第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦任意角、弧度制及任意角的三角函数核心考点，依据高考考情（多与三角恒等变换等综合命题，以选择填空形式呈现），按角的概念推广、弧度制、三角函数定义及三角函数线的逻辑层次架构知识，通过考点梳理、概念辨析、典例精讲、真题训练环节，帮助学生系统突破难点。 讲义突出核心素养培养，如“思考辨析”强化角的概念理解（数学抽象），“扇形面积公式”结合二次函数提升运算能力（数学运算），“三角函数线比较大小”发展直观想象。设置分层练习，配合即时反馈，助力学生高效复习，为教师把控节奏提供有力指导。

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养． 2．扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养． 3．三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养． 4．三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养 　　对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的　端点　从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad； ②1 rad＝　°　 弧长公式 弧长l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝lr＝　|α|r2　 3.任意角的三角函数 前提 如图，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ 定义 正弦 称为α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 称为α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 称为α的正切，记作tan α，即tan α＝ 三角 函数 对于每一个角α，都有唯一确定的　正弦、余弦　与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数 4. 单位圆的相关概念 (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足　x2＋y2＝1　的点组成的集合称为　单位圆　. (2)α的坐标：如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的　横坐标　和　纵坐标　. 5．三角函数线 (1)正弦线和余弦线的概念： 如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cos α：的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是　正数　， 且cos α＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是　负数　，且cos α＝－||. 习惯上，称为角α的余弦线. 类似地，图中的可以直观的表示sin α，因此称为角α的正弦线． (2)正切线的概念： 如图所示，设角α的终边与直线 　x＝1　交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线． 1．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图 3．若α∈，则tan α>α>sin α. 4. 5. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (4)不相等的角终边一定不相同．(　　) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　　) (7)α∈，则tan α>α>sin α.(　　) (8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√　(7)√　(8)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)－870°角的终边在第几象限(　　) A．一　　 B．二　　 C．三　　 D．四 解析：C　[∵－870°＝－360°×3＋210°， ∴－870°与210°角终边相同． 又∵210°角的终边在第三象限， ∴－870°角的终边在第三象限．] 2．(2024·湖北新高考联考协作体联考)已知sin(π－θ)>0，cos θ<0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：B　[由sin(π－θ)>0，得sin θ>0， 又cos θ<0，∴θ是第二象限角．] 3．(教材改编)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D． 解析：　D　[因为sin>0，cos<0， 所以角α的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sin α＝cos＝－， 故角α的最小正值为α＝2π－＝.] 4．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝　________　. 解析：如图，由题意知， 角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1. 答案：－1 5．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是　________　. 解析：设扇形的半径和弧长分别为r，l， 则易得解得或 故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 答案： 1或4 角的集合表示及象限角的判定(应用点) [典例]　(1)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为　__________　. (2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是　________　，角2α的终边所在位置是　________　. [解析]　(1)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z. ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，. (2)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜＋2kπ，∴－－2kπ＜－α＜－π－2kπ，即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)，∴角－α的终边在第二象限． 由π＋2kπ＜α＜＋2kπ得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)， ∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴． [答案]　(1)，，　(2)第二象限　第一、二象限及y轴的非负半轴 [互动探究] 在本例(2)的条件下，角终边所在的位置是　________　. 解析：因为π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，所以＋＜＜＋(k∈Z)． 当k＝3n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，＋2nπ＜＜π＋2nπ(n∈Z)．综上，的终边在第一、三、四象限． 答案：第一、三、四象限 　　 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (2)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (3)已知角α终边所在的象限，求2α、、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、、π－α等的范围，再根据范围确定象限． 1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　 ) A．第一或第三象限　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：A　[当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．] 2．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为　________　. 解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}． 答案：{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z} 扇形的弧长及面积公式(应用点) [典例]　已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ [关键突破点]　建立扇形的面积S与其半径r的函数关系式求解． [解]　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． [互动探究] 　本例题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l. 解：设半径为r.则由＝sin 60°， ∴r＝4，∴l＝|α|·r＝π. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为　________　. 解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，∴α＝. ∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝. 答案： 　三角函数的定义(迁移点) [母题]　设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，则 sin α的值为　________　. 核心素养 数学运算——三角函数定义应用中的核心素养 信息提取 信息解读 数学运算 已知角α终边上一点P的坐标(－4a,3a)(a＜0) 角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边可以由点P的坐标确定 先求点P到坐标原 点的距离r， 再利用sin α＝，求sin α 的值 求sin α的值 可以利用任意角的三角函数定义，求sin α的值 [解析]　第一步：利用两点间的距离公式求出点P到坐标原点的距离r. 设P与原点的距离为r，∵P(－4a,3a)，a＜0， ∴r＝＝|5a|＝－5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sin α的值． ∴sin α＝＝－. [答案]　－ [子题1]　若母题中“a＜0”，改为“a≠0”，则sin α的值为　________　. 解析：当a＜0时，sin α＝－；当a＞0时，r＝5a, sin α＝. 答案：－或 [子题2]　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)， 当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. [子题3]　已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0), 且sin α＝，求cos α， tan α的值． 解：由题设知x＝－，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，r＝ . ∴sin α＝＝＝，∴r＝ ＝2， 即3＋m2＝8，解得m＝±. 当m＝时，r＝2，x＝－，y＝， ∴cos α＝＝－， tan α＝－； 当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－， ∴cos α＝＝－， tan α＝. 　　 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． 　　　三角函数值的符号与三角函数线(重难点) ◆[命题角度1]　三角函数值的符号　 1．下列各选项中正确的是(　　 ) A．sin 300°>0　　　　 B．cos(－305°)<0 C．tan >0 D．sin 10<0 解析：D　[300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；而－π＝－8π＋π，所以－π是第二象限角， 故tan <0，因为3π<10<π，所以10是第三象限角，故sin 10<0.] 2．若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0　　　　 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0 解析：D　[∵－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，∴－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限角或y轴负半轴上角，∴sin 2α<0.] 　　 熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． ◆[命题角度2]　三角函数线　 3．已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是(　　) A．若α，β是第一象限角，则sin α＞sin β B．若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C．若α，β是第三象限角，则sin α＞sin β D．若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β 解析：D　由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，A错误；由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，B错误；由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．] 4．利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 与sin ；(2)tan 与tan ；(3)cos与cos. 解：如图所示，画出与的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得，的正弦线为，的正弦线为；的正切线为，的正切线为；的余弦线为，的余弦线为；又||>||，－||<－||<0,0>－||>－||，所以(1)sin>sin； (2)tan<tan；(3)cos>cos. 　　 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 关键 在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线 注意点 比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向 1．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　　) A．a<b<c　　　　　　　 B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 解析：C　[如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线， 显然b＝cos(－1)＝||>0， c＝tan(－1)＝－||<0， a＝sin(－1)＝－||<0， 由图可知－||>－||，∴c<a<b.] 2．若点(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第　________　象限的角. 解析：依题意得即因此θ是第二象限角． 答案：二 学科网（北京）股份有限公司 $