高中数学单元测试——第三章函数（适中版02）

**基本信息** 高中数学第三章函数单元复习卷，以基础巩固与能力提升为梯度，通过现实情境（如阶梯水价）和新定义问题（如P界函数），考查函数概念、性质及应用，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|定义域、函数相等、单调性等基础概念|聚焦函数核心概念辨析，如第3题判断同一函数| |多选题|3题18分|函数图象、新定义函数性质|引入“P界函数”新定义（第10题），考查抽象能力与推理意识| |填空题|3题15分|值域、二分法应用|第13题结合二分法求近似解，体现数学思维的严谨性| |解答题|5题77分|零点证明、阶梯水价模型、奇偶性与单调性综合|第16题以阶梯水价构建分段函数模型，培养模型意识与应用能力；第18题结合图象考查单调性证明，发展几何直观|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】由，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 4．（本题5分）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得， 故选：B． 5．（本题5分）已知是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 8．（本题5分）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 10．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D． 【详解】根据题意，由，解得， ，所以，故A正确； 当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 即的值域为，故B正确，C错误； 因为，则的图象如图所示， 由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确． 故选：ABD． 11．（本题6分）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 【答案】ABD 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】函数的定义域为 ，且，所以为奇函数，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则，由，得，即，这与矛盾，所以不存在，使，故C错误； 因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 所以，且在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 13．（本题5分）在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为__________． 【答案】． 【分析】利用二分法求方程的近似解，只需计算和，判断出正负号即可. 【详解】令，可知， 且， 故函数零点位于， 又， 所在的开区间为． 故答案为：． 14．（本题5分）已知函数满足，若，则______. 【答案】76 【分析】先由题意得到，从而利用函数的对称性与的值即可得解. 【详解】由题可知，， 令，则， 所以. 故答案为：76. 四、解答题 15．（本题13分）设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 【答案】(1)令， 则， 令， 在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：    因为，即， 所以在区间（-1,0）内有零点， 再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点. (2) 【分析】（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明； （2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解. 【详解】（1）略 （2）由； 由； 由； 由， 所以. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 【答案】(1)   增区间为 (2)证明:任取且， 则， 因为且，可得且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上为单调递减函数. (3) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，即可求解； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据函数的单调区间，结合函数在区间上具有单调性，分离讨论，即可求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的偶函数，且当时，， 当时，函数的图象，如图所示， 结合函数的图象， 可得函数的单调递增区间为.    （2）略； （3）由（1）中，函数的图象， 可得函数的单调递减区间为，递增区间为， 要使得函数在区间上具有单调性， 若函数在区间上单调递减，则满足或， 解得或； 若函数在区间上单调递增，则满足或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（本题5分）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 8．（本题5分）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 11．（本题6分）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 13．（本题5分）在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为__________． 14．（本题5分）已知函数满足，若，则______. 四、解答题 15．（本题13分）设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $