周周练04 2.3～2.4 一元二次方程的根与系数间的关系、用一元二次方程解决问题（数学新教材苏科版九年级上册）

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系及应用，通过苏超联赛、劳动教育等时代情境和《九章算术》文化素材，设计选择、填空、解答梯度题型，考查运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|根与系数关系（题2-5）、实际问题建模（题1、6）|结合苏超联赛（题6）、《九章算术》（题8）体现文化与时代性| |填空题|10/20|根与系数综合应用（题9-13）、几何与利润问题（题14、17-18）|劳动教育场地（题18）等真实情境，考查数据意识| |解答题|8/64|方程证明与计算（题19-21）、综合应用（题23-25）、探究推理（题26）|矩形饲养场（题23）、动点问题（题25）等复杂情境，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测04 2.3～2.4 一元二次方程的根与系数间的关系、用一元二次方程解决问题 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x%）2＝25 B．289（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x%）2＝289 D．256（1﹣x）2＝289 【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，列出方程，即可． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得：289（1﹣x）2＝256， 故选：B． 【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 2．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 【分析】根据根与系数的关系、相反数的定义可知x1+x2＝﹣（m+1）＝0，据此可以求得m的值． 【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知 x1+x2＝﹣（m+1）＝0，即m+1＝0， 解得，m＝﹣1； 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系．解答该题时，需挖掘出隐含在题干中的已知条件x1+x2＝0． 3．若x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则2x1﹣x1x2+2x2的值为（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．0 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【解答】解：由条件可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣5． 整理所求代数式得：2x1﹣x1x2+2x2＝2（x1+x2）﹣x1x2， ∴原式＝2×（﹣2）﹣（﹣5）＝﹣4+5＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 4．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到α2+2α＝2025，则α2+3α+β可化为2025+α+β，接着利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2025＝0的实数根， ∴α2+2α﹣2025＝0， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2025+α+β， ∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2， ∴α2+3α+β＝2025﹣2＝2023． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 5．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 6．2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝78 B．x（x﹣1）＝78 C． D． 【分析】根据题意列出一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意可得方程． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 7．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2﹣12x+m＝0的两根，则m的值为（　　） A．32 B．36 C．32或36 D．不存在 【分析】等腰三角形一边为4，有两种情况，腰为4 或者底为4，分开讨论． 【解答】解：利用一元二次方程的根与系数的关系得 x1+x2＝12，x1x2＝m， 若x1＝4，则x2＝8，不成立（根据三角形两边之和大于第三边）， 所以x1＝x2＝6， 则m＝36， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2，x1•x2．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+（7x﹣10）2＝102 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（7x）2+（3x﹣10）2＝102 【分析】由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【解答】解：如图，设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间， 则AB＝3x，BC＝7x﹣10， 由勾股定理得（3x）2+102＝（7x﹣10）2． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知m、n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+16的值是 　15　 ． 【分析】由一元二次方程根与系数关系得m+n＝﹣4，m2＝3﹣4m，再代入求值即可． 【解答】解：由题意可知：m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2＝3﹣4m， ∴m2+5m+n+16 ＝3﹣4m+5m+n+16 ＝m+n+19 ＝﹣4+19 ＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两个根，且x1＝4x2，则k＝　4　 ． 【分析】根据题意和两根之和的关系，可以分别计算出x1，x2，再根据两根之积即可计算出k的值． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两个根， ∴x1+x2＝5， 又∵x1＝4x2， ∴x1＝4，x2＝1， ∴x1x2＝k＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 11．若一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两根之和为m，两根之积为n，则在平面直角坐标系中，点（m，n）位于第　四　 象限． 【分析】先求出m和n的值，再根据点的坐标判断所在象限即可． 【解答】解：由题意可知，，， ∴点（m，n）为． ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点（m，n）位于第四象限． 故答案为：四． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，点的坐标，解题关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，两根之和为，两根之积为， 12．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3． 13．已知：一元二次方程x2﹣8x+d＝0（d为常数）有一个根为3，则另一根为　5　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，据此直接求出另一根． 【解答】解：设方程x2﹣8x+d＝0的另一个根为x2，已知一根为3， 根据韦达定理，两根之和为： 3+x28， 解得： x2＝8﹣5， ∴另一个根为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的基础应用，熟练掌握两根之和公式是解题的关键． 14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x元，则可列方程为　（40﹣x）（10+x）＝600　 ． 【分析】根据如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件，商场平均每天盈利600元，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：（40﹣x）（10+x）＝600， 故答案为：（40﹣x）（10+x）＝600． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：因为x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根， 所以x1+x2＝3k，x1x2＝﹣k﹣1． 又因为x1＝x2（2x1﹣1）， 则x1+x2＝2x1x2， 所以3k＝2（﹣k﹣1）， 解得k． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　 小分支． 【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键． 17．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为 　5　 m． 【分析】设BC长为xm，则AB的长为（10+1﹣x）m，根据矩形鸭舍面积为15m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设BC长为xm，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得：（10+1﹣x）x＝15， 解得：x1＝5，x2＝6（不符合题意，舍去）， 即BC长为5m， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 18．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　1　 m． 【分析】设所修道路的宽为xm，将道路进行平移后，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设所修道路的宽为xm， 根据题意得：（24﹣x）（36﹣x）＝805， 整理得：x2﹣60x+59＝0． 解得：x1＝59（不合题意，舍去），x2＝1． 即所修道路的宽为1m， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想进行计算即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， 所以． （1） ＝3； （2） ． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后利用根的判别式的意义得到结论； （2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1+t＝m+2，1×t＝2m，然后解方程组求出m和t即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1+t＝m+2①，1×t＝2m②， ②﹣①得﹣1＝m﹣2， 解得m＝1， 把m＝1代入②得t＝2， 所以m的值为1，方程的另一个根为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明Δ＞0即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k，根据题意，代入x1+x2﹣x1x2＝6，解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4k ＝k2+4k+4﹣4k ＝k2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k， ∴﹣（k+2）﹣k＝6， 解得：k＝﹣4． 【点评】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． 22．（8分）已知关于x的方程，其中p＞1． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段AB上一点，AB＝p，AC的长t是该方程的一个根，且2t（p﹣t）＝1． ①求证：p﹣t＝1； ②确定点C在线段AB上的位置，并说明理由． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出Δ＞0，即可求解； （2）①根据AC的长t是该方程的一个根，得出，结合已知2t（p﹣t）＝1，进而得出p﹣t＝1； ②根据2t（p﹣t）＝1，p﹣t＝1，求得t，p的值，即可求解． 【解答】解：（1）， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2）①证明：∵AC的长t是该方程的一个根， ∴．即2t2﹣2pt﹣4t+4p﹣3＝0．① ∵2t（p﹣t）＝1， ∴2pt﹣2t2＝1．② ①+②，得4p﹣4t＝4． ∴p﹣t＝1． ②解：C在线段AB靠近A的三等分点处，即． ∵2t（p﹣t）＝1，p﹣t＝1， ∴． ∴． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 23．（8分）某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为7米，则BC＝　（48﹣3x）　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【分析】（1）利用BC的长＝建成后木栏总长+3﹣3×CD的长，可用含x的代数式表示出BC的长； （2）根据矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为25米，即可确定结论； （3）假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米，根据矩形饲养场ABCD的面积为240平方米，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣64＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 【解答】解：（1）根据题意得：BC＝45+3﹣3x＝（48﹣3x）米． 故答案为：（48﹣3x）； （2）根据题意得：x（48﹣3x）＝189， 整理得：x2﹣16x+63＝0， 解得：x1＝7，x2＝9， 当x＝7时，48﹣3x＝48﹣3×7＝27＞25，不符合题意，舍去； 当x＝9时，48﹣3x＝48﹣3×9＝21＜25，符合题意． 答：边CD的长为9米； （3）矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米， 根据题意得：x（48﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣16x+80＝0， ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×80＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，原方程无实数根”． 24．（8分）某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利6000元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，64降至49就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x，则： 64（1﹣x）2＝49 ∴，（舍去）， 答：每次下降的百分率为12.5%． （2）设每千克应涨价x元，则： （10+x）（500﹣20x）＝6000， ∴x1＝10，x2＝5， ∵尽可能减少库存， ∴选择较小的涨价幅度x＝5， 答：每千克应涨价5元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 25．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 【分析】（1）当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，BQ＝2tcm，PB＝（5﹣t） cm，根据△PBQ的面积为4cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）连接DP，当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝（5﹣t） cm，CQ＝（12﹣2t） cm，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）5÷1＝5（秒），12÷2＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm， 根据题意得：2t（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4．答：t的值为1或4； （2）连接DP，如图所示， 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t） cm， 根据题意得：DP2＝PQ2+DQ2， 即122+t2＝[（5﹣t）2+（2t）2]+[52+（12﹣2t）2]， 整理得：4t2﹣29t+25＝0， 解得：t1（不符合题意，舍去），t2＝1． 答：当PQ⊥DQ时，t的值为1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（8分）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若α，β是方程x2﹣4x+1＝0的两根，则α+β＝　4　 ，αβ＝　1　 ，（2α+1）（2β+1）＝　13　 ； 【问题探究】 （2）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝3，那么关于y的一元二次方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是p，两根之积是q，请求出关于t的方程a（2t+1）2+b（2t+1）+c＝0（a≠0）的两根之积的值（用字母p，q表示）． 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设u ＝ 2y﹣1，则关于y的方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0可化为u2+bu+c＝0，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，得到x1+x2＝p，x1x2＝q，设关于t的方程两根为t1，t2，令x＝2t+1，得到，进而进行求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝1． ∴根据根与系数关系，得， ∴（2α+1）（2β+1）＝4αβ+2α+2β+1＝4αβ+2（α+β）+1＝4×1+2×4+1＝13； 故答案为：4，1，13； （2）设u ＝ 2y﹣1，则关于y的方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0可化为u2+bu+c＝0， ∵方程x2+bx+c＝0两根为x1＝2，x2＝3， 当u＝2时，2y﹣1＝2， 解得， 当u＝3时，2y﹣1＝3， 解得y2＝2， ∴该方程有实数根，根为，y2＝2． （3）设原方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2， 由题意，得x1+x2＝p，x1x2＝q， 设关于t的方程两根为t1，t2，令x＝2t+1， 变形得，则， 两根之积： ， ∴两根之积为． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测04 2.3～2.4 一元二次方程的根与系数间的关系、用一元二次方程解决问题 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x%）2＝25 B．289（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x%）2＝289 D．256（1﹣x）2＝289 2．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 3．若x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则2x1﹣x1x2+2x2的值为（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．0 4．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 5．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 6．2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝78 B．x（x﹣1）＝78 C． D． 7．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2﹣12x+m＝0的两根，则m的值为（　　） A．32 B．36 C．32或36 D．不存在 8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+（7x﹣10）2＝102 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（7x）2+（3x﹣10）2＝102 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知m、n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+16的值是 　 　 ． 10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两个根，且x1＝4x2，则k＝　 　 ． 11．若一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两根之和为m，两根之积为n，则在平面直角坐标系中，点（m，n）位于第　 　 象限． 12．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　 　 ． 13．已知：一元二次方程x2﹣8x+d＝0（d为常数）有一个根为3，则另一根为　 　 ． 14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x元，则可列方程为　 　 ． 15．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　 　 ． 16．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 　 小分支． 17．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为 　 　 m． 18．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　 　 m． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 22．（8分）已知关于x的方程，其中p＞1． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段AB上一点，AB＝p，AC的长t是该方程的一个根，且2t（p﹣t）＝1． ①求证：p﹣t＝1； ②确定点C在线段AB上的位置，并说明理由． 23．（8分）某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为7米，则BC＝　 　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 24．（8分）某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利6000元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 25．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 26．（8分）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若α，β是方程x2﹣4x+1＝0的两根，则α+β＝　 　 ，αβ＝　 　 ，（2α+1）（2β+1）＝　 　 ； 【问题探究】 （2）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝3，那么关于y的一元二次方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是p，两根之积是q，请求出关于t的方程a（2t+1）2+b（2t+1）+c＝0（a≠0）的两根之积的值（用字母p，q表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测04 2.3～2.4 一元二次方程的根与系数间的关系、用一元二次方程解决问题 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x%）2＝25 B．289（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x%）2＝289 D．256（1﹣x）2＝289 【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，列出方程，即可． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得：289（1﹣x）2＝256， 故选：B． 【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 2．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 【分析】根据根与系数的关系、相反数的定义可知x1+x2＝﹣（m+1）＝0，据此可以求得m的值． 【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知 x1+x2＝﹣（m+1）＝0，即m+1＝0， 解得，m＝﹣1； 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系．解答该题时，需挖掘出隐含在题干中的已知条件x1+x2＝0． 3．若x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则2x1﹣x1x2+2x2的值为（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．0 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【解答】解：由条件可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣5． 整理所求代数式得：2x1﹣x1x2+2x2＝2（x1+x2）﹣x1x2， ∴原式＝2×（﹣2）﹣（﹣5）＝﹣4+5＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 4．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到α2+2α＝2025，则α2+3α+β可化为2025+α+β，接着利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2025＝0的实数根， ∴α2+2α﹣2025＝0， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2025+α+β， ∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2， ∴α2+3α+β＝2025﹣2＝2023． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 5．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 6．2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝78 B．x（x﹣1）＝78 C． D． 【分析】根据题意列出一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意可得方程． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．已知m、n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+16的值是 　15　 ． 【分析】由一元二次方程根与系数关系得m+n＝﹣4，m2＝3﹣4m，再代入求值即可． 【解答】解：由题意可知：m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2＝3﹣4m， ∴m2+5m+n+16 ＝3﹣4m+5m+n+16 ＝m+n+19 ＝﹣4+19 ＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 8．设x1，x2是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两个根，且x1＝4x2，则k＝　4　 ． 【分析】根据题意和两根之和的关系，可以分别计算出x1，x2，再根据两根之积即可计算出k的值． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两个根， ∴x1+x2＝5， 又∵x1＝4x2， ∴x1＝4，x2＝1， ∴x1x2＝k＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 9．若一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两根之和为m，两根之积为n，则在平面直角坐标系中，点（m，n）位于第　四　 象限． 【分析】先求出m和n的值，再根据点的坐标判断所在象限即可． 【解答】解：由题意可知，，， ∴点（m，n）为． ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点（m，n）位于第四象限． 故答案为：四． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，点的坐标，解题关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，两根之和为，两根之积为， 10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3． 11．已知：一元二次方程x2﹣8x+d＝0（d为常数）有一个根为3，则另一根为　5　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，据此直接求出另一根． 【解答】解：设方程x2﹣8x+d＝0的另一个根为x2，已知一根为3， 根据韦达定理，两根之和为： 3+x28， 解得： x2＝8﹣5， ∴另一个根为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的基础应用，熟练掌握两根之和公式是解题的关键． 12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x元，则可列方程为　（40﹣x）（10+x）＝600　 ． 【分析】根据如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件，商场平均每天盈利600元，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：（40﹣x）（10+x）＝600， 故答案为：（40﹣x）（10+x）＝600． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：因为x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根， 所以x1+x2＝3k，x1x2＝﹣k﹣1． 又因为x1＝x2（2x1﹣1）， 则x1+x2＝2x1x2， 所以3k＝2（﹣k﹣1）， 解得k． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　 小分支． 【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想进行计算即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， 所以． （1） ＝3； （2） ． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 【分析】（1）当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，BQ＝2tcm，PB＝（5﹣t） cm，根据△PBQ的面积为4cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）连接DP，当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝（5﹣t） cm，CQ＝（12﹣2t） cm，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）5÷1＝5（秒），12÷2＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm， 根据题意得：2t（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4．答：t的值为1或4； （2）连接DP，如图所示， 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t） cm， 根据题意得：DP2＝PQ2+DQ2， 即122+t2＝[（5﹣t）2+（2t）2]+[52+（12﹣2t）2]， 整理得：4t2﹣29t+25＝0， 解得：t1（不符合题意，舍去），t2＝1． 答：当PQ⊥DQ时，t的值为1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测04 2.3～2.4 一元二次方程的根与系数间的关系、用一元二次方程解决问题 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x%）2＝25 B．289（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x%）2＝289 D．256（1﹣x）2＝289 2．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 3．若x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则2x1﹣x1x2+2x2的值为（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．0 4．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 5．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 6．2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝78 B．x（x﹣1）＝78 C． D． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．已知m、n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+16的值是 　 　 ． 8．设x1，x2是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两个根，且x1＝4x2，则k＝　 　 ． 9．若一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两根之和为m，两根之积为n，则在平面直角坐标系中，点（m，n）位于第　 　 象限． 10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　 　 ． 11．已知：一元二次方程x2﹣8x+d＝0（d为常数）有一个根为3，则另一根为　 　 ． 12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x元，则可列方程为　 　 ． 13．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　 　 ． 14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 　 小分支． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 16．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $