29.1.2 过三点的圆（第1课时 确定圆的条件）（教学课件，含交互动画）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”核心内容，通过考古复原圆形古镜情境导入，以问题链（圆弧点与圆心关系、确定圆的关键要素）连接圆的定义、垂直平分线性质等知识回顾，逐步探究过一点、两点、三点作圆的条件，搭建递进式学习支架。 其亮点在于采用“操作—观察—猜想—验证”探究过程，结合几何直观与推理意识，如通过活动分析过三点作圆的圆心为垂直平分线交点，解释共线三点不能作圆的原因。课堂小结从知识、思想方法、易错点三维度总结，帮助学生构建知识体系，提升逻辑推理能力，也为教师提供分层练习与递进式教学支持。

29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆 第1课时 确定圆的条件 第二十九章 圆 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握定理：知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，能从“存在性”和“唯一性”两个维度解释“确定”的含义.掌握探究方法：经历“过一点→过两点→过三点”的递进式探究过程，理解确定圆的条件从“无数个”到“唯一”的变化规律. 理解共线三点不能作圆的原因：能运用垂直平分线的性质解释为什么共线三点不能确定一个圆. 经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会分类讨论、从特殊到一般的数学思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合 知识回顾 （1）圆的静态定义是什么？ （2）垂直平分线可以看成怎样的点的集合？ 到定点距离等于定长的所有点组成的图形 O 半 径 圆心 构成圆的两个要素 A B P M N PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上 导入新课 这是某考古队发现一块残缺的圆形古镜边缘碎片，只有一段圆弧（如图）.工匠师傅想要复原这面古镜的完整形状，该怎样修复呢? 圆弧上的点与圆心由怎样的位置关系？ 要复原一个圆，最关键的是确定什么？ 圆心和半径 圆上的点到圆心距离相等，都等于半径 用圆弧上几个点能确定一个圆? 新知探究 探究点1 过一点作圆 活动1 （1）在纸上取一点A，过点A画圆，用圆规试一试，经过点A，你能画多少个圆？ O1 O2 O3 无数个，圆心为点 A 以外任意一点，半径为这点与点 A 的距离 （2）这些圆的圆心有什么规律？ 圆心可以是平面内任意一点，只要用这点到点A的距离为半径即能画圆 新知探究 探究点2 过两点作圆 活动2 在纸上再取一个点B，经过点A和点B画圆，你能画多少个圆？用圆规试一试. A B O O1 O2 O3 （1）这些圆中，点A、点B与各圆的圆心的距离有什么关系？ A、B与圆心的距离相等， 即 各圆圆心到A和B的距离相等 (2)你能用尺规找出几个这样的圆心吗？ 圆心到A和B的距离相等， 即圆心在线段AB的垂直平分线上 l O4 新知探究 探究点2 过两点作圆 活动2 在纸上再取一个点B，经过点A和点B画圆，你能画多少个圆？用圆规试一试. A B O O1 O2 O3 （3）描述你画的圆符合什么件？ 在线段AB垂直平分线上任取一点作为圆心，到A（或B）的距离为半径画圆即可 l （4）这样的圆能做多少个？ 线段AB垂直平分线上有无数个点，所以这样的圆可以画无数个 无数个，它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 新知探究 探究点3 过不在同一直线上的三点作圆 B A C 过B、C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 活动3 在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ （1）过A、B两点的圆的圆心在哪里？ 问题分析 （2）过B、C两点的圆的圆心在哪里？ 过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上; （3）同时满足“过A、B、C三点”的圆的圆心，应该在哪？ 如果l₁和l₂的交于点O，“过A、B、C三点”的圆的圆心应该在l₁和l₂的交点O处 O 新知探究 探究点3 过不在同一直线上的三点作圆 B A C 活动3 在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ （4）这个交点O到A、B、C三点的距离有什么关系？ 问题分析 OA=OB=OC， 因为O在AB的垂直平分线上，所以OA=OB； O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC； 因此OA=OB=OC （5）经过点A、B、C这三点的圆能确定吗 以线段AB、BC垂直平分线的交点O为圆心，OA（或 OB，OC ） 为半径画圆 O 在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ 新知探究 探究点3 过不在同一直线上的三点作圆 B A C 作法：（1）连结 AB，BC. （2）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点； （3）过D，E 两点作线段 AB的垂直平分线l₁； （4）同理,作线段 BC的垂直平分线l₂，交 l₁于点 O. E D F G O （5）以 O 为圆心，以 OA（或 OB，OC ）的长为半径作圆. ⊙O 就是所要求作的圆. l₁ l₂ 活动3 规范画图 在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ 新知探究 探究点3 过不在同一直线上的三点作圆 B A C O l₁ l₂ 议一议 因为圆心既要到A、B距离相等，又要到B、C距离相等，同时满足这两个条件的点就是两条线段的垂直平分线的交点O. （1）为什么圆心必须是l₁和l₂的交点？ 一定，因为OA=OB=OC （2）以O为圆心，OA为半径画圆，这个圆是否一定经过A、B、C三点？ 这样的圆只有1个，因为两条直线相交有且只有一个交点，即两垂直平分线的交点只有一个 （3）这样的圆有几个？唯一吗？为什么？ 新知探究 探究点3 过不在同一直线上的三点作圆 归一归 不在同一直线上的三个点确定一个圆. B A C D O l₁ l₂ 1.圆的确定 存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一点的距离为半径画圆，该圆经过三个点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. “确定”=“存在且唯一”. 新知探究 探究点3 过不在同一直线上的三点作圆 归一归 2.三角形的外接圆与圆的内接三角形 （1）三角形的外接圆： 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆 （2）三角形的外心 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. B A C O 这个三角形叫作圆的内接三角形. 一个三角形有一个外接圆 而一个圆有无数个内接三角形，过圆上任意三点都能画一个三角形 新知探究 探究点3 过不在同一直线上的三点作圆 议一议 B A C O O B A C 锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外. B A C O 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况 典例分析 例1. 如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点． （尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． （1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧， 连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心， 为半径画圆即可； 【分析】 （2）连接，得， 根据三角形外角与内角的关系求出， 结合已知可得， 运用角所对的直角边等于斜边的一半求出， 最后由代入求解即可． 典例分析 例1. 如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点． （尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． （1）解：如图， O ∟ （2）由（1）可知，连接 又 即 的半径=2 新知巩固 1.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心? 课本P118页 C D A B 答：因为A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在CD所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点就是圆心， C D A B C D A B O 新知巩固 2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长。 课本P118 A C B O ∟ M N ∟ E F G 解：如图所示 （1）作BC的垂直平分线EF交BC于G点， （2）作AB的垂直平分线MN交EF于O点, （3）连结BO （4）以O点为圆心，OB场为半径作圆 ∴⊙O为△ABC的外接圆 有作图可得: BG = BC= 1，∠OBG=30° ∴OB =OG 由勾股定理得： ∴OB= 拓展提升 1．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作： (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出扇形的面积． （1）解：根据网格作，的中垂线，这两条中垂线相交于点，连接，，，则点， （2）解：由（1）图可知： ， ， 为直角三角形，， 即的半径为，的度数为， ∴． 真题感知 1.（2026·庐江三中课时练习）估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． ①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧， 再作AB的垂直平分线CD； ②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″， 则此点即为 所在圆的圆心； ③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′， 则O′即为中间的弧所在圆的圆心； ④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O， 则O即为较大的弧所在圆的圆心． 根据图形可知： 最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． 真题感知 2．（2026·苏州校考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 （1）解：连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于P点， 如图所示，点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴点P的坐标为：， （2）由（1）得：点P是过A，B，C三点的圆的圆心 连结PA，圆的直径为： ． 课堂小结 探究路径： 过一点→过两点→过三点， 从“无数个”到“唯一”的递进变化. 核心定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆（存在性 + 唯一性）. 重要结论：共线三点不能确定一个圆. 作图思路：找圆心→作两条垂直平分线→交点为圆心. 知识与技能 课堂小结 分类讨论： 分为“过一点、过两点、过三点”三种情况逐步探究. 从特殊到一般： 从简单情形（过一点）开始，逐步过渡到复杂情形（过三点）. 转化思想： 将“确定圆”的问题转化为“确定圆心”的问题，再转化为“找垂直平分线交点”的问题. 思想与方法 课堂小结 ＊漏条件： 切记“不在同一直线上”的前提，共线三点不能作圆. ＊误判共线： 在具体题目中，要善于通过角度、坐标等条件判断三点是否共线. ＊圆心位置： 过三点的圆的圆心是两条垂直平分线的交点，不是角平分线或其他线的交点. 易错点提醒 课后练习 5.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证:E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 习题 29.1 课本p120页 D O A B C E F G H 证明： ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O ∴OA=OB=OC=OD ∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点 ∴OE=OF=OG=OH ∴ E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上 课后练习 6.张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃 镜，需要确定原玻璃镜的半径.工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出 了点A，B，C，给出△ABC，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗?作图说明. 习题 29.1 课本p120页 作法： 1.分别作线段 AB 和线段 BC 的垂直平分线，两条垂直平分线交于点 O； 点 O 就是原圆形玻璃镜的圆心； 2. 连接 OA（或 OB、OC）， 线段 OA 的长度就是原玻璃镜的半径。 ∟ M N ∟ E F G O 7.如图，在⊙ O中，AB，CD为直径.求证AD//BC. 课后练习 习题 29.1 课本p120页 证明：连结AC、BD ∵AB，CD为直径 ∴ AB=CD ∵OA=OB，OC=OD ∴四边形ABCD为矩形 ∴AD//BC. 谢谢聆听 $nullnullnull