13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段（随堂反馈）（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 ①由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形.顶点是 A,B,C的三角形，记作“ ”,读作“ ②按“是否有边相等”，将三角形分成两类：三边都不相等的三角形和 三角形.等 边三角形是特殊的等腰三角形， 当堂练习 1.如图，以D为顶点的三角形的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 三边都不 等腰三角形 相等的三 角形 B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.三角形按边分类的示意图如图所示，则图中椭圆A表示 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.如图，按要求填空. (1)写出含有∠A的所有三角形： (2)写出含有边BC的所有三角形： (3)写出∠1，∠2，∠A共同的对边： 4.已知△ABC. (1)若∠B=120°，则△ABC的形状是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） (2)若∠B=90°，则△ABC的形状是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） (3)若∠B=50°，则△ABC的形状（按角分类）能否确定？为什么？ 。1 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 ①三角形两边的和 第三边；三角形两边的差 第三边. ②三角形是具有 的图形. 当堂练习 1.在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆. 这是利用了三角形的 ( A.稳定性 B.灵活性 C.对称性 D.全等性 (第1题图)》 (第3题图) (第4题图) 2.下列各组数中，不可能是一个三角形三边长的是 A.3,4,5 B.6,6,6 C.5,7,12 D.4,4,5 3.如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可 再钉上一根细木条.下列四种情况中不能成功的是 ) B 4.如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根 小棒首尾相接能组成三角形，则剪断的小棒是 .（填“甲”或“乙”) 5.(1)在△ABC中，AB=8,BC=2,AC的长为偶数，求△ABC的周长； (2)已知△ABC的三边长分别为3,5，a,化简：|a+1|一a-8|一2|a-2: ·2· 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 ①三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对的边的 ,所得线段叫作三角 形的中线.三角形三条中线的交点叫作 ②三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线，交它所对的边于一点，所得线段叫作 三角形的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点. ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，垂足与这个顶点之 间的线段叫作三角形的高线.三角形的高线简称三角形的高， 当堂练习 1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是 ( ) A.AB=AC B.BD=CD C.BD=AD D.AC=AD B D (第1题图) (第3题图) 2.用三角尺作△ABC边BC上的高，下列三角尺摆放的位置正确的是 3.如图，在△ABC中，AD,CE是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∠ACE=40°，则 ∠DAC的度数为 ,∠BCE的度数为 ,∠ACB的度数为 4.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为AD,AC边上的高为BG.已知AF=6,BD= 10,BG=5. (1)求△ABC的面积； (2)求AC的长. 3根据题意，得06=2，解得=20，经检验，=20是所列方程的根∴十10=20十 10=30.答：模型A每小时能处理20GB数据，模型B每小时能处理30GB数据. 20展A-[2”是]安-（马）·中- 士-当=3时，A==2(2A的值不能是一1理由如下：若A的值是 -1,则十1 x-1 =一1，解得x=0.当x=0时，A的原式无意义，A的值不能是-1. 450 2L.解：1)A品种玉米的单位面积产量是xR1)kg/m;B品种玉米的单位面积产量 450 是R1kg/m.:R-12-(R-1)2=2(R-1)>0,0<(R-1)2<R-13. :450 “°巧<9A品种玉米的单位面积产最商，(2)9 450 代”设9×”-告“商的单位面积产量是纸的单位面积产 450 450 量的餐倍。 22懈，（任务一）型+2-2 x 每株A种花苗的单价为a元（任务二）根据题意，得35 ×品-10X)n期得=7，经检验，m=7是原分式方程的解，且符合题意m=7 +-+绩”+青 23.解：(1)是.A+B=-7十 2号-2A与B互为”和整分式，和整数值=2(2)0C+D登+” x-2 2+号++2z=+:C与D红为“和维分式”，且 =(3x-4)(x十2) P “和整数值"k=3,:.3x十3-8+P=3,即3x2+2z-8+P=3(x十2)(z-2》.P= (x+2)(x-2) 3(x+2)(z-2)-(3x2+2x-8)=-2x-4.②由(1)知P=-2x-4,D=z-4 P 十品广=名。分式D的值为正整数一2=-1度 2=-2,解得x=1或x=0.x为正整数，∴.x=1. 期末综合评价 1.D2.B3.D4.B5.D6.D7.D8.B9.B10.B11.3a(1-b) 12.AD=AE(答案不唯一)13.314.915.22 16.解：(1)原式=3a(x2+2xy+y)=3a(x+y)2.(2)原式=4.xs+x5-2=5x5-2. 17.解：原式=[a2+4ab+4b-(3a2-ab-3ab+b)+2a2]÷b=(a2+4ab+4b2-3a2+ 6+3ab-+2a)÷6=(8a6+3w÷b=8a+36."a=(-2）'=4,6=65-2》9 1,.原式=8×4+3×1=35. 18.解：(1)如图，△A1BC即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求，A2(-3,-1), B2(0,-2),C2(-2,-4). 40 19.解：原式=m(m2÷「_9。+m-3)(m+3)]-m(m-2÷9十m2-9-m2 (m-2)2·Lm-3 m-3 了(m-2)2 m-3m-2 ÷m2。=m。·m3=m一3：m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ÷m-3=m-2·m2=m-2 .3-2<m<3十2，即1<m<5.,m为整数，∴.m可取2,3,4.由分式有意义的条件可 知m≠0,23，m=4,原式-二号-号 20.解：(1)A·B+13的值不可能为负数.理由如下：A·B+13=(2t十3)(2t-3)十13 =4t-9+13=4t十4.4t≥0，∴.4t十4>0.∴.A·B+13的值不可能为负数.(2)A2 一B2=(2t十3)2-(2t-3)2=24t.t为整数，∴.24t一定能被24整除.∴当t为整数 时，A2一B2的值一定能被24整除。 21.证明：(1)，AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.:BE和CD为△ABC的中线，.BD= (BD=CE, AB.CE=号AC.BD=CE.在△BCD和△CBE中，∠DBC=∠ECB,△BCD BC=CB, ≌△CBE(SAS)..CD=BE.(2)AB=AC,∠A=60°，.△ABC为等边三角形. ∴∠ABC=∠ACB=60°.，'BE和CD为△ABC的中线，.∠ABE=∠CBE=∠BCD =30°，CD⊥AB.∴.OB=OC,∠BDO=90°.在Rt△BOD中，，∠BDO=90°，∠DBO= 30°，.OB=2OD..OC=2OD. 22.解：(1)设乙组每分钟采摘xkg蔬菜，则甲组每分钟采摘2xkg蔬菜.根据题意，得 600_00=10,解得x=30.经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意.2x=2× x 2x 30=60.答：甲组每分钟采摘60kg的蔬菜，乙组每分钟采摘30kg的蔬菜.(2)设扩建 后的劳动实践基地面积是原来的n倍(n为正整数).根据题意，得(2a一2+l2)(a十a) =a(2a-2》,解得n=2+吕：o>5a为整数，且n为正整数， a=7,。a=13, 或 n=4,n=3. .a的值为7或13. 23.(1)证明：在CD上截取CH=CE,连接EH.,△ABC是等边三角形，∴.∠ECH= 60°.△CEH是等边三角形.∴.HE=CE=CH,∠CEH=60°.：△DEF是等边三角 形，.DE=FE,∠DEF=60°..∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°..∠DEH DE=FE, =∠FEC.在△DEH和△FEC中，∠DEH=∠FEC,..△DEH≌△FEC(SAS). HE=CE, ∴.DH=CF..CE+CF=CH+DH=CD.(2)解：CF=CD十CE.理由如下：过点D作 DG∥AB,交AC的延长线于点G.:△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=60° ∴.∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°..∠GDC=∠DGC=∠DCG=60°. △GCD为等边三角形..GD=CD=CG.△DEF为等边三角形，.DE=DF, ∠EDF=∠GDC=60°..∠EDF+∠CDE=∠GDC+∠CDE,即∠FDC=∠EDG.在 (DE=DF, △EDG和△FDC中，∠EDG=∠FDC,.△EDG≌△FDC(SAS).∴.GE=CF.∴.CF GD-CD. =GE=CG+CE=CD+CE. 随堂反馈 第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 ①首尾顺次△ABC三角形ABC②等腰 41 当堂练习 1.B2.D3.(1)△ABC,△ACE,△ABD(2)△ABC,△BOC,△BCD,△BCE (3)BC 4.解：(1)钝角(2)直角(3)△ABC的形状（按角分类）不能确定.理由如下： ,△ABC另外两个内角可能都是锐角，可能是一锐角、一直角，也可能是一锐角、一钝 角，，△ABC的形状（按角分类）不能确定. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 ①大于小于②稳定性 当堂练习 1.A2.C3.D4.乙 5.解：(1)根据题意，得8-2<AC<8+2,即6<AC<10.,AC为偶数，.AC=8. ∴.△ABC的周长为8+2+8=18.(2)△ABC的三边长分别为3,5，a,∴.5-3<a<5 +3,即2<a<8.,∴.|a+1|-|a-8|-2a-2|=a+1-(8-a)-2(a-2)=-3. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 中点三角形的重心 当堂练习 1.B2.A3.30°40°80° 4解：1：AD为中线，BC=2BD=20.:AF为边BC上的高，S8c=号BC· AF=60.(2):BG为边AC上的高，SAc=7AC,BC.∴AC=2=24. BG 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识梳理 1809 当堂练习 1.B2.D3.锐角4.45° 5.解：(1)：∠B=66°，∠C=54°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.：AD平分 ∠BAC,∠BAD=∠CAD-号∠BAC=-30.∠ADC-180-∠C-∠CAD=96. (2)DE⊥AC,.∠AED=90°..∠ADE=180°-∠AED-∠CAD=60°. 第2课时直角三角形的两锐角互余 知识梳理 ①互余②互余 当堂练习 1.D2.B3.B4.1109 5.(1)解：在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°.：CE平分 ∠ACB,∠ACE=∠BCE=∠ACB=45.(2)证明：CDLAB,∠CDB=90.在 Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-60°=30°，∠FCD=∠BCE-∠DCB=45°- 30°=15°.∴.∠FCD+∠CDF=15°+75°=90°..△CDF是直角三角形. 13.3.2三角形的外角 知识梳理 ①三角形的外角②与它不相邻③360° -42