13.3.1 三角形的内角&专题1 三角形的角平分线与高的夹角问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

13.3三角形 13.3.1三 第1课时 三 基础过关 ◆◆·逐点击破 知识点1三角形内角和定理 1.在△ABC中，若∠B=40°，∠C=80°，则∠A 的度数为 ( A.30° B.40° C.50° D.60° 2.(教材P12例1变式)如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC,∠B=70°，∠BAD=30°，则∠C 的度数为 A.35° B.40° C.45° D.50° (第2题图) （第3题图) 3.学科融合新趋势如图，从地面AB上的点B 处射向平面镜AC的光线经过反射后的光线 是DE,根据光的反射原理可知，∠ADB= ∠CDE.若∠A=70°，∠B=30°，则∠BDE 的度数是 4.在△ABC中，∠A：∠B:∠C=2:3:5,求 这个三角形三个内角的度数，并判断这个三 角形的形状.（按角分） 6数学八年级上册配RJ版 的内角与外角 角形的内角 角形的内角和 5.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是 边AC上一点，BE,CD相交于点F,∠A= 63°，∠ACD=33°，∠ABE=20°，求∠BDC 和∠BFD的度数. 知识点2三角形内角和定理的应用 6.如图所示的△ABC是太原市最高的跨汾河大 桥的部分平面示意图.若∠B=∠C,∠A= 36°，则∠B的度数为 A.52° B.62° C.72 D.82° 7.如图，考古学家发现在地下A处有一座古 墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道， 准备在B和C处开工挖出“V”字形通道.若 ∠DBA=120°，∠ECA=125°，则∠A的度 数是 管道 古墓 易错点无图求角度时，未对三角形的形状 分类讨论而漏解 8.在△ABC中，AD是边BC上的高，∠ABC=30°， ∠CAD=20°，则∠BAC的度数是 能力提升 >>>整合运用 9.（威海中考)如图，直线CF∥DE,∠ACB= 90°，∠A=30°.若∠1=18°，则∠2的度数为 ( A.42° B.38° C.36° D.30° D 2E B∠-- C B (第9题图)（第10题图）（第11题图） 10.如图，在△ABC中，∠C=60°，把△ABC沿 直线DE折叠，使得点B与点A重合.若AD 恰好平分∠BAC,则∠B的度数为 11.整体思想新理念如图，点D在△ABC内 且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的 度数为 12.科技前沿情境化（教材P17习题T7变式） 6G即第六代移动通信技术，其信号传输能 力预计比5G提升100倍，网络延迟或降至 微秒级.我国已在部分地区展开6G信号试 点研究.如图，为了使6G信号覆盖整个试 验区，需在点A,B,C三处分别搭建一座 6G基站，现测得点B在点A的南偏西40° 方向，点C在点A的南偏东15°方向，点C 在点B的北偏东70°方向. (1)求∠BAC的度数； (2)求∠C的度数. E 南 C B 【思维拓展 ◆◆·强化素养 13.主题探究新趋势阅读材料：为了证明“三角 形的内角和是180°”，林老师给出了四种作 辅助线的方法，如图所示.解答下列问题： E C A4 过点C作EF∥AB 延长AC到点F,过 点C作CE∥AB 图① 图② D--- B D 过AB上一点D作 过点C作CD∥AB DE∥BC,DF∥AC 图③ 图④ (1)图①②在证明“三角形的内角和是 180°”的过程中，应用的数学思想是 () A.转化思想 B.整体思想 C.方程思想 D.数形结合思想 (2)请分别选用③④证明“三角形的内角和 是180°”. 第十三章三角形7 第2课时 直角三 基础过关 >>◆逐点击破 知识点1直角三角形的两个锐角互余 1.已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于 50°，则另一个锐角的度数是 ( A.50° B.45° C.40° D.30 2.生产生活情境化集热板的示意图如图所示， 集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最 高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹 角3为54°，若光能利用率最高，则集热板与 水平面夹角α的度数是 ( A.26° 集热板/太阳光线 B.30° C.36° 水平面 D.54° 知识点2有两个角互余的三角形是直角三 角形 3.已知∠A=42°，∠B=48°，则△ABC为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 4.(教材P14练习T2变式)如图，E是△ABC 中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂 足为D.若∠1=∠B,则△ABC是直角三角 形吗？为什么？ 8数学八年级上册配RJ版 角形的两锐角互余 ·能力提升 整合运用 5.如图，在△ABC中，CD⊥AB,∠B= ∠ACD,则图中的直角三角形共有() A.1个 B.2个 C.3个D.4个 G (第5题图)（第6题图）（第7题图） 6.如图，在△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC 的角平分线，过点B作CD的垂线，交CD的 延长线于点E.若∠ABE=16°，则∠ABC的 度数为 7.学科融合新趋势一只杯子静止在斜面上，其受 力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支 持力F的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向 与斜面平行.若斜面的坡角α=30°，则摩擦力F2 与重力G方向的夹角3的度数为 8.新定义新趋势定义：如果一个三角形的两个 内角a与B满足2a十B=90°.那么我们称这 样的三角形为“准互余三角形”. (1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°， ∠A=60°，则∠B的度数为 (2)如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°， 若AD是∠BAC的平分线，请你判断 △ABD是否为“准互余三角形”，并说明 理由。 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB= 【变式题2】角平分线+高线→角平分线十高线 110°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC,求 的平行线 ∠DAE的度数. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， ∠B<∠C,点E在AD上，EF⊥BC于点F,猜 想∠DEF与∠B,∠C之间的数量关系，并 证明. 小明受到前面题目的启发，提出可过点A作 AG⊥BC于点G,快速做出猜想.请你按照小明 的思路完成此题， 【变式题1】改变背景：钝角三角形→锐角三角形 如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,AD平 分∠BAC. (1)若∠B=36°，∠C=70°，求∠DAE的度数； (2)若∠C-∠B=20°，求∠DAE的度数. 【拓展应用】(1)如图①，在△ABC中，∠C>∠B, AD平分∠BAC,点F在DA的延长线上， FE⊥BC于点E,直接写出∠F与∠C,∠B之 间的数量关系： 图① 图② 图③ 方法总结：三角形一个角的平分线与这个角的对边 (2)如图②，在△ABC中，AE平分∠BAC,F 上的高形成的夹角等于另外两个角之差（大角减小 是EA的延长线上一点，FD⊥BC于点D. 角)的一半 若∠ABC=88°，∠C=24°，则∠F的度数 已知：如图，在△ABC中，AD 为。 BC,AE平分∠BAC,∠B>∠C. (3)如图③，在△ABC中，AE平分∠BAC,F是 易得∠DAE=∠B-∠C AE的延长线上一点，FD⊥BC于点D.若 2 利用上述关系可以快速解决相关小题 ∠B=32°，∠C=76°，则∠F的度数为 第十三章三角形9参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠D,∠DBC,∠DCB (3)BC∠ACB3.B 4.解：图中的锐角三角形有△ABC,△ABE;直角三角形有△ABD,△AED,△ACD:钝 角三角形有△ACE. 5.C6.等边三角形47.9 8.解：(1)△ABC(2)以BC为公共边的“共边三角形”有3对，它们分别是△ABC和 △BCD,△BCD和△BCE,△ABC和△BCE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1.B 2.B 3.1<x<7 4.CE+CD>DE 5.解：(1)根据三角形的三边关系，得7一2<c<7+2,解得5<c<9.∴.c的取值范围是 5<c<9.(2)由(1)可得5<c<9.,c的长为奇数，c=7..c=a.△ABC为等腰三 角形. 6.解：有两种选法.理由如下：当选2,7,8三根木条时，2十7一9>8，能构成三角形；当选 2,7,10三根木条时，2十7=9<10，不能构成三角形；当选2,8,10三根木条时，2十8= 10,不能构成三角形；当选7,8,10三根木条时，7+8=15>10，能构成三角形..共有两 种选法 7.A8.A9.1010.D11.D12.1<a<2.5 13.解：，△ABC的三边长分别为a,b,c,∴.b十c>a,a十c>b.∴.原式=|a-(b十c)一 |b-(a十c)|=(b+c)-a-[(a+c)-b]=b+c-a-a-c+b=2b-2a. 14.解：设腰长为xcm.分两种情况讨论：①当底边长大于腰长时，底边长为(x十6)cm, 由题意，得2x十(x十6)=18，解得x=4.x+6=10.:4十4<10，.不能围成腰长为 4cm的等腰三角形.②当底边长小于腰长时，底边长为(x一6)cm.由题意，得2x十(x一 6)=18,解得x=8.x一6=2.，2十8>8，.能围成腰长为8cm的等腰三角形.综上 所述，三角形各边的长分别为8cm,8cm,2cm. 15.解：甲猴先到达C地.理由如下：延长BD,交AC于点H.甲猴沿B→D→C的线路 走的距离为BD十DC,乙猴沿B→A→C的线路走的距离为AB十AC.,'AB十AH> BD+DH,CH>DC-DH,.AB+AH+CH>BD+DH+DC-DH,AB+AC> BD十DC.,两只猴子同时以相同的速度行走，∴.甲猴先到达C地. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.C2.83.234.319 5.解：DE∥AC.理由如下：CD是△ABC的角平分线，.∠ACD=∠1.，∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2.∴.DE∥AC 6.B7.B 8.解：1DSac=号BC·AD=合×10×4=20.(2)如图.由 B D ()知Sa=20.:SaC=合AC·BE,号×8BE=20, ..BE=5. C 9.B10.C11.45°12.(1)高(2)角平分线(3)中线13.6或4 14.解：AD是△ABC的中线，SaAm=SD,即号DE·AB=?DF·AC.:AB= 3,AC=4,DF=1.5,DE=DF:AC=1.5×4=2. AB 3 一1 教材拓展角与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 1.号【延伸问3【变式题12.5【变式题21(1)(2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 1.D2.D3.20° 2 4.解：“∠A:∠B:∠C=2:3:5,∠A=180°×2+3+5=36，∠B=180× 2+3+5=54”,∠C=180×2+3十5=90、∴这个三角形是直角三角形. 3 5 5.解：在△ADC中，∠ADC=180°-∠A-∠ACD=84°，∴.∠BDC=180°-∠ADC= 96°.在△BDF中，∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE=64°. 6.C7.65°8.80°或40°9.A10.40°11.65 12.解：(1)由题意，得∠BAE=40°，∠CAE=15°，∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE=55°. (2)由题意，得∠DBC=70°.，DB∥AE,.∠DBA=∠BAE=40°.∠ABC=∠DBC -∠DBA=30°.∴.∠C=180°-∠ABC-∠BAC=95°. 13.解：(1)A(2)选择图③.证明如下：·DE∥BC,DF∥AC,∴.∠B=∠EDA,∠A= ∠FDB,∠C=∠DFB=∠EDF.根据平角的定义，得∠FDB+∠EDA十∠EDF= 180°，∠A十∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°.选择图④.证明如下：：CD∥ AB,'.∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°..'∠BCD=∠ACB+∠ACD,.∠B+∠ACB 十∠ACD=180°..∠A十∠B+∠ACB=180°，即三角形的内角和是180°. 第2课时直角三角形的两锐角互余 1.C2.D3.C 4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：，ED⊥AB,.∠ADE=90°..∠1十∠A= 90°.∠1=∠B,∴∠B十∠A=90°.∴.△ABC是直角三角形. 5.C6.58°7.120° 8.解：(1)15°(2)△ABD是“准互余三角形”.理由如下：∠C=90°，∠BAC+∠B =90°.：AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAC=2∠BAD..2∠BAD+∠B=90°. ∴.△ABD是“准互余三角形”. 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 ∠BAC,∠BAE=号∠BAC=20,:AD是BC边上的商，∠D=90.∠BAD= 90°-∠B=60°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°. 【变式题1】解：(1)：∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.，AD平 分∠BAC,∴∠CAD=2∠BAC=37.AELBC,∠AEC=90,∴∠CAE=90°-∠C =20.∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=17.(2):AD平分∠BAC,·∠CAD=合∠BAC =2(180°-∠C-∠B.:AELBC,∴∠AEC=90.·∠CAE=90-∠C.·∠DAE= ∠CAD-∠CAE=2180°-∠C-∠B)-(90°-∠C=2(∠C-∠B)=10. 【变式题2】解：猎想：∠DEF=之（∠C-∠B).证明如下：过点A作AGLBC于点G. :EFLBC,∴AG/ER.∠DAG=∠DER.易得∠DAG=(ZC-∠B,∠DEF =2(ZC-∠B. 【拓展应用11)∠P=号（∠C-∠B)(2)32°(3）22 —2 13.3.2三角形的外角 1.D2.C3.D4.D5.A6.C7.C 8.解：根据三角形的外角的性质，得x十70=x十x十10，解得x=60.∴x+70=130. .y=180-130=50. 9.解：DF⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°.∠B=90°-∠D=35°.∴∠ACD=∠B +∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120° 10.C11.C12.235 13.(I)证明：AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.∠EAD=∠EDA,∠CAD+ ∠EAC=∠BAD+∠B.∴∠EAC=∠B.(2)解：设∠CAD=a,则∠E=4a.'AD平分 ∠BAC,∴∠BAC=2∠CAD=2a.∠BAE+∠B+∠E=180°，∠EAC=∠B=60°， .2a十60°+60°+4a=180°，解得a=10°.∴.∠E=40°. 14.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：，∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,∴.∠1+∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.:∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∴.∠1+∠2=∠A+180°.(3)∠1+∠2是定值210°.理由如下：延长BA,CD交于 点M.∴.∠M=180°-（∠B+∠C)=30°.由(2）可得∠1+∠2=∠M+180°..∠1+ ∠2=30°+180°=210°. 专题二与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 1.(1)解：120°(2)解：115°(3)证明：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠CBG= 合∠ABC,∠BCG=合∠ACB.∠BGC=180-(∠CBG+∠BCG)=180- (∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A,∠BGC=180°-合(180°- ∠0=90+2∠A 2.解：(1)∠ACB=70°，.∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0平分∠ABC,CO平分 ∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=号∠ACD=5.∠0=∠D00 ∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：：B0平分∠ABC,C0平分∠ACD, .∠DCO= 2∠ACD,∠CB0=2∠ABc.∴∠0=∠DC0-∠CB0=(∠ACD ∠ABC)-LA. 3.65°4.30°60° 专题三利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸】 1.140°2.210° 3.(解法一)解：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°，.∠COB=180°- ∠ABC-∠BCD=70°..∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD= 110°. (解法二)解：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC=∠ABC十∠BCD=110°. ,∠BAE=28°，∠CDE=12°，.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE- ∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°. 4.(1)180°(2)360°【变式题】240 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1动手操作1：解：如图所示. (动手操作1图) (延伸问图) (动手操作2图) (变式题图) —3