高一数学上学期第一次月考01（人教A版，范围：必修第一册第一章～第二章，举一反三）

**基本信息** 高一数学月考卷聚焦集合与不等式模块，通过购物情境（如买大米平均单价）和创新定义（乘法封闭集）设计，考查数学眼光、思维与语言，适配学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、命题否定、不等式性质|第7题以购物情境考查均值不等式，体现用数学眼光观察现实世界| |多项选择|3/18|充分条件、不等式解集、基本不等式|第11题结合正实数条件判断最值，发展数学思维| |填空题|3/15|集合关系、命题真假、恒成立问题|第14题以三元条件考查不等式恒成立，强化运算能力| |解答题|5/77|集合综合、命题应用、实际应用、二次函数、创新定义|第17题花园面积优化，第19题“乘法封闭集”探究，体现用数学语言表达与解决问题|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解得集合，再求交集即可． 【解答过程】因为，， 所以． 故选：D． 2．（5分）（25-26高一上·河南周口·期末）：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】应用全称命题的否定判断求解. 【解答过程】：“，”的否定是，. 故选：D. 3．（5分）（25-26高一上·云南昭通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】对于A，作差即可判断；对于B，由不等式的可加性即可判断B；对于C，易知时，即可判断C；对于D，易知若，则． 【解答过程】若，则，所以A选项错误； 根据不等式的性质可知，若，则，所以B选项正确； 当时，，所以C选项错误； 因为，所以，，由可知，所以D选项错误. 故选：B． 4．（5分）（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 5．（5分）（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【解答过程】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B. 6．（5分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题设转化得，再由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解. 【解答过程】由题可得，又， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 7．（5分）（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【解答过程】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 8．（5分）（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 【答案】ABD 【解题思路】从充分不必要条件的定义可判断AB；利用全称量词命题的否定可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在量词命题的真假性可判断D. 【解答过程】对于A选项：若，则必有，充分性成立； 反之，若，不一定有（例如且），必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项：若，则，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立； 反之，取，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C选项：全称量词命题“”的否定为“”，C错误； 对于D选项：方程的判别式，无实数根， 故命题“”为假，D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解题思路】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【解答过程】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则__________． 【答案】 【解题思路】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【解答过程】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为：. 13．（5分）（2026高一上·江苏南通·专题练习）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】根据题意，得到是真命题，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由命题p：是假命题， 可得命题是真命题， 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 16．（15分）（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【解答过程】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 17．（15分）（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18．（17分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得. （2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围. （3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可. 【解答过程】（1）由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根， 因此， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 于是，解得， 所以此二次函数的表达式为，即. （2）由（1）知不等式为， 整理得，即， 依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则， 当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去； 当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数， 则， 所以实数的取值范围是. （3）对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，，则，解得， 即实数的取值范围为. 19．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2)，或. (3) 【解题思路】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【解答过程】（1）设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·河南周口·期末）：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）（25-26高一上·云南昭通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（5分）（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 6．（5分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 7．（5分）（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 8．（5分）（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 10．（6分）（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 11．（6分）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则__________． 13．（5分）（2026高一上·江苏南通·专题练习）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 14．（5分）（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17．（15分）（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 18．（17分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $