第21、22章检测2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与相似三角形核心知识，通过喷泉景观（解答19）、垃圾分类（解答21）等真实情境设计问题，考查几何直观与模型意识，层次分明适配月考检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/40|反比例函数图像（1）、二次函数平移（3）、相似比计算（4）|结合驾驶员盲区（9）考查相似应用，体现数学眼光| |填空|4/20|二次函数过原点（11）、反比例函数面积（12）、正方形零件边长（13）|黄金分割作图（6）渗透数学文化，培养抽象能力| |解答|9/90|位似变换作图（16）、二次函数最值（17）、相似证明与计算（22）|喷泉抛物线建模（19）、动点面积函数（10），发展模型意识与推理能力|

第21、22章检测2026-2027学年沪科版九年级数学上册 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若反比例函数的图象经过，则它的图象位于（   ） A．第四象限 B．第一象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 2．若（），则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（   ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 4． 如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C， 直线n分别交直线a，b，c 于点D，E，F．若，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5． 点都在二次函数图象上， 则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6． 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 7. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池， 水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头， 喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为， 从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8. 如图是抛物线（，，是常数且）的图象， 则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（   ） A． B． C． D． 9. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米， 车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米， 则车宽的长度为（   ）米． A． B． C． D．2 10 ．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上， ，将沿平移，当点与点重合时，停止平移． 设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为， 则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 12． 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点， 轴于点，的面积为6，则的值为______． 13． 如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为______． 14. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动． 与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1）______； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90，分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，在中，D为上一点，．求的长．    16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1) 画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2) 以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3) 判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 17． 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成， 篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1) 用含有的代数式表示边的长为______m； (2) 当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 18. 如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜， 手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后， 恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度， 灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为， 图中A，B，C，D在同一条直线上， (1) 求的长； (2) 求点E到地面的高度． 19. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究： 测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面； 建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1) 求抛物线的表达式． (2) 身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 20．如图，函数的图象与函数的图象交于点，. (1) 求函数的表达式； (2) 观察图象，直接写出不等式的解集； (3) 若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标. 21． 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源， 也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现， 销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系： 当时，；当时，． (1) 若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2) 若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 22． 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：∠DAF＝∠CDE； (2) 求证：△ADF∽△DEC； (3) 若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长. 23. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点， 点在抛物线上． (1) 求抛物线的解析式． (2) 若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点， 当的值最小时，求点的坐标． (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21、22章检测2026-2027学年沪科版九年级数学上册（解析版） 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若反比例函数的图象经过，则它的图象位于（   ） A．第四象限 B．第一象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的图象经过，则，从而可判断它的图象位于第二、四象限，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴它的图象位于第二、四象限， 故选：． 2．若（），则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 3．抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（   ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，通过比较平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移单位，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，然后根据坐标变化判断平移方向． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线 的顶点坐标为 ， ∴水平方向：从到，增加了，即向右平移个单位；垂直方向：从到，增加了，即向上平移个单位， ∴平移方法是向右平移个单位，再向上平移个单位， 故选：． 4． 如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C， 直线n分别交直线a，b，c 于点D，E，F．若，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先求出，再由平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 5． 点都在二次函数图象上， 则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，分别求出，和时的函数值即可判断． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故选：C． 6．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 7. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池， 水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头， 喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为， 从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 8. 如图是抛物线（，，是常数且）的图象， 则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， ∵抛物线与轴交于负半轴，则， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项A符合题意． 故选：A． 9. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米， 车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米， 则车宽的长度为（   ）米． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N， 则， 设米，由得，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：B． 10 ．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上， ，将沿平移，当点与点重合时，停止平移． 设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为， 则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为． ①当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 【答案】2； 【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0． 【详解】根据题意得：m(m−2)=0， ∴m=0或m=2， ∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2. 故填2. 12． 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点， 轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为______． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．设加工成的正方形零件的边长为，过点作于，交于点，先根据的面积求出高，证明，得到，代入数值求出即可． 【详解】解：设加工成的正方形零件的边长为， 过点作于，交于点， 的面积为，边， ， 解得， 四边形是正方形， ， ， ， 解得， 故选：C． 14. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动． 与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1）______； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为______． 【答案】 4 8 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4 ，8． 三、解答题（本大题共9小题，满分90，分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，在中，D为上一点，．求的长．    【答案】的长为9． 【分析】根据已知条件证明，得到求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故的长为9． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1) 画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2) 以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3) 判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 17． 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成， 篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1) 用含有的代数式表示边的长为______m； (2) 当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，矩形花圃面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据矩形的性质，用代数式表示即可； （2）根据题意，列式子，运用二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门，设垂直于墙的一边为，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设矩形花圃面积为， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，矩形花圃面积最大，最大值为． 18. 如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜， 手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后， 恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度， 灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为， 图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 19. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究： 测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面； 建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1) 求抛物线的表达式． (2) 身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 20．如图，函数的图象与函数的图象交于点，. (1) 求函数的表达式； (2) 观察图象，直接写出不等式的解集； (3) 若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)或；(3)点的坐标为. 【分析】（1）先把A（1，a），B（b，2）分别代入y=-2x+8中求出a、b的值得到A（1，6），B（3，2），然后把A点坐标代入中得到k的值，从而得到反比例函数解析式； （2）写出一次函数图象在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′（-1，6），根据两点之间线段最短判断此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而得到点P的坐标． 【详解】解：(1)把，分别代入得， ，解得， ∴，； 把代入得， ∴反比例函数解析式为； (2)不等式的解集为或； (3)作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则， ∵， ∴此时的值最小，周长最小， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为. 21． 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源， 也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现， 销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系： 当时，；当时，． (1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式， （2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可． 【详解】（1）解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， （2）解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值为元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：∠DAF＝∠CDE； (2) 求证：△ADF∽△DEC； (3) 若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长. 解：（1）证明：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B=∠ADC ∵∠AFE=∠B， ∴∠AFE=∠ADC ∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2 ∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3 ∴∠DAF=∠CDE （2） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠2=∠4 由（1）得∠1=∠3 ∴△ADF∽△DEC （3）∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD ∴DE= 由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7 ∴ ∴ ∴AF= 23. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点， 点在抛物线上． (1) 求抛物线的解析式． (2) 若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点， 当的值最小时，求点的坐标． (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，则，由题意可知，，则，当时，有最小值，此时； （3）设，求出，，，分三种情况讨论：当时，；当时，，无解；当时，或． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $