高中数学单元测试——第8章函数应用（适中版02）

**基本信息** 高中数学第8章函数应用单元卷，聚焦零点、二分法及函数建模，通过地震能量计算、民宿投资等真实情境，梯度覆盖基础与应用，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点概念、二分法区间判断、地震能量模型|结合地震能量对数关系，体现数学与科技关联| |多选题|2/12|零点存在性、方程根的个数|通过函数图像与方程根综合，考查逻辑推理| |填空题|2/10|零点应用、费用优化|以仓库费用建模，培养数据观念| |解答题|3/48|定义域、零点证明、利润函数、分段函数|民宿投资问题构建利润函数，分层设计建模与最值求解，强化应用意识|

高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 2．（本题5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据能用二分法求的函数零点应该是变号零点的要求，一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 故选：C 3．（本题5分）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理判断各区间端点处的符号即可得出结论. 【详解】易知函数在上单调递增， 易知， ， 满足，因此的零点所在区间为. 故选：C 4．（本题5分）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 5．（本题5分）地震发生时会释放大量能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系．若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则5.5级地震所释放的能量约为（   ）(参考数据:) A． 焦耳 B． 焦耳 C． 焦耳 D． 焦耳 【答案】B 【分析】设，利用待定系数法求出方程，再把代入计算即可. 【详解】设， 则，解得， 所以，则， 当时，． 故选：B． 6．（本题5分）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a 的取值范围为. 故选：A 二、多选题 7．（本题6分）下列函数在区间上存在唯一零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，求出函数的零点、利用零点存在性定理判断即可作答. 【详解】的解为在区间上没有零点，故A错误； 在上为增函数，且在区间上存在唯一零点，故B正确； 在上为增函数，且在区间上存在唯一零点，故C正确； 在上为减函数，且在区间上存在唯一零点，故D正确. 故选：BCD 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 【答案】21 【分析】由x＝3是函数的零点，即，将x＝3代入函数有，求解即得的值 【详解】∵x＝3是函数的零点，即 ∴，解得 故答案为：21 【点睛】本题考查了函数的零点，根据零点列方程，应用对数的概念求参数值 10．（本题5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元. 【答案】8.2 【分析】设仓库与车站距离为公里，可得出、关于的函数关系式，然后利用双勾函数的单调性求出的最小值. 【详解】设仓库与车站距离为公里，由已知，. 费用之和，求中， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减， 所以，当时，取得最小值万元，故答案为. 【点睛】本题考查利用双勾函数求最值，解题的关键就是根据题意建立函数关系式，再利用基本不等式求最值时，若等号取不到时，可利用相应的双勾函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 四、解答题 11．（本题14分）已知函数． (1)求的定义域； (2)证明：在内有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据对数的真数大于零及f恩木不等于零求解即可； （2）先判断函数在上的单调性，再根据零点的存在性定理即可得证. 【详解】（1）由， 得，解得或且， 所以的定义域； （2）令，其在上是增函数， 又函数是增函数， 所以函数在上是增函数， 因为在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以函数在内有且仅有一个零点. 12．（本题16分）随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． (1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； (2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 【答案】(1)， (2)投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元 【分析】（1）根据利润与成本关系是利用分段函数写出表达式即可； （2）利用二次函数性质以及基本不等式计算可得利润最大化时的民宿栋数. 【详解】（1）由题意可得， 当时， 当时， 所以； （2）当时， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为70， 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为130>70，所以当时，的最大值为130， 所以投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元． 13．（本题18分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）因为在上单调递减，且， ，解得. （3）存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）地震发生时会释放大量能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系．若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则5.5级地震所释放的能量约为（   ）(参考数据:) A． 焦耳 B． 焦耳 C． 焦耳 D． 焦耳 6．（本题5分）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）下列函数在区间上存在唯一零点的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 10．（本题5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元. 四、解答题 11．（本题14分）已知函数． (1)求的定义域； (2)证明：在内有且仅有一个零点． 12．（本题16分）随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． (1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； (2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 13．（本题18分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $