02同角三角函数的基本关系与诱导公式——2027届高三数学一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系与诱导公式核心考点，以平方关系、商数关系及六组诱导公式为基础，通过知识梳理构建内在逻辑，结合回归教材例题巩固基础，再经考点分类（三者互求、常数1代换等）与方法小结，形成从基础到应用的系统复习链，助力学生突破公式应用难点。 资料突出教材回归与高考对接，创新采用“口诀记忆+题型归类”教学法，如诱导公式通过“符号看象限”口诀强化记忆，常数1代换专题引导学生用sin²x+cos²x转化式子培养数学思维。设置分层跟踪练习与真题演练，保障复习效率，既提升学生运算推理能力，又为教师提供精准复习节奏把控依据。

2027届高三一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义 ——02 同角三角函数的基本关系与诱导公式 知识梳理： 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tanα． 2．六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα － － 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3. 同角三角函数基本关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα； sinα＝tanαcosα； sin2α＝＝； cos2α＝＝. 回归教材： 1、【人教A版必修一第5.2.2节例7】求证：． 2、【人教A版必修一第5.2.2节例6】已知，求，的值. 3、【人教A版必修一第5.2.2节练习第2题】已知，求，的值. 4、【人教A版必修一习题5.2第7题】分别根据下列条件求函数的值： （1）； （2）. 5、【人教A版必修一习题5.2第11题】已知，求的值. 6、【人教A版必修一习题5.2第16题】化简，其中为第二象限角. 7、【人教A版必修一习题5.2第17题】是的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？ 8、【人教A版必修一习题5.2第18题】（1）分别计算和的值，你有什么发现？ （2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？ （3）证明：. 9、【人教A版必修一第5.3节例1】利用公式求下列三角函数值： （1）： （2）； （3）； （4）. 10、【人教A版必修一第5.3节P191练习第2题】利用公式求下列三角函数值： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 11、【人教A版必修一第5.3节P191练习第3题】化简: (1); (2). 12、【人教A版必修一第5.3节P194练习第2题】 证明: (1); (2); (3); (4). 13、【人教A版必修一第5.3节P194练习第3题】化简:(1); (2);(3). 14、【人教A版必修一习题5.3第4题】 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，分别求角的正弦、余弦函数值. 15、【人教A版必修一习题5.3第5题】 已知，那么（ ） A. B. C. D. 16、【人教A版必修一习题5.3第6题】 已知，计算： （1）；（2）；（3）； （4）． 17、【人教A版必修一习题5.3第7题】 在中，试判断下列关系是否成立，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）. 18、【人教A版必修一习题5.3第8题】 已知，且，求和的值. 考点梳理： 三者之一求二 例、若θ∈，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________． 例、【人教A版必修一习题5.2第6题】（1）已知，且为第四象限角，求的值； （2）已知，且为第二象限角，求的值； （3）已知，求的值； （4）已知，求的值（精确到0.01）. 例、【人教A版必修一习题5.2第13题】已知角的终边不在坐标轴上， （1）用表示；（2）用表示. 小结：利用同角三角函数的基本关系式求值的三个基本题型 常数“1”的代换 例、已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝(　　) A. B. C. D. 例、若tanθ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【人教A版必修一第5.2.2节练习第5题】求证：. 小结： 对于含有sin2x，cos2x，sin xcos x的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2x＋cos2x”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan x的式子，进而求解． sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系 例、若θ∈(0，π)，tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝(　　) A． B．－ C．± D． 例、已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　) A． B． C． D． 例、若sinθ＋cosθ＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　) A. B. C. D. 小结：正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用 sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个． 弦切互化 例．已知角α的终边上的一点P(1,2)，则的值为(　　) A. B. C. D. 例、【人教A版必修一习题5.2第15题】 已知，求的值. 例、【人教A版必修一第5.2.2节练习第4题】化简：（1）；（2）；（3）. 诱导公式的应用 例、【人教A版必修一第5.3节例2】化简. 例、【人教A版必修一第5.3节例3】 证明： （1）；（2）. 例、【人教A版必修一第5.3节例4】 化简. 例、【人教A版必修一第5.3节例5】 已知，且，求的值. 例、【人教A版必修一习题5.3第3题】 化简：（1）； （2）. 例．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第二象限角，且cos＝－，求f(α)的值． 例、【人教A版必修一习题5.3第9题】 化简下列各式，其中： （1）；（2）. 小结：利用诱导公式化简求值的基本步骤 提醒：用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ， ＋θ与－θ，＋θ与－θ等． 跟踪练习： 1．若角α的终边在第三象限，则＋的值为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 2．已知tanα＝，且α∈，则sinα＝(　　) A．－ B. C. D．－ 3．设sin25°＝a，则sin65°cos115°tan205°＝(　　) A. B．－ C．－a2 D．a2 4.若α为锐角，且cos＝，则cos的值为(　　) A. B. C. D. 5．若＝，则sin2α－sinαcosα－3cos2α＝(　　) A. B. C. D．－ 6．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　) A. B．－ C. D．－ 7．设α是第三象限角，且＝7，那么sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 8．若sinθ＋cosθ＝2，则tanθ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 9．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ＝(　　) A．－ B. C. D．－ 10．已知＝，则tan α＋等于(　　) A．－ B．－8 C． D．8 11．(多选)若cos(π－α)＝－，则(　　) A．sin(－α)＝　　　　 B．sin＝－ C．cos(π＋α)＝－ D．cos(α－π)＝－ 12．（多选）在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sinC B．sin＝cos C．tan(A＋B)＝－tanC D．cos(A＋B)＝cosC 13．(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　) A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角 B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝ C．若α≠(k∈Z)，则tan＝ D．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1 14、【人教A版必修一习题5.2第12题】已知，求的值. 15、【人教A版必修一习题5.2第14题】求证： （1）； （2）； （3）；（4）. 16．已知cos α－sin α＝，α∈. (1)求sin αcos α的值；(2)求的值． 17．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； (3)求满足f(α)≥的α的取值集合． 18．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα·－1. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习三角函数及解三角形回归教材版讲义 ——02 同角三角函数的基本关系与诱导公式 知识梳理： 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tanα． 2．六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα － － 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3. 同角三角函数基本关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα； sinα＝tanαcosα； sin2α＝＝； cos2α＝＝. 回归教材： 1、【人教A版必修一第5.2.2节例7】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作差法，结合同角三角函数的平方关系，即得证,。 【详解】证明： ．所以，即得证 2、【人教A版必修一第5.2.2节例6】已知，求，的值. 【答案】见解析 【分析】分角为第三和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数的基本关系可得解. 【详解】因为，，所以是第三或第四象限角. 由得. 如果是第三象限角，那么，于是， 从而； 如果是第四象限角，那么，. 综上所述，当是第三象限角时，，；当是第四象限角时，，. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 3、【人教A版必修一第5.2.2节练习第2题】已知，求，的值. 【答案】见解析 【分析】分角为第二和第四象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的商数关系和平方关系建立有关和的方程组，即可得出，的值. 【详解】，为第二或第四象限角，又， .代入，得. 当为第二象限角时，，；当为第四象限角时，，. 综上所述，当为第二象限角时，，；当为第四象限角时，，. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，建立有关和的方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 4、【人教A版必修一习题5.2第7题】分别根据下列条件求函数的值： （1）； （2）. 【答案】（1）1；（2）-1 【分析】（1）直接将代入计算即可；（2）直接将代入计算即可. 【详解】（1）当时， . （2）当时， 。 5、【人教A版必修一习题5.2第11题】已知，求的值. 【答案】为第三象限角，； 为第四象限角，. 【分析】讨论为第三象限角或第四象限角.结合同角三角函数关系式即可求解. 【详解】，为第三或第四象限角. 由可得，而 当为第三象限角时, 当为第四象限角时, 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,注意讨论角所在的象限,属于基础题. 6、【人教A版必修一习题5.2第16题】化简，其中为第二象限角. 【答案】 【分析】根据角为第二象限角,结合同角三角函数关系式,化简即可得解. 【详解】为第二象限角, ∴ 。 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式在三角函数式化简中的应用,注意角的范围对三角函数符号的影响,属于基础题. 7、【人教A版必修一习题5.2第17题】是的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？ 【答案】见解析 【分析】根据,两边同时平方可得变形式;同时除以可得变形式. 【详解】由,两边同时平方可得 所以是的一个变形； 由,等式两边同时除以,可得, 所以是和的变形. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的变形应用,属于基础题. 8、【人教A版必修一习题5.2第18题】（1）分别计算和的值，你有什么发现？ （2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？ （3）证明：. 【答案】（1）， 发现：. （2），发现：. （3）证明见解析 【分析】根据特殊角三角函数值求法,可解（1）（2）;根据同角三角函数式关系式,可证明（3）. 【详解】（1）根据特殊角三角函数值计算可知 ，所以 （2）取，则，， 所以. （3）证明:， 所以. 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的求法,三角函数式的简单证明,属于基础题. 9、【人教A版必修一第5.3节例1】利用公式求下列三角函数值： （1）： （2）； （3）； （4）. 解：（1）； （2）； （3）； （4） . 10、【人教A版必修一第5.3节P191练习第2题】利用公式求下列三角函数值： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）用余弦的诱导公式化简后计算；（2）用正弦的诱导公式化简后计算； （3）用正切的诱导公式化简后计算；（4）用余弦的诱导公式化简后计算； （5）用正切的诱导公式化简后计算；（6）用正弦的诱导公式化简后计算； 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 11、【人教A版必修一第5.3节P191练习第3题】化简: (1); (2). 【答案】（1）（2） 【分析】利用诱导公式对所求式子直接进行化简，即可得到答案. 【详解】(1)原式; (2)原式. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题. 12、【人教A版必修一第5.3节P194练习第2题】 证明: (1); (2); (3); (4). 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析 【分析】对角度进行变形，利用前面学过的诱导公式进行证明推导. 【详解】(1)左边右边; (2)左边右边; (3)左边右边; (4)左边右边. 【点睛】本题考查诱导公式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用诱导公式2-4进行证明诱导公式5和6. 13、【人教A版必修一第5.3节P194练习第3题】化简:(1); (2);(3). 【答案】（1）（2）（3） 【分析】利用诱导公式直接进行化简，即可得到答案. 【详解】(1)原式; (2)原式. (3)原式. 【点睛】本题考查诱导公式的直接应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限的应用. 14、【人教A版必修一习题5.3第4题】 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，分别求角的正弦、余弦函数值. 【答案】；； 【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式进行求解即可. 【详解】∵角的终边与单位圆的交点为，. ， ， . 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力. 15、【人教A版必修一习题5.3第5题】 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据，利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】因为， ，所以，故选：B 16、【人教A版必修一习题5.3第6题】 已知，计算： （1）；（2）；（3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】直接利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】因为，所以， （1）； （2）； （3） （4）． 17、【人教A版必修一习题5.3第7题】 在中，试判断下列关系是否成立，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）不成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；（4）不成立，理由见解析 【分析】根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可. 【详解】（1）不成立，，不成立； （2）成立，成立； （3）不成立.不成立； （4）不成立不成立. 【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了三角形内角和定理的应用，考查了数学运算能力. 18、【人教A版必修一习题5.3第8题】 已知，且，求和的值. 【答案】； 【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】，又， . ； . 【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力. 考点梳理： 三者之一求二 例、若θ∈，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________． 答案：－ 解析：解法一：因为θ∈，tanθ＝，所以设θ终边上一点P的坐标为(2，1)，则|OP|＝＝，所以sinθ＝＝，cosθ＝＝，故sinθ－cosθ＝－. 解法二：因为θ∈，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝＝，则cosθ＝2sinθ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sinθ＝－(舍去)， 所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－. 例、【人教A版必修一习题5.2第6题】（1）已知，且为第四象限角，求的值； （2）已知，且为第二象限角，求的值； （3）已知，求的值； （4）已知，求的值（精确到0.01）. 【答案】（1）；（2）； （3）当为第二象限角时，；当为第四象限角时，； （4）当为第一象限角时，；当为第四象限角时，. 【分析】根据同角三角函数关系式,结合角的取值范围,即可求解. 【详解】（1）由,得 为第四象限角, （2）由,得 为第二象限角 （3），∴为第二或第四象限角 当为第二象限角时,；当为第四象限角时,. （4），为第一或第四象限角 当为第一象限角时,；当为第四象限角时,. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,在使用时要特别注意角的取值范围,属于基础题. 【人教A版必修一习题5.2第13题】已知角的终边不在坐标轴上， （1）用表示；（2）用表示. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】讨论角所在的象限,结合同角三角函数关系式,即可得解. 【详解】（1）当角是第一、二象限角时,. 当角是第三、四象限角时,. （2）当角是第一、四象限角时,. 当角是第二、三象限角时,. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,属于基础题. 小结：利用同角三角函数的基本关系式求值的三个基本题型 常数“1”的代换 例、已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　由已知sin＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)⇒cos θ－3cos θ＝－sin θ⇒tan θ＝2， 则sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝. 例、若tanθ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：C 解析：解法一：因为tanθ＝－2，所以＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝＝＝＝.故选C. 解法二：＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝ cos2θ(tan2θ＋tanθ)．由tanθ＝＝－2，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝. 所以＝cos2θ·(tan2θ＋tanθ)＝×(4－2)＝.故选C. 【人教A版必修一第5.2.2节练习第5题】求证：. 【答案】证明见解析 【分析】在等式左边提公因式，结合化简计算即可证得所证等式成立. 【详解】左边右边. 【点睛】本题考查三角恒等式的证明，考查同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 小结： 对于含有sin2x，cos2x，sin xcos x的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2x＋cos2x”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan x的式子，进而求解． sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系 例、若θ∈(0，π)，tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝(　　) A． B．－ C．± D． [答案]A [解析]因为tan θ＋＝＋＝＝6，所以sin θcos θ＝，又θ∈(0，π)， 则sin θ>0，cos θ>0，所以sin θ＋cos θ>0. 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝，故选A. 例、已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　) A． B． C． D． [答案]B 【解析】由题意，因为sin α＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－， 所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，又因为－<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α＝，所以＝＝， 例、若sinθ＋cosθ＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由sinθ＋cosθ＝，平方得1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝， ∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝.故选B. 小结：正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用 sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个． 弦切互化 例．已知角α的终边上的一点P(1,2)，则的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 解析：＝＝.因为角α的终边上的一点P(1,2)，所以tan α＝＝2， 所以＝＝. 例、【人教A版必修一习题5.2第15题】 已知，求的值. 【答案】3 【分析】根据同角三角函数关系式及齐次式的化简,即可求解. 【详解】，∴， 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,齐次式形式的化简,属于基础题. 例、【人教A版必修一第5.2.2节练习第4题】化简：（1）；（2）；（3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由代入化简即可得解；（2）将等式代入分式化简计算即可； （3）由代入化简计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，考查计算能力，属于基础题. 诱导公式的应用 例、【人教A版必修一第5.3节例2】化简. 解：， ， 所以原式. 例、【人教A版必修一第5.3节例3】 证明： （1）；（2）. 证明：（1）； （2）. 例、【人教A版必修一第5.3节例4】 化简. 解：原式 . 例、【人教A版必修一第5.3节例5】 已知，且，求的值. 分析：注意到，如果设，，那么，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题. 解：设，，那么，从而.于. 因为，所以.由，得 所以，所以. 例、【人教A版必修一习题5.3第3题】 化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）0 【分析】运用诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力. 例．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第二象限角，且cos＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝＝cos α. (2)∵cos＝－sin α＝－，∴sin α＝， ∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－，∴f(α)＝cos α＝－. 例、【人教A版必修一习题5.3第9题】 化简下列各式，其中： （1）；（2）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】根据整数与4的余数的大小，结合诱导公式进行分类讨论求值即可. 【详解】当时，. 当时，；. 当时，； . 当时， . 【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力. 小结：利用诱导公式化简求值的基本步骤 提醒：用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ， ＋θ与－θ，＋θ与－θ等． 跟踪练习： 1．若角α的终边在第三象限，则＋的值为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案：B 解析：因为角α的终边在第三象限，所以sinα<0，cosα<0，所以原式＝＋＝－3. 2．已知tanα＝，且α∈，则sinα＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：A 解析：∵tanα＝，∴sin2α＝＝＝＝， ∵α∈，∴sinα<0，∴sinα＝－.故选A. 3．设sin25°＝a，则sin65°cos115°tan205°＝(　　) A. B．－ C．－a2 D．a2 答案：C 解析：因为sin65°＝cos25°，cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°，tan205°＝tan(180°＋25°)＝ tan25°＝，所以sin65°cos115°·tan205°＝－sin225°＝－a2. 4.若α为锐角，且cos＝，则cos的值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝＝， ∴cos＝cos＝sin＝.故选A. 5．若＝，则sin2α－sinαcosα－3cos2α＝(　　) A. B. C. D．－ 答案：C 解析：由＝，得＝，即tanα＝－3， 所以sin2α－sinαcosα－3cos2α＝＝＝.故选C. 6．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】B 解析：∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，从而sin 80°＝＝， ∴tan 80°＝＝，故tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－. 7．设α是第三象限角，且＝7，那么sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 【答案】B 解析：∵＝＝7，∴tan α＝3，又α是第三象限的角， 由同角三角函数基本关系，得sin α＝－，cos α＝－， ∴sin＝sin α＋cos α＝×－＋×－＝－. 8．若sinθ＋cosθ＝2，则tanθ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：C 解析：解法一：由题意知sinθ＝，cosθ＝满足条件，所以tanθ＝. 解法二：由题意得sinθ＝2－cosθ，所以(2－cosθ)2＋cos2θ＝1，即4cos2θ－4cosθ＋3＝0， 即(2cosθ－)2＝0，所以cosθ＝，sinθ＝2－cosθ＝，所以tanθ＝. 解法三：由题意，得sin2θ＋2sinθcosθ＋3cos2θ＝4，所以3sin2θ－2sinθcosθ＋cos2θ＝0，即(sinθ－cosθ)2＝0，所以sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝. 9．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ＝(　　) A．－ B. C. D．－ 【答案】B 解析：因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，故sin θcos θ>0.又因为sin4θ＋cos4θ＝， 所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ. 故1－2sin2θcos2θ＝，所以sin θcos θ＝，故选B. 10．已知＝，则tan α＋等于(　　) A．－ B．－8 C． D．8 【答案】B 解析： ＝＝cos α－sin α＝， ∴(cos α－sin α)2＝，∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－， ∴tan α＋＝＋＝＝＝－8，故选B. 11．(多选)若cos(π－α)＝－，则(　　) A．sin(－α)＝　　　　 B．sin＝－ C．cos(π＋α)＝－ D．cos(α－π)＝－ 【答案】CD 解析：由cos(π－α)＝－可得cos α＝，则sin α＝±.A．sin(－α)＝－sin α＝±，所以不正确． B．sin＝cos α＝，所以不正确．C．cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以正确． D．cos(α－π)＝－cos α＝－，所以正确．故选CD. 12．（多选）在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sinC B．sin＝cos C．tan(A＋B)＝－tanC D．cos(A＋B)＝cosC 答案：ABC 解析：在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；sin＝sin＝cos； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC. 13．(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　) A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角 B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝ C．若α≠(k∈Z)，则tan＝ D．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1 【答案】CD 解析：由诱导公式二，知α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，所以A错误．当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝；当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，所以B错误．若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，所以C正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确． 14、【人教A版必修一习题5.2第12题】已知，求的值. 【答案】 【分析】根据的值及的范围,可求得的值,进而求得的值即可. 【详解】，，。 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数,特殊角三角函数值求法,属于基础题. 15、【人教A版必修一习题5.2第14题】求证： （1）； （2）； （3）；（4）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析 【分析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明. 【详解】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得 ， 而右边，所以原式得证. （2）证明:根据同角三角函数关系式,可得 ，而右边，原式得证. （3）证明: ，而右边， 原式得证 （4）证明:由同角三角函数关系式可知 ，而右边，原式得证 【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题. 16．已知cos α－sin α＝，α∈. (1)求sin αcos α的值；(2)求的值． 解：(1)∵cos α－sin α＝，α∈，平方可得1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝. (2)∵sin α＋cos α＝＝＝， ∴原式＝＝＝(cos α＋sin α)＝. 17．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； (3)求满足f(α)≥的α的取值集合． 解：(1)f(α)＝＝sin αcos α. (2)由(1)可得f(α)＝sin αcos α＝，则(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝， ∵<α<，∴sin α>cos α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－. (3)由题意得f(α)＝sin αcos α＝sin 2α≥，∴sin 2α≥， ∴＋2kπ≤2α≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤α≤＋kπ，k∈Z， ∴α的取值集合为. 18．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα·－1. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值． 解：(1)∵－<α<0，∴sinα<0， ∴f(α)＝sinα－sinα·－1＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα. (2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝，平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝， 即2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－.又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0， ∴sinα－cosα<0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，∴sinα－cosα＝－. 解法二：联立方程解得或 ∵－<α<0，∴∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $