13.3.2 三角形的外角（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材 贵州专版）

13. ·新知导学 ·◆◆预习新知 新知梳理 ①三角形的一边与另一边的延长线组 成的角，叫作 ②三角形的外角等于 的 两个内角的和 ☑例题引路 【例1】下列各图中，∠1是△ABC的外 角的是 3424 【学生解答】 【例2】如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠ACB= 60°，CE是△ABC的外 D 角∠ACD的平分线， 且CE交BA的延长线于点E.求 ∠BAC和∠E的度数. 【方法点拨】本题考查三角形中求角度 问题，涉及三角形角平分线的定义、三 角形内角和定理、三角形外角性质，熟 练掌握相关知识点，数形结合，找准各 个角之间和差倍分关系是解决问题的 关键. 【学生解答】 3.2三角形的外角 【基础过关 ·●P逐点击破 知识点1三角形外角的定义 1.如图，是△ABC外角的是 A.∠EAB和∠EAD B.∠EAB和∠DAC C.∠EAB和∠EAD,∠DACD.以上说法都不对 D 7777777 (第1题图) (第2题图) （变式题图) 知识点2三角形外角的性质 2.(2025一2026·黔东南期末)两根木条A,B按如图所示 的方式放在地面上.若∠3=80°，∠1=45°，则∠2的度 数为 ( ) A.125° B.100° C.80° D.55° 【变式题】如图，△ABC的外角∠DAC=95°，∠B=55°， 则∠C的度数为 ( A.55 B.50 C.459 D.40° 3.(教材P16习题T1变式)在如图所示的三角形中，x的 值是 (xA0)° x△ 60 35 /(x+70)° D (第3题图) (第4题图) 4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线.若∠B= 35°，∠ACE=60°，则∠A的度数为 5.如图，AE∥BD,∠1=95°，∠2=28°，求∠C的度数 第十三章三角形9 T能力提升 ~>>整合运用 6.日常生活情境化(2026·扬州中考)图①是 一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图②所 示，EF∥BC,∠AGE=120°，∠DCB=70°， 则∠BDC的度数为 D 120 B m702Amm 图① 图② A.50° B.60° C.70° D.80 7.如图，在△ABC中，D是BC上一点，BA= BD,连接AD,∠CAD=20°，∠C=50°，则 ∠BAD的度数为 ( A.30° B.50° C.60° D.70° C D (第7题图) (第8题图) 8.(教材P15例4变式)如图，∠BAE,∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD= 125°，则∠BAE+∠CBF的度数为 9.(2025一2026·安顺期未)一副三角板按如 图所示叠放在一起，则图中∠α的度数 是 29 人45° B (第9题图) (第10题图) 10.学科融合新趋势一只杯子静止在斜面上， 其受力分析如图所示，重力G的方向竖直 向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦 力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角 α=24°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角 B的度数为 10数学Ⅱ八年级上册 11.如图，已知D为△ABC的边BC延长线上 一点，DF⊥AB于点F,且交AC于点E, ∠A=30°，∠D=55°.求∠ACD的度数和 ∠FEC的度数 【思维拓展 。·强化素养 12.如图，CE平分△ABC的外角∠ACD,且 CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=32°，∠E=36°，求∠BAC的 度数； (2)试猜想∠BAC,∠B,∠E三个角之间存 在的等量关系，并证明你的猜想参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.C2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC(4)AB BE3.C4.4△ABC,△BCD,△ACD,△ABD2△ABC,△ACD5.△ABC, △ADC△ABE,△ADE,△ACE△ABD 能力提升 6.D7.628.89.解：(1)锐角三角形有△ADE,直角三角形有△ACD,△ABD, △ABC,钝角三角形有△CDE.(2)等腰三角形有△ADE,△CED,等边三角形有△ADE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥 基础过关 1.A2.B3.6(答案不唯一)4.解：(1)a=5,b=8,∴.8-5<c<8十5.即3<c<13. 帐 (2)3<c<13,且c为小于6的奇数，.c=5..△ABC的周长为5十8+5=18.5.A 能力提升 6.B7.2b8.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm.依题意，得x十3x十3x=21,解得 x=3.则等腰三角形的腰长为3×3=9(cm)..等腰三角形的各边长分别为3cm,9cm, 9cm.(2)能.理由如下：当5cm的边为底边时，其腰长为(21-5)÷2=8(cm),5十8=13> 8,能围成等腰三角形；当5cm的边为腰长时，其底边长为21-5-5=11(cm),5十5=10< 11,不能构成三角形.综上所述，能围成底边长是5cm的等腰三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②平分线③三角形的高 例题引路 【例1】解：AE是△ABC的中线，∴.BE=EC=4cm.AD是△ABC的高，∴AD⊥BC ABEAD=10 em. 易错典例 【例2】16或8 基础过关 01.D2.BCBC SANCD SAMC63.31°4.②④5.C6.A7.15 4 线 能力提升 8.D9.C 0号 1L,证明：：AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠CAD.:PM∥ AC,PN∥AB,.∠APM=∠CAD,∠APN=∠BAD.∴.∠APM=∠APN..PA平分 ∠MPN. 教材拓展角 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 号【延伸问3【变式题12.5【室式题211) (2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 新知梳理 180 61 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x=20,则 3x=60,5x=100,∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：(1)35(2)：∠ADC= 80°，∠CAD=35°，∴.∠C=180°-∠ADC-∠CAD=65°..∠B=180°-∠BAC-∠C 45°. 基础过关 1.B2.C3.B4.B5.68°6.C7.160 能力提升 8.A9.60°10.26°11.解：(1)∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE,CD分别是∠BAC, ∠ACB的平分线，∴∠FAC=40°，∠FCA=20°.∴.∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°. (2)∠B=80°，.∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°.AE,CD分别是∠BAC,∠ACB 的平分线，∠FAC=合∠BAC,∠FCA=号∠CA.∴∠FAC+∠FCA=合（∠BAC+ ∠BCA)=50°...∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=130°， 思维拓展 12.(1)证明：：DE∥BC.∴.∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.:∠DAB十∠BAC+∠EAC= 180°，.∠BAC+∠B+∠C=180°.(2)解：由(1)知∠DAB=∠ABC,∠EAC=∠ACB, :AF平分∠EAC,BF平分∠ABC,∠ABF=∠ABC,∠CAF=合∠EAC∴∠ABF+ ∠CAF-(∠ABC+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.:∠DAB+∠EAC+∠BAC- 180°，∠ABF+∠CAF+∠AFB+∠BAC=180°，·∠DAB+∠EAC=∠ABF+∠CAF+ ∠AFB.∴.∠AFB=(∠DAB十∠EAC)-(∠ABF+∠CAF)=(∠DAB+∠EAC) (∠DAB+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.“∠BAC=80.(∠DAB+∠EAO= 210-∠BAC)=50.∠AFB=50. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.A2.52°3.22.5°4.C5.证明：∠A+∠2+∠1+∠B=180°，∠A=∠2，∠1= ∠B,.2∠1+2∠2=180°，即∠1十∠2=90°..∠ACB=90°..△ABC是直角三角形. 能力提升 6.D7.C8.22.5°9.证明：：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.EP为∠BEF的平 分线，FP为∠EFD的平分线∠PEF=子∠BEF,∠PFE=子∠DFE,∠PEF+ ∠PFE=合（∠BEF+∠DFE)=90,∴△EPF为直角三角形. 方法技巧专题三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40.AE平分 ∠BAC,∠BAE=合∠BAC=20.:AD是BC边上的商∠D=90.∴∠BAD=90 ∠B=60°..∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°.【变式题1】解：(1)，∠B=36°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=7.:AD平分∠BAC∠CAD=号∠BAC=37,:AEL BC,∠AEC=90°，∠CAE=90°-∠C=20°，.∠DAE=∠CAD-∠CAE=17°.(2)：AD 平分∠BAC,·∠CAD=号∠BAC=号(180-∠C-∠B).AE⊥BC,∠AEC=90 ∴∠CAE=90°-∠C.∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=2(180°-∠C-∠B)-(90°-∠C) =(∠C-∠B)=10.【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A -62 作AG⊥BC于点G.:EF⊥BC,AG∥EF,.∠DAG=∠DEF.易得∠DAG= (Zc ∠B∴∠DEF=(∠C-∠B.【拓展应用11)∠F=（∠C-∠B)(2)32 (3)22 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40° -60=80.:CE是∠ACD的平分线∠DCE=立∠ACD.:∠ACD=180-∠ACB= 180°-60°=120°，.∠DCE=60°，.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.B2.A【变式题】D3.604.85°5.解：AE∥BD,.∠ADB=∠1=95°.又 ∠ADB=∠C+∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 6.A7.D8.235°9.105°10.114°11.解：：DF⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°， .∠B=90°-∠D=35°，∴∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE= 30°+90°=120. 思维拓展 12.解：(1)由条件可知∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°.CE平分∠ACD,.∠ACE= ∠ECD=68°.∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°.(2)∠BAC=∠B+2∠E.证明如 下：：CE平分△ABC的外角∠ACD,∠ACE=∠ECD.:∠ECD=∠B+∠E,∴.∠BAC =∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E,即∠BAC=∠B+2∠E. 模型构建专题与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 1.解：(1)∠C=70°，∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°.∠PAC=20°，∠PBC=40°， ∴∠PAB+∠PBA=110°-20°-40°=50°，∴.∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 50°=130°.(2)由(1)知，∠CAB+∠CBA=110°.：AP,BP分别为∠CAB,∠CBA的平分 线，∠PAB=号∠CAB,∠PBA=号∠CBA,∠PAB+∠PBA=合∠CAB+合∠CBA 号（∠CAB+∠CBA)=号X110=5,∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 55=125.2.30°3.解：BP平分∠ABC,·∠PBC=∠ABC.:CP平分∠ACD, ∴∠PCD=号∠ACD:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠D,∠P=∠PCD -∠PBC=合∠ACD-∠ABC=合（∠ACD-∠ABC)=合∠A,即∠P=3∠A 4.解：：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC十∠A,∴∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A 十∠ABC+∠A=180°十∠A.BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线，，∠PBC= 合∠EBC,∠PCB=合∠FCB,∠PBC+∠nCB=合（∠EBC+∠FCB) 2(180+∠A)=90+号∠A,∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180-(90+合∠A) =90°-3∠A,即∠P=90°-∠A 模型构建专题利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 1.140°2.210°3.解：解法一：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°， .∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+ ∠D十∠AOD=1I0°.解法二：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD 63