13.3 三角形的内角与外角（随堂反馈）（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识梳理 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 当堂练习 1.在△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，则∠C的度数为 A.35° B.40° C.45° D.50° 2.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠A=30°，D,E为边AB,BC上的点，DE∥AC,则 ∠DEC的度数为 A.65° B.70 C.75 D.80° E 北 北 58 13o (第2题图) (第4题图) 3.已知在△ABC中，∠A=40°，∠B:∠C=3:4,则△ABC的形状是 三角形 (填“锐角”“直角”或“钝角”) 4.如图，巡逻艇C在游轮A北偏东58°的方向上，在游轮B北偏东13°的方向上，游轮B 位于游轮A的正东方向，则∠ACB的度数为· 5.如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=66°，∠C=54°. (1)求∠BAD和∠ADC的度数； (2)若DE⊥AC于点E,求∠ADE的度数， 。4● 第2课时直角三角形的两锐角互余 知识梳理 ①直角三角形的两个锐角 ②有两个角 的三角形是直角三角形 当堂练习 1.在△ABC中，若∠C是直角，∠B=20°，则∠A的度数是 A.40° B.50° C.60° D.70° 2.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B B (第2题图) (第4题图) 3.在△ABC中，∠A=∠B=2∠C,则△ABC的形状是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 4.如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,则∠EDF的度数为 5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平分∠ACB,交AB于点E (1)求∠ACE的度数； (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=75°，求证：△CDF是直角三角形 F ED ·5 13.3.2三角形的外角 知识梳理 ①三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作 ②三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角等于 的两 个内角的和 ③三角形的外角和等于 当堂练习 1.如图，下列不是△ABC的外角的是 A.∠HBA B.∠ABG C.∠BCE D.∠ACD E (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=55°，则∠ACD的度数为 A.80° B.100 C.135° D.125° 3.如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD,则∠1，∠2，∠3的大 小关系是 ( ) A.∠1<∠2<∠3 B.∠1<∠3<∠2 C.∠3<∠2<∠1 D.∠2<∠1<∠3 4.把直尺与三角尺按如图所示的方式放置，若∠2=150°，则∠1的度数为 5.如图，已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E,∠A=35°，∠ACD= 83° (1)求∠B的度数； (2)若∠D=42°，求∠AFE的度数. 60根据题意，得06=2，解得=20，经检验，=20是所列方程的根∴十10=20十 10=30.答：模型A每小时能处理20GB数据，模型B每小时能处理30GB数据. 20展A-[2”是]安-（马）·中- 士-当=3时，A==2(2A的值不能是一1理由如下：若A的值是 -1,则十1 x-1 =一1，解得x=0.当x=0时，A的原式无意义，A的值不能是-1. 450 2L.解：1)A品种玉米的单位面积产量是xR1)kg/m;B品种玉米的单位面积产量 450 是R1kg/m.:R-12-(R-1)2=2(R-1)>0,0<(R-1)2<R-13. :450 “°巧<9A品种玉米的单位面积产最商，(2)9 450 代”设9×”-告“商的单位面积产量是纸的单位面积产 450 450 量的餐倍。 22懈，（任务一）型+2-2 x 每株A种花苗的单价为a元（任务二）根据题意，得35 ×品-10X)n期得=7，经检验，m=7是原分式方程的解，且符合题意m=7 +-+绩”+青 23.解：(1)是.A+B=-7十 2号-2A与B互为”和整分式，和整数值=2(2)0C+D登+” x-2 2+号++2z=+:C与D红为“和维分式”，且 =(3x-4)(x十2) P “和整数值"k=3,:.3x十3-8+P=3,即3x2+2z-8+P=3(x十2)(z-2》.P= (x+2)(x-2) 3(x+2)(z-2)-(3x2+2x-8)=-2x-4.②由(1)知P=-2x-4,D=z-4 P 十品广=名。分式D的值为正整数一2=-1度 2=-2,解得x=1或x=0.x为正整数，∴.x=1. 期末综合评价 1.D2.B3.D4.B5.D6.D7.D8.B9.B10.B11.3a(1-b) 12.AD=AE(答案不唯一)13.314.915.22 16.解：(1)原式=3a(x2+2xy+y)=3a(x+y)2.(2)原式=4.xs+x5-2=5x5-2. 17.解：原式=[a2+4ab+4b-(3a2-ab-3ab+b)+2a2]÷b=(a2+4ab+4b2-3a2+ 6+3ab-+2a)÷6=(8a6+3w÷b=8a+36."a=(-2）'=4,6=65-2》9 1,.原式=8×4+3×1=35. 18.解：(1)如图，△A1BC即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求，A2(-3,-1), B2(0,-2),C2(-2,-4). 40 19.解：原式=m(m2÷「_9。+m-3)(m+3)]-m(m-2÷9十m2-9-m2 (m-2)2·Lm-3 m-3 了(m-2)2 m-3m-2 ÷m2。=m。·m3=m一3：m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ÷m-3=m-2·m2=m-2 .3-2<m<3十2，即1<m<5.,m为整数，∴.m可取2,3,4.由分式有意义的条件可 知m≠0,23，m=4,原式-二号-号 20.解：(1)A·B+13的值不可能为负数.理由如下：A·B+13=(2t十3)(2t-3)十13 =4t-9+13=4t十4.4t≥0，∴.4t十4>0.∴.A·B+13的值不可能为负数.(2)A2 一B2=(2t十3)2-(2t-3)2=24t.t为整数，∴.24t一定能被24整除.∴当t为整数 时，A2一B2的值一定能被24整除。 21.证明：(1)，AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.:BE和CD为△ABC的中线，.BD= (BD=CE, AB.CE=号AC.BD=CE.在△BCD和△CBE中，∠DBC=∠ECB,△BCD BC=CB, ≌△CBE(SAS)..CD=BE.(2)AB=AC,∠A=60°，.△ABC为等边三角形. ∴∠ABC=∠ACB=60°.，'BE和CD为△ABC的中线，.∠ABE=∠CBE=∠BCD =30°，CD⊥AB.∴.OB=OC,∠BDO=90°.在Rt△BOD中，，∠BDO=90°，∠DBO= 30°，.OB=2OD..OC=2OD. 22.解：(1)设乙组每分钟采摘xkg蔬菜，则甲组每分钟采摘2xkg蔬菜.根据题意，得 600_00=10,解得x=30.经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意.2x=2× x 2x 30=60.答：甲组每分钟采摘60kg的蔬菜，乙组每分钟采摘30kg的蔬菜.(2)设扩建 后的劳动实践基地面积是原来的n倍(n为正整数).根据题意，得(2a一2+l2)(a十a) =a(2a-2》,解得n=2+吕：o>5a为整数，且n为正整数， a=7,。a=13, 或 n=4,n=3. .a的值为7或13. 23.(1)证明：在CD上截取CH=CE,连接EH.,△ABC是等边三角形，∴.∠ECH= 60°.△CEH是等边三角形.∴.HE=CE=CH,∠CEH=60°.：△DEF是等边三角 形，.DE=FE,∠DEF=60°..∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°..∠DEH DE=FE, =∠FEC.在△DEH和△FEC中，∠DEH=∠FEC,..△DEH≌△FEC(SAS). HE=CE, ∴.DH=CF..CE+CF=CH+DH=CD.(2)解：CF=CD十CE.理由如下：过点D作 DG∥AB,交AC的延长线于点G.:△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=60° ∴.∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°..∠GDC=∠DGC=∠DCG=60°. △GCD为等边三角形..GD=CD=CG.△DEF为等边三角形，.DE=DF, ∠EDF=∠GDC=60°..∠EDF+∠CDE=∠GDC+∠CDE,即∠FDC=∠EDG.在 (DE=DF, △EDG和△FDC中，∠EDG=∠FDC,.△EDG≌△FDC(SAS).∴.GE=CF.∴.CF GD-CD. =GE=CG+CE=CD+CE. 随堂反馈 第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 ①首尾顺次△ABC三角形ABC②等腰 41 当堂练习 1.B2.D3.(1)△ABC,△ACE,△ABD(2)△ABC,△BOC,△BCD,△BCE (3)BC 4.解：(1)钝角(2)直角(3)△ABC的形状（按角分类）不能确定.理由如下： ,△ABC另外两个内角可能都是锐角，可能是一锐角、一直角，也可能是一锐角、一钝 角，，△ABC的形状（按角分类）不能确定. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 ①大于小于②稳定性 当堂练习 1.A2.C3.D4.乙 5.解：(1)根据题意，得8-2<AC<8+2,即6<AC<10.,AC为偶数，.AC=8. ∴.△ABC的周长为8+2+8=18.(2)△ABC的三边长分别为3,5，a,∴.5-3<a<5 +3,即2<a<8.,∴.|a+1|-|a-8|-2a-2|=a+1-(8-a)-2(a-2)=-3. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 中点三角形的重心 当堂练习 1.B2.A3.30°40°80° 4解：1：AD为中线，BC=2BD=20.:AF为边BC上的高，S8c=号BC· AF=60.(2):BG为边AC上的高，SAc=7AC,BC.∴AC=2=24. BG 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识梳理 1809 当堂练习 1.B2.D3.锐角4.45° 5.解：(1)：∠B=66°，∠C=54°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.：AD平分 ∠BAC,∠BAD=∠CAD-号∠BAC=-30.∠ADC-180-∠C-∠CAD=96. (2)DE⊥AC,.∠AED=90°..∠ADE=180°-∠AED-∠CAD=60°. 第2课时直角三角形的两锐角互余 知识梳理 ①互余②互余 当堂练习 1.D2.B3.B4.1109 5.(1)解：在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°.：CE平分 ∠ACB,∠ACE=∠BCE=∠ACB=45.(2)证明：CDLAB,∠CDB=90.在 Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-60°=30°，∠FCD=∠BCE-∠DCB=45°- 30°=15°.∴.∠FCD+∠CDF=15°+75°=90°..△CDF是直角三角形. 13.3.2三角形的外角 知识梳理 ①三角形的外角②与它不相邻③360° -42 当堂练习 1.A2.B3.A4.60° 5.解：(1)：∠ACD是△ABC的一个外角，∠A=35°，∠ACD=83°，∴.∠B=∠ACD- ∠A=83°-35°=48°.(2)∠AFE是△BDF的一个外角，∠B=48°，∠D=42°， ,∴.∠AFE=∠B+∠D=48°+42°=90°. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识梳理 ①全等形全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 当堂练习 1.C2.A3.54.609 5.证明：△ABC≌△ABD,∴.∠ABC=∠ABD.:CE∥BD,.∠CEB=∠ABD. '.∠CEB=∠ABC,即∠CEB=∠CBE. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 知识梳理 ①夹角边角边SAS②不一定 当堂练习 1.D2.C3.105° 4.解：(1)不对，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全等，不满足证明全等三角形 的条件.(2)AO=BO.证明如下：点P在∠AOB的平分线上，∴.∠AOP=∠BOP.在 AO=BO, △AOP和△BOP中，∠AOP=∠BOP,.∴.△AOP≌△BOP(SAS) PO-PO, 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 知识梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 当堂练习 1.(1)ASA(2)AAS2.D3.C 4.证明：，ED⊥AB,.∠ADE=90°.又，∠ACB=90°，∴.∠ADE=∠ACB.在△ABC (∠A=∠A, 和△AED中，∠ACB=∠ADE,∴.△ABC≌△AED(AAS)..AE=AB,AC=AD, BC-ED. ∴.AE-AC=AB-AD,即CE=DB, 第3课时用“SSS”判定三角形全等 知识梳理 相等边边边SSS 当堂练习 1.A 2.C 3.AC=DF(AD=CF)4.65 (AB=DB, 5.解：在△ABC和△DBC中，AC=DC,∴△ABC≌△DBC(SSS).∴.∠A=∠D, CB=CB, ∠ACB=∠DCB,∠ABC=∠DBC.∴.∠ABE=∠DBE.,∠A=25°，∠BCD=35°， ∴.∠ACB=∠BCD=35°.∴∠ABE=∠A+∠ACB=25°+35°=60°.∴.∠ABD= ∠ABE+∠DBE=2∠ABE=2X60°=120°. 43 第4课时尺规作角及平行线 当堂练习 1.A2.C 3.解：如图，点E即为所求， E B D B (第3题图) （第4题图) 4.解：如图，△A'B'C即为所求. 第5课时 用“HL”判定三角形全等 知识梳理 ①斜边一直角边斜边、直角边HL②HL,SSS,ASA,AAS,SAS 当堂练习 1.D2.D3.B4.4 5.证明：，DE I AC,BF⊥AC,.∠AFB=∠CED=90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中 AB=CD, .Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴∠BAF=∠DCE..AB∥CD. BF=DE, 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的画法及性质 知识梳理 ①相等②相等 当堂练习 1.C2.A 3.解：如图，OC即为所求， B 4.证明：.CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,.OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.在 ∠BDO=∠CEO, △BOD和△COE中，XOD=OE, ∴.△BOD≌△COE(ASA)..OB=OC. N∠BOD=∠COE, 第2课时角的平分线的判定 知识梳理 ①角的平分线上②相等 当堂练习 1.A2.7 3.解：如图，点P即为所求. B 4.证明：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为E,F,G.BD平分 -44- ∠ABC,∴.DE=DF.同理可得DF=DG,∴.DE=DG,∴点D在∠BAC的平分线上， .∠BAD=∠CAD 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识梳理 ①互相重合对称轴②另一个图形 对称轴对称点③垂直平分④中点 垂直垂直平分线 当堂练习 1.B2.C3.A4.185.70°6 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①相等②垂直平分线③互逆命题逆命题互逆命题逆定理 当堂练习 1.A2.6 3.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°.：∠C=90°，∠AED=∠C (∠AED=∠C, :AD平分∠BAC,.∠EAD=∠CAD.在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CAD, AD=AD, .△AED≌△ACD(AAS),.AE=AC..AB=2AC,.AB=2AE..'AB=AE+BE, AE+BE=2AE..BE=AE.又：DE⊥AB,∴.DE是线段AB的垂直平分线，即点D 在线段AB的垂直平分线上. 第2课时线段垂直平分线的有关作图 当堂练习 1.A 2.解：(2)(3)是轴对称图形，对称轴如图. D B (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.解：如图，线段CD即为所求。 4.解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点P,交AB于点D,点P即为所求作的 点.理由如下：由作图知PD为AB的垂直平分线，连接AP,则AP=BP,.PA十PC= BP+PC=BC. 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 当堂练习 1.B 2.解：如图所示。 -45