第四章 课时2 同角三角函数的基本关系与诱导公式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系与诱导公式核心考点，按课标要求梳理平方关系、商数关系及α±π/2等诱导公式，通过知识梳理、基础回顾、考点扫描（含诱导公式应用、同角关系、综合应用）构建系统复习框架，结合例题精讲与真题训练，助力学生突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如用单位圆对称性推导诱导公式培养几何直观，通过“1”的变换、切弦互化等技巧训练推理能力，设置分层练习与真题示例（如2024天津模拟题），帮助学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、课标要求 1. 理解同角三角函数的基本关系式. 2. 借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）. 二、知识梳理 1. 同角三角函数的基本关系 (1) 平方关系： ； (2) 商数关系：tan α＝ . 2. 诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sina －sina －sina sina 余弦 正切 Tan a －tan a 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3．特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 角a的弧度数 0 sin α 0 1 0 cos α 1 0 －1 tan α 0 1 －1 0 【拓展知识】 1.同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan; (sin θ±cos θ)2=12sin θcos θ 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 2. 提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中,α≠kπ＋(k∈Z). 3. 同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝ ； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝ ； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝ ； sin2α＝＝ ； cos2α＝ ＝. 4. 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5. 求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1) 负角化为正角;(2) 大角化为小角. 6. 已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围. 7. 常见的互余和互补的角 ① 常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等. ② 常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 三、基础回顾 1.判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(kπ＋α)＝－cos α(k∈Z). (　 　) (2)设A，B，C是三角形的三个内角，则cos(A＋B)＝cosC. (　 　) (3)设A，B是直角三角形的两个锐角，则sin2A＋sin2B＝1. (　 　) (4)若α∈R，则tan α＝恒成立． (　 　) 2. 若，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 3. (多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的有(　　) A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos x C．cos＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x 4. 已知α∈，且tan α=2，则cos α=　　　　.  四、考点扫描 考点一 诱导公式的应用 例1 （1）(2024·天津模拟)已知，则（     ） A． B． C． D． （2）已知sin＝，则cos=(　　) A. B. C．－ D．－ 规律方法： 对点训练 （1）（2025·浙江余姚市期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． （2）已知，则　 　． 考点二 同角三角函数的基本关系式 例2 （1）若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　 　) A. B．－ C. D．－ （2）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 （1）若α是第四象限角，且tan α =，则sin α=(　　) A. B. C. D. (2) (2025·浙江杭州市统考)若sin θ－cos θ=，则tan θ+=　　　　.  考点三 综合应用 考向1 齐次式化切 例3 （1）我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为.若，则的值为（     ） A． B． C． D． （2）已知－π<x<0，且sin(π＋x)－sin＝－，则的值为 ． 对点训练 （1）已知，则（       ） A． B． C． D． （2）已知，则___________． 考向2 同角关系和诱导公式 例4 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点A，B，已知点A的纵坐标为，点的横坐标为. (1)直接写出和的值，并求的值； (2)求的值； (3)将点A绕点按逆时针方向旋转得到点，求点的坐标. 对点训练 （1）已知3sin＝－5cos，则tan＝(　 　) A．－ B．－ C． D． （2）(多选题)下列结论中，正确的有(　　) A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角 B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝ C．若α≠(k∈Z)，则tan＝－ D．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1 课时2 同角三角函数的基本关系与诱导公式参考答案 二、知识梳理 1.(1)sin2α＋cos2α＝ (2) 2．cos α －cos α －tan α 【拓展知识】 3．1±2sina cosa 2 4sinacosa 三、基础回顾 1.（1）× （2）× （3）√ （ 4）× 2. D 【解析】因为，且为第三象限角，所以， 所以．故选D． 3.CD【解析】sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin＝－cos x，故B不成立； cos＝－sin x，故C成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立．故选CD. 4. 【解析】　由已知得 由①得sin α=2cos α，代入②得4cos2α+cos2α=1，所以cos2α=， 又α∈，所以cos α<0，所以cos α=. 四、考点扫描 例1 （1）A 【解析】由可得. 故选A. （2）　B 【解析】因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.故选B. 对点训练 （1） C 【解析】.故选C. （2） 【解析】由诱导公式，得． 例2（1） D　【解析】因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝＝－.故选D. （2） D 【解析】，，，， .故选D. 对点训练（1）　D 【解析】　因为tan α=，sin2α+cos2α=1，所以sin α=.因为α是第四象限角，所以sin α=.故选D. （2）－2 【解析】　由已知得(sin θ－cos θ)2=2，所以sin θcos θ=. 所以. 例3 （1）　C 【解析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为. 因为是直角三角形较小的锐角，所以. 可得. 则，即， 所以，解得或（舍去）， 所以.故选C. （2）－【解析】由已知得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－，所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由－π<x<0知，sin x<0，又sin xcos x＝－<0，所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－.所以＝＝＝＝－. 对点训练 （1）D 【解析】因为，所以，所以. 所以.故选D. （2） 【解析】 ． 例4 【解】（1）由锐角，，得点A，B都在第一象限， 而点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 则点A的横坐标为，点B的纵坐标为，因此； . （2）由（1）知，. （3）依题意，点在角的终边上，且，由（1）知， 则点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以点的坐标为. 对点训练 （1）A 【解析】由3sin＝－5cos，得sin＝－cos， 所以tan＝＝＝－.故选A. （2）CD 【解析】由诱导公式四知当α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，故A错误. 当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝； 当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，故B错误. 若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，故C正确. 将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0. 若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cos α＝0，则sin α＝1， 此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，故D正确．故选CD. . 学科网（北京）股份有限公司 $