专题02 全等三角形证明方法—截长补短（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形证明中截长补短法的专项突破，通过典例与分层练习系统构建线段和差关系证明的思维路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例|5个|含角平分线、中点等条件的三角形及四边形线段和差证明|从单一应用到综合情境，逐步深化辅助线构造逻辑| |练习|18道|选择、填空、解答题分层设置|覆盖基础应用到复杂推理，强化几何直观与推理能力|

品学科网·上好课 www.zxxk.com 专题02全等三角形证明方法 典例精讲 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分∠ACB交 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在BC上截取AC=CE,连接DE. B :∠ACB的平分线CD交AB边于点D, .∠ACD=∠DCE. 在△ACD与△ECD中， AC=CE ∠ACD=∠DCE, CD=CD :.△ACD≌△ECD(SAS), ,AD=DE,∠A=∠CED」 :∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDC, .∠CED=2∠B, .∠B=∠EDB, :DE=BE, .AD=EB, CE+BE=BC. .AC+AD=BC. 1/33 上好每一堂课 截长补短 AB于点D.求证：AC+AD=BC 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2/33 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】如图，E是AD中点，BE平分∠ABC B D (1)若∠A=∠D=90°，求证：CE平分∠DCB, (2)若BE⊥EC,求证：AB+CD=BC, 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析 【详解】(1)证明：过点E作EH⊥BC,垂足为H, B D C :BE平分∠ABC,∠A=90°，， :.EA=EH 又：E是AB中点，即EA=ED, .EH=ED. :∠A=∠D=90°，EH⊥BC, CE平分∠DCB (2)证明：如图：在BC上截取BF=BA,连接EF. 3/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com D :BE平分∠ABC :∠ABE=∠FBE. 在△BAE和△BFE中， AB=BF ∠ABE=∠FBE, BE=BE .△BAE≌△BFE(SAS) :.EF=AE,∠AEB=∠FEB :E是AD的中点， .DE =AE =EF, 又：BE⊥EC, .∠BEC=90°， ∴.∠AEB+∠DEC=∠FEB+∠FEC=90°， .∠DEC=∠FEC, 在△CED和△CEF中 DE=EF ∠DEC=∠FEC CE=CE :aCED≌aCEF(SAS), .CD=FC. .CD+AB=FC+BF, .AB+CD=BC 【典例3】如图，己知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分线， 4/33 上好每一堂课 且交于点P. 品学科网·上好课 www.zxxk.com (1)直接写出∠DPE= P B (2)求证：PD=PE: (3)探究AB、AD、BE的数量关系. 【答案】(1)120°，(2)证明见解析；(3)AB=AD+BE 【详解】(1)解：∠C=60°， .∠ABC+∠CAB=180°-∠C=120°， :AE,BD是△ABC的角平分线 2P8-C4B,∠P84-CB4. :∠PAB+∠PBA=∠CAB+∠CBA=60°， .∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=120° .∠DPE=∠APB=120°： (2)证明：过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC, C G D E -H F ⊙ 则：∠PGD=∠PGC=∠PHE=90°， :AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P, .PG=PF PH, .∠C+∠PGC+∠PHC+∠GPH=180°. .∠GPH=120°， 5/33 上好每一堂课 学科网·上好课 www.zxxk.com .∠DPE=120°， .∠DPG=∠EPH. :.△PGD≌aPHE(AAS), .PD=PE: (3)解：AB=AD+BE,理由如下： 在AB上截取BM=BE, D M B :BP平分∠ABC, .∠PBM=∠PBE, .BP=BP. .△BPM≌△BPE(SAS). :.∠BPM=∠BPE=180°-∠APB=60°， .∠APM=∠APB-∠BPM=60°， :∠APD=180°-∠APB=60°， .∠APD=∠APM, :AP平分∠DAB, .∠DAP=∠MAP, 又AP=AP, :△APM≌aAPD(ASA), .AM=AD, ·.AB=AM+BM=AD+BE 【典例4】如图，已知在四边形ABCD中，CE⊥AB,CB 6/33 上好每一堂课 CD,AC平分∠BAD 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 求证： (1)∠B+∠ADC=180°： (2)AD+AB=2AE 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析 【详解】(1)证明：如图，过C作CF⊥AD,交AD的延长线于F点， B E AC平分∠BAD, :∠DAC=∠BAC=∠DAB 2 :CE⊥AB,CF⊥AD .CE=CF,∠BEC=∠DFC=90° ..CB=CD .RtACEBSRtACFD(HL. .∠B=∠CDF .∠CDF+∠ADC=180°. .∠B+∠ADC=180 (2)证明：：RtACEBS≌RtACFD(HL), .BE=DF CE⊥AB,CF⊥AD .∠AFC=∠AEC=90°」 :∠CAE=∠CAF,AC=AC. 7133 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△AFC≌△AEC(AAS). .AF=AE .AF=AD+DF,AE=AB-BE, .AF+AE=AD+AB .AD+AB=2AE 【典例5】在△ABC中，AE,CD为△ABC的角平分线，AE,CD交于点F (1)如图1，若∠B=60°. ①直接写出∠AFC的大小： ②求证：AC=AD+CE」 (2)若图2，若∠B=90°，求证：SACr=SMD+S,cEr+SDEF. B B 图1 图2 【答案】(1)①120°，②证明见解析：(2)证明见解析 【详解】(1)①解：∠B=60°， .∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°， :AE平分∠BAC,CD平分∠BCA, ∠FAC=B4C.∠C4=aC4 ∠FAC+∠FC4=(∠BAC+∠BC0=x120P=60. :.∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=120°： ②证明：如图所示，在AC上取点H,使得AD=AH, 在△ADF和△AHF中， AD=AH ∠DAF=∠HAF, AF=AF 8/33 可学科网·上好课 △ADF≌aAHF(SAS). .∠AFD=∠AFH, :∠AFD=∠CFE. .∠AFH=∠CFE, 由①可知，∠AFC=120°」 .∠CFE=180°-120°=60°， .∠AFH=∠CFE=60°， .∠CFH=60°， 即：∠CFH=∠CFE, 在△CFH和△CFE中， 「∠CFH=∠CFE CF=CF ∠HCF=∠ECF :.aCFH≌aCFE(ASA). .CE=CH, AC=AH+CH, .AC=AD+CE: H (2)证明：如图所示，在AC上取S CF交ET于K, :AE平分∠BAC, .∠DAF=∠SAF, 在△ADF和△ASF中， www.zxxk.com T两点，使得AD=AS,CE 9/33 上好每一堂课 CT,连接SF,SE,TF,TE, 可学科网·上好课 www.zxxk.com AD=AS ∠DAF=∠SAF AF=AF :.△ADF≌△ASF(SAS) 同理可证△AED≌△AES,△CEF≌ACTF, .DF=SF,DE=SE,FT=FE, .△DEF≌aSEF, .S.ADF =S.ASF:S.CEF =SCTF:S.DEF =S.SEF 且∠AFD=∠AFS,∠CFE=∠CFT, .∠AFD=∠CFE, .∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT, 由（山可得：∠AFC=90°+∠B=135°， 2 .∠CFE=180°-135°=45°. .∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°， .∠CFS=135°-∠AFS=90°， CF⊥SF, 又：EF=FT,∠EFC=∠TFC,FK=FK, :.△EFK≌aTFK(SAS). .∠EKF=∠TKF=90°， 即：CF⊥ET, .SF∥ET, .S.SFT =S.SEF. S.DEF =SASFT S。ACr=SAs+Scm+Sas7, .S.4CF=SAFD+S.CEF+S.DEF. 10/33 上好每一堂课 耐学科网·上好课 www.zxxk.com D 过关专练 1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD 小为(). D A.40° B.60° C.80° 【答案】A 【详解】解：在AB边上截取AE=AC,连接DE, :AD是∠BAC的平分线， :.∠BAD=∠DAC 在△AED与△ACD中， AE=AC ∠BAD=∠DAC. AD=AD △AED≌△ACD(SAS), .∠AED=∠C,CD=DE, AB=AC+CD,AB=AE+BE, .BE DE, .∠B=∠EDB, .∠AED=2∠B, 即∠C=2∠B. 11/33 上好每一堂课 若∠BAC=60°，则∠ABC的大 D.100° 耐学科网·上好课 www.zxxk.com ∠BAC=60°， :∠ABC=180°-6 240° A B 0 2.如图，△ABC中，∠B=2∠A,∠ACB的平分线CD交AB于点D, BD的长为() B D A.6 B.7 C.8 【答案】B 【详解】解：如图，在CA上截取CN=CB,连接DN, :CD平分∠ACB, ∠BCD=∠NCD. CD=CD .△CBD≌aCND(SAS) .BD=ND,∠B=∠CND N D .BC=9,AC=16, ..CN=9,AN=AC-CN=7. ∠CND=∠NDA+∠A, .∠B=∠NDA+∠A, ∠B=2∠A, 12133 上好每一堂课 已知AC=16,BC=9,则 D.9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠NDA, .ND =NA, .BD=AN=7 3.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线，则下列各式正确的是() B A.AD=BC-CD B.AD=BC-CA C.BD=AC+CD D.AC=BD-AD 【答案】B 【详解】解：如图，在CB上截取CE=CA,连接DE, E B CD是∠ACB的平分线， .∠DCE=∠DCA. 又，CE=CA,CD=CD :.△CDE≌△CDA(SAS), .DE=AD,∠DEC=∠A, ∠A=2∠B. .∠DEC=2∠B, ∴.∠DEB+∠B=2∠B,即∠DEB=∠B, .BE =DE, .AD=BE BC-CE=BC-CA. 4.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD,AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE.若AC=a, BD=b,则四边形ABDC的周长为() 13/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com B A.1.5(a+b) B.2a+b C.3a-b D.a+ 【答案】B 【详解】解：在线段AC上作AF=AB, E B :AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE=∠BAE. 又：AE=AE, :.△AEF≌△AEB(SAS) ∴，∠AFE=∠B,∠AEF=∠AEB, :AB∥CD .∠D+∠B=180°， ∠AFE+∠CFE=180° .∠D=∠CFE, :AE⊥CE .∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， :∠CEF=∠CED, 在△CEF和△CED中 ∠CFE=∠D ∠CEF=∠CED CE=CE △CEF≌aCED(AAS), 14/33 上好每一堂课 2b 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CD=CF, ∴.四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+b. 5如图，已知4C平分∠DAB°CE14B于，AB=AD+2BE则下列结论DE=2(1B+D), ②∠DAB+∠DCB=180°：③CD=CB;④SACE-SABCE=S。ACD.其中，正确结论的个数() D E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：①在AE取点F,使EF=BE. D F 在Rt△BCE与Rt△FCE中， EF=BE CE=CE' .RtABCESRtAFCE(HL), .AB=AD+2BE=AF+EF+BE,EF BE, .AB=AD+2BE AF +2BE, .AD=AF, .AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE :AE=(AB+AD),故O正确 ②AB上取点F,使BE=EF,连接CF 在△ACD与△ACF中， :AD=AF,∠DAC=∠FAC,AC=AC, .△ACD≌△ACF, 15/33 耐学科网·上好课 www.zxxk.com .∠ADC=∠AFC BE=EF,∠BEC=∠FEC,CE=CE, :.△BEC≌aFEC(SAS), ..CF =CB. .∠CFB=∠B 又：∠AFC+∠CFB=180° .∠ADC+∠B=180°， :.∠DAB+∠DCB=360°-（∠ADC+∠B)=180°，故②正确： ③由②知，△ACD≌△ACF, :.CD=CF, 又，CF=CB, .CD=CB,故③正确： ④由②知，△CEF≌ACEB. S.ACE-S.BCE=S.ACE-S.FCE=S.4CF 又△ACD≌△ACF, .SACF=S.ADC, :.SACE-SBCE=SADC,故④正确. 16/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=20°，AB+BD=AC,则∠B的度数为 D 【答案】40° 【详解】解：如图，在线段AC上取点E,使得AE=AB, :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD, 在△ABD和△AED中， 「AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD △ABD≌△AED(SAS), ∴BD=ED,∠B=∠AED 又：AB+BD=AC=AE+CE, .BD=CE. .ED=CE. .∠CDE=∠C=20° .∠AED=∠CDE+∠C=40° .∠B=∠AED=40° D 7.如图，∠A=2∠C,BD平分∠ABC,BC=10,AB=6,则AD=一 B 【答案】4 17/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】解：在BC上截取BE=BA,如图， B E :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠EBD, 在△ABD和△EBD中， AB=BE ∠ABD=∠EBD BD=BD :.△ABD≌△EBD(SAS). .DE=AD,∠BED=∠A, 又∠A=2∠C. .∠BED=∠C+∠EDC=2∠C, :.∠EDC=∠C, ∴.ED=EC, .EC=AD .BC=BE+EC=AB+AD」 BC=10,AB=6. .AD=10-6=4. 8.如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线， DE=DA,则∠ECA= y 【答案】40° 【详解】解：在BC上截取BF=AB,连接DF, 18/33 上好每一堂课 延长BD至点E,使得 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E 0 B F :∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线， .∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°， .∠ADB=60°，∠BDC=120°， BD=BD, .△ABD≌aFBD(SAS). DE =DA, .DF=AD=DE,∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°. DCDC, .△DEC≌aDFC(SAS), .∠DCE=∠DCB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-40°=40° 9.如图，己知△ABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD,则 ∠DCB的度数是 A B 【答案】20° 【详解】解：如图，延长AB至点E使BE=AD,连接CE」 .AE=AD+DB+BE =2AD+BD. .AC=2AD+BD, .AE=AC :∠A=60°， .∠E=∠ACE=60°， ·∠ABC=4∠ACD, 19133 函学科网·上好课 www.zxxk.com :设∠ACD=x,则∠ABC=4x. 在△ADC与△EBC中， AD=BE ∠A=∠E AC=EC ∴.△ADC≌aEBC(SAS), ∴∠ACD=∠ECB=x. :∠ABC=∠E+∠BCE, .4x=60°+x, .x=20°， .∠BCD=60°-20°-20°=20° 10.如图，△ABC中，AB=AC,D、E分别在CA、BA的延长线上， ∠D+∠E=180°，若BD=6,则CE的长为 D B 【答案】6 【详解】解： D A B C 在AD上截取AF=AE,连接BF,如图所示： 20/33 上好每一堂课 连接BD、CE,且 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC,∠FAB=∠EAC, :.△ABF≌△ACE(SAS) .BF=EC,∠BFA=∠E, :∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°， ∴.∠DFB=∠D. .BF BD, BD=6, .CE=6. 11.如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC,BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC. B 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，延长BE到F,使BF=BC,连接FC, A :AB=AC,∠A=100°， ∴.∠ABC=∠ACB=40°， :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBC=20°， BF =BC. .∠F=∠BCF=80°， .∠FCE=∠ACB=40° 在BC上取CF'=CF,连接EF', 在△FCE与△F'CE中， 21/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com CF=CF' ∠FCE=∠F'CE, CE=CE :.△FCE≌△F'CE(SAS) .EF=EF',∠EF'C=∠F=80°， .∠BF'E=100°， .∠A=∠BFE, 在△ABE与△F'BE中， ∠A=∠BF'E ∠ABE=∠F'BE BE=BE .△ABE≌aF'BE(AAS), .AE=EF', .AE=EF, .'AE+BE=EF +BE=BC 12.如图，已知：在△ABC中，∠B=60°，CE、AF是△ABC的角平分线， AC=AE+CF E O 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在AC上取一点H,使AH=AE,连接OH. 3 B :AF是△ABC的角平分线， 22133 上好每一堂课 交于点O,求证： 品学科网·上好课 www.zxxk.com .∠EAO=∠HAO. 在△AEO和△AHO中， AE=AH ∠EAO=∠HAO, AO=A0 .△AEO≌△AHO(SAS), .∠AEO=∠AHO :CE是△ABC的角平分线， .∠1=∠2 :∠1+∠3=∠AHO,∠2+∠B=∠AEO, .∠3=∠B=60°， :CE、AF是△ABC的角平分线， ÷∠4=∠1+∠CAF=)180°-∠B)=x180°-60)=60°， .∠3=∠4， 在△CFO和△CHO中， ∠2=∠1 C0=C0 ∠4=∠3 .aCFO≌aCHO(ASA), ..CF=CH, AC=AH+CH .AC=AE+CF 13.如图所示，已知AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°，CE⊥ 有怎样的等量关系，并证明. 23133 上好每一堂课 AB于点E,判断AB、AD与BE之间 可学科网·上好课 www.zxxk.com E B 【答案】AB=AD+2BE,证明见解析 【详解】解：AB=AD+2BE,证明如下： 在AB上截取EF,使EF=BE,连接CF. D B CE⊥AB ∠BEC=∠FEC=90°， 在△BCE和△FCE BE=EF ∠BEC=∠FEC, CE=CE .△BCE≌aFCE(SAS), .∠B=∠BFC, .∠B+∠D=180°， .∠BFC+∠AFC=180°， .∠D=∠AFC, :AC平分∠BAD, .∠FAC=∠DAC, 在△AFC和△ADC中， 24/33 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com [∠AFC=∠D ∠FAC=∠DAC, AC=AC :.△AFC≌△ADC(AAS), AF=AD」 AB=AF +BE EF, .AB=AD+2BE 14.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BCD=150°，CB=CD 上的动点，且∠MCN=75°.求证：MN=BM+DN. 【答案】证明见解析 【详解】证明：延长AB至点E,使得BE=DN,连接CE, :四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°， .∠CBE=∠CDN, 在△CBE和△CDN中， 「CB=CD ∠CBE=∠CDN. BE=DN .△CBE≌ACDN(SAS)」 .∠BCE=∠DCN,CN=CE. :∠BCD=150°，∠MCN=75°. :.∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°. :.∠MCN=∠MCE. 25133 上好每一堂课 MN分别为AB、AD 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ECM和△NCM中， MC=MC ∠MCE=∠MCN, CE=CN :.△ECM≌aNCM(SAS), .MN =ME BM+BE=BM +DN B 15.如图，∠CAB+∠ABD=120°，AD、BC分别平分∠CAB、∠ABD,AD与BC交于点O. C D (1)求∠AOB的度数： (2)说明AB=AC+BD的理由. 【答案】(1)120°：(2)证明见解析 【详解】解：(1)：AD,BC分别平分∠CAB和∠ABD,∠CAB+∠ABD=120°， .∠OAB+∠OBA=60°. .∠A0B=180°-60°=120°： (2)证明：在AB上截取AE=AC, :∠CAO=∠EAO,AO=AO, :.△AOC≌aAOE(SAS), ∠C=∠AEO. ∠C+∠D=(180°-∠CAB-∠ABC)+(180°-∠ABD-∠BAD)=180°. :.∠AEO+∠D=180°， ·∠AEO+∠BEO=180°， 26133 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEO=∠D. 又∠EBO=∠DBO,BO=BO. △OBE≌aOBD(AAS). .BD=BE,又AC=AE, .AC+BD=AE+BE=AB C 16.如图所示，AB∥CD,AB⊥AD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD: (I)求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由. (2)若把AB⊥AD条件去掉，则(1)中AB、CD与BC的数量关系还成立吗？并说明你的理由. 0 【答案】(1)AB+CD=BC,证明见解析；(2)成立，理由见解析 【详解】(1)AB+CD=BC,理由如下： 过E作EF⊥BC于F, CE为角平分线， .∠DCE=∠FCE. AB∥DC,AB⊥AD, ∠D=90°， :EF⊥BC. ∴.∠D=∠CFE, CE=CE △CDE≌△CFE(AAS). ..CD=CF, 27/33 可学科网·上好课 同理可证△ABE≌aFBE(AAS), .AB=BF, CF +BF=BC. .AB+CD=BC: D B (2)成立，理由如下： 在BC上截取CF=CD, CE为角平分线， ∠DCE=∠FCE, ..CE=CE, ACDE≌ACFE(SAS), .CD=CF,∠D=∠CFE, :AB∥DC, .∠D+∠A=180°， 又：∠CFE+∠EFB=180°， ∴.∠A=∠EFB, 又：BE是角平分线， .∠ABE=∠FBE, .BE=BE, △BAE≌△BFE(AAS)」 .AB=FB. .CF +BF=BC. .AB+CD=BC www.zxxk.com 28/33 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,如图，4BC中AB=4 ZEAF-2B.1 C:BEL AE于B交p于点R,连CB A A G B E F 图1 图2 (1)如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF=BE+CF. (2)如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF=BF+2BE. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】(1)证明：如图，在EF上截取EH=BE,连接AH, E HF 图1 :EB=EH,BF⊥AE, .∠AEB=∠AEH,AE=AE. :.△AEB≌△AEH(SAS). 29/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com .AB=AH, .∠BAE=∠EAH, AB=AC, .AC=AH, :∠EAF=)∠BAC, 2 :.∠BAE+∠CAF=∠EAF :∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH, .∠CAF=∠HAF, 在△ACF和△AHF中， 「AC=AH ∠CAF=∠HAF. AF=AF :.△ACF≌△AHF(SAS) ..CF=HF, .EF =EH +HF =BE+CF: (2)证明：如图，在BE的延长线上截取EN=BE,连接AN, E G 图2 :AE⊥BF,BE=EN,AB=AC, .∠AEN=∠AEB, △AEN≌△AEB(SAS). .AN=AB=AC, .∠BAE=∠NAE, 30133 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF=∠BAC, ∠EF+∠ME=(∠BAC+2∠NMB). 1 :.∠FAN=5∠CAN 2 .∠FAN=∠CAF, 在△ACF和△ANF中， AC=AN ∠CAF=∠NAF, AF=AF :△ACF≌△ANF(SAS), ..CF =NF, .CF=BF +2BE 18.实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C'处（如图1(2）)·由 ∠AC'D=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>∠B (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. 31/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理 由. D 图3 【答案】(1)证明见解析：(2)BD=AC+CD,理由见解析 【详解】(I)证明：把△ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E, E 由翻折的性质可知，CD=BD, AD+CD>AC. AD+BD=AB>AC,即AB>AC: (2)BD=AC+CD,理由如下： 如图(3)，在BD上取E,使DE=CD,连接AE, ED (3) :DE=CD,∠ADE=90°=∠ADC,AD=AD, .△ADE≌△ADC(SAS) .AE=AC,∠AED=∠C=2∠B, ,∠AED=∠B+∠BAE, 32133 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠BAE, .BE=AE=AC, .BD=BE+DE=AC+CD,BD=AC+CD 33/33可学科网·上好课 www.zxxk.com 专题02全等三角形证明方法 典例精讲 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分∠ACB交 【典例2】如图，E是AD中点，BE平分∠ABC, 1)若∠A=LD=90°，求证：CE平分∠DCB. (2)若BE⊥EC,求证：AB+CD=BC. 【典例3】如图，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分线， (1)直接写出∠DPE= C E P (2)求证：PD=PE: (3)探究AB、AD、BE的数量关系. 1/10 上好每一堂课 截长补短 AB于点D.求证：AC+AD=BC 且交于点P. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】如图，已知在四边形ABCD中，CE⊥AB,CB=CD,AC平分∠BAD. D 求证： (1)∠B+∠ADC=180°： (2)AD+AB=2AE」 【典例5】在△ABC中，AE,CD为△ABC的角平分线，AE,CD交于点F. (1)如图1，若∠B=60°. ①直接写出∠AFC的大小： ②求证：AC=AD+CE (2)若图2，若∠B=90°，求证：SACr=SMFm+S,cBr+SDEr. B B D D E E C 图1 图2 2/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1,如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD.若∠BAC=60°，则∠ABC的大 小为()· A B D A.40° B.60° C.80° D.100° 2.如图，△ABC中，∠B=2LA,∠ACB的平分线CD交AB于点D,已知AC=16,BC=9,则 BD的长为() A A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线，则下列各式正确的是() D A,AD=BC-CD B.AD=BC-CA C.BD=AC+CD D.AC=BD-AD 4.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD,AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE.若AC=a, BD=b,则四边形ABDC的周长为() D E A B A.1.5(a+b) B.2a+b C.3a-b D.a+2b 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，已知AC平分∠DAB'CE⊥AB于B, B=AD+2BE:则下列结论@E=(4B+AD), ②∠DAB+∠DCB=I80°；③CD=CB:④SACE-SBCE=SMCD.其中，正确结论的个数() E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=20°，AB+BD=AC,则∠B的度数为 7.如图，∠A=2∠C,BD平分∠ABC,BC=10,AB=6,则AD=一 A B C 8.如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E,使得 DE=DA,则∠ECA=一 A E D B C 9.如图，已知△ABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD,则 ∠DCB的度数是 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 l0.如图，△ABC中，AB=AC,D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE,且 ∠D+∠E=180°，若BD=6,则CE的长为 D A 11.如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC,BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC. 12.如图，己知：在△ABC中，∠B=60°，CE、AF是△ABC的角平分线，交于点O,求证： AC=AE+CF A B 13.如图所示，己知AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°，CE⊥AB于点E,判断AB、AD与BE之间 有怎样的等量关系，并证明. E B C 14.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BCD=150°，CB=CD,MN分别为AB、AD 上的动点，且∠MCN=75°.求证：MN=BM+DN. 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D 15.如图 ,∠CAB+∠ABD=I20°，AD、BC分别平分∠CAB、∠ABD,AD与BC交于点O. C D 8 (1)求∠AOB的度数： (2)说明AB=AC+BD的理由. 16.如图所示，AB∥CD,AB⊥AD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD: (I)求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由. (2)若把AB⊥AD条件去掉，则(1)中AB、CD与BC的数量关系还成立吗？并说明你的理由. D ,如图，RC中，B=4C,EAF=,∠BAC:BE4E于B交E于点，连结CF 2 G B E F 图1 图2 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF=BE+CF. (2)如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF=BF+2BE. 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等：反过来，等角所对的边也相等.那 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）)·由 ∠AC'D=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>∠B B∠ (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC，CD,BD之间的数量关系并说明理 由 D 图3 10/10函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题02全等三角形证明方法 典例精讲 【典例1】证明见解析 【详解】证明：如图，在BC上截取AC=CE,连接DE. :∠ACB的平分线CD交AB边于点D, :.∠ACD=∠DCE, 在△ACD与△ECD中， AC=CE ∠ACD=∠DCE, CD=CD :.△ACD≌△ECD(SAS). :.AD=DE,∠A=∠CED :∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDC, ∠CED=2∠B. .∠B=∠EDB, .DE =BE, .AD=EB .CE+BE BC, .AC+AD=BC. 【典例2】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】(1)证明：过点E作EH⊥BC,垂足为H, 1/20 上好每一堂课 截长补短 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H :BE平分∠ABC,∠A=90°， .EA=EH 又：E是AB中点，即EA=ED, .EH =ED :∠A=∠D=90°，EH⊥BC, ∴.CE平分∠DCB (2)证明：如图：在BC上截取BF=BA,连接EF E 0 C :BE平分∠ABC, ∠ABE=∠FBE. 在△BAE和△BFE中， AB=BF ∠ABE=∠FBE, BE=BE :.△BAE≌△BFE(SAS) ∴.EF=AE,∠AEB=∠FEB :E是AD的中点， .DE=AE=EF 又：BE⊥EC, 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com .∠BEC=90°， .∠AEB+∠DEC=∠FEB+∠FEC=90°， .∠DEC=∠FEC, 在△CED和△CEF中 DE=EF ∠DEC=∠FEC CE=CE :.△CED≌△CEF(SAS), ..CD=FC. .CD+AB=FC+BF, .AB+CD=BC. 【典例3】(1)120°；(2)证明见解析；(3)AB=AD+BE 【详解】(1)解：：∠C=60°， .∠ABC+∠CAB=180°-∠C=120°. :AE,BD是△ABC的角平分线， :.∠PAB=，∠CAB,∠PBA=∠CBA, 2 :∠PAB+∠PBA=∠CAB+∠CBA=60, 2 :.∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=120° .∠DPE=∠APB=120°： (2)证明：过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC, H B 则：∠PGD=∠PGC=∠PHE=90°， :AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P, 3/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com .PG=PF=PH :∠C+∠PGC+∠PHC+∠GPH=180°， .∠GPH=120° :∠DPE=120°， .∠DPG=∠EPH, .△PGD≌aPHE(AAS), PD=PE: (3)解：AB=AD+BE,理由如下： 在AB上截取BM=BE, E M B :BP平分∠ABC, .∠PBM=∠PBE, BP=BP. △BPM≌aBPE(SAS). .∠BPM=∠BPE=180°-∠APB=60°. .∠APM=∠APB-∠BPM=60°， .∠APD=180°-∠APB=60°， .∠APD=∠APM, ,AP平分∠DAB, .∠DAP=∠MAP. 又AP=AP, .△APM≌aAPD(ASA), ∴.AM=AD. .AB=AM+BM=AD+BE 4/20 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】(1)证明：如图，过C作CF⊥AD,交AD的延长线于F点， B E :AC平分∠BAD, .∠DAC=∠BAC=∠DAB ·CE⊥AB.CF⊥AD .CE=CF,∠BEC=∠DFC=90° CB=CD :.RtACEB≌Rt△CFD(HL). .∠B=∠CDF :∠CDF+∠ADC=180°， .∠B+∠ADC=180° (2)证明：：RtACEBS≌RtACFD(HL), .BE=DF CE⊥AB,CF⊥AD. .∠AFC=∠AEC=90° :∠CAE=∠CAF,AC=AC, .△AFC≌△AEC(AAS) .AF=AE AF=AD+DF,AE=AB-BE, .AF+AE=AD+AB .'AD+AB=2AE, 【典例5】(1)①120°：②证明见解析：(2)证明见解析 【详解】(1)①解：：∠B=60°， 5/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com .∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°， :AE平分∠BAC,CD平分∠BCA, :∠FAC=号∠BAC,∠FCA=∠BCA, 2 ∠FAC+∠FCA=(∠B1C+∠BCA=2x120=60°， :.∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA=120°： ②证明：如图所示，在AC上取点H,使得AD=AH, 在△ADF和△AHF中， AD=AH ∠DAF=∠HAF, AF=AF .△ADF≌△AHF(SAS). .∠AFD=∠AFH, :∠AFD=∠CFE, .∠AFH=∠CFE, 由①可知，∠AFC=120°， .∠CFE=180°-120°=60°， .∠AFH=∠CFE=60°， .∠CFH=60°. 即：∠CFH=∠CFE, 在△CFH和△CFE中， ∠CFH=∠CFE CF=CF ∠HCF=∠ECF .△CFH≌aCFE(ASA). ..CE=CH, AC=AH+CH ..AC=AD+CE: 6/20 上好每一堂课 耐学科网·上好课 www.zxxk.com D (2)证明：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS,CE CF交ET于K, :AE平分∠BAC, :.∠DAF=∠SAF, 在△ADF和△ASF中， AD=AS ∠DAF=∠SAF AF=AF .△ADF≌aASF(SAS), 同理可证△AED≌△AES,△CEF≌ACTF, .DF=SF,DE=SE,FT=FE, .△DEF≌ASEF, S.ADF =S.ASF S.CEF =S.CTF S.DEF=S.SEF: 且∠AFD=∠AFS,∠CFE=∠CFT, ∠AFD=∠CFE, :.∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT, 由(1)可得：∠AFC=90+∠B=1350. .∠CFE=180°-135°=45°. :.∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45° .∠CFS=135°-∠AFS=90°， .CF⊥SF, 又，EF=FT,∠EFC=∠TFC,FK=FK, :△EFK≌aTFK(SAS), 7/20 上好每一堂课 CT,连接SF,SE,TF,TE, 函学科网·上好课 .∠EKF=∠TKF=90°， 即：CF⊥ET, .SF∥ET, .S.SFT =S.SEF .SDEF =SASFT S.ACF S.AFS+S.CFT +S.SFT S.ACF =SAFD+SCEF+S.DEF. D 1.A 2.B 3.B 4.B 5.D 6.40 7.4 8.40° 9.20° 10.6 11.证明见解析 【详解】证明：如图，延长BE到F, www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 使BF=BC,连接FC, 8/20 可学科网·上好课 B F :AB=AC,∠A=100° .∠ABC=∠ACB=40° :BE平分∠ABC .∠ABE=∠EBC=20°， ..BF BC. ∠F=∠BCF=80° .∠FCE=∠ACB=40°， 在BC上取CF'=CF,连接EF', 在aFCE与△FCE中， CF=CF' ∠FCE=∠F'CE, CE=CE :.△FCE≌aF'CE(SAS) ∴.EF=EF',∠EF'C=∠F=80°， .∠BF'E=100°， .∠A=∠BF'E, 在△ABE与△FBE中， ∠A=∠BF'E ∠ABE=∠FBE, BE=BE :.△ABE≌△F'BE(AAS). .AE EF', .AE=EF, .AE+BE =EF+BE BC. www.zxxk.com 9/20 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.证明见解析 【详解】证明：如图，在AC上取一点H,使AH=AE,连接OH. B F :AF是△ABC的角平分线， ∠EAO=∠HAO, 在△AEO和△AHO中， 「AE=AH ∠EAO=∠HAO, A0=A0 .△AEO≌△AHO(SAS). .∠AEO=∠AHO :CE是△ABC的角平分线， ∠1=∠2， :∠1+∠3=∠AHO,∠2+∠B=∠AEO. .∠3=∠B=60°， :CE、AF是△ABC的角平分线， 24=4+∠C4F-080-∠=x080-600=60 .∠3=∠4. 在△CFO和△CHO中， ∠2=∠1 C0=C0 ∠4=∠3 .aCFO≌aCHO(ASA), ..CF=CH .·AC=AH+CH, 10/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=AE+CF 11/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 13.AB=AD+2BE,证明见解析 【详解】解：AB=AD+2BE,证明如下： 在AB上截取EF,使EF=BE,连接CF, D B CE⊥AB ∴.∠BEC=∠FEC=90° 在△BCE和△FCE BE=EF ∠BEC=∠FEC, CE=CE .△BCE≌aFCE(SAS). ∠B=∠BFC. :∠B+∠D=180°， .∠BFC+∠AFC=180°， ∠D=∠AFC, :AC平分∠BAD, .∠FAC=∠DAC, 在△AFC和△ADC中， ∠AFC=∠D ∠FAC=∠DAC, AC=AC :△AFC≌aADC(AAS), .AF =AD ·AB=AF+BE+EF, .AB=AD+2BE. 12/20 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13/20 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 14.证明见解析 【详解】证明：延长AB至点E,使得BE=DN,连接CE, :四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴.∠CBE=∠CDN, 在△CBE和△CDN中， CB=CD ∠CBE=∠CDN. BE=DN :.△CBE≌△CDN(SAS) .∠BCE=∠DCN,CN=CE, .∠BCD=150°，∠MCN=75°. :.∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75 .∠MCN=∠MCE, 在△ECM和△NCM中， MC=MC ∠MCE=∠MCN, CE=CN :.△ECM≌aNCM(SAS), .MN =ME BM+BE BM+DN 15.(1)120°；(2)证明见解析 【详解】解：(1)：AD,BC分别平分∠CAB和∠ABD,∠CAB+ .∠OAB+∠OBA=60°， :.∠A0B=180°-60°=120°： 14/20 上好每一堂课 ∠ABD=120°， 品学科网·上好课 www.zxxk.com (2)证明：在AB上截取AE=AC, :∠CAO=∠EAO,AO=AO, .△AOC≌△AOE(SAS)」 .∠C=∠AEO. :∠C+∠D=(180°-∠CAB-∠ABC)+(180°-∠ABD-∠BAD) .∠AE0+∠D=180° .∠AEO+∠BEO=180°. .∠BEO=∠D. 又∠EBO=∠DBO,BO=BO. :△OBE≌aOBD(AAS). ∴.BD=BE,又AC=AE, .AC+BD=AE+BE=AB E B 16.(1)AB+CD=BC,证明见解析；(2)成立，理由见解析 【详解】(I)AB+CD=BC,理由如下： 过E作EF⊥BC于F, CE为角平分线， .∠DCE=∠FCE. AB∥DC,AB⊥AD, ∠D=90°， EF⊥BC, .∠D=∠CFE. ..CE=CE, △CDE≌ACFE(AAS)」 .CD=CF, 15/20 上好每一堂课 180° 可学科网·上好课 同理可证△ABE≌aFBE(AAS), .AB=BF, CF +BF=BC. .AB+CD=BC: D B (2)成立，理由如下： 在BC上截取CF=CD, CE为角平分线， ∠DCE=∠FCE, ..CE=CE, ACDE≌ACFE(SAS), .CD=CF,∠D=∠CFE, :AB∥DC, .∠D+∠A=180°， 又：∠CFE+∠EFB=180°， ∴.∠A=∠EFB, 又：BE是角平分线， .∠ABE=∠FBE, .BE=BE, △BAE≌△BFE(AAS)」 .AB=FB. .CF +BF=BC. .AB+CD=BC www.zxxk.com 16/20 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 17.(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】(I)证明：如图，在EF上截取EH=BE,连接AH, B E HF 图1 :EB=EH,BF⊥AE, .∠AEB=∠AEH,AE=AE, :.△AEB≌△AEH(SAS)」 :AB=AH, .∠BAE=∠EAH, .AB=AC, .AC=AH, 1 :·∠EAF=。∠BAC, 2 .∠BAE+∠CAF=∠EAF, :.∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH, .∠CAF=∠HAF. 在△ACF和△AHF中， AC=AH ∠CAF=∠HAF, AF=AF :.△ACF≌△AHF(SAS), ..CF=HF, .EF=EH+HF=BE+CF (2)证明：如图，在BE的延长线上截取EN=BE,连接AN, 18/20 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 图2 :AE⊥BF,BE=EN,AB=AC, .∠AEN=∠AEB, :.△AEN≌△AEB(SAS) .AN=AB=AC, .∠BAE=∠NAE, :∠EAF=∠BAC. ∠E1F+∠NME=(∠BAC+2∠NAE), :∠FAN=1∠CAN. 2 .∠FAN=∠CAF, 在△ACF和△ANF中， AC=AN ∠CAF=∠NAF, AF=AF .△ACF≌△ANF(SAS). ..CF =NF, .CF=BF+2BE 18.(1)证明见解析；(2)BD=AC+CD,理由见解析 【详解】(I)证明：把△ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E, 19120 函学科网·上好课 www.zxxk.com D B-- E 由翻折的性质可知，CD=BD. AD+CD>AC. AD+BD=AB>AC,即AB>AC: (2)BD=AC+CD,理由如下： 如图(3)，在BD上取E,使DE=CD,连接AE, B C ED (3) :DE=CD,∠ADE=90°=∠ADC,AD=AD, .△ADE≌△ADC(SAS). .AE=AC,∠AED=∠C=2∠B, :∠AED=∠B+∠BAE, .∠B=∠BAE, .BE=AE=AC. .BD=BE+DE=AC+CD,BD=AC+CD 20/20 上好每一堂课