选D　因为直线y＝－x的倾斜角是，tan α＝－，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为或者.故选D. 例、【人教A版必修一习题5.1第2题】写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）. 【分析】根据终边相同的角的概念直接表示，并求出集合中适合不等式的元素. 【解析】（1）,其中适合不等式的元素有：. （2）,其中适合不等式的元素有：. （3）,其中适合不等式的元素有：. （4）,其中适合不等式的元素有：. （5）,其中适合不等式的元素有：. （6）,其中适合不等式的元素有：. （7）,其中适合不等式的元素有：. （8）,其中适合不等式的元素有：. 小结： 1、终边相同角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．轴线角 象限角的判断 例. 已知角 的终边在第二象限，且，则角的终边在( ) A. 第一象限或第三象限 B. 第二象限或第四象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C [解析] 角 是第二象限角，，，，， 角的终边在第一或第三象限.，， 角的终边在第三象限.故选. 例、【人教A版必修一第5.1.1节例1】在0°~360°范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 解：，所以在0°~360°范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角. 例、【人教A版必修一第5.1.1节练习第1题】锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题. 【答案】锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角. 【分析】锐角是第一象角，第一象限角可以是锐角加的整数倍，所以不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角. 【详解】锐角，是第一象限角，是第一象限角不是锐角；直角的终边在坐标轴上（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如；钝角是第二象限角，是第二象限角，但不是钝角，所以锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角. 【点睛】此题考查象限角轴线角与锐角钝角和直角之间的关系，关键在于掌握终边相同的角的表示方式的辨析. 例、【人教A版必修一第5.1.1节练习第4题】在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1），第四象限角；（2），第一象限角； （3），第三象限角 【分析】（1）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解；（2）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解； （3）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解； 【解析】（1）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第四象限角. （2）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第一象限角. （3）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第三象限角. 小结： 1、象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为2kπ＋α(α∈[0，2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α， 再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．象限角 或nθ(n∈N*)终边所在象限的 例、【人教A版必修一习题5.1第7题】 已知是锐角，那么是（ ）． A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 第一或第二象限角 【答案】C 【分析】由题知，故，进而得答案. 【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.其中D选项不包括，故错误.故选：C 例、已知角 是第二象限角，则角 是第( )象限角. A. 一 B. 二 C. 三 D. 一或三 【答案】D [解析]因为角 是第二象限角， ，，即 ，， 令，得；令，得.故 是第一或第三象限角.故选. 例、【人教A版必修一习题5.1第8题】若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 【答案】D 【分析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k的取值即可. 【详解】因为为第一象限角，所以，所以， 当时，，属于第一象限角，排除B； 当时，，属于第三象限角,排除AC； 所以是第一或第三象限角，故选：D 小结：1、求或nθ(n∈N*)终边所在象限的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k，k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)终边所在的象限． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或的范围； (3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置． 象限角的拓展——范围角 例、集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案：C 解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．故选C. 例、集合,中的角所表示的范围（阴影部分）是( ) A. B. C. D. 答案：C [解析]当时，,，此时 表示的范围与表示的范围一样； 当时，,，此时 表示的范围与 表示的范围一样.故选. 例、已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________． 答案： 解析：∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为， ∴所求角的集合为. 扇形的弧长、面积公式 例、(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列说法正确的是(　　) A．扇形的半径可能为2 B．扇形的半径可能为1 C．圆心角的弧度数可能是1 D．圆心角的弧度数可能是2 答案：ABC 解析：设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得解得或可得扇形的半径可能为1或2，圆心角的弧度数可能是4或1. 例、某日，分针长为6 cm的时钟从20：10走到20：35，则分针转动的弧度数α＝________，分针的针尖走过的弧长l＝________cm. 答案：－　5π 解析：因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度数为负数，可得α＝－×2π＝－， 由分针长为6 cm可得，弧长l＝|α|r＝5π cm. 例、已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l， (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)∵α＝60°＝ rad，R＝10 cm，∴扇形的弧长l＝αR＝×10＝(cm)． (2)由题意，得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝lR＝(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25. ∴当R＝5 cm时，S扇有最大值25 cm2.此时l＝20－2×5＝10(cm)，α＝＝＝2 rad. ∴当α＝2 rad时，扇形的面积最大． 　小结、扇形的弧长和面积的计算方法 (1)在弧度制下，记住下列公式 ①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 三角函数的定义及其应用 例、设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：B 解析：由三角函数的定义知cosα＝＝x，又α是第二象限角，故x＝－2，所以tanα＝＝－. 例、已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sinα＝，则cosα＝________，tanα＝________． 答案：－　 或－ 解析：设P(x，y)，由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝， 所以sinα＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±. 当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cosα＝－，tanα＝－； 当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cosα＝－，tanα＝. 例、【人教A版必修一第5.2.1节例2】如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，求证：，，. 【分析】设角的终边与单位圆交于点，分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，利用即可证明. 【详解】如图，设角的终边与单位圆交于点.分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，则，，，，因为 所以，即.因为与y同号，所以，即. 同理可得，。 【点睛】只要知道角终边上任意一点P的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变. 三角函数值符号的判定 例、sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 [答案]A 【解析】因为<2<3<π<4<，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角， 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cos 3·tan 4<0. 例. 确定下列式子的符号 （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）正 【分析】根据角所在的象限,判断三角函数的符号,即可判断各自的符号. 【详解】（1），∴原式为正； （2），∴原式为负； （3），∴原式为负； （4），∴原式为正. 【点睛】本题考查了三角函数在四个象限的符号判断,属于基础题. 例、【人教A版必修一第5.2.1节练习第4题】对于，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空： （1）角为第一象限角的充要条件是_____； （2）角为第二象限角的充要条件是_____； （3）角为第三象限角的充要条件是_____； （4）角为第四象限角的充要条件是______. 【答案】（1）. ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ （2）. ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ （3）. ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ （4）. ②③或②⑥或③⑥或②③⑥ 【分析】根据三角函数在各个象限中的符号即可填出答案 【详解】角为第一象限角的充要条件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤； 角为第二象限角的充要条件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥； 角为第三象限角的充要条件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤； 角为第四象限角的充要条件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥。 【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单. 小结: 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 跟踪练习： 1．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－－6π　　　　　　 B．－6π C．－－8π D．－8π 【答案】D 解析：－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋，故选D. 2、已知点P(cos α，tan α)在第二象限，则角α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]C　 [解析]点P(cos α，tan α)在第二象限，则所以角α在第三象限． 3、已知点在角的终边上，且，则角 的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】B [解析]依题意，点在第二象限，又，所以 ，而，所以.故选. 4、已知角 的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则角 的余弦值为( D ). A. B. C. D. 【答案】D [解析]因为角 的终边在直线上，所以角 的终边在第一象限或第三象限， 可设点为角 的终边上一点，所以.故选. 5．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B 解析：由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，∵＝－cos，∴cos<0.综上可知，为第二象限角．故选B. 6．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于(　　) A． B．± C．－ D．－ 【答案】D 解析：选D　由三角函数的定义得cos α＝＝，解得x＝±.又点P(x，)在第二象限内，所以x＝－.故选D. 7、已知α与210°角的终边关于x轴对称，则是(　　) A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 答案：B 解析：由α与210°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－210°，k∈Z，所以＝k·180°－105°，k∈Z，取k＝0，1，可确定是第一或第三象限角．故选B. 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是(　　) A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为平方步 C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为平方步 【答案】B 解析：依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120平方步，问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝平方步． 9．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0，2π)，则角α的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案：B 解析：因为点P在第一象限，所以即由tanα＞0，可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sinα＞cosα，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是∪. 10．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A． B．cos α－sin α C．sin αcos α D．sin α＋cos α 【答案】AB 解析：本题考查三角函数的定义．由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0，则>0，故A正确； cos α－sin α>0，故B正确；sin αcos α<0，故C错误；sin α＋cos α的符号不确定，故D错误，故选AB. 11．(多选)下列关系式正确的是(　　) A．sin300°<0 B．cos(－305°)>0 C．tan>0 D．sin10>0 答案：AB 解析：因为300°＝360°－60°，所以300°是第四象限角，故sin300°<0，A正确；因为－305°＝－360°＋55°，所以－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，B正确；因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角，故tan<0，C错误；因为3π<10<，所以10是第三象限角，故sin10<0，D错误．故选AB. 12．（多选）已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是(　　) A．sinθ＝－ B．α为钝角 C．cosα＝－ D．点(tanθ，sinα)在第一象限 答案：ACD 解析：角θ的终边经过点(－2，－)，sinθ＝－，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，则α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－，B错误，C正确；因为tanθ＝>0，sinα＝>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确． 13．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝ B．若α是第一象限角，则为第一或第三象限角 C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 D．若0<α<，则sin α<tan α 【答案】BCD　 解析：当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－，故A错误；∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴kπ<<kπ＋，k∈Z，∴为第一或第三象限角，故B正确；|α|＝＝＝1，故C正确；∵0<α<，∴sin α<tan α⇔sin α<⇔cos α<1，故D正确． 14．设α＝2 020°－360°×k，k∈Z，β＝2 020°，若α是与β终边相同的最小正角，则k＝________. 答案：5 解析：∵β＝2 020°＝360°×5＋220°，α是与β终边相同的最小正角，∴α＝2 020°－360°×k＝220°， 解得k＝5. 15、【人教A版必修一习题5.1第1题】在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解； （2）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解； （3）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解； （4）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解. 【解析】（1）因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第二象限角. （2）因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第一象限角. （3）因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第三象限角. （4）因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第四象限角. 16. 【人教A版必修一习题5.2第5题】确定下列三角函数值的符号： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）负 （2）负 （3）负 （4）正 （5）负 （6）负 【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可． 【解析】（1）因为为第三象限角，所以为负； （2）因为为第二象限角，所以为负； （3）因为为第四象限角，所以为负； （4）因为为第一象限角，所以为正； （5）因为为第三象限角，所以为负； （6）因为为第二象限角，所以为负． 17. 【人教A版必修一习题5.2第2题】已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求. 【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解. 【详解】r＝＝5|a|. 当a＞0时，r＝5a，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝； 当a＜0时，r＝－5a，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 18．设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． 解：(1) α1＝－350°＝－＝－＝－2π＋，α2＝860°＝＝＝4π＋. ∴α1的终边在第一象限，α2的终边在第二象限． (2) β1＝＝×180°＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，∵－720°<θ＜0°， ∴－720°<k·360°＋108°＜0°(k∈Z)，∴k＝－2或k＝－1， ∴在－720°～0°之间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°，且在－720°～0°之间与β2有相同终边的角是－60°. 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆交于点A，它的终边与单位圆交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tanα＝－. (2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为. (3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，而S△AOB＝×1×1×sinα＝sinα， 故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sinα，α∈. 学科网（北京）股份有限公司 $