第3章 周末练8 范围：3.2.2～§3.4（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数性质与幂函数，通过概念辨析、性质应用及实际建模，系统构建从定义到综合应用的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质|单选1-3、多选7|奇偶性判断、单调性应用|以定义域对称性为基础，结合奇偶性定义与单调性推导，形成"定义-性质-应用"逻辑| |幂函数|单选6、多选8|定义辨析、图象与性质|从幂函数定义出发，通过待定系数法求解析式，关联单调性与奇偶性| |实际应用|单选4、解答14|折扣计算、利润建模|将实际问题转化为分段函数模型，体现数学应用意识与建模能力| |综合解答|填空12、解答13|分段函数不等式、奇偶性综合|整合函数性质与不等式求解，培养逻辑推理与综合运算能力|

周末练8　范围：3.2.2~§3.4 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=(1+x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 答案　C 解析　由函数f(x)=(1+x)的定义域，可得≥0，则-1<x≤1，由于定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数. 2.函数y=的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由题意知，函数y=则满足x5≥0，解得x≥0，故函数的定义域为[0，+∞)，又>1，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意. 3.已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A.f(2)<f(-1)<f(0) B.f(2)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(0)<f(2) D.f(0)<f(-1)<f(2) 答案　B 解析　因为f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递减， 则f(x)在(-∞，0)上也单调递减， 所以f(x)在R上是减函数， 因为-1<0<2，所以f(2)<f(0)<f(-1). 4.某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 5% 超过400元部分 15% 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为(　　) A.935元 B.1 000元 C.1 035元 D.1 100元 答案　C 解析　当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，享受折扣优惠的金额最多为400×5%=20(元)，故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元(x>800) ，则400×5%+(x-800)×15%=65 ，解得x=1 100，则此顾客实际所付金额为1 100-65=1 035(元). 5.已知函数f(x)=则不等式f(2x-1)<f(x-1)的解集为(　　) A.(-∞，0) B. C. D.(-∞，0)∪ 答案　D 解析　由f(x)=可得x∈R且f(-x)==f(x)，则f(x)为偶函数， f(x)==-1+ 因为y=x2+1在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，y=x2+1>0恒成立， 则f(x)在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增， 因为f(2x-1)<f(x-1)， 所以|2x-1|>|x-1|，解得x<0或x>. 6.已知幂函数f(x)的图象过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是(　　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x2)<x2f(x1) C. D. 答案　D 解析　设幂函数f(x)=xα，图象过点即α= 所以f(x)= 因为函数f(x)=在(0，+∞)上单调递增， 所以当0<x1<x2时，0<f(x1)<f(x2)， 所以x1f(x1)<x2f(x2)， 即故选项A，C错误； 因为函数y=在(0，+∞)上单调递增，所以当0<x1<x2时即x2f(x1)<x1f(x2)，故B错误，D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.对于函数y=f(x)，定义域为D=[-2，2]，以下命题正确的是(　　) A.若f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，则y=f(x)是D上的偶函数 B.若对任意x∈[-2，2]，都有f(-x)+f(x)=0，则y=f(x)是D上的奇函数 C.若f(2)≠f(-2)，则y=f(x)不是偶函数 D.若f(-2)=f(2)，则该函数可能是奇函数 答案　BCD 解析　对于A，不满足偶函数定义中的任意性，故A错误；对于B，由f(x)+f(-x)=0可知f(-x)=-f(x)，因此y=f(x)是D上的奇函数，故B正确；对于C，当f(2)≠f(-2)时，y=f(x)一定不是偶函数，故C正确；对于D，若满足f(-2)=f(2)=0，此时函数可能是奇函数，故D正确. 8.已知幂函数f(x)的图象经过点则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A.在其定义域上为增函数 B.在(0，+∞)上单调递减 C.奇函数 D.定义域为R 答案　BC 解析　设幂函数f(x)=xα(α为常数)，因为幂函数图象过点所以f(x)=所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递减. 9.★★已知定义在R上的连续函数f(x)满足∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=0，当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f D.f(x)的图象关于直线x=2对称 答案　BCD 解析　因为∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)， 令x=y=0可得2f(0)=[f(0)]2，解得f(0)=0或f(0)=2， 又当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立，所以f(0)=2，故A错误； 令x=0，∀y∈R， 则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)， 即f(-y)=f(y)， 所以f(x)为偶函数，故B正确； 令x=y= 则f(1)+f=f 因为当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立， 所以f >0， 又f(1)=0，所以f =1， 令x=y= 则f +f(0)= 所以f故C正确； 令x=1可得f(1+y)+f(1-y)=f(1)f(y)=0， 令1-y=x，可得f(2-x)+f(x)=0， 又f(-x)=f(x)， 所以f(2-x)+f(-x)=0， 即f(2+x)+f(x)=0， 所以f(2-x)=f(2+x)， 所以f(x)的图象关于直线x=2对称，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知定义域为[a-4，2a-2]的奇函数f(x)=2 025x3-5x+b+2，则f(a)+f(b)的值为　　　　. 答案　0 解析　因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以a-4+2a-2=0，所以a=2，f(x)的定义域为[-2，2]， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0， 即b+2=0，故b=-2， 所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0. 11.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)在 (0，+∞)上单调递减，函数g(x)=mxm，则g(3)　　　　g(5)(填“>”或“<”). 答案　< 解析　根据题意可得解得m=-1，则g(x)=-x-1， 显然，函数g(x)在 (0，+∞)上单调递增，故g(3)<g(5). 12.★★已知定义在R上的函数y=f(x+1)-1为奇函数，且函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，则f(3x-1)+f(2-x)<2的解集为　　　　　　. 答案　 解析　∵函数y=f(x+1)-1为奇函数， ∴函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称， ∴2=f(x)+f(2-x)， 又f(x)在[1，+∞)上单调递增， ∴f(x)在R上为增函数， 从而f(3x-1)+f(2-x)<2可化为f(3x-1)<2-f(2-x)=f(x)， ∴3x-1<x，即x<. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-3x. (1)求函数y=f(x)的解析式；(5分) (2)在给定的坐标系中画出函数f(x)的图象，并求不等式(x-1)f(x)>0的解集.(8分) 解　(1)当x<0时，-x>0， 所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x， 因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-x2-3x(x<0)， 又f(0)=0满足f(x)=x2-3x， 所以f(x)= (2)由(1)可得f(x)的图象如图所示， 不等式(x-1)f(x)>0转化为 所以 解得x>3或x<-3或0<x<1， 综上所述，不等式(x-1)f(x)>0的解集为(-∞，-3)∪(0，1)∪(3，+∞). 14.(14分)已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元.记该企业生产x(x∈N*)台设备需要投入的总成本为S(x)(单位：万元)，且S(x)=假设生产的设备全部都能售完. (1)求利润f(x)(单位：万元)关于生产台数x的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润(利润=销售额-成本)；(6分) (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？(8分) 解　(1)当0<x≤40(x∈N*)时，f(x)=80x-(x2+20x+400)=-x2+60x-400； 当40<x≤70(x∈N*)时，f(x)=80x-=-4x-+1 300. 综上，f(x)= 当x=20时，f(20)=-202+60×20-400=400， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元. (2)当0<x≤40(x∈N*)时，f(x)=-x2+60x-400=-(x-30)2+500， 故当x=30时，f(x)取得最大值，最大值为500； 当40<x≤70(x∈N*)时， f(x)=-+1 300≤-2+1 300=820， 当且仅当4x=即x=60时，等号成立， 故当x=60时，f(x)取得最大值，最大值为820. 因为820>500，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元. 学科网（北京）股份有限公司 $