第二章 函数（举一反三综合训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦函数核心概念与性质，通过多题型综合训练构建从基础应用到创新拓展的知识逻辑链 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、填空12|考查定义域、单调性、奇偶性等概念辨析|从函数定义出发，通过图像与性质判断强化概念理解| |性质综合|单选6-8、多选9-11、填空13-14|结合零点、比较大小、分段函数单调性等综合应用|以单调性和奇偶性为核心，推导函数值比较、零点分布等规律| |创新应用|解答15-19|含实际问题（牛顿冷却定律）、新定义（性质P）及证明题|从具体问题抽象数学模型，通过逻辑推理解决复杂问题，体现数学思维与表达|

第二章 函数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 故选：C. 2．（5分）（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【解答过程】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 故选：A. 3．（5分）（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小. 【解答过程】由对数换底公式得： ， ， 因为是增函数，且， 所以： ，即， 指数函数是减函数，因此，即， 综上可得. 故选：A. 4．（5分）（25-26高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据解析式，可得函数奇偶性，根据特殊值及函数图象的变换，逐一分析各个选项，即可得答案. 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，则函数为奇函数，图象关于原点对称，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误，A正确. 故选：A. 5．（5分）（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【解答过程】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 故选：C. 6．（5分）（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【解答过程】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 故选：B. 7．（5分）（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据奇函数性质和已知条件推出函数的周期，再利用周期性和奇函数性质求出的值，最后求出的值. 【解答过程】因为为定义在上的奇函数，所以，且， 又，即，则关于对称， 所以，所以，则， 所以，即的周期为， 所以， 所以. 故选：B. 8．（5分）（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【解答过程】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【解答过程】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：BD. 10．（6分）（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【解题思路】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【解答过程】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 故选：ACD. 11．（6分）（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．若，则，且 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解题思路】对于A，先赋值求得，，再令，可得即可判断；对于B，根据函数单调性的定义结合奇偶性，可得函数在上单调递增，在上单调递减，进而解不等式即可判断；对于C，赋值，可得，进而得到，再根据函数的单调性判断即可；对于D，赋值，可得，进而可得，，再赋值，可得，进而结合函数的单调性判断即可. 【解答过程】对于A，由， 令，得，即， 令，得，则，即， 令，得，则函数为偶函数，故A正确； 对于B，任取，且， 由，则， 所以，由于，则， 所以，即， 则函数在上单调递增，又为偶函数，则函数在上单调递减， 由，且，得， 则且，解得，且，故B正确； 对于C，由，， 令，则，即， 所以， 由B知，函数在上单调递增，则，故C错误； 对于D，由，， 令，则，即， 则， ， 由，令，，得， 则， 由于函数在上单调递增，则， 则，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·上海·三模）函数的定义域为___________． 【答案】 【解题思路】根据二次根式的性质及分式中分母不能为零，求出函数定义域即可. 【解答过程】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（5分）（2026·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】由分段函数的单调性得到求解即可. 【解答过程】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为：. 14．（5分）（2026·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； (2). 【解题思路】（1）化简得，利用换元法及二次函数的性质求解即可； （2）化简得在上有解，由，得，从而得，利用对勾函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）， 设，， 所以， 所以即为， 又因为， 所以的值域为； 且在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为， 令， 则原不等式等价于在上有解， 即在上有解， 又因为，得， 所以， 由对勾函数的性质可知， 所以， 所以实数k的取值范围为. 16．（15分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式. （2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值. （3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可. 【解答过程】（1）当时，，. 因为函数在上为偶函数，所以 当时，，则. 因此函数解析式为： . （2）当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，函数在的最小值为： . （3）因为函数在有两个不同的零点， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 17．（15分）（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为 (2)当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为 (3)的取值范围为 【解题思路】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域； （2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，最后判定区间增减性即可； （3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可得解. 【解答过程】（1）由题意知， 解得：，即 ， 所以函数 的定义域为 . （2） ， 定义域为 ， 令 ，则 ， 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上： 当 时， 在上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （3）当 时， ，定义域为 ， 因为 有两个零点，则 在 上有两个不同的解， 即： ， 令 ，，则 ，因此： ， 要使方程 有两个不同解， 即直线 与函数 的图像有两个交点， 则，即 ， 所以实数 的取值范围为. 18．（17分）（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，根据单调可得对称轴的位置关系，故可求参数的取值范围； （2）依据单调性定义可得在上恒成立，其中，据此可求的取值范围； （3）利用性质对任意s、t成立，先取和知与均单调，假设不存在不全为零的实数A、B使得函数为常值函数，则存在两点使与的增量比值不同，从而可构造s、t使在两点处单调性相反，产生矛盾，因此必存在线性组合为常值函数. 【解答过程】（1）因为，在区间D上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． （2）由题设有在上为单调函数， 设任意，， 则， 因为，，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或，故或． （3）若函数为常值函数，取； 同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与， 不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数， 因此存在，使得且， 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设，取，，对于函数， 则， ， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数， 取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 19．（17分）（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】(1) (2)或 或 (3)证明见解析 【解题思路】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论， ， ，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【解答过程】（1）由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当 时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. （2）由题意得, 当 或 时， ，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当 时，在区间 上单调递减， 此时，满足； ③当 时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为 ，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或 或. （3）必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（5分）（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 11．（6分）（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．若，则，且 C．若，则 D．若，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·上海·三模）函数的定义域为___________． 13．（5分）（2026·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为___________． 14．（5分）（2026·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 16．（15分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 17．（15分）（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 18．（17分）（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 19．（17分）（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $