第3章第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

2026-08-15

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第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

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核心素养

考情聚焦

1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性．

2．能进行弧度与角度的互化．

3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义

1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养．

2．扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养．

3．三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养．

4．三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养

　　对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的　端点　从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式

角α的弧度数公式	\|α\|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算	①1°＝rad；

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	②1 rad＝　°
弧长公式	弧长l＝　\|α\|r
扇形面积公式	S＝lr＝　\|α\|r2

3.任意角的三角函数

前提		如图，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝
定义	正弦	称为α的正弦，记作sin α，即sin α＝
	余弦	称为α的余弦，记作cos α，即cos α＝
	正切	称为α的正切，记作tan α，即tan α＝
	三角函数	对于每一个角α，都有唯一确定的　正弦、余弦　与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数

4. 单位圆的相关概念

(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足　x2＋y2＝1　的点组成的集合称为　单位圆　.

(2)α的坐标：如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的　横坐标　和　纵坐标　.

5．三角函数线

(1)正弦线和余弦线的概念：

如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直

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观地表示cos α：的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是　正数　，且cos α＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是　负数　，且cos α＝－||. 习惯上，称为角α的余弦线. 类似地，图中的可以直观的表示sin α，因此称为角α的正弦线．

(2)正切线的概念：

如图所示，设角α的终边与直线　x＝1　交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线．

1．三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图

3．若α∈，则tan α>α>sin α.

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