13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段&教材拓展角 与三角形中线有关的面积问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材 贵州专版）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 【基础过关 ◆》◆逐点击破 【能力提升 >>~整合运用 知识点1三角形的有关概念 6.(易错题)若△ABC的三边长a,b,c满足 1.下面是小强用三根木棒组成的图形，其中符 (a一b)(b-c)=0,则△ABC的形状一定是 合三角形概念的是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 7.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥ 2.(教材P4习题T1、T2变式)如图. AB于点E,BD,CE交于点O,AB=AC, (1)图中共有个三角形，分别 OB=OC,则图中直角三角形共有个，等 是 腰三角形共有个. (2)△CDE和△BCD的公共角 是 B 公共边 E 是 B (3)在△ABC中，∠A的对边是 (第7题图) (第8题图) (4)在△ABC和△BEC中，∠ACB是边 8.(教材P4习题T5变式)如图，平面上有A, 和 的对角. B,C,D,E五个点，其中B,C,D及A,E,C 知识点2三角形的分类 在同一条直线上，那么以这五个点中的三个 3.(2025一2026·安顺期中)如图，小手盖住了一 点为顶点的三角形有个. 个三角形的一部分，则这个三角形是( 9.(教材P4习题T3变式)如图，在△ABC中， A.直角三角形 B.锐角三角形 ∠BAC是直角，AD⊥BC,垂足为D,点E在 C.钝角三角形 D.等边三角形 线段AC上，AD=DE=AE=CE. (1)找出图中的锐角三角形、直角三角形和 钝角三角形； (2)找出图形中的等腰三角形和等边三 (第3题图) (第4题图) 角形 4.(教材P3练习T1变式)如图，AB=BC=CD AD=AC,则图中等腰三角形有 个，它 们分别为 ,其 中等边三角形有 个，它们分别 为 5.(教材P3练习T2变式)如 图，在△ABC中，AE⊥BC,D 为BC上一点，则图中B 是锐角三角形， 是直角 三角形， 是钝角三角形， 第十三章三角形1 13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 【基础过关 ·◆逐点击破 的数学道理是 知识点1三角形的三边关系 A.三角形具有稳定性 1.(2025-2026·遵义期未)下列长度的三条 B.三角形的内角和等 线段能构成三角形的是 于180 A.2,3,4 B.7,8,15 C.两点确定一条直线 C.3,4,8 D.5,5,11 D.垂线段最短 2.(2025-2026·黔西南期末) T能力提升 ◆·整合运用 如图，为估计沙堆两侧点 6.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD, A,B间的距离，某同学在沙 E,F,G,H分别是四条边上的中点，为了使 堆一侧选取一点C,测得 它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木 AC=4m,BC=7m,那么A,B两点之间的 条不可以钉在 】 距离可能是 A.A,C两点之间 A.3 m B.8m B.E,G两点之间 C.11m D.12m C.B,F两点之间 3.半开放性题新趋势已知三角形的两边长分别 D.G,H两点之间 为4cm和5cm,则第三边可以是 cm 7.已知a,b,c是三角形的三条边，则|c一a一b十 (写出一个即可). |c十b一a|的化简结果为 4.(2025-2026·安顺期中)已知△ABC的三 8.分类讨论新理念(2025一2026·遵义期中) 边长分别为a,b,c,且a=5,b=8. 用一条长21cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)求c的取值范围； (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的 (2)若c为小于6的奇数，求△ABC的周长 长是多少？ (2)能围成有一边的长是5cm的等腰三角 形吗？为什么？ 知识点2三角形的稳定性 5.地域文化情境化(2025一2026·安顺期末) 花江峡谷大桥连接贵州安顺市关岭县和黔 西南州贞丰县两岸，因跨越被誉为“地球裂 缝”的花江大峡谷而得名，大桥全长2890m, 主桥跨径1420m.如图，索塔的顶端、拉索 与桥面围成的图形大致成三角形，其中蕴含 2数学Ⅱ八年级上册 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 【新知导学 >>预习新知 【基础过关 逐点击破 新知梳理 知识点1三角形的中线 ①在三角形中，连接一个顶点和它的对边 1.如图，若AD是△ABC的中线，BD=4,则BC的长度为 中点的线段叫作三角形的中线.三角形 ( 三条中线的交，点叫作 A.2 B.3 C.4 D.8 ②在三角形中，一个角的 与 这个角的对边相交，这个角的顶点与 交，点之间的线段叫作三角形的角平 分线.三角形的三条角平分线相交于 一点 (第1题图) (第2题图) ③从三角形的一个顶点向它所对的 2.(教材P9练习T2变式)如图，AD是△ABC的中线，则 边所在直线画垂线，所得线段叫作 点D是线段 三角形的高线.三角形的高线简 的中点，BD=CD=2 ,S△ABD= 称 ☑例题引路 若S△ABD=3,则S△ABC= 【例1】如图，在△ABC 知识点2三角形的角平分线 中，AD,AE分别为 3.如图，BD是△ABC的角平分线.已知∠ABC=62°，则 △ABC的高和中线.若 ∠DBC的度数为 AD=5 cm,EC=4 cm, B 求△ABE的面积. 【方法点拨】要求三角形的面积，可先找 出该三角形的一底边及该底边上的高， 再根据三角形的面积公式计算即可， B D E F 【学生解答】 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4.有下列结论： ①AD是△BAF的角平分线；②AE是△DAF的角平 分线；③AF是△DAC的角平分线；④AE是△BAC的角 平分线.其中正确的是 .(填序号) 知识点3三角形的高 易错典例 5.下列作△ABC的边BC上的高正确的是 【例2】在△ABC中，BC=6,BC边上的 高AD=4,且BD=2,则△ACD的面积 为 【易错剖析】此题未给出图形，高的位置 不确定，应分高在三角形内部和外部两 种情况进行讨论，避免漏解. 6.(遵义期中)如图，在△ABC中，边BC上的高是( 【学生解答】 A.线段AE B.线段CD C.线段AF D.线段BF 第十三章三角形3 7.如图，AD,BE分别是△ABC的边BC,AC10.如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB 的高线，AD=3,BC=5,AC=4,则BE的长 于点E,DF⊥AC于点F.若AB=6cm, 为 AC=4cm,则D E (第7题图) (第8题图) (第9题图) 能力提升 11.如图，AD是△ABC的角平分线，P为AD上 >>N整合运用 一点，PM∥AC,交AB于点M,PN∥AB,交 8.(2025-2026·遵义期末)如图，CD,CE,CF AC于点N.求证：PA平分∠MPN. 分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列 各式中，不正确的是 ( A.∠ADC=90° B.∠ACE=∠BCE C.AF-AB D.AC=EC 9.(2025-2026·黔南期末)如图，点O是 △ABC的重心.若阴影部分的面积的和是 6,则△ABC的面积是 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14 教材拓展角 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 如图，在△ABC中，D为BC 【变式题2】在△ABC中，已知D,E,F分别为 的中点，E为AD的中点.若 BC,AD,CE的中点 △ABC的面积为6，则图中 (1)如图①，若S△8c=1cm,则△BEF的面积 阴影部分的面积为 为 cm2; 【延伸问】连接BE,则S△ABE十S△cDE的值(2)如图②，若S△Fc=1cm2,则△ABC的面 为 积为cm. 【变式题1】如图，AD,CE是 △ABC的中线，连接ED.若 △ABC的面积是10，则 B △EDC的面积是 图① 图② 4数学Ⅱ八年级上册参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.C2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC(4)AB BE3.C4.4△ABC,△BCD,△ACD,△ABD2△ABC,△ACD5.△ABC, △ADC△ABE,△ADE,△ACE△ABD 能力提升 6.D7.628.89.解：(1)锐角三角形有△ADE,直角三角形有△ACD,△ABD, △ABC,钝角三角形有△CDE.(2)等腰三角形有△ADE,△CED,等边三角形有△ADE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥 基础过关 1.A2.B3.6(答案不唯一)4.解：(1)a=5,b=8,∴.8-5<c<8十5.即3<c<13. 帐 (2)3<c<13,且c为小于6的奇数，.c=5..△ABC的周长为5十8+5=18.5.A 能力提升 6.B7.2b8.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm.依题意，得x十3x十3x=21,解得 x=3.则等腰三角形的腰长为3×3=9(cm)..等腰三角形的各边长分别为3cm,9cm, 9cm.(2)能.理由如下：当5cm的边为底边时，其腰长为(21-5)÷2=8(cm),5十8=13> 8,能围成等腰三角形；当5cm的边为腰长时，其底边长为21-5-5=11(cm),5十5=10< 11,不能构成三角形.综上所述，能围成底边长是5cm的等腰三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②平分线③三角形的高 例题引路 【例1】解：AE是△ABC的中线，∴.BE=EC=4cm.AD是△ABC的高，∴AD⊥BC ABEAD=10 em. 易错典例 【例2】16或8 基础过关 01.D2.BCBC SANCD SAMC63.31°4.②④5.C6.A7.15 4 线 能力提升 8.D9.C 0号 1L,证明：：AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠CAD.:PM∥ AC,PN∥AB,.∠APM=∠CAD,∠APN=∠BAD.∴.∠APM=∠APN..PA平分 ∠MPN. 教材拓展角 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 号【延伸问3【变式题12.5【室式题211) (2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 新知梳理 180 61 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x=20,则 3x=60,5x=100,∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：(1)35(2)：∠ADC= 80°，∠CAD=35°，∴.∠C=180°-∠ADC-∠CAD=65°..∠B=180°-∠BAC-∠C 45°. 基础过关 1.B2.C3.B4.B5.68°6.C7.160 能力提升 8.A9.60°10.26°11.解：(1)∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE,CD分别是∠BAC, ∠ACB的平分线，∴∠FAC=40°，∠FCA=20°.∴.∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°. (2)∠B=80°，.∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°.AE,CD分别是∠BAC,∠ACB 的平分线，∠FAC=合∠BAC,∠FCA=号∠CA.∴∠FAC+∠FCA=合（∠BAC+ ∠BCA)=50°...∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=130°， 思维拓展 12.(1)证明：：DE∥BC.∴.∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.:∠DAB十∠BAC+∠EAC= 180°，.∠BAC+∠B+∠C=180°.(2)解：由(1)知∠DAB=∠ABC,∠EAC=∠ACB, :AF平分∠EAC,BF平分∠ABC,∠ABF=∠ABC,∠CAF=合∠EAC∴∠ABF+ ∠CAF-(∠ABC+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.:∠DAB+∠EAC+∠BAC- 180°，∠ABF+∠CAF+∠AFB+∠BAC=180°，·∠DAB+∠EAC=∠ABF+∠CAF+ ∠AFB.∴.∠AFB=(∠DAB十∠EAC)-(∠ABF+∠CAF)=(∠DAB+∠EAC) (∠DAB+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.“∠BAC=80.(∠DAB+∠EAO= 210-∠BAC)=50.∠AFB=50. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.A2.52°3.22.5°4.C5.证明：∠A+∠2+∠1+∠B=180°，∠A=∠2，∠1= ∠B,.2∠1+2∠2=180°，即∠1十∠2=90°..∠ACB=90°..△ABC是直角三角形. 能力提升 6.D7.C8.22.5°9.证明：：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.EP为∠BEF的平 分线，FP为∠EFD的平分线∠PEF=子∠BEF,∠PFE=子∠DFE,∠PEF+ ∠PFE=合（∠BEF+∠DFE)=90,∴△EPF为直角三角形. 方法技巧专题三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40.AE平分 ∠BAC,∠BAE=合∠BAC=20.:AD是BC边上的商∠D=90.∴∠BAD=90 ∠B=60°..∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°.【变式题1】解：(1)，∠B=36°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=7.:AD平分∠BAC∠CAD=号∠BAC=37,:AEL BC,∠AEC=90°，∠CAE=90°-∠C=20°，.∠DAE=∠CAD-∠CAE=17°.(2)：AD 平分∠BAC,·∠CAD=号∠BAC=号(180-∠C-∠B).AE⊥BC,∠AEC=90 ∴∠CAE=90°-∠C.∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=2(180°-∠C-∠B)-(90°-∠C) =(∠C-∠B)=10.【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A -62 作AG⊥BC于点G.:EF⊥BC,AG∥EF,.∠DAG=∠DEF.易得∠DAG= (Zc ∠B∴∠DEF=(∠C-∠B.【拓展应用11)∠F=（∠C-∠B)(2)32 (3)22 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40° -60=80.:CE是∠ACD的平分线∠DCE=立∠ACD.:∠ACD=180-∠ACB= 180°-60°=120°，.∠DCE=60°，.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.B2.A【变式题】D3.604.85°5.解：AE∥BD,.∠ADB=∠1=95°.又 ∠ADB=∠C+∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 6.A7.D8.235°9.105°10.114°11.解：：DF⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°， .∠B=90°-∠D=35°，∴∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE= 30°+90°=120. 思维拓展 12.解：(1)由条件可知∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°.CE平分∠ACD,.∠ACE= ∠ECD=68°.∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°.(2)∠BAC=∠B+2∠E.证明如 下：：CE平分△ABC的外角∠ACD,∠ACE=∠ECD.:∠ECD=∠B+∠E,∴.∠BAC =∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E,即∠BAC=∠B+2∠E. 模型构建专题与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 1.解：(1)∠C=70°，∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°.∠PAC=20°，∠PBC=40°， ∴∠PAB+∠PBA=110°-20°-40°=50°，∴.∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 50°=130°.(2)由(1)知，∠CAB+∠CBA=110°.：AP,BP分别为∠CAB,∠CBA的平分 线，∠PAB=号∠CAB,∠PBA=号∠CBA,∠PAB+∠PBA=合∠CAB+合∠CBA 号（∠CAB+∠CBA)=号X110=5,∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 55=125.2.30°3.解：BP平分∠ABC,·∠PBC=∠ABC.:CP平分∠ACD, ∴∠PCD=号∠ACD:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠D,∠P=∠PCD -∠PBC=合∠ACD-∠ABC=合（∠ACD-∠ABC)=合∠A,即∠P=3∠A 4.解：：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC十∠A,∴∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A 十∠ABC+∠A=180°十∠A.BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线，，∠PBC= 合∠EBC,∠PCB=合∠FCB,∠PBC+∠nCB=合（∠EBC+∠FCB) 2(180+∠A)=90+号∠A,∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180-(90+合∠A) =90°-3∠A,即∠P=90°-∠A 模型构建专题利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 1.140°2.210°3.解：解法一：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°， .∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+ ∠D十∠AOD=1I0°.解法二：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD 63