27.2反比例函数的图象和性质（第1课时 反比例函数的图和基本性质）(教学课件，含交互动画）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象绘制步骤、双曲线特征及k>0(k<0)时的象限分布与增减性质，通过回顾一次函数研究流程（定义-图像-性质-应用），类比迁移搭建学习支架，帮助学生建立函数研究的系统思维。 其亮点在于采用“特殊到一般”探究方法（如绘制k=3,6和k=-3,-6的具体函数图像归纳通用性质），结合数形结合思想（以形助数分析增减性，以数释形验证图像特征），培养几何直观与推理意识。典例分析与中考真题结合强化模型应用，课堂小结梳理思想方法与易错点，助力学生深度理解，便于教师高效教学。

null27.2反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和基本性质 第二十七章 反比例函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握描点法画反比例函数图像的步骤；认识双曲线图像特征；熟练掌握k>0（<0)时反比例函数的图像位置与增减性质；能利用性质解决基础判断、比较大小题型. 经历画图、观察、对比、归纳的探究过程，体会“由特殊到一般”的探究方法，提升识图能力、归纳概括能力和数形结合分析能力. 感受函数图像的对称美、规律美，养成严谨画图、严谨说理的学习习惯，建立系统研究函数的思维模型. 知识回顾 一般地，形如（k 为常数，k ≠ 0）的函数，叫作反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 1.什么是反比例函数？自变量取值由什么要求？ 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 2.研究一次函数、二次函数时我们一般经历那些过程？ 探究定义 绘制图像 探究图像 总结性质 实际应用 实际问题 从实际问题出发探究，最后回归实际问题的解决 导入新课 y=2x+1 一次函数 y = kx + b（k ≠ 0） 一条直线 (-1,1) (1,3) 我们从画反比例函数图象开始，一起探究反比例函数的图像和基本性质 y=2x 2 (-0.7,0) (2.7,0) y = ax2 + bx + c（a ≠ 0） 一条抛物线 二次函数 类比方法 我们能否用同样的方法研究反比例函数的图像和性质？ 一次函数、二次函数、反比例函数都是函数，我们可以用类比方法研究反比例函数的图像和性质 4 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 议一议 （1）我们可不可以直接画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？ 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 绘制图像 探究图像 总结性质 列 表 描 点 连 线 画图步骤 （2）根据已有的知识储备，我们能不能换一个角度，从反比例函数的解析式出发，先思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质？ 研究解析式 探究图像 总结性质 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 议一议 （3）反比例函数解析式y = （k ≠0为常数)中的k 取值分几种情况？ 类比一次函数 y= （k ≠0为常数) k>0 k<0 （4）反比例函数解析式y = （k ≠0为常数)函数y会得0吗？ 因为自变量 x≠0 ，所以函数值y≠0 （5）想象一下，反比例函数y = （k ≠0为常数)图象与坐标轴有交点吗？ 因为x≠0，所以与y轴没有交点， 因为y≠0，所以与x轴没有有交点 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 议一议 （6）当 k>0时，y= （k为常数)中自变量x与函数值y的符号由什么关系？对应点落在什么象限？ 根据除法法则，自变量x与函数值y的符号相同， 对应点落在第一象限或第三象限 （7）当 k＜0时，y= （k为常数)中自变量x与函数值y的符号由什么关系？对应点落在什么象限？ 根据除法法则，自变量x与函数值y的符号相反， 对应点落在第二象限或第四象限 我们从具体的反比例函数开始验证我们的推理吧 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 活动1 画出反比例函数y 、 的图象 列 表 描 点 连 线 描点法 解：（1）列表. 自变量取值时以正负对称取值，不能取0 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … … … … -1 3 1 -3 -2 6 -6 3 -1 1 2 -3 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 2 6 x 2 4 -2 -6 -2 -4 y O -4 4 6 -6 (2)描点： 活动1 画出反比例函数y 、 的图象 (3)连线： 平滑曲线分别连接左右两侧点，得到两支曲线， y 议一议 观察两个函数图象有什么特征和性质： 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 2 6 x 2 4 -2 -6 -2 -4 y O -4 4 6 -6 y 形状： 双曲线 由两支曲线组成,叫做双曲线 图像位置： 双曲线两支分别落在第一、三象限 第一象限 第三象限 变化趋势： 每一象限内，x增大，y减小 特征： 图像无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 活动2 当k>0时，取几个不同的值，画出函数y=的示意图，探究性质. 2 6 x 2 4 -2 -6 -2 -4 y O -4 4 6 -6 新知探究 探究点1 作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 议一议 当 k >0 时，结合函数图象与解析式可得反比例函数 的性质 特征：图象无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. y O x （ k >0 ） 图像位置：函数图象的两支分布在第一、三象限； 变化趋势：在每一个象限内，y随 x 的增大而减小 新知探究 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … … … … -1 3 1 -3 -2 6 -6 3 -1 1 2 -3 活动3 类比画图，探究函数y=（k<0）图象与性质 画出反比例函数y= - 、y= - 等的图象. 探究点2 作函数y=（k<0）图象，探究函数性质 列表： 新知探究 探究点2 作函数y=（k<0）图象，探究函数性质 活动3 类比画图，探究函数y=（k<0）图象与性质 画出反比例函数y= - 、y= - 等的图象. 2 6 x 2 4 -2 -6 -2 -4 y O -4 4 6 -6 第二象限 第四象限 在每一个象限内，y随 x 的增大而增大. 双曲线两支分别落在第二、四象限 新知探究 议一议 当 k＜0 时，结合函数图象与解析式可得反比例函数 的性质 特征：图象无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. y O x （ k ＜0 ） 图像位置：函数图象的两支分布在第二、四象限； 变化趋势：在每一个象限内，y随 x 的增大而增大 探究点2 作函数y=（k<0）图象，探究函数性质 新知探究 探究点2 作函数y=（k<0）图象，探究函数性质 归一归 2. 当k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 反比例函数的图象特征和性质 1. 反比例函数的图像由两条曲线组成，它是双曲线； 4. 图像两支永不与坐标轴相交. 3. 当k<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； k>0 k<0 典例分析 例1.已知反比例函数 y=，根据下列条件求k的取值范围： （1）图像分布在第一、三象限； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大. 解：（1）∵ 图像在第一、三象限 ∴ 比例系数大于0，k-3>0 解得：k>3. 答：图像分布在第一、三象限时k>3； （2）∵ 在每个象限内，y随x的增大而增大 ∴ 比例系数小于0，k-3<0 解得：k<3. 答：在每个象限内，y随x的增大而增大时k<3. 典例分析 例2.如图所示的曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点． (1)求该曲线对应的函数解析式； (2)若，求温度的取值范围． （1）解：设反比例函数解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）令，则， 结合图象可得：当，求温度的取值范围为． 新知巩固 1.如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）. A. y = 5x B. y = 2x + 3 C 【教材第70页 】 新知巩固 2.填空： （1）反比例函数的图象在第______象限. （2）反比例函数的 图象如图所示，则k___0；在每个象限内，y随x的增大而_____. 一、三 ＜ 增大 【教材第70页 】 拓展提升 1．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当x为何值时，． （1）解：将点代入， ， ∴， 将代入， ，∴， 将和代入， ∴，解得：， ∴； （2）解：根据图象可得， 当时， x的取值范围为：． 真题感知 1．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 解：∵点A（4，）在双曲线y上， ∴k＝46， ∴反比例函数的解析式为y， ∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行， 点A坐标为（4，）， ∴点C的横坐标比点A的横坐标小1， 即横坐标为3， ∵点C在y上， ∴C点坐标为（3，2）， 同理，DE＝1，则点E的横坐标为2， 把x＝2代入y，则y＝3， ∴求得E点坐标为（2，3）， FG＝1，则点G的横坐标为1， 把x＝1代入y，则y＝6， ∴G点坐标为（1，6）， 观察图象可知， EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标， 即EF＝6﹣3＝3． B 真题感知 2．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； D 真题感知 3．（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣3，y1）在第二象限， ∴y1＞0， 又∵1＜3， ∴y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． D 真题感知 4．（2025•河北）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 解：∵反比例函数y，k＝4＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当2＜y＜4时，x， ∴1＜x＜2． 故选：B． B 真题感知 5．（2025•浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限， 在每一象限内y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． C 课堂小结 掌握了描点法画反比例函数双曲线图像的完整步骤； 认识了反比例函数图像形态与特征； 熟记k>0、k<0对应的象限分布与增减性规律； 能根据解析式判断图像位置、根据性质求参数取值. 知识与技能 课堂小结 （1）数形结合思想： 通过图像直观理解函数增减与分布，以形助数、以数释形； （2）类比思想： 类比一次函数探究方法学习反比例函数，实现知识迁移； （3）特殊到一般思想： 通过具体函数图像归纳通用性质. 思想与方法 课堂小结 （1）最核心易错：增减性必须带“在每个象限内”，不能说全体定义域单调增减； （2）画图易错：连线跨越象限、图像与坐标轴相交、曲线生硬不平滑； （3）判断易错：混淆k>0与k<0对应的象限和增减规律； （4）认知易错：忘记双曲线永远不与坐标轴相交. 易错点提醒 课后练习 1.函数的图象大致是( ). A 习题 27.2 课本p72页 课后练习 习题27.2第2题 2.填空题. (1)反比例函数的图象如图(1)所示，则k____0，在每一个象限内，y随x的增大而_______； (2)反比例函数的图象如图(2)所示，则k____0，在每一个象限内，y随x的增大而_______； (3)若点(1,3)在反比例函数的图象上，则k=______，在每一个象限内，y随x的增大________. > 减小 < 增大 3 减小 习题 27.2 课本p72页 课后练习 3.李明需要制作一个底面积为20cm2的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y(单位:cm)与其邻边长x(单位:cm)之间的关系可以用图象大致表示为( ). C 习题 27.2 课本p72页 课后练习 4.已知点(2，4) 在反比例函数的图象上. (1)当y<4时，求x的取值范围； (2)已知点A(3，y1)，B(5，y2)，C(4，y3)在这个反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小，并用反比例函数的性质说明理由. 解：将点(2，4)代入 得k=8.所以. (1)令y=4时，解得x=2. 根据反比例函数的性质，当y<4时，x>2或x<0. 习题 27.2 课本p72页 课后练习 4.已知点(2，4) 在反比例函数的图象上. (1)当y<4时，求x的取值范围； (2)已知点A(3，y1)，B(5，y2)，C(4，y3)在这个反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小，并用反比例函数的性质说明理由. (2) y1<y2<y3.理由： 因为k=8>0，所以在每个象限内，y随x的增大而减小. 因为3>5，所以y1<y2<0. 因为点C(4，y3)在第一象限内，所以y3>0，所以y1<y2<y3. 习题 27.2 课本p72页 谢谢聆听 $