4.2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦同角三角函数基本关系与诱导公式高考核心考点，按“基础梳理-多维探究-综合应用”逻辑架构，结合课标要求与考情分析，通过考点分层（知一求二、齐次化应用等）、方法指导（弦切互化、平方关系）、真题讲解（全国乙卷例题）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料以数学运算和逻辑推理为核心素养导向，创新设计多维探究活动，如通过平方关系建立sinα±cosα与sinαcosα的联系，培养推理能力。设置A、B、C级分层练习，精准匹配学生水平，保障复习效果，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

4．2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课标要求 考情分析 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝. 2．借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式． 3．能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题． ◎考点考法：同角三角函数的基本关系、诱导公式是三角函数变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属简单题，通常出现在选择题或填空题中，复习时应注意控制难度． ◎核心素养：数学运算、逻辑推理． 1．同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α). (2)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α). (3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (4)sin α＝tan αcos α. 2．(1)sin (kπ＋α)＝(－1)k sin α(k∈Z). (2)cos (kπ＋α)＝(－1)k cos α(k∈Z). 1．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin (－x)＝sin x B．sin ＝cos x C．cos ＝－sin x D．cos (x－π)＝－cos x 2．已知sin ＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　) A．－ B． C．－2 D．2 4．sin 2490°＝________，cos ＝________． 5．已知＝－5，则tan α＝________． 考点一　同角三角函数基本关系式的应用　多维探究　发散思维 角度1　“知一求二”问题 (全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． 利用同角基本关系式“知一求二”的方法 角度2　齐次化应用——除余变切 已知tan α＝2，则＝________；sin2α＋cos2α＝________． 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 (1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cosα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求值． (2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tan α的值即可求值． 角度3　sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系 (多选)已知sin α＋cos α＝，α∈，则下列选项中正确的有(　　) A．sin α－cos α＝± B．tan α＝ C．cos α＝－ D．sin αcos α＝－ “sin α±cos α，sin α·cos α”之间关系的应用 sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个． 1．已知sin α＝，cos α＝－，且α 为第二象限角，则tan α＝________． 2．若θ∈(0，π)，tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝________． 考点二　诱导公式的应用　重难考点　师生共研 (1)已知α为锐角，且cos ＝－，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 1．利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角． (2)角中含有加(减)的整数倍时，用公式去掉的整数倍． 2．常见的互余和互补的角 (1)互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等． (2)互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 1．化简的结果是(　　) A．－1 B．1 C．tan α D．－tan α 2．已知cos ＝a，则cos ＋sin 的值是________． 考点三　同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用　重难考点　师生共研 在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β. (1)求sin β，cos β； (2)求的值． 利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的思路 (1)分析结构特点，寻求条件与所求间的关系，尤其是有关角之间的关系． (2)恰当选择公式，利用公式灵活变形． (3)化简求值． [提醒]　①角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号．②化简过程是恒等变换． 已知f(θ)＝. (1)化简f(θ)，并求f； (2)若f(θ)＝3，求2sin2θ－3sinθcos θ的值． A级　基础过关 1．若sin＝，则cos ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 2．已知α∈，且tan α＝，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 3．若＜α＜π，则－＋＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．－2 4．若＋＝，则sin αcos α＝(　　) A．－ B． C．－或1 D．或－1 5．(多选)已知＝3，－＜α＜，则(　　) A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝－ C．sin4α－cos4α＝ D．＝ 6．sin (－570°)＋cos (－2640°)＋tan 1665°＝________． 7．已知sin (3π＋θ)＝，则＋＝________． 8．已知＜α＜π，tanα－＝－. (1)求tan α的值； (2)求的值． B级　能力提升 9．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋4，x∈R，且f(2023)＝3，则f(2024)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 10．在△ABC中，sin ＝3sin (π－A)，cos A＝－cos (π－B)，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 11．已知cos ＝－，则sin －2cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 12．已知2sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　) A． B．2 C．2或 D．不确定 13．已知sin x＋cos x＝－(0＜x＜π)，则cos x－2sin x的值等于________． 14．已知k∈Z，化简：＝________． C级　拓广探索 15．(多选) 定义：角θ和φ都是任意角，若θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin α＝，下列角β中，可能与角α广义互余的是(　　) A．cos (π＋β)＝ B．tan β＝ C．cos (2π－β)＝ D．sin β＝ 16．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课标要求 考情分析 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝. 2．借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式． 3．能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题． ◎考点考法：同角三角函数的基本关系、诱导公式是三角函数变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属简单题，通常出现在选择题或填空题中，复习时应注意控制难度． ◎核心素养：数学运算、逻辑推理． 1．同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α). (2)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α). (3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (4)sin α＝tan αcos α. 2．(1)sin (kπ＋α)＝(－1)k sin α(k∈Z). (2)cos (kπ＋α)＝(－1)k cos α(k∈Z). 1．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin (－x)＝sin x B．sin ＝cos x C．cos ＝－sin x D．cos (x－π)＝－cos x 答案　CD 2．已知sin ＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　因为sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－. 答案　B 3．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　) A．－ B． C．－2 D．2 解析　由已知得，sin α＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－2. 答案　C 4．sin 2490°＝________，cos ＝________． 解析　sin 2490°＝sin (7×360°－30°)＝－sin 30°＝－.cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 答案　－　－ 5．已知＝－5，则tan α＝________． 解析　由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得＝－5，解得tan α＝－. 答案　－ 考点一　同角三角函数基本关系式的应用　多维探究　发散思维 角度1　“知一求二”问题 (全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． [解析]　因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos 2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 故答案为－. [答案]　－ 利用同角基本关系式“知一求二”的方法 角度2　齐次化应用——除余变切 已知tan α＝2，则＝________；sin2α＋cos2α＝________． [解析]　因为tanα＝2，所以＝＝＝； sin2α＋cos2α＝＝＝＝. [答案]　　 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 (1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cosα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求值． (2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tan α的值即可求值． 角度3　sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系 (多选)已知sin α＋cos α＝，α∈，则下列选项中正确的有(　　) A．sin α－cos α＝± B．tan α＝ C．cos α＝－ D．sin αcos α＝－ [解析]　将sin α＋cos α＝两边同时平方，整理得1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－<0.故D正确． 又α∈，sin α>0，cos α<0， 所以α∈， 所以由sin α＋cos α＝， sin2α＋cos2α＝1，解得 故C正确， 所以sin α－cos α＝，tan α＝－，故A，B错误．故选CD. [答案]　CD “sin α±cos α，sin α·cos α”之间关系的应用 sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个． 1．已知sin α＝，cos α＝－，且α 为第二象限角，则tan α＝________． 解析　因为α 为第二象限角，所以解得m<－1或m>.因为sin2α＋cos2α＝＝1，即(2m－5)2＋m2＝(m＋1)2，所以2m2－11m＋12＝0，解得m＝(舍)或m＝4，所以sinα＝，cos α＝－， 所以tan α＝＝－. 答案　－ 2．若θ∈(0，π)，tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝________． 解析　因为tan θ＋＝＋＝＝6，所以sin θcos θ＝，又θ∈(0，π)，则sin θ＞0，cos θ＞0， 所以sin θ＋cos θ＞0. 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θ＋cos θ＝. 答案　 考点二　诱导公式的应用　重难考点　师生共研 (1)已知α为锐角，且cos ＝－，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [解析]　(1)由α为锐角得＜α＋＜，所以sin ＝＝，cos＝cos ＝－sin ＝－.故选C. (2)原式＝＝＝－·＝－1. [答案]　(1)C　(2)B 1．利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角． (2)角中含有加(减)的整数倍时，用公式去掉的整数倍． 2．常见的互余和互补的角 (1)互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等． (2)互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 1．化简的结果是(　　) A．－1 B．1 C．tan α D．－tan α 解析　由诱导公式得， 原式＝ ＝＝tanα，故选C. 答案　C 2．已知cos ＝a，则cos ＋sin 的值是________． 解析　因为cos ＝cos ＝－cos ＝－a， sin ＝sin ＝cos ＝a， 所以cos ＋sin ＝0. 答案　0 考点三　同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用　重难考点　师生共研 在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β. (1)求sin β，cos β； (2)求的值． [解析]　(1)由题意知＋y＝1，因为α为锐角，所以y0>0，解得y0＝，所以sin β＝sin ＝cos α＝＝，cos β＝cos ＝－sin α＝－＝－. (2) ＝＝ ＝＝－. 利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的思路 (1)分析结构特点，寻求条件与所求间的关系，尤其是有关角之间的关系． (2)恰当选择公式，利用公式灵活变形． (3)化简求值． [提醒]　①角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号．②化简过程是恒等变换． 已知f(θ)＝. (1)化简f(θ)，并求f； (2)若f(θ)＝3，求2sin2θ－3sinθcos θ的值． 解析　(1)f(θ)＝＝＝＝tan θ， 则f＝tan ＝tan ＝－tan ＝－. (2)由(1)知，f(θ)＝tan θ＝3. 则2sin2θ－3sinθcos θ＝ ＝＝ ＝＝. A级　基础过关 1．若sin＝，则cos ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为sin ＝，所以cos ＝cos ＝－sin ＝－，故选B. 答案　B 2．已知α∈，且tan α＝，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由α∈可知α为第三象限角，故cos α＜0，由tan α＝＝，又sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝－，故选C. 答案　C 3．若＜α＜π，则－＋＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．－2 解析　∵＜α＜π，∴cos α＜0，sin α＞0，结合诱导公式可得原式＝－＋＝1＋1＝2. 答案　C 4．若＋＝，则sin αcos α＝(　　) A．－ B． C．－或1 D．或－1 解析　由＋＝，可得sin α＋cos α＝sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2α，解得sinαcos α＝－或sin αcos α＝1.由题意，知sin α≠0，cos α≠0，且－1＜sin α＜1，－1＜cos α＜1，所以sin αcos α≠1，即sin αcos α＝－.故选A． 答案　A 5．(多选)已知＝3，－＜α＜，则(　　) A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝－ C．sin4α－cos4α＝ D．＝ 解析　因为＝＝3， 所以tan α＝2，故A正确； 因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜， 所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0， 由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0， 故B错误； sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确； ＝ ＝＝，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 6．sin (－570°)＋cos (－2640°)＋tan 1665°＝________． 解析　原式＝sin (－570°＋720°)＋cos (－2640°＋2880°)＋tan (1665°－1440°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 225°＝sin 30°－cos 60°＋tan 45°＝－＋1＝1. 答案　1 7．已知sin (3π＋θ)＝，则＋＝________． 解析　∵sin (3π＋θ)＝，∴sin θ＝－， ∴＋ ＝＋ ＝＋＝ ＝＝＝18. 答案　18 8．已知＜α＜π，tanα－＝－. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解析　(1)令tan α＝x，则x－＝－，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝或x＝－2， 因为＜α＜π，所以tan α＜0，故tan α＝－2. (2)＝ ＝tan α＋1＝－2＋1＝－1. B级　能力提升 9．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋4，x∈R，且f(2023)＝3，则f(2024)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋4，得f(2023)＝a sin (2023π＋α)＋b cos (2023π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝3，即a sin α＋b cos β＝1，则f(2024)＝a sin (2024π＋α)＋b cos (2024π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝1＋4＝5.故选C. 答案　C 10．在△ABC中，sin ＝3sin (π－A)，cos A＝－cos (π－B)，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析　由sin ＝3sin (π－A)可得cos A＝3sin A，即tan A＝，又0＜A＜π，所以A＝，再由cos A＝－cos (π－B)可得cos A＝cos B，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以C＝，所以△ABC为直角三角形．故选B. 答案　B 11．已知cos ＝－，则sin －2cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　sin ＝sin ＝－sin ＝－cos ＝， cos ＝－cos ＝－cos ＝， 所以sin －2cos ＝－2×＝－. 答案　A 12．已知2sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　) A． B．2 C．2或 D．不确定 解析　方法一　因为cos α＝－2sin α且sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(－2sinα)2＝1， 整理得5sin2α－4sinα＋4＝0， 所以(sin α－2)2＝0， 所以sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝2. 方法二　因为2sin α＋cos α＝， 所以(2sin α＋cos α)2＝5， 所以4sin2α＋4sinαcos α＋cos2α＝5， 所以sin2α－4sinαcos α＋4cos2α＝0， 所以＝0， 所以tan2α－4tanα＋4＝0，所以tan α＝2. 答案　B 13．已知sin x＋cos x＝－(0＜x＜π)，则cos x－2sin x的值等于________． 解析　∵sin x＋cos x＝－(0＜x＜π)， ∴cos x＜0，sin x＞0， 即sin x－cos x＞0.把sin x＋cos x＝－两边平方，得1＋2sin x cos x＝，即2sin x cos x＝－， ∴(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝， 即sin x－cos x＝. 联立解得 ∴cos x－2sin x＝－. 答案　－ 14．已知k∈Z，化简：＝________． 解析　当k＝2n(n∈Z)时， 原式＝ ＝＝＝－1； 当k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝ ＝＝＝－1. 综上，原式＝－1. 答案　－1 C级　拓广探索 15．(多选)(2025·广东佛山模拟)定义：角θ和φ都是任意角，若θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin α＝，下列角β中，可能与角α广义互余的是(　　) A．cos (π＋β)＝ B．tan β＝ C．cos (2π－β)＝ D．sin β＝ 解析　若角α和β广义互余，则α＋β＝，即β＝－α.cos (π＋β)＝cos ＝－sin α＝－，A错误；tan β＝＝＝＝，解得cos α＝，则sin2α＋cos2α≠1，B错误；cos(2π－β)＝cos β＝cos ＝sin α＝，C正确；sin β＝sin ＝cos α＝±＝±，D正确． 答案　CD 16．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________． 解析　由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ， 因为小正方形的面积是，所以(cos θ－sin θ)2＝， 因为θ为直角三角形中较小的锐角， 所以cos θ＞sin θ，所以cos θ－sin θ＝， 又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 所以2sin θcos θ＝，所以1＋2sin θcos θ＝， 即(cos θ＋sin θ)2＝，所以cos θ＋sin θ＝， 所以sin2θ－cos2θ＝(sinθ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $