13.3 三角形的内角与外角 题型专练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册三角形内角与外角同步练，以“典例+举一反三”分层设计，覆盖定理证明到实际应用，梯度合理，适配新授课概念巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|内角和定理证明、外角概念|典例聚焦基础辨析（如辅助线有效性判断），夯实推理依据| |技能应用|角度计算、与平行线/折叠/角平分线结合|举一反三从选择填空到解答题，阶梯提升（如等腰三角形顶角分类讨论）| |综合拓展|实际应用（航海、三角板）、跨学科情境|结合生活情境（如混沌摆、拉杆箱），培养模型意识与空间观念|

人教版（2024）八年级上册 13.3 三角形的内角与外角 题型专练 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典例】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【举一反三1】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【举一反三2】定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 【举一反三3】如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：          ．    【举一反三4】已知：△ABC(如图). (1)求证：∠A+∠B+∠C=180°； (2)模仿(1)的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？ 【举一反三5】小学我们通过度量或剪拼的方法可以验证三角形的内角和等于，但是，这种“验证”不是“数学证明”，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证，所以需要推理的方法去证明．从三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角的操作过程，小聪发现了证明的思路：为了证明三个角的和为，利用转化思想将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补，这种方法也是数学中的常用方法，具体可按如下几种做法操作，如图（1），（2），（3），（4）．小聪的证明过程如下： 已知：．求证：． 证明：过点A作， （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ，． (1)经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得以下那些基本的活动经验：__________（填序号）； ①四种辅助线分别从三角形的顶点，边上的点和平面上的点构造平行线，遵循了我们研究问题从特殊到一般的规律； ②四种辅助线分别构造一条，两条，三条平行线，符合知识的形成规律和学生的认知规律； ③本题渗透了将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补的转化思想； ④三角形的内角和为我们将来学习四边形和多边形的内角和提供了依据． (2)小明用了不同的方法，过点D作，作，如图（2），请你写出证明过程． 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典例】三角形三个内角的度数分别是（70﹣y）°，（70+y）°，x°，且0＜y＜70，则该三角形一定有一个内角为（　　） A.40° B.50° C.60° D.70° 【举一反三1】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【举一反三2】一个三角形三个内角度数的比是3：2：5，这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断 【举一反三3】如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的顶角是 　   　度． 【举一反三4】已知△ABC中，∠B﹣∠A＝70°，∠B＝2∠C，求∠A，∠B，∠C的度数． 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例】如图，在△ABC中，∠C＝35°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝32°30′，则∠A的度数是（　　） A.80°28′ B.80° C.80°32′ D.81° 【举一反三1】如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则∠2的度数是 A.40° B.45° C.50° D.60° 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点A作 EF∥BC．若∠EAB＝40°，∠C＝80°，则∠ADC＝　     　． 【举一反三4】已知：如图所示， ，交于点C， 垂足为点E，  求的大小． 【举一反三5】已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典例】如图，在△ABC中，，沿图中虚线翻折，使得点落在上的点处，则等于　　 A. B. C. D. 【举一反三1】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A.27° B.59° C.69° D.79° 【举一反三2】如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则          ． 【举一反三3】△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点． （1）如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是　            　； （2）如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由； （3）如果折成图③的形状，已知∠BDA′＝100°，∠CEA′＝40°，求∠A的度数． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典例】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是（　　） A.13°　　　　 B.49°　　　　 C.62°　　　　 D.75° 【举一反三1】一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力方向的夹角的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图1为一款混沌摆，图2为其某一时刻的平面示意图，已知，，D，A，C三点共线，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为        ． 【举一反三4】如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数． 【举一反三5】如图，C在A处的北偏东方向，B在A处的北偏东方向，C在B处的北偏西方向． 求C看A，B的视角的度数． 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典例】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数是（　　） A.115° B.100° C.105° D.125° 【举一反三1】如图，在中，．现分别作出边上的高和的平分线．则的度数为（   ）    A. B. C. D. 【举一反三2】在△ABC中，，若从顶点A作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为      ． 【举一反三3】 [问题背景] 已知，点A，B分别在，上运动，（不与点O 重合）． [问题思考] （1）如图1所示，，分别是，的平分线，随着点A，B的运动，求的度数； （2） 如图2所示，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D．如果 ，其余条件不变，随着点A，B 的运动，求的度数．（用含的式子表示） 【题型7】直角三角形定义 【典例】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A.∠A＝90°﹣∠C B.∠A＝∠B﹣∠C C.∠A＝2∠B＝3∠C D.∠A＝∠B∠C 【举一反三1】把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与BC边重合，∠A=40°，则∠ACB的度数为（　　） A.30° B.90° C.50° D.75° 【举一反三2】在三角形中，两个锐角的度数比为1：5，其中较大的锐角度数为75°，则此三角形为         三角形（填写“直角”“锐角”“钝角”）． 【举一反三3】如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝40°，∠2=130°，则∠ACB的度数为 　   　． 【举一反三4】如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 【典例】将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　） A.103° B.104° C.105° D.106° 【举一反三1】如图，已知AB∥DC，Rt△FEG直角顶点在CD上，已知∠FEC＝35°，则∠GHB＝（　　） A.35° B.45° C.55° D.65° 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A.∠A与∠1互余　　　　　　 B.∠B与∠2互余 C.∠A＝∠2　　　　　　　　 D.∠1＝∠2 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥BA．若∠B＝54°，则∠ACD的度数为 　    　． 【举一反三4】如图，△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高线．若∠ABC＝62°，∠ACB＝72°，则∠BOC的度数是 　   　°． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°．求∠DAC和∠BOA的度数． 【题型9】三角形外角的概念 【典例】如图，△ABC中，则三△ABC的外角是（　　） A.∠A B.∠DAC C.∠B D.∠C 【举一反三1】如图，下列说法错误的是（　　） A.∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角 B.∠BCD是△ABC的外角 C.∠BCD+∠ACB＞180° D.△ABC的三条边分别是AB，BC，AC 【举一反三2】如图，已知B，E，C三点共线，则图中的外角是（  ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在三角形纸片中，将三角形纸片沿折叠，使点C落在所在平面内的点处．则的外角是          ． 【举一反三4】如图，标注的角有，这四个角中，是三角形外角的是      ． 【举一反三5】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由； （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典例】如图，平分，．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，的平分线交于点P，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，AB，CD相交于点O，连接AD，BC.若∠A=43°，∠D=57°，∠C=37°，则∠B=　　　　. 【举一反三4】如图，点E为的上点，点D在的延长线上，交于点F，，，，则的度数为          ． 【举一反三5】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， （1）若∠B＝40°，∠E＝25°，求∠BAC的度数． （2）探究∠BAC，∠B，∠E的关系，并说明理由． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D． （1）求∠ACD的度数； （2）若CE平分∠ACD，交AD于点E，求∠AEC的度数． 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典例】直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A.50° B.60° C.65° D.75° 【举一反三2】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则        ． 【举一反三4】生活中处处有数字，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的． (1)图1中的的度数是多少？（请写推理过程） (2)图2中已知，则的度数是多少？ 【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典例】在我们现代社会中，三角板是学数学，量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示摆放，其中A，D，B三点共线，此时的度数为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】空竹作为非物质文化遗产，有着上千年的历史．将图1的某同学抖空竹抽象成图2的数学问题，已知：，，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知海岛在海岛的正东方向，从海岛观测货船在其北偏东方向上，从海岛观察货船在其北偏东方向上，则的度数是              ． 【举一反三3】如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，保持不变，则图中应为多少度？ 【举一反三4】如图，是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：. 人教版（2024）八年级上册 13.3 三角形的内角与外角 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典例】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意； C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意． 【举一反三1】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【答案】D 【解析】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 【举一反三2】定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 【答案】C 【解析】证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意； ∴，故②符合题意； ∴． 上述证明得到的结论，适用于任何三角形． 故③不符合题意；④符合题意． 【举一反三3】如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：          ．    【答案】三角形内角和定理 【解析】根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为三角形内角和定理． 【举一反三4】已知：△ABC(如图). (1)求证：∠A+∠B+∠C=180°； (2)模仿(1)的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？ 【答案】(1)证明　如图，过点A作直线l，使l∥BC. ∵l∥BC， ∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等). 同理∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义). ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换). (2)解　如图，过点C作AB的平行线l. 证明：∵AB∥l. ∴∠1=∠4，∠2=∠5， ∵∠3，∠4，∠5组成平角， ∴∠3+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°. 【举一反三5】小学我们通过度量或剪拼的方法可以验证三角形的内角和等于，但是，这种“验证”不是“数学证明”，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证，所以需要推理的方法去证明．从三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角的操作过程，小聪发现了证明的思路：为了证明三个角的和为，利用转化思想将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补，这种方法也是数学中的常用方法，具体可按如下几种做法操作，如图（1），（2），（3），（4）．小聪的证明过程如下： 已知：．求证：． 证明：过点A作， （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ，． (1)经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得以下那些基本的活动经验：__________（填序号）； ①四种辅助线分别从三角形的顶点，边上的点和平面上的点构造平行线，遵循了我们研究问题从特殊到一般的规律； ②四种辅助线分别构造一条，两条，三条平行线，符合知识的形成规律和学生的认知规律； ③本题渗透了将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补的转化思想； ④三角形的内角和为我们将来学习四边形和多边形的内角和提供了依据． (2)小明用了不同的方法，过点D作，作，如图（2），请你写出证明过程． 【答案】（1）解：根据题意，经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得基本的活动经验为. （2）证明：过点D作，作，如图（2）， ，， ，，（两直线平行，同位角相等） ，，（两直线平行，同旁内角相补） ， ， . 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典例】三角形三个内角的度数分别是（70﹣y）°，（70+y）°，x°，且0＜y＜70，则该三角形一定有一个内角为（　　） A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】A 【解析】解：根据题意得： 70﹣y+70+y+x＝180， 解得：x＝40， ∴该三角形一定有一个内角为40°， 故选A． 【举一反三1】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【答案】C 【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别为50°和30°， ∴第三个内角的度数为180°﹣50°﹣30°＝100°， ∴这个三角形的是钝角三角形． 【举一反三2】一个三角形三个内角度数的比是3：2：5，这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断 【答案】C 【解析】解：∵三角形内角和是180°，三角形三个内角度数的比是3：2：5， ∴这个三角形的最大内角度数为：180°90°， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：C． 【举一反三3】如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的顶角是 　   　度． 【答案】70或40 【解析】若70°为顶角，则此等腰三角形的顶角是70°； 若70°为底角，则此等腰三角形的顶角为180°﹣2×70°＝40°， 综上，此等腰三角形的顶角为70°或40°． 【举一反三4】已知△ABC中，∠B﹣∠A＝70°，∠B＝2∠C，求∠A，∠B，∠C的度数． 【答案】解：∵∠B﹣∠A＝70°，∠B＝2∠C， ∴∠A＝∠B﹣70°＝2∠C﹣70°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C﹣70°+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝50°， ∴∠A＝30°，∠B＝100°，∠C＝50°． 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例】如图，在△ABC中，∠C＝35°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝32°30′，则∠A的度数是（　　） A.80°28′ B.80° C.80°32′ D.81° 【答案】B 【解析】解：∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE＝32°30′， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2×32°30′＝65°． 在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 故选：B． 【举一反三1】如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则∠2的度数是 A.40° B.45° C.50° D.60° 【答案】A 【解析】∵l1∥l2，∠1=50°， ∴∠ABC=∠1=50°， ∵AB⊥CD， ∴∠BDC=90°， ∴∠2=180°-90°-50°=40°，故A正确. 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】C 【解析】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠C＝70°， 故选：C． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点A作 EF∥BC．若∠EAB＝40°，∠C＝80°，则∠ADC＝　     　． 【答案】70°． 【解析】解：∵∠EAB＝40°，∠C＝80°， ∵EF∥BC， ∴∠EAB＝∠ABC＝40°，∠FAC＝∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠EAB﹣∠FAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝30°， ∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+30°＝70°， 故答案为：70°． 【举一反三4】已知：如图所示， ，交于点C， 垂足为点E，  求的大小． 【答案】∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三5】已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典例】如图，在△ABC中，，沿图中虚线翻折，使得点落在上的点处，则等于　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ， 由翻折可知， ，， ， ． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A.27° B.59° C.69° D.79° 【答案】D 【解析】解：如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处， ∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ABC＝3∠3， 在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°， ∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°， 在△ABC中， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°， 即20°+2∠3+106°＝180°， ∴∠3＝27°， ∴∠C＝106°﹣27°＝79°， 故选：D． 【举一反三2】如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则          ． 【答案】 【解析】如图，由折叠的性质得到，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三3】△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点． （1）如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是　            　； （2）如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由； （3）如果折成图③的形状，已知∠BDA′＝100°，∠CEA′＝40°，求∠A的度数． 【答案】解：（1）由折叠可知：∠A＝∠A′， ∵∠BDA′＝∠A+∠A′， ∴∠BDA′＝2∠A， 故答案为：∠BDA′＝2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，理由如下： 由折叠可知：∠A＝∠A′， ∵∠BDA′+∠A′DA＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°， ∴∠BDA′+∠A′DA+∠CEA'+∠A'EA＝360°， ∵∠A'+∠A′DA+∠A+∠A′EA＝360°， ∴∠BDA′+∠A′DA+∠CEA'+∠A'EA＝∠A'+∠A′DA+∠A+∠A′EA ∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A'+∠A＝2∠A； （3）如图所示： 由折叠可知：∠A＝∠A′， ∵∠BDA′＝100°＝∠DFE+∠A，∠DFE＝∠A'+∠CEA'，∠CEA′＝40°， ∴2∠A＝60°，∠A＝30°． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典例】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是（　　） A.13°　　　　 B.49°　　　　 C.62°　　　　 D.75° 【答案】B 【解析】解：由题意得： ∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°， ∴∠ACB＝180°−∠CAB﹣∠ABC＝49°． 【举一反三1】一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力方向的夹角的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图， ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴∠CBD=180°-∠BCD-∠D=50°， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵支持力的方向与斜面垂直， ∴， ∴． 【举一反三2】如图1为一款混沌摆，图2为其某一时刻的平面示意图，已知，，D，A，C三点共线，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在中，且， ∴， ∵， ∴． 【举一反三3】如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为        ． 【答案】 【解析】依题得， ， ， 中，． 【举一反三4】如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数． 【答案】解：因为OE⊥OF， 所以∠GOD＝90°，（垂直的定义） 因为∠ODC＝32°， 所以∠OGD＝180°﹣∠GOD﹣∠ODC，（三角形三个内角的和等于180°） 所以∠OGD＝180°﹣90°﹣32°＝58°， 由题意，知AB∥CD， 所以∠AOE＝∠OGD＝58，（两直线平行，内错角相等） 由题意，知DM∥OE， 所以∠AND＝∠AOE＝58°，（两直线平行，同位角相等） 所以∠ANM＝122°．（平角的定义） 故答案为：90，90，58，58°，两直线平行，内错角相等，58，122． 【举一反三5】如图，C在A处的北偏东方向，B在A处的北偏东方向，C在B处的北偏西方向． 求C看A，B的视角的度数． 【答案】解：∵在处的北偏东方向， ∴， ∵在处的北偏西方向， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典例】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数是（　　） A.115° B.100° C.105° D.125° 【答案】A 【解析】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A＝130°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣65°＝115°． 故选：A． 【举一反三1】如图，在中，．现分别作出边上的高和的平分线．则的度数为（   ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图所示，分别作出边上的高和的平分线．    在中，， 平分， ， 在中，， ． 【举一反三2】在△ABC中，，若从顶点A作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为      ． 【答案】30或50 【解析】当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 【举一反三3】 [问题背景] 已知，点A，B分别在，上运动，（不与点O 重合）． [问题思考] （1）如图1所示，，分别是，的平分线，随着点A，B的运动，求的度数； （2） 如图2所示，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D．如果 ，其余条件不变，随着点A，B 的运动，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】解：（1）∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴． （2）设， ∵平分， ∴． ∵， +， ∴， ∵平分， ∴． 同理，∵， ∴． 【题型7】直角三角形定义 【典例】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A.∠A＝90°﹣∠C B.∠A＝∠B﹣∠C C.∠A＝2∠B＝3∠C D.∠A＝∠B∠C 【答案】C 【解析】A项，∵∠A＝90°﹣∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； B项，∵∠A＝∠B﹣∠C， ∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； C项，∵∠A＝2∠B＝3∠C， 设∠A＝x， ∴∠Bx，∠Cx， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴xxx＝180°， 解得x＝（）°＞90°， ∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意； D项，∵∠A＝∠B∠C， 设∠A＝∠B＝x， ∴∠C＝2x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+x+2x＝180°， 解得x＝45°， ∴∠C＝2x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意． 【举一反三1】把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与BC边重合，∠A=40°，则∠ACB的度数为（　　） A.30° B.90° C.50° D.75° 【答案】B 【解析】解：由半圆仪没得的∠ABC＝50°， ∴∠A＝40°． ∴∠ACB＝90° 故选：B． 【举一反三2】在三角形中，两个锐角的度数比为1：5，其中较大的锐角度数为75°，则此三角形为         三角形（填写“直角”“锐角”“钝角”）． 【答案】直角三角形． 【解析】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x， 则5x＝75°， 解得：x＝15°， 则较大的一个锐角为15°×5＝75°， ∴此三角形第三个角度数为：180°-15°-75°=90° 故答案为：直角三角形． 【举一反三3】如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝40°，∠2=130°，则∠ACB的度数为 　   　． 【答案】90°． 【解析】解：∵a∥b， ∴∠4＝∠1＝40°，∠5+∠3=180° ∵∠3=∠2=130°， ∴∠5＝50°． ∴∠ACB=180°-50°-40°=90° 故答案为：90°． 【举一反三4】如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】解：（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，. （2） ，，是直角三角形，且是直角， ，， ． 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 【典例】将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　） A.103° B.104° C.105° D.106° 【答案】D 【解析】解：如图， ∵∠3＝180°﹣∠1＝16°， ∴∠4＝90°﹣∠3＝74°， ∴∠2＝180°﹣∠4＝106°； 故选：D． 【举一反三1】如图，已知AB∥DC，Rt△FEG直角顶点在CD上，已知∠FEC＝35°，则∠GHB＝（　　） A.35° B.45° C.55° D.65° 【答案】C 【解析】解：∵∠FEG＝90°， ∴∠GED+∠CEF＝90°， ∵∠CEF＝35°， ∴∠GED＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠GHB＝∠GED＝55°． 故选：C． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A.∠A与∠1互余　　　　　　 B.∠B与∠2互余 C.∠A＝∠2　　　　　　　　 D.∠1＝∠2 【答案】D 【解析】解：A.在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，所以∠A与∠1互余，正确； B.在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，所以∠B与∠2互余，正确； C.∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°， ∴∠A＝∠2，正确； D.当∠A＝∠B时，AC＝BC，所以CD既是∠C的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以∠1＝∠2，正确；当∠A≠∠B时，∠1≠∠2，错误； 故选：D． 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥BA．若∠B＝54°，则∠ACD的度数为 　    　． 【答案】36°． 【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝54°， ∴∠A＝90°﹣54°＝36°， 又∵CD∥BA， ∴∠ACD＝∠A＝36°． 故答案为：36°． 【举一反三4】如图，△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高线．若∠ABC＝62°，∠ACB＝72°，则∠BOC的度数是 　   　°． 【答案】134． 【解析】解：∵CE，BD分别是AB，AC边上的高线， ∴∠BEC＝90°，∠BDC＝90°， 在△BEC中，∠ABC＝62° ∴∠BCE＝90°﹣62°＝28°， 在△BCD中，∵ACB＝72° ∴∠CBD＝90°﹣72°＝18°， 在△BOC中，∠CBO+∠BOC+∠BCO＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣28°﹣18°＝134°， 故答案为：134． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°．求∠DAC和∠BOA的度数． 【答案】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=70°， ∴∠DAC=90°-70°=20°， ∵AE平分∠BAC，∠BAC=50°， ∴∠BAO=∠BAC=25°， ∵∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°，BF平分∠ABC， ∴∠ABO=∠ABC=30°， ∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=125° 故∠DAC和∠BOA的度数分别为20°和125°． 【题型9】三角形外角的概念 【典例】如图，△ABC中，则三△ABC的外角是（　　） A.∠A B.∠DAC C.∠B D.∠C 【答案】B 【解析】解：三角形外角的定义是：三角形一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角，所以∠DAC是△ABC的外角， 故选：B． 【举一反三1】如图，下列说法错误的是（　　） A.∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角 B.∠BCD是△ABC的外角 C.∠BCD+∠ACB＞180° D.△ABC的三条边分别是AB，BC，AC 【答案】C 【解析】解：A.∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角，正确，故A不符合题意； B.∠BCD是△ABC的外角，正确，故B不符合题意； C.∠BCD+∠ACB＝180°，故C符合题意； D.△ABC的三条边分别是AB，BC，AC，正确，故D不符合题意． 【举一反三2】如图，已知B，E，C三点共线，则图中的外角是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠BED是中的一边ED与另一边CE的延长线组成的角； ∴BED是的外角. 【举一反三3】如图，在三角形纸片中，将三角形纸片沿折叠，使点C落在所在平面内的点处．则的外角是          ． 【答案】； 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠ADE是中的一边DE与另一边CD的延长线组成的角； ∠BED是中的一边DE与另一边CE的延长线组成的角； ∴∠ADE和∠BED是的外角. 【举一反三4】如图，标注的角有，这四个角中，是三角形外角的是      ． 【答案】， 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠3是中的一边BE与另一边AE的延长线组成的角； ∠4是中的一边CE与另一边BC的延长线组成的角； ∴，分别是和的外角. 【举一反三5】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由； （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】（1）解：∠A＝2∠BOC﹣180°，理由如下： ∵O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， 在△ABC中，∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°， ∴∠A+2（∠OBC+∠OCB）＝180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC， ∴∠A+2（180°﹣∠BOC）＝180°， ∴∠A＝2∠BOC﹣180°； （2）解：∠A＝2∠BOC，理由如下： ∵O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠OBC，∠OCD＝∠BOC+∠OBC， ∴2（∠BOC+∠OCB）＝∠A+2∠OBC． ∴∠A＝2∠BOC． （3）解：∠A＝180°﹣2∠BOC，理由如下： ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点， ∴∠CBD＝2∠OBC，∠BEC＝2∠OCB， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠CBO，∠ACB＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2∠BCD， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴2（∠CBO+∠BCO）＝∠A+180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC， ∴2（180°﹣∠BOC）＝∠A+180°， ∴∠A＝180°﹣2∠BOC． 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典例】如图，平分，．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】平分， ， ， ， 是的外角， ． 【举一反三1】如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵是的一个外角，，， ∴. 【举一反三2】如图，的平分线交于点P，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，延长交于E， ∵的角平分线交于点P， ∴， 由三角形的内角和定理得，， 在中，， 在中，， ∴， 得，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三3】如图，AB，CD相交于点O，连接AD，BC.若∠A=43°，∠D=57°，∠C=37°，则∠B=　　　　. 【答案】63° 【解析】∵∠AOC=∠A+∠D=43°+57°=100°， ∠AOC=∠C+∠B，∠C=37°， ∴∠B=∠AOC-∠C=100°-37°=63°. 【举一反三4】如图，点E为的上点，点D在的延长线上，交于点F，，，，则的度数为          ． 【答案】 【解析】解：，， ， ， ， ． 【举一反三5】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， （1）若∠B＝40°，∠E＝25°，求∠BAC的度数． （2）探究∠BAC，∠B，∠E的关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝25°， ∴∠DCE＝∠B+∠E＝65°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠DCE＝130°， ∴∠ACB＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由： ∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠DCE， ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠B+2∠E． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D． （1）求∠ACD的度数； （2）若CE平分∠ACD，交AD于点E，求∠AEC的度数． 【答案】解：（1）∵∠B＝25°，∠BAC＝31°， ∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝56°． （2）∵AD是BC边上的高， ∴∠D＝90°． 又∵CE平分∠ACD，∠ACD＝56°， ∴， ∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝118°． 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典例】直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：， ， ， ． 【举一反三1】将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A.50° B.60° C.65° D.75° 【答案】D 【解析】解：由题意得：∠DBC＝45°， ∴∠DBA＝45°， ∴∠1＝∠DBA+∠A＝45°+30°＝75°， 故选：D． 【举一反三2】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴. 【举一反三3】我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则        ． 【答案】 【解析】解：如图， 由图可得， ∴， ∴，， ∴． 【举一反三4】生活中处处有数字，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的． (1)图1中的的度数是多少？（请写推理过程） (2)图2中已知，则的度数是多少？ 【答案】解：（1），， ， ， . （2），， ， ， ， ． 【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典例】在我们现代社会中，三角板是学数学，量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示摆放，其中A，D，B三点共线，此时的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意可得，，， ∴． 【举一反三1】空竹作为非物质文化遗产，有着上千年的历史．将图1的某同学抖空竹抽象成图2的数学问题，已知：，，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，延长交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三2】如图，已知海岛在海岛的正东方向，从海岛观测货船在其北偏东方向上，从海岛观察货船在其北偏东方向上，则的度数是              ． 【答案】． 【解析】解：连接，如图： 由题意得： ，，， ， 是的一个外角， ， 故答案：． 【举一反三3】如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，保持不变，则图中应为多少度？ 【答案】解：∵，， ∴，      ∵，∴， 故应为50度． 【举一反三4】如图，是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：. 【答案】解：（1）过点作，如图1， ，， ，， ，， 即， ， （2）过点作，如图2，设与的补角为，， ，， ，， ，， ，， 即， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $