13.2 与三角形有关的线段 题型专练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形线段核心知识，以"典例示范+分层变式"构建从概念理解到综合应用的巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形边关系、中线/高/角平分线定义|选择/填空题为主，如判断三角形构成条件，直接应用概念| |能力提升|第三边取值范围、中线求面积、稳定性应用|计算题结合分类讨论，如等腰三角形周长计算，培养推理能力| |综合应用|三边关系与非负性综合、网格面积计算|实际情境题（如估计池塘距离），渗透几何直观与应用意识|

人教版（2024）八年级上册 13.2 与三角形有关的线段 题型专练 【题型1】构成三角形的条件 【典例】以下各组线段为边，不能组成三角形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列各组边长能组成三角形的是（　　） A.7，8，15 B.5，5，11 C.3，4，5 D.2，9，12 【举一反三2】下列三条线段，不能构成三角形的是（） A.3，3，4 B.2，2，3 C.2，3，5 D.3，4，6 【举一反三3】若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是       cm． 【举一反三4】如图，          （填“”，“”或“”）． 【举一反三5】下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以下列各组线段为边是否能组成三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，（，）． 【举一反三6】已知a，b，c是△ABC的三边，a=4，b=6，若三角形的周长是小于18的偶数. (1)求c边的长； (2)判断△ABC的形状. 【题型2】确定第三边的取值范围 【典例】若有四根木棒，长度分别为3，6，8，10（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（　　） A.6，8，10 B.3，6，8 C.3，8，10 D.3，6，10 【举一反三1】已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边长的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A.2 B.3 C.5 D.8 【举一反三3】如果一个三角形的两边分别是8和11，则第三边的长度x范围为              ． 【举一反三4】如果一个三角形的一边长是5 cm，另一边长是2 cm，若第三边长是x cm，且x为奇数，则此三角形的周长为　　cm． 【举一反三5】已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围：        ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【举一反三6】已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【题型3】三角形三边关系的应用 【典例】如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝6m，PB＝5m，那么A，B之间的距离不可能是（　　） A.6m B.8m C.10m D.12m 【举一反三1】若使用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（    ） A.只有①可以 B.只有②可以 C.①②都可以 D.①②都不可以 【举一反三2】如图1是一根细铁丝围成的正方形，其边长为2，现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（   ） A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【举一反三3】若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是      ． 【举一反三4】自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准备了一段长的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场地限制，若第一条边长为，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少． (1)请用x表示第三条边长． (2)第一条边长可以为吗？请说明理由． 【举一反三5】有一个身高1.9米的大个子说，自己的步子大，一步能跨三米多，你相信吗？ （1）你觉得可以用哪些知识或者哪些定理来研究问题？请具体写出来． （2）请你给出自己的结论，并提供推理过程． 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 【典例】已知三角形的三条边长分别为，，，化简的结果为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若、、为△ABC的三边长，且满足，则的值可以为　　 A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三3】若三角形的三边长分别为2，5，a，则化简：|a﹣3|+|a﹣7|的结果为 　    　． 【举一反三4】已知，，为△ABC的三边，且，满足关系式，若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为 　  　． 【举一反三5】已知a、b、c是三角形的三边长 （1）化简|a﹣b+c|+|b﹣a+c|+|c﹣a﹣b|． （2）若a＝5，b＝4，c＝3．求（1）中式子的值． 【举一反三6】按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 【题型5】三角形的稳定性 【典例】2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（　　） A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.两点之间线段最短 D.点到直线的距离垂线段最短 【举一反三1】埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（    ） A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.两点之间线段最短 【举一反三2】在生活中，我们常常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是        ．    【举一反三3】将如图所示的户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的　　　　　　.  【举一反三4】如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 如果是一个九边形木架、十边形木架，分别至少要再钉上几根木条才能不变形呢？请在下面画出草图． 【举一反三5】（1）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是　            　； （2）下列图形具有稳定性的有　     　个： 正方形、长方形、直角三角形、平行四边形 （3）已知四边形的四边长分别为2，3，4，5，这个四边形的四个内角的大小能否确定？ （4）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是：　            　； （5）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，如果要使一个n边形木架不变形，至少需要加　     　根木条固定． 【题型6】三角形中线的定义 【典例】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【举一反三1】在中，是边上的中线，下列结论不一定成立的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD=　　　　CE.  【举一反三3】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 (1)AB=2　　　=2　　　，BD=　　　，AE=　　　； (2)若S△ABC=3，则S△ABD=　　　. 【题型7】利用三角形的中线求长度 【典例】如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，AB＝3，AC＝5，△ACD的周长与△ABD的周长差为（　　） A.2 B.3 C.6 D.不确定 【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为30 cm，AB比AC长4 cm，则△ACD的周长为 　　　　　　． 【举一反三3】如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多          cm．    【举一反三4】如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 【题型8】利用三角形的中线求面积 【典例】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝2，则S△ABC等于（　　） A.16 B.14 C.12 D.10 【举一反三1】如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三2】如图， 在中， 已知点D， E， F分别是的中点， 且的面积是3， 则的面积是 （   ） A.2 B.3 C.4 D.4.5 【举一反三3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为　   　cm2． 【举一反三4】如图所示，在中，点D，E，F分别为的中点，且，则图中阴影的面积是多少？ 【题型9】三角形的重心 【典例】如图，李笑用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.最长边的中点 【举一反三1】已知点F是的重心，连接并延长交于点G，过点F作直线分别交于点D，E，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A.点G B.点D C.点E D.点F 【举一反三3】三条中线的交点叫作的    ． 【举一反三4】如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则三条中线的交点是       ．    【举一反三5】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【题型10】三角形的角平分线 【典例】关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A.线段 B.射线 C.直线 D.射线或线段 【举一反三1】如图，△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的面积为(　　) A.48    B.63      C.21    D.42 【举一反三2】如图，AD，CE是△ABC的角平分线．若∠BAD＝28°，则∠ACE=30°，则∠BAC+∠BCA＝　　　　　　　． 【举一反三3】[基础探究]1(1)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，探求∠BPC与∠A之间的数量关系； [基础探究2](2)如图2，在△ABC中，BP1，BP2是∠ABC的三等分线，CP1，CP2是∠ACB的三等分线，则∠BP1C与∠A之间的数量关系是　　　　　；  [基础探究3](3)如图3，在△ABC中，BP1，BP2，BP3是∠ABC的四等分线，CP1，CP2，CP3是∠ACB的四等分线，则∠BP3C与∠A之间的数量关系是　　　　　；  [拓展与探究](4)如图4，在△ABC中，BP1，BP2，…，BPn-2，BPn-1是∠ABC的n等分线，CP1，CP2，…，CPn-2，CPn-1是∠ACB的n等分线，请用一个等式表示∠BP1C，∠BPn-1C，∠A三者之间的数量关系：　　　　　；  [探究与应用](5)在△ABC中，BP1，BP2，…，BP2 023是∠ABC的2 024等分线，CP1，CP2，…，CP2 023是∠ACB的2 024等分线，若∠BP2C与∠BP2 022C的和是∠A的7倍，则∠BP1 012C=　　　　　.  【举一反三4】已知：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， (1)如图1，求∠BDC的度数； (2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE=2，AC=4，求△ADC的面积. 【题型11】三角形高的定义 【典例】下列各图中，能正确画出的边上的高的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，△ABC的面积为36，AB=AC=8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF=2DE，则DE长为 A.2 B.3 C.4 D.6 【举一反三2】如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C，点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为        ． 【举一反三3】如图，是的边         上的高；在中，是         上的高，还是         的高；是_________的边         上的高． 【举一反三4】如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线； (2)求的长． 【题型12】三角形的垂心 【典例】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定 【举一反三1】下列说法不正确的是（    ） A.同角的余角相等 B.对顶角相等 C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【举一反三2】我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫作这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组：     ，     ； (2)点G是三角形     的垂心； (3)点A是三角形     的垂心． 【举一反三3】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典例】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的(　　) A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【举一反三1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的 A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【举一反三2】如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2       =2       ；AE=       =       ; S△ABD＝     ＝S△ABC. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，.求 BC和DC的长. 【举一反三5】如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，求∠DAE的度数. 【题型14】利用网格求三角形的面积 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A. B. C. D.无法比较 【举一反三1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【举一反三3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为        ． 【举一反三4】如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A，B，C均在格点上． (1)标出一个格点D，使线段所在直线与线段所在直线互相垂直； (2)的面积为______； (3)标出所有的格点E，使与的面积相等． 【举一反三5】如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点和无刻度的直尺画图： (1)过点A画线段，使且； (2)求的面积； (3)点E在线段上，，点H是直线上一动点，线段的最小值为 ． 人教版（2024）八年级上册 13.2 与三角形有关的线段 题型专练（参考答案） 【题型1】构成三角形的条件 【典例】以下各组线段为边，不能组成三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A选项，∵， ∴长为的三条线段能组成三角形，不符合题意； B选项，∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，符合题意； C选项，∵， ∴长为的三条线段能组成三角形，不符合题意； D选项，∵， ∴长为的三条线段能组成三角形，不符合题意． 【举一反三1】下列各组边长能组成三角形的是（　　） A.7，8，15 B.5，5，11 C.3，4，5 D.2，9，12 【答案】C 【解析】解：A、7+8＝15，不能组成三角形，故A不符合题意； B、5+5＝10＜11，不能组成三角形，故B不符合题意； C、3+4＝7＞5，能组成三角形，故C符合题意； D、2+9＝11＜12，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】下列三条线段，不能构成三角形的是（） A.3，3，4 B.2，2，3 C.2，3，5 D.3，4，6 【答案】C 【解析】A．，能构成三角形，但不符合题意； B．，能构成三角形，但不符合题意； C．，不能构成三角形，符合题意； D．，能构成三角形，但不符合题意， 【举一反三3】若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是       cm． 【答案】 【解析】①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 【举一反三4】如图，          （填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】∵两边之和大于第三边， ∴. 【举一反三5】下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以下列各组线段为边是否能组成三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，（，）． 【答案】（1）， 不能组成三角形； （2）， 能组成三角形； （3），， 为较短边的长度， 又， 不能组成三角形． 【举一反三6】已知a，b，c是△ABC的三边，a=4，b=6，若三角形的周长是小于18的偶数. (1)求c边的长； (2)判断△ABC的形状. 【答案】解　(1)∵a，b，c是△ABC的三边，a=4，b=6， ∴2<c<10， ∵三角形的周长是小于18的偶数， ∴2<c<8， ∴c=4或6. (2)当c=4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形. 【题型2】确定第三边的取值范围 【典例】若有四根木棒，长度分别为3，6，8，10（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（　　） A.6，8，10 B.3，6，8 C.3，8，10 D.3，6，10 【答案】D 【解析】解：A、∵6+8＞10，∴6，8，10能围成三角形，该选项不合题意； B、∵3+6＞8，∴3，6，8能围成三角形，该选项不合题意； C、∵3+8＞10，∴3，8，10能围成三角形，该选项不合题意； D、∵3+6＜10，∴3，6，10不能围成三角形，该选项符合题意； 故选：D． 【举一反三1】已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边长的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设三角形的第三条边长， ， 即， 能作为第三边长的是． 【举一反三2】若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A.2 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【解析】由三角形三边关系可得， 即． 【举一反三3】如果一个三角形的两边分别是8和11，则第三边的长度x范围为              ． 【答案】 【解析】依题意，∵一个三角形的两边分别是8和11， ∴， ∴， 即则第三边的长度x范围为． 【举一反三4】如果一个三角形的一边长是5 cm，另一边长是2 cm，若第三边长是x cm，且x为奇数，则此三角形的周长为　　cm． 【答案】12 【解析】如果一个三角形的一边长是5 cm，另一边长是2 cm，若第三边长是x cm， 根据三角形两边的和大于第三边，则x＜5+2．即x＜7； 根据三角形两边的差小于第三边，则5﹣2＜x，即x＞3， ∴3＜x＜7， ∵x为奇数， ∴x为5， ∴三角形的周长＝5+5+2＝12（cm）． 【举一反三5】已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围：        ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】（1） 的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数. （2）为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为. 【举一反三6】已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】（1）由题意得，即， 是最短边长， ， 的取值范围是. （2）由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 【题型3】三角形三边关系的应用 【典例】如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝6m，PB＝5m，那么A，B之间的距离不可能是（　　） A.6m B.8m C.10m D.12m 【答案】D 【解析】解：在△APB中，PA﹣PB＜AB＜PA+PB，PA＝6m，PB＝5m， 则1m＜AB＜11m， ∴A，B间的距离不可能是12m， 故选：D． 【举一反三1】若使用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（    ） A.只有①可以 B.只有②可以 C.①②都可以 D.①②都不可以 【答案】A 【解析】∵， ∴根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将的直铁丝分为两段， 即只有①可以，②不可以． 【举一反三2】如图1是一根细铁丝围成的正方形，其边长为2，现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（   ） A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】A 【解析】铁丝的总长度为， 根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，即，当时，， ∴边长度小于4． 【举一反三3】若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是      ． 【答案】22 【解析】当为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 当为底边长时，9+4＞9，能构成三角形，等腰三角形的周长为． 【举一反三4】自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准备了一段长的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场地限制，若第一条边长为，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少． (1)请用x表示第三条边长． (2)第一条边长可以为吗？请说明理由． 【答案】（1）第一条边长为，第二条边长只能是第一条边长的3倍还少， 第二条边长是， 准备了一段长的篱笆， 第三边为； （2）第一条边长不可以为．理由如下： 当时，三边长分别为4，11，5． ， 不能构成三角形， 第一条边长不可以为． 【举一反三5】有一个身高1.9米的大个子说，自己的步子大，一步能跨三米多，你相信吗？ （1）你觉得可以用哪些知识或者哪些定理来研究问题？请具体写出来． （2）请你给出自己的结论，并提供推理过程． 【答案】解：（1）可以运用三角形的三边关系， （2）不能，如果此人一步能走三米多，由三角形三边的关系得，此人两腿长的和＞3米多，这与实际情况不符， 故他一步不能走三米多． 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 【典例】已知三角形的三条边长分别为，，，化简的结果为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵三角形的三边长分别为，，， ∴， 即， ∴ ． 【举一反三1】若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】一个三角形的三边长分别为2，x，7， ， ． 【举一反三2】若、、为△ABC的三边长，且满足，则的值可以为　　 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】解：， ，；，； 则， ，5符合条件； 故选：A． 【举一反三3】若三角形的三边长分别为2，5，a，则化简：|a﹣3|+|a﹣7|的结果为 　    　． 【答案】4． 【解析】解：∵三角形的三边长分别为2，5，a， ∴5﹣2＜a＜5+2， ∴3＜a＜7， ∴a﹣3＞0，a﹣7＜0， ∴|a﹣3|+|a﹣7| ＝a﹣3+7﹣a ＝4． 【举一反三4】已知，，为△ABC的三边，且，满足关系式，若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为 　  　． 【答案】8 【解析】解：，满足， ，， 解得，， ，， ， ∵△ABC的周长为偶数，即是偶数， 是偶数， 为奇数， ， ∴△ABC的周长为：． 【举一反三5】已知a、b、c是三角形的三边长 （1）化简|a﹣b+c|+|b﹣a+c|+|c﹣a﹣b|． （2）若a＝5，b＝4，c＝3．求（1）中式子的值． 【答案】解（1）∵a、b、c是三角形的三边长， ∴a﹣b+c＞0，b﹣a+c＞0，c﹣a﹣b＜0， |a﹣b+c|+|b﹣a+c|+|c﹣a﹣b| ＝a﹣b+c+b﹣a+c+a+b﹣c ＝a+b+c； （2）当a＝5，b＝4，c＝3时， 原式＝a+b+c＝5+4+3＝12． 【举一反三6】按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 【答案】解：（1）由三角形的三边关系可知，8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10， ∵AC为偶数， ∴AC＝8， ∴△ABC的周长为8+2+8＝18； （2）∵△ABC的三边长分别为3，5，a， ∴5﹣3＜a＜5+3， 解得2＜a＜8， ∴|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3． 【题型5】三角形的稳定性 【典例】2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（　　） A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.两点之间线段最短 D.点到直线的距离垂线段最短 【答案】B 【解析】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了四边形的不稳定性， 故选：B． 【举一反三1】埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（    ） A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.两点之间线段最短 【答案】B 【解析】其数学道理是三角形结构具有稳定性． 【举一反三2】在生活中，我们常常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是        ．    【答案】三角形的稳定性. 【解析】在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是三角形的稳定性． 【举一反三3】将如图所示的户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的　　　　　　.  【答案】稳定性 【举一反三4】如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 如果是一个九边形木架、十边形木架，分别至少要再钉上几根木条才能不变形呢？请在下面画出草图． 【答案】解：如图所示，四边形要再钉上1根木条，五边形木架需要2根木条，六边形木架需要3根木条， 如果是一个九边形木架、十边形木架，分别至少要再钉上6根木条、7根木条才能不变形． 【举一反三5】（1）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是　            　； （2）下列图形具有稳定性的有　     　个： 正方形、长方形、直角三角形、平行四边形 （3）已知四边形的四边长分别为2，3，4，5，这个四边形的四个内角的大小能否确定？ （4）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是：　            　； （5）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，如果要使一个n边形木架不变形，至少需要加　     　根木条固定． 【答案】解：（1）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是三角形的稳定性； （2）下列图形具有稳定性的有直角三角形一个： 正方形、长方形、直角三角形、平行四边形 （3）因为四边形具有不稳定性，所以这个四边形的四个内角的大小不能确定； （4）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是：方法一和方法二； （5）过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形， 所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n﹣3）根木条固定． 故答案为：三角形的稳定性；一；方法一和方法二；（n﹣3）． 【题型6】三角形中线的定义 【典例】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【答案】B 【举一反三1】在中，是边上的中线，下列结论不一定成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】是边上的中线， ，. A选项，，此选项成立，故不符合题意； B选项，，此选项成立，故不符合题意； C选项，，此选项成立，故不符合题意； D选项，因为与的长度不一定相等，所以的周长与的周长不一定相等，故此选项不一定成立，符合题意． 【举一反三2】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD=　　　　CE.  【答案】2 【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD， ∵AE是△ADC的中线，∴CD=2CE， ∴BD=2CE. 【举一反三3】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 (1)AB=2　　　=2　　　，BD=　　　，AE=　　　； (2)若S△ABC=3，则S△ABD=　　　. 【答案】(1)AF　BF　BC　CE　(2)1.5 【解析】(1)∵AD，BE，CF是△ABC的三条中线， ∴AB=2AF=2BF，BD=BC，AE=CE. (2)∵AD是△ABC的中线，S△ABC=3， ∴S△ABD=S△ABC=1.5. 【题型7】利用三角形的中线求长度 【典例】如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，AB＝3，AC＝5，△ACD的周长与△ABD的周长差为（　　） A.2 B.3 C.6 D.不确定 【答案】A 【解析】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD＝DC＝BC， ∴△ACD和△ABD的周长的差， ＝（AC+BC+AD）﹣（AB+BC+AD） ＝AC﹣AB＝5﹣3＝2， 故选：A． 【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为30 cm，AB比AC长4 cm，则△ACD的周长为 　　　　　　． 【答案】26 cm 【解析】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为30 cm， ∴AB+AD+BD＝30 cm， ∴AB+AD+DC＝30 cm， ∵AB比AC长4 cm， ∴AB＝AC+4 cm， ∴AC+4 cm+AD+DC＝30 cm， ∴AC+AD+DC＝26 cm， ∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝26 cm． 【举一反三3】如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多          cm．    【答案】 【解析】是的中线， ， 的周长的周长 ， 的周长比的周长多． 【举一反三4】如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 【答案】（1）是的中线， ， 是的中线， . （2）是的中线，与的周长差为， ， 的周长为，， ， ， ． 【题型8】利用三角形的中线求面积 【典例】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝2，则S△ABC等于（　　） A.16 B.14 C.12 D.10 【答案】A 【解析】解：由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．则可先求出S△DEF＝2，再求出S△CAE＝4，然后求出S△ABD＝8，从而得到S△ABC． 【举一反三1】如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】如图，连接， ∵， ∴， ∵两个三角形有公共底，且面积相等， ∴高相等， ∴DE //AC， 从而可得， ∴， 又∵， ， 即． 【举一反三2】如图， 在中， 已知点D， E， F分别是的中点， 且的面积是3， 则的面积是 （   ） A.2 B.3 C.4 D.4.5 【答案】B 【解析】∵点D， E， F分别是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为　   　cm2． 【答案】1 【解析】∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2cm2， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 【举一反三4】如图所示，在中，点D，E，F分别为的中点，且，则图中阴影的面积是多少？ 【答案】点，，分别为，，的中点， ，，，， ，， ， ， ， ． 【题型9】三角形的重心 【典例】如图，李笑用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.最长边的中点 【答案】A 【解析】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：A． 【举一反三1】已知点F是的重心，连接并延长交于点G，过点F作直线分别交于点D，E，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】点F是的重心， 是的中线， ． 【举一反三2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A.点G B.点D C.点E D.点F 【答案】B 【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示， 则AN与BM的交点为D， 故点D是△ABC的重心， 故选：B． 【举一反三3】三条中线的交点叫作的    ． 【答案】重心 【举一反三4】如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则三条中线的交点是       ．    【答案】D 【解析】如图，设的中点是点M，的中点为点N，则均是的中线，中线与中线的交点D即为三条中线的交点．    【举一反三5】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】（1）∵点为的重心， ∴，则. （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得，，， ，， ∴，， ∴， 则，即， ∵， ∴. 【题型10】三角形的角平分线 【典例】关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A.线段 B.射线 C.直线 D.射线或线段 【答案】A 【举一反三1】如图，△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的面积为(　　) A.48    B.63      C.21    D.42 【答案】C 【解析】如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接OA， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC， ∴OM=OD=2， 同理可得ON=OD=2， ∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC =AB·OM+BC·OD+AC·ON =AB·2+BC·2+AC·2 =AB+BC+AC =21. 【举一反三2】如图，AD，CE是△ABC的角平分线．若∠BAD＝28°，则∠ACE=30°，则∠BAC+∠BCA＝　　　　　　　． 【答案】116° 【解析】解：由AD ，CE是△ABC的角平分线，可得∠BAC+∠BCA＝2∠BAD+2∠ACE=116°， 故答案为：116°． 【举一反三3】[基础探究]1(1)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，探求∠BPC与∠A之间的数量关系； [基础探究2](2)如图2，在△ABC中，BP1，BP2是∠ABC的三等分线，CP1，CP2是∠ACB的三等分线，则∠BP1C与∠A之间的数量关系是　　　　　；  [基础探究3](3)如图3，在△ABC中，BP1，BP2，BP3是∠ABC的四等分线，CP1，CP2，CP3是∠ACB的四等分线，则∠BP3C与∠A之间的数量关系是　　　　　；  [拓展与探究](4)如图4，在△ABC中，BP1，BP2，…，BPn-2，BPn-1是∠ABC的n等分线，CP1，CP2，…，CPn-2，CPn-1是∠ACB的n等分线，请用一个等式表示∠BP1C，∠BPn-1C，∠A三者之间的数量关系：　　　　　；  [探究与应用](5)在△ABC中，BP1，BP2，…，BP2 023是∠ABC的2 024等分线，CP1，CP2，…，CP2 023是∠ACB的2 024等分线，若∠BP2C与∠BP2 022C的和是∠A的7倍，则∠BP1 012C=　　　　　.  【答案】解　(1)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-∠ACB =180°-=180°-=90°+∠A. (2)∵BP1，BP2是∠ABC的三等分线，CP1，CP2是∠ACB的三等分线， ∴∠P1BC=∠ABC，∠P1CB=∠ACB， ∴∠BP1C=180°-∠P1BC-∠P1CB=180°-∠ABC-∠ACB=180°- =180°-=60°+∠A. (3)∵BP1，BP2，BP3是∠ABC的四等分线，CP1，CP2，CP3是∠ACB的四等分线， ∴∠P3BC=∠ABC，∠P3CB=∠ACB， ∴∠BP3C=180°-∠P3BC-∠P3CB=180°-∠ABC-∠ACB=180°- =180°-=135°+∠A. (4)∵BP1，BP2，…，BPn-2，BPn-1是∠ABC的n等分线，CP1，CP2，…，CPn-2，CPn-1是∠ACB的n等分线，∴∠P1BC=∠ABC，∠Pn-1BC=∠ABC，∠P1CB=∠ACB，∠Pn-1CB=∠ACB， ∴∠BP1C=180°-∠P1BC-∠P1CB=180°-∠ABC-∠ACB =180°-=180°-=·180°+∠A， ∠BPn-1C=180°-∠Pn-1BC-∠Pn-1CB=180°-∠ABC-∠ACB =180°-=180°-=·180°+∠A， ∴∠BP1C+∠BPn-1C=·180°+∠A+·180°+∠A=180°+∠A. (5)∵BP1，BP2，…，BP2 023是∠ABC的2 024等分线，CP1，CP2，…，CP2 023是∠ACB的2 024等分线， ∴∠P2BC=∠ABC，∠P2 022BC=∠ABC，∠P2CB=∠ACB，∠P2 022CB=∠ACB， ∴∠BP2C=180°-∠P2BC-∠P2CB=180°-∠ABC-∠ACB =180°-=180°-=·180°+∠A， ∠BP2 022C=180°-∠P2 022BC-∠P2 022CB=180°-∠ABC-∠ACB =180°-=180°-=·180°+∠A， ∴∠BP2C+∠BP2 022C=·180°+∠A+·180°+∠A=180°+∠A， ∵∠BP2C+∠BP2 022C=7∠A， ∴180°+∠A=7∠A，∴∠A=30°， 同理可得∠BP1 012C=·180°+∠A=90°+×30°=105°. 【举一反三4】已知：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， (1)如图1，求∠BDC的度数； (2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE=2，AC=4，求△ADC的面积. 【答案】解　(1)因为BD平分∠ABC，所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°. 因为CD平分∠ACB，所以∠DCB=∠ACB=×40°=20°. 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°. (2)作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图. 因为BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，所以DH=DE=2. 因为CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，所以DF=DH=2. 所以△ADC的面积=DF·AC=×2×4=4. 【题型11】三角形高的定义 【典例】下列各图中，能正确画出的边上的高的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项，是的边上的高，不是的边上的高，不符合题意； B选项，不是的高，不符合题意； C选项，是的边上的高，不是的边上的高，不符合题意； D选项，是的边上的高，符合题意． 【举一反三1】如图，△ABC的面积为36，AB=AC=8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF=2DE，则DE长为 A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【解析】连接AD，如图， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF， ∵△ABC的面积为36，AB=AC=8，DF=2DE， ∴×8DE+×8×2DE=36， ∴DE=3. 【举一反三2】如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C，点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为        ． 【答案】10 【解析】由题意可得， 即， 化简可得， 解得， 则取最大值时，取最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ， ∴的最大值为． 【举一反三3】如图，是的边         上的高；在中，是         上的高，还是         的高；是_________的边         上的高． 【答案】 或 【解析】∵， ∴是的边上的高； ∵， ∴是的边上的高，是的边上的高，是的边上的高； ∵， ∴是的边上的高． 【举一反三4】如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线； (2)求的长． 【答案】（1）如图所示，即为所求. （2）∵为的高线，，，， ∴的面积， ∴， ∴． 【题型12】三角形的垂心 【典例】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定 【答案】C 【解析】解：A.锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B.钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C.直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D.能确定C正确，故错误． 【举一反三1】下列说法不正确的是（    ） A.同角的余角相等 B.对顶角相等 C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】A选项，同角的余角相等，说法正确，不符合题意； B选项，对顶角相等，说法正确，不符合题意； C选项，钝角三角形三条高所在的直线交于一点，但该点位于三角形外部，故原说法不正确，符合题意； D选项，平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意． 【举一反三2】我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫作这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组：     ，     ； (2)点G是三角形     的垂心； (3)点A是三角形     的垂心． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，. （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心. （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点A． ∴点A是三角形的垂心. 【举一反三3】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典例】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的(　　) A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【答案】B 【举一反三1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的 A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】观察图形可知，AD依次是△ABC的高、角平分线、中线. 【举一反三2】如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 【答案】（1） （2）的角平分线 的角平分线 （3） （4） 【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2       =2       ；AE=       =       ; S△ABD＝     ＝S△ABC. 【答案】BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC. 【解析】解：∵线段AD是△ABC的中线， ∴BC=2BD=2DC. ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC， ∵E为线段AD的中点， ∴线段BE是△ABD的中线， ∴AE=DE=AD 故答案为：BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，.求 BC和DC的长. 【答案】∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2,S△ABD =1.5， ∴， ∴AECD=1.5， ∴×2×CD=1.5， 解得CD=1.5， ∴BC=2×1.5=3． 综上所述，BC和DC的长分别是3，1.5. 【举一反三5】如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，求∠DAE的度数. 【答案】解　∵∠B=76°，∠C=36°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-76°-36° =68°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠BAD=90°-∠B =90°-76° =14°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =34°-14° =20°. 【题型14】利用网格求三角形的面积 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A. B. C. D.无法比较 【答案】B 【解析】， ， ． 【举一反三1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵的面积为4， ∴边上的高为， ∴点C的位置如图所示，共有3个． 【举一反三2】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【答案】4.5 【解析】解：由图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4.5． 【举一反三3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为        ． 【答案】 【解析】由题图可得的面积为， ∵， ∴， 解得． 【举一反三4】如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A，B，C均在格点上． (1)标出一个格点D，使线段所在直线与线段所在直线互相垂直； (2)的面积为______； (3)标出所有的格点E，使与的面积相等． 【答案】（1）如图所示，点D即为所求作的点；(两点取其一即可) （2）. （3）如图所示，点即为所求作的点. 【举一反三5】如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点和无刻度的直尺画图： (1)过点A画线段，使且； (2)求的面积； (3)点E在线段上，，点H是直线上一动点，线段的最小值为 ． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求. （2）的面积. （3）根据点到直线的距离垂线段最短可知，当BH⊥CE时，BH最短，如图所示， ∵//， ∴ ， ∴， ∴， ∴点H是直线上一动点，线段的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $